2021中考数学备考经典微专题 初中数学中非负数的应用学案（技巧+满分解答）

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初中数学中非负数的应用
零和正数统称为非负数.初中数学中常见的非负数有:
(1)实数的绝对值:若a为任意实数，则.
(2)算术平方根:.
(3)实数的偶次幂:若为自然数，则.
(4)任何数的平方;.
非负数的重要性质有:
(1)若干个非负数的和为0，则其中的每一个数都为0.即: ，，…，且，则.
(2)非负数的积、商(除数不为零)仍是非负数.
在初中数学中，非负数在解题时有着广泛的应用，现举例如下:
一、利用非负数性质求值
例1 已知，求的值
分析 由已知，得
，，
由非负数性质知
，，
于是
解得
例2 已知：
求、的值
分析根据二次根式的被开方数为非负数，得
，
，且
把代入已知，得
二、利用非负数性质解方程
1.解无理方程
例3 解方程:
分析 这是一个无理方程，并且一个方程里有三个未知数，显然用一般的方法不能
求解.仔细观察方程特点，不难发现，原方程可以化为:

由非负数性质，得
解得
2.解绝对值方程
例4解方程:
( ，为自然数).
分析这是一个含有绝对值的方程，从表面上看无从下手，认真观察方程的特点，容易发现:
，
由自然数性质，得
，或
解得或
3.解二元二次方程
例5 解方程:
分析 将方程的左边配方，得
由非负数的性质，得
解得
三、利用非负数性质化简
例6 已知，化简.
分析由二次根式的被开方数为非负数，得，且,
，
故有，
原式
四、利用非负数性质求代数式的最大(小)值
例7 设，求的最小值.
分析 求代数式的最小值的一般方法是通过配方法求解.由已知，得
.
由非负数的性质，知
当，即时，有最小值
五、利用非负数性质判断三角形的形状
例8 已知为的三边，且关于的方程有实数根试判断的形状.
分析 由题意，得
由非负数的性质，得
，，
六、非负数在二次函数中的应用
例9 已知、为实数，求抛物线与轴的交点个数
分析 求二次函数图象与轴的交点个数，实质上就是求与之相关的一元二次方程的根的个数，因此构造一元二次方程
由一元二次方程根的判别式，得
，即
一元二次方程
有两个不相等的实数根，
抛物线与轴有两个交点
七、非负数在一元二次方程中的应用
例10设为互不相等的非零实数.求证:三个方程
， ①
， ②
， ③
不可能都有两个相等的实数根.
分析 本题如果直接用一元二次方程根的判别式来判断很难得出结果，那么不妨采用逆向思维法来思考.假设三个方程都有两个相等的实数根，则
三式相加，得
,
由非负数的性质，得，这与已知相矛盾，所以，方程①、②、③不可能都有两个相等的实数根.
例11 已知实数满足方程组，试求方程的根
分析 可以通过构造一元二次方程来解.由已知，得
，
故、可视为一元二次方程的两个根，
，
把的值代入方程，得
，
所求方程为，它的根为
八、非负数在方差中的应用
例12 已知是实数，且，，求实数的方差.
分析
，
，
，
，
实数的平均数为
实数的方差为
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