2021中考数学备考经典微专题 一个数形结合模型及其在解题中的运用 学案（技巧+满分解答）

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一个数形结合模型及其在解题中的运用
先介绍一个数形结合模型．代数式可表示成两直角边分别为x和3的直角三角形斜边长，可表示成两直角边分别为12－x和2的直角三角形斜边长，＋表示成两斜边长之和，＋的最小值就是两斜边长之和．这里，两个直角三角形各有一条直角边长不变，另一个直角边之和为一个常数．构造图形如图1．CD=、CE=，CD＋CE=＋，而CD＋CE≥DE，所以CD＋CE的最小值为DE的长，如图2．而CD＋CE的最小值为DE的长，根据图3可求出DE==13，此时x的值可通过△DAC≌△EBC，=，即=，解得x=4．８.
我们通过代数式转化为_??????_(???è??_的边长)，结合图形，运用三角形两边之和大于第三边，两点之间线段最短性质得出最短位置，再根据勾股定理及相似知识进行计算．下面谈谈该模型在解题中的应用．
一、模型应用
1．在直线上找一点，到两已知点距离和最小
例1 __??????4??????_上有一圆柱形玻璃杯，高12 cm，底面周长18 cm，ABCD是它的轴截面，在杯内壁离杯口3 cm的Q处 (即BQ=3) 有一滴蜜糖，一条小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至相对方向离桌面3 cm的P处 (即DP=3) 时，突然发现了蜜糖，问小虫至少要爬多少路才能到达蜜糖所在的位置?
分析 把圆柱侧面展开，_?????????????¤????_小虫在外壁P，一定要通过杯口即展开图中线段BC上一点H到内壁Q，要求PH+HQ的最小值．按照上述模型解题思路，第一步求出PH、HQ的代数式，第二步画出对应图形，第三步根据图形运用勾股定理知识解决．21·cn·jy·com
解 设CH=a，∵ BC=9，∴ BH=9－a；又BQ=3，CP=9．
∴ PH= ,
HQ=
∴ P H+H Q=+．
根据代数式构造图形如图5．
PH+HQ的最小值为
PQ==15．
2．在一条直线上找一定长线段，使它两端分别到两已知点距离和最小
例2 如图6，在平_é?????è§??????????_中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．
分析 先在OA上任意找_??¤???E???F???_连结DE、CF，得到四边形CDEF．分析题目，四边形CDEF周长等于DE+EF+FC+CD，而CD与EF长不变，故只要DE+CF和最小．按照上述模型解题思路，第一步求出DE、CF的代数式，第二步画出对应图形，第三步根据图形运用相似三角形知识解决．
解 设E (a，0)、F (a+2，0)，故OE=a，AF=3－(a+2)=1－a．因为D是OB的中点，所以OD=2．又因为AC=4，所以DE+CF=+。
根据代数式构造图形，如图7．
∵ Rt△EAC≌Rt△DBC，
∴ =，即=，解得a=，
∴ E (，0)、 F (，0)．
3．将一图形左右平移，使平移后图像上两点与一个已知点距离之和最小
例3 __??????8?????¨_平面直角坐标系xOy中，二次函数y=－x2+(m－1) x+4m，的图像与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B (0，4)，已知点E (0，1)．如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△A'E'O'，连结A'B、BE'．设AA'=n，其中0 解 根据题意易求得m=1，A (－2，0)．
设A' (－2+n，0)、E'(n，1)，A'B+BE'=+．
根据代数式构造图形，如图9．
∵ Rt△EAC～Rt△DBC，
∴ =，即=，
解得 n=．
∴ E' (，1)．
4．将一图形左右平移，使平移后图像上两点分别与两个已知点距离之和最小
例4 如图10，直_???y=2x+_6上有两点A (－3．5，n)、B (－1，m)，y轴上有两点C (0，2)、D (0，3)，现将直线y=2x+6左右平移，点A平移后对应点记作A'，点B平移后对应点记作B'，若A'C+B'D最小，求平移后的直线解析式．
解 易求出n=1，m=4．设直线向右平移a个单位，A' (－3．5+ a，1)、B' (－1+ a，4)，A'C+B'D =+．
因为3．5－a与l－a的和不是一个常数，而(1－a)2=(a－1)2，故A'C+B'D=+．
根据代数式构造图形，如图11．
∵ Rt△EAC～Rt△DBC，
∴ =，即=，解得a=2．25，∴ 需要将直线向右平移2．25个单位，平移后的直线为y=2(x－2．25)+6，即y=2x+1．5．
5．综合应用
例5 如图12，已知点A (－4，8) 和B (2，n) 在抛物线y=ax2上．
(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标．
(2) 平移抛_??????y=ax_2，记平移后点A的对应点为A'，点B的对应点为B'，点C (－2，0) 和点D (－4，0) 是x轴上的两个定点．
① 当抛物线向左平移到某个位置时，A'C+CB' 最短，求此时抛物线的函数解析式；
② 当抛物线向左或_??????????§???????_是否存在某个位置，使四边形A'B'CD的周长最短? 若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
分析 这道题目3个问题都是求两线段
和最小，分别属_????¨?????????¨1_、3、4，只需按照模型解题思路，第一步求出对应两线段代数式，第二步根据对应代数式画出相应图形，第三步根据图形运用勾股定理或相似知识进行计算．
解 (1) 易求a=，B关于x轴对称点P (2，－2)，抛物线为y=x2．
设Q (a，0)，
AQ+BQ=+．
根据代数式构造图形，如图13．
∵ Rt△EAC～Rt△DBC，
∴ =，即=，
解得 a=，∴Q (，0)．
(2) 设抛物线向左平移a个单位，如图14，则 A' (－4－a，8)、B' (2－a，2)，A'C+CB'=+．
根据代数式构造图形，如图15．
∵ Rt△EAC∽Rt△DBC，
∴ =，即=，解得a=，
∴ 抛物线y=x2向左平移个单位后解析式为y=+(x+)2
(3) 设抛物_???????·?????§?a_个单位，如图16．则A' (－4－a，8)、B' (2－a，2)．因为CD、A'B'长度已知，四边形A'B'CD周长最小实质就是A'D+B'C最小．
A'D+CB' =+，
根据代数式构造图形，如图17．
∵ R t△EAC～R t△DBC
∴ =，即=，解得a=，
∴ 抛物线y=x2向左平移个单位后解析式为y=(x+)2．
回顾模型在上述_???é?????????????¨_，都是先将两线段长用代数式表示出来，然后根据得到的代数式画出对应图形，再结合图形，运用相关数学知识进行计算．它用一种解题模式解决了众多变化多端的数学题，做到以不变应万变，在教学中深受学生喜爱．
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