2021中考数学备考经典微专题 学会运用旋转变换解题 学案（技巧+满分解答）
文档属性
| 名称 | 2021中考数学备考经典微专题 学会运用旋转变换解题 学案（技巧+满分解答） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-04 11:31:53 | ||
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文档简介
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学会运用旋转变换解题
旋转变换在初中几何中_??????é?????é??è??_的地位，它贯穿于三角形、四边形、圆等所有重要的几何问题之中．在近几年的各地中考试卷中，运用旋转变换求解的试题所占的比重不断上升，这些试题往往构思巧妙，令人耳目一新．本文试图从三个层次来帮助同学们掌握旋转变换的特征和规律，从而轻松解决问题．2·1·c·n·j·y
一、按指令旋转
例1 如图1，将△ABC绕点C逆时针旋转90°，作出旋转后的图形．
解析 如图2，△A'CB'为所求．
由本题我们可以归纳出图形旋转的特征：
(1)图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；
(2)对应点到旋转中心的距离相等；
(3)对应角相等；
(4)图形的形状和大小都没有发生变化，即旋转前后的图形全等．
深入研究一下，还可以得到：对应的直线也旋转了相同的角度，比如此题中的直线AB和直线A'B'也互相垂直．
二、会识别旋转
通过例1的练_???????????????è??_中心为图形的某个顶点的旋转，学生是很容易识别的，但对于那些旋转中心不是顶点的，还是有些困难的．
例2 如图3，△A'B'C，是△ABC绕点O按一定角度旋转后形成的图形，求作点O．
解析 如图4，_???????????????A_，A'到旋转中心O的距高相等，所以点O在AA'的中垂线上，同理点O也在CC'的中垂线上．故连结AA'，CC'，作AA'，CC'的中垂线，交点即为点O．通过例2的练习，学生对于旋转的识图能力有了进一步的提升，解决例3和例4这类问题，就很容易了．
例3 如图5，菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，求证：AE＝AF．
解析 如图6，连结AC，证明△ABE≌△ACF(ASA)即可．事实上，△ACF可以看成是△ABE绕点A逆时针旋转60°而成的，其实旋转提供了我们认识全等的一个新的角度，即从动态的角度来重新认识全等，观察图2，图4，我们可以发现旋转必然会产生有“公共顶点的等线段图形”（等腰三角形）．反之，有“公共顶点的等线段图形”（线段的中点，等腰三角形，菱形，正方形等等）中必然隐藏着旋转型全等，我们只需找到它们，问题便随之解决．www.21-cn-jy.com
例4 如图7，以△A_BC???è??AB_、AC为边分别作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EC．试判断△ABC与△AEC面积之间的关系，并说明理由．
解析 如图_8??????é????????_△ABC与△AEC的面积相等，可以考虑让它们的底边相同，因此作CM⊥AB交AB于点M，作GN⊥EA交EA的延长线于点N．只需证CN＝CM，而这由△AMC≌△ANG即可得到．其实，△AMC与△ANG也是一对旋转型的全等．
三、会构造旋转
事实上，让大部分同学感到困难的并不是去发现题目图形中隐藏着的旋转，而是何时需要去构造旋转型全等．上面的解题经验告诉我们，当题目中出现了“公共顶点的等线段图形”，比如线段的中点，等腰三角形，菱形，正方形等等，那可能就需要我们去主动构造旋转型全等；特别是当题目的条件比较分散或是条件虽然是集中的，但却无法解决所求问题时，通过构造旋转，可以使得题目的条件重新集中，从而解决问题．2-1-c-n-j-y
例5 如图9，在等腰△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且∠ADB＝∠ADC．求证：∠DBC＝∠DCB．
解析 虽然题目中相等的元素集中在△ABD和△ACD中，但却无法证明△ABD和△ACD全等，所以需要把条件转移之后再利用．而AB＝AC提供了将△ABD旋转的依据，因此，将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACD'，连结D'D．易证∠CDD'＝∠CD'D，从而CD＝CD'，故CD＝BD．即∠DBC＝∠DCB．
例6 如图10，已知PA＝，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．
(1)如图10，当∠APB＝45°时，求PD的长；
(2)当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．
解析 在△APD中，虽然知道PA，AD的长度，但却没有角度，因此无法求解PD．又AB＝AD，所以可以尝试将△PAD绕点A顺时针旋转90°到△EAB，并连结EP，在△EPB中求出EB为2，可得PD也为2，在第(2)问中，依此思路，易求得EB的最大值为6，当且仅当E，P，B三点共线时，即当∠APB为135°，PD最大值为6
如果题目中出现了线段中_??????????????????_以把某个三角形绕着中点旋转180°，构造中心对称型全等（同时形成“附属产物”平行四边形），使题目条件集中，从而解决问题．我们熟悉的“倍长中线”便是其中的一种特殊情形．[
例7 如图11，点D是△ABC的边AC上一点，且AB＝CD，∠BAC＝60°，点E是BD的中点，若AE＝4，求BC的长．
解析 题中的“AB＝CD，∠BAC＝60°”这两个条件比较分散，无法使用，考虑到点E是BD的中点，因此延长AE到F，连结FB，FC，FD(如图12)．这样一来，△FDE≌△ABE，所以DF＝AB＝CD，又∠CDF＝∠BAC＝60°，故△DCF为等边三角形．所以CF＝CD，CF＝AB，而BF∥AC，故四边形ABFC为等腰梯形，所以BC＝AF＝8．
通过以上例题，我们对于_???è????????é?????_深入的认识．首先我们能够按照题目的要求，作出相应的旋转后的图形，加深了对旋转的直观认识，能够迅速在有“公共顶点的等线段图形”中识别出我们所需要的旋转型全等；而有些题目，要求我们主动去构造旋转型的全等，从而使分散的条件集中起来，沟通已知和所求，达到解决问题的目的．
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学会运用旋转变换解题
旋转变换在初中几何中_??????é?????é??è??_的地位，它贯穿于三角形、四边形、圆等所有重要的几何问题之中．在近几年的各地中考试卷中，运用旋转变换求解的试题所占的比重不断上升，这些试题往往构思巧妙，令人耳目一新．本文试图从三个层次来帮助同学们掌握旋转变换的特征和规律，从而轻松解决问题．2·1·c·n·j·y
一、按指令旋转
例1 如图1，将△ABC绕点C逆时针旋转90°，作出旋转后的图形．
解析 如图2，△A'CB'为所求．
由本题我们可以归纳出图形旋转的特征：
(1)图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；
(2)对应点到旋转中心的距离相等；
(3)对应角相等；
(4)图形的形状和大小都没有发生变化，即旋转前后的图形全等．
深入研究一下，还可以得到：对应的直线也旋转了相同的角度，比如此题中的直线AB和直线A'B'也互相垂直．
二、会识别旋转
通过例1的练_???????????????è??_中心为图形的某个顶点的旋转，学生是很容易识别的，但对于那些旋转中心不是顶点的，还是有些困难的．
例2 如图3，△A'B'C，是△ABC绕点O按一定角度旋转后形成的图形，求作点O．
解析 如图4，_???????????????A_，A'到旋转中心O的距高相等，所以点O在AA'的中垂线上，同理点O也在CC'的中垂线上．故连结AA'，CC'，作AA'，CC'的中垂线，交点即为点O．通过例2的练习，学生对于旋转的识图能力有了进一步的提升，解决例3和例4这类问题，就很容易了．
例3 如图5，菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，求证：AE＝AF．
解析 如图6，连结AC，证明△ABE≌△ACF(ASA)即可．事实上，△ACF可以看成是△ABE绕点A逆时针旋转60°而成的，其实旋转提供了我们认识全等的一个新的角度，即从动态的角度来重新认识全等，观察图2，图4，我们可以发现旋转必然会产生有“公共顶点的等线段图形”（等腰三角形）．反之，有“公共顶点的等线段图形”（线段的中点，等腰三角形，菱形，正方形等等）中必然隐藏着旋转型全等，我们只需找到它们，问题便随之解决．www.21-cn-jy.com
例4 如图7，以△A_BC???è??AB_、AC为边分别作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EC．试判断△ABC与△AEC面积之间的关系，并说明理由．
解析 如图_8??????é????????_△ABC与△AEC的面积相等，可以考虑让它们的底边相同，因此作CM⊥AB交AB于点M，作GN⊥EA交EA的延长线于点N．只需证CN＝CM，而这由△AMC≌△ANG即可得到．其实，△AMC与△ANG也是一对旋转型的全等．
三、会构造旋转
事实上，让大部分同学感到困难的并不是去发现题目图形中隐藏着的旋转，而是何时需要去构造旋转型全等．上面的解题经验告诉我们，当题目中出现了“公共顶点的等线段图形”，比如线段的中点，等腰三角形，菱形，正方形等等，那可能就需要我们去主动构造旋转型全等；特别是当题目的条件比较分散或是条件虽然是集中的，但却无法解决所求问题时，通过构造旋转，可以使得题目的条件重新集中，从而解决问题．2-1-c-n-j-y
例5 如图9，在等腰△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且∠ADB＝∠ADC．求证：∠DBC＝∠DCB．
解析 虽然题目中相等的元素集中在△ABD和△ACD中，但却无法证明△ABD和△ACD全等，所以需要把条件转移之后再利用．而AB＝AC提供了将△ABD旋转的依据，因此，将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACD'，连结D'D．易证∠CDD'＝∠CD'D，从而CD＝CD'，故CD＝BD．即∠DBC＝∠DCB．
例6 如图10，已知PA＝，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．
(1)如图10，当∠APB＝45°时，求PD的长；
(2)当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．
解析 在△APD中，虽然知道PA，AD的长度，但却没有角度，因此无法求解PD．又AB＝AD，所以可以尝试将△PAD绕点A顺时针旋转90°到△EAB，并连结EP，在△EPB中求出EB为2，可得PD也为2，在第(2)问中，依此思路，易求得EB的最大值为6，当且仅当E，P，B三点共线时，即当∠APB为135°，PD最大值为6
如果题目中出现了线段中_??????????????????_以把某个三角形绕着中点旋转180°，构造中心对称型全等（同时形成“附属产物”平行四边形），使题目条件集中，从而解决问题．我们熟悉的“倍长中线”便是其中的一种特殊情形．[
例7 如图11，点D是△ABC的边AC上一点，且AB＝CD，∠BAC＝60°，点E是BD的中点，若AE＝4，求BC的长．
解析 题中的“AB＝CD，∠BAC＝60°”这两个条件比较分散，无法使用，考虑到点E是BD的中点，因此延长AE到F，连结FB，FC，FD(如图12)．这样一来，△FDE≌△ABE，所以DF＝AB＝CD，又∠CDF＝∠BAC＝60°，故△DCF为等边三角形．所以CF＝CD，CF＝AB，而BF∥AC，故四边形ABFC为等腰梯形，所以BC＝AF＝8．
通过以上例题，我们对于_???è????????é?????_深入的认识．首先我们能够按照题目的要求，作出相应的旋转后的图形，加深了对旋转的直观认识，能够迅速在有“公共顶点的等线段图形”中识别出我们所需要的旋转型全等；而有些题目，要求我们主动去构造旋转型的全等，从而使分散的条件集中起来，沟通已知和所求，达到解决问题的目的．
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