2021中考数学备考经典微专题 等腰三角形一个判定方法的证明及应用学案（技巧+满分解答）

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等腰三角形一个判定方法的证明及应用
等腰三角形具有“三线合一”的性质:
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
如图l，在中，是上一点.
(1)如果，那么;
(2)如果,那么,;
(3)如果，那么,.

图1
上述性质中，共存在4个关系式:.而改写后的每条性质都有两个条件，且都有一个条件是“”.
反过来，在关系式中，如果其中某两条成立，那么能否得到？
这是一个很有意义的话题，为了便于思考，现将它们罗列如下:
命题 在中，是上一点，
(1)如果，那么;
(2)如果，那么;
(3)如果，那么.
以上三个命题中，命题(1)可表述为:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.证明简单.
命题(2)可通过≌证明.
而命题(3)用文字语言表达就是:
如果三角形一个角的平分线又是其对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形.
这是一个判定等腰_???è§?????????????_真命题，它有多种证法，而且这些证法几乎贯穿于整个初中阶段的几何学习.本文着重研究这个判定方法的证明及应用.
一、证明
证法1 作 // ，交延长线于点(如图2)，则.

在和中，

，≌
.

图2
证法2 作//,//，分别交于点(如图3)，则
在和中,

≌.
.
图3
证法3 作，垂足分别为(如图4).

在和中，
,
,
≌,
.
图4
证法4 作，垂足分别为(如图4).
证法5 用反证法，假设>.在上取一点，使，连结(如图5).
在和中，
,
≌,
,

这与矛盾，
假设>不成立.
同理，<也不成立.
.

图5
证法6 延长到点，使，连结(如图6).
四边形是平行四边形，
∥
.
图6
证法7 作中点，连结(如图7).
是的中位线，
∥
.
图7
证法8 作的外接圆，延长交圆于点，连结( 如图8).

图8
二、应用
例1 如图9，在中,平分，求证:四边形是菱形.
证明 连结，交于点，则.
由于平分,由命题(3)，得，是菱形.
图9
例2 已知:如图l0,是的角平分线，是中点，在上，且,求证:.
证明 取的中点，连结.
.
点是线段的三等分点，

图10
是的中点，
∥,亦即∥,∽，，
,即点是的中点.
平分 ,.
例3 已知:如图11 , 中，是的三等分线，求证:点不可能同时是边的三等分点.

图11
证明 假设点同时是线段的三等分点，则.
是的三等分线，.
由命题(3)，得,.
两式相减，得,.
再由，立得，这与条件矛盾.
假设不成立，
点不可能同时是线段的三等分点.
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