2021中考数学备考经典微专题 一道平面几何试题的解法探究 学案（技巧+满分解答）

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一道平面几何试题的解法探究
题目 有一△ABC，D为边BC的中点，DM平分∠ADB交AB于点M，DN平分∠ADC交AC于点N，则BM＋CN与MN的大小关系为( )www-2-1-cnjy-com
(A)BM＋CN>MN
(B)BM＋CN＝MN
(C)BM＋CN (D)不能确定
此题小巧灵活，于平淡中见新奇，是一道非常基础同时有显著特色的的小题；同时此题解法多样，是一道能区分考生思维品质的好题．[来源:学科网ZXXK]www.21-cn-jy.com
思路1 考虑到_DM???DN???_别平分∠ADB和∠ADC，且BD＝CD，若把△BDM与△CDN分别沿DM，DN对折后，则点B，C落在AD上的同一位置，于是，可以把线段BM，CN和MN转化到同一三角形中，使问题得解．
解法1 如图1，在AD上取点P，使DP＝BD，连PM，PN，则
△BDM≌△PDM，∴BM＝PM．
同理CN＝PN．
又∵∠MPD＋LNPD
＝∠B＋∠C<180°，
所以M，P，N三点不共线，
∴MP＋NP>MN，取BM＋CN>MN，选A
思路2 考虑到DM，DN分别平分∠ADB和∠ADC，可得∠MDN＝90°，即MD⊥DN，从而可以利用等腰三角形“三线合一”的性质把线段BM，CN和MN转化到同一个三角形中，使问题得解．
解法2 如图2，延长ND到E，使DN＝DE．由已知可得
MD⊥DN，∴ME＝MN．
显然△BDE≌△CDN，∴BE＝CN．
又∵∠ABC＋∠DBE＝∠ABC＋∠C<180°．
所以M，B，E三点不共线，
∴BM＋BE > ME， p^p BM＋CN > MN，逸A．
思路3 由已知可证朋Ⅳ∥BC，于是可以利用平行线分线段成比例定理计算线段长，进而比较所求线段的大小关系．

说明　解法3用到三角形中线长定理，即在△ABC中，AD是中线，则
AD＝．
这一结论在计算线段长时经常用到．
此题是一_é??é?????é?????è??_按照解答选择题的原则，似乎没有必要再进行深究，但是对这道题进行深入探究，有助于我们掌握平面几何中“比较两条线段长度之和a＋b与另一条线段长c的大小关系”这一基本问题的解题思路和方法．
解答这类问题，可以采取“合二为一”的策略，即把“两条线段之和a＋b”转化为另一条线段d，使问题转化为比较c，d的大小；也可以采取“一分为二”的策略，把线段c分为两条线段a'，b'之和，再比较a＋b与a'＋b'的大小；还可以分别计算出a＋b与c的值，再比较所得两数的大小，我们看到，从不同的角度入手，殊途同归，都可以圆满解决问题．同时也提示我们，解题时“勿以题小而不为”，要有针对性地通过观察、类比、联想等，进行一题多解的训练，在多解中求简，在修正中优化，就能使解题能力的提高落在实处．
本题是否还有其他的简_???è§?????????????_大家继续探究，当然，解答完此题，一个自然的想法是，如果把题设条件“△ABC的中线AD”换成角平分线或者高，结论又如何？我们提出下面的问题，供大家思考：
思考1 有一△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，DM平分∠ADB交AB于点M，DN平分∠ADC交AC于点N，则BM＋CN与MN的大小关系为( )
(A)BM＋CN>MN (B)BM＋CN＝MN (C)BM＋CN 思考2 有一△ABC_??????B??????C_均为锐角，AD是BC边上的高，DM平分∠ADB交AB于点M，DN平分∠ADC交AC于点N，则BM＋CN与MN的大小关系为( )
(A)BM＋CN>MA (B)BM＋CN＝MN (C)BM＋CN_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_