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第二十二章
二次函数
22.2
二次函数与一元二次方程
基础巩固
1．（2019·安徽省初三期中）二次函数与坐标轴的交点个数是( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．（2019·甘肃省初三期中）二次函数的图象与轴交点的横坐标是（
）
A．2和
B．和
C．2和3
D．和
3．（2020·四川省成都市七中育才学校初三月考）对于二次函数，下列说法中错误的是（
）
A．函数有最小值是
B．时，随的增大而增大
C．抛物线的对称轴是直线
D．图象与轴有两个交点
4．（2020·辽宁省初三二模）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个同号的实数根
D．没有实数根
5．（2018·甘肃省徽县第三中学初三期中）抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（
）
A．
B．或
C．或
D．
6．（2019·梁山县水泊街道初级中学初三期中）抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（
）
A．m＜2
B．m＞2
C．0＜m≤2
D．m＜﹣2
7．（2020·安徽省初三一模）抛物线与轴交点的坐标是（ ）
A．（﹣1，0）
B．（1，0）
C．（0，﹣1）
D．（0，1）
8．（2020·广东省初三期中）函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A．0
B．0或2
C．0或2或﹣2
D．2或﹣2
9．（2018·山东省初三期末）在同一坐标系下，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是（ ）
A．x＜0
B．0＜x＜2
C．x＞2
D．x＜0或
x＞2
10．（2019·湖北省初三期中）直线被抛物线截得的线段长度为（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
11．（2018·四川省初三期末）如果函数的图象与轴有公共点，那么的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2019·黑龙江省初三月考）抛物线与轴的交点坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
13．（2019·环县第一中学初三期末）
若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为(
).
A．－1或2
B．－1或1
C．1或2
D．－1或2或1
14．（2019·北京市第三十一中学初三期中）二次函数y
=3x2－6x＋k的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是（ ）
A．k≤3且k≠0
B．k=3
C．k<3
D．k≤3
15．（2020·湖南省中考真题）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
16．（2020·贵州省中考真题）已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3．则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是（
）
A．或0
B．或2
C．或3
D．或4
17．（2020·湖北省中考真题）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小，其中正确的有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
18．（2020·山东省中考真题）二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（
）
A．若，是图象上的两点，则
B．
C．方程有两个不相等的实数根
D．当时，y随x的增大而减小
19．（2020·河南省初三其他）已知某二次函数的图象与轴相交于，两点．若该二次函数图象的对称轴是直线，且点的坐标是，则的长为（
）
A．5
B．8
C．10
D．11
20．（2020·山东省初三二模）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为（
）
A．1或－3
B．0或－3
C．0或1
D．－1
21．（2020·江西省初三其他）对于抛物线，下列说法错误的是（
）
A．若顶点在x轴下方，则一元二次方程有两个不相等的实数根
B．若抛物线经过原点，则一元二次方程必有一根为0
C．若，则抛物线的对称轴必在y轴的左侧
D．若，则一元二次方程，必有一根为-2
22．（2020·山东省初三其他）抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（2020·江苏省初三月考）二次函数y1＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数）的图象如图所示，若y1＋y2＝2，则下列关于函数y2的图象与性质描述正确的是：（
）
A．函数y2的图象开口向上
B．函数y2的图象与x轴没有公共点
C．当x＞2时，y2随x的增大而减小
D．当x＝1时，函数y2的值小于0
24．（2020·贵州省中考真题）已知的图象如图所示，对称轴为直线，若，是一元二次方程的两个根，且，，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
25．（2020·黑龙江省中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
26．（2020·江苏省初三一模）已知二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则a的值是_______．
27．（2020·山东省中考真题）抛物线（为常数）与轴交点的个数是__________．
28．（2020·湖北省初三一模）抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n交于点A(﹣2，5)、B(3，)两点，则关于x的一元二次方程a（x+1）2+c﹣n＝（m﹣b）（x+1）的两根之和是_____．
29．（2020·湖北省中考真题）我们约定：为函数的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为____________．
30．（2020·山东省初三其他）如图为抛物线的部分图象，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），下列结论：
①4ac＜b2
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3
③3a+c＞0
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3
⑤当x＜0时，y随x增大而增大
其中正确的结论是____．
拓展提升
1．（2018·浙江省初三期中）抛物线与轴交于点(0，3)．
（1）求的值及抛物线与轴的交点坐标；
（2）取什么值时，抛物线在轴下方？
（3）取什么值时，的值随着的增大而增大？
2．（2019·温州市第二十三中学初三月考）如图，抛物线y＝ax2-5x＋4a与x轴相交于点A，B，
且过点C（5,4）．
（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线经过原点，并写出平移后抛物线的解析式．
3．（2020·浙江省中考真题）已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)．
（1）求a，b的值；
（2）若(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，且，求m的值．
4．（2020·浙江省初三其他）如图，直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象交于点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x＝1．
（1）求m的值及二次函数解析式；
（2）若直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积；
（3）根据函数图象回答：x为何值时该一次函数值大于二次函数值．
5．（2020·黑龙江省初三三模）如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点．此抛物线与轴的另一个交点为抛物线的顶点为．
（1）求次此抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上的一个动点，求使的点的坐标．
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第二十二章
二次函数
22.2
二次函数与一元二次方程
基础巩固
1．（2019·安徽省初三期中）二次函数与坐标轴的交点个数是( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】B
【解析】∵△＝22?4×1×2＝?4＜0，
∴二次函数y＝x2＋2x＋2与x轴没有交点，与y轴有一个交点．
∴二次函数y＝x2＋2x＋2与坐标轴的交点个数是1个，故选：B．
2．（2019·甘肃省初三期中）二次函数的图象与轴交点的横坐标是（
）
A．2和
B．和
C．2和3
D．和
【答案】A
【解析】解：
当时，，解得x=2或-3，故选A.
3．（2020·四川省成都市七中育才学校初三月考）对于二次函数，下列说法中错误的是（
）
A．函数有最小值是
B．时，随的增大而增大
C．抛物线的对称轴是直线
D．图象与轴有两个交点
【答案】C
【解析】解：
∵a=1＞0，
∴当x=-1时，二次函数有最小值为-4，故A正确；
抛物线的对称轴是直线x=-1，且当x＞-1时，y随x的增大而增大，故B正确，C错误；
在中，
∴抛物线与x轴有两个交点，故D正确
4．（2020·辽宁省初三二模）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个同号的实数根
D．没有实数根
【答案】D
【解析】∵y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点，且方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是没有实数根，故选：D．
5．（2018·甘肃省徽县第三中学初三期中）抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（
）
A．
B．或
C．或
D．
【答案】D
【解析】解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为x=-1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（-3，0），
所以y＞0时，x的取值范围是-3＜x＜1．
6．（2019·梁山县水泊街道初级中学初三期中）抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（
）
A．m＜2
B．m＞2
C．0＜m≤2
D．m＜﹣2
【答案】A
【解析】由题意知抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4ac＞0，即4﹣4m+4＞0，解得m＜2，故答案选A．
7．（2020·安徽省初三一模）抛物线与轴交点的坐标是（ ）
A．（﹣1，0）
B．（1，0）
C．（0，﹣1）
D．（0，1）
【答案】C
【解析】解：当时，，
所以抛物线与轴交点的坐标为（0，﹣1）．
8．（2020·广东省初三期中）函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A．0
B．0或2
C．0或2或﹣2
D．2或﹣2
【答案】C
【解析】解：∵函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴当m＝0时，y＝2x+1，此时y＝0时，x＝﹣0.5，该函数与x轴有一个交点，
当m≠0时，函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，
则△＝（m+2）2﹣4m（m+1）＝0，解得，m1＝2，m2＝﹣2，
由上可得，m的值为0或2或﹣2，故选：C．
9．（2018·山东省初三期末）在同一坐标系下，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是（ ）
A．x＜0
B．0＜x＜2
C．x＞2
D．x＜0或
x＞2
【答案】B
【解析】由图可知：抛物线y1=﹣x2+4x的图象在直线y2=2x的图象上方部分所对应的x的取值范围是0∴不等式﹣x2+4x＞2x的解集是010．（2019·湖北省初三期中）直线被抛物线截得的线段长度为（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【解析】解：令y=-x2+2x+6=3，
解得：x=-1或x=3，
故在直线y=3上截得的线段的长为3-（-1）=4，故选：C．
11．（2018·四川省初三期末）如果函数的图象与轴有公共点，那么的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵函数的图象与轴有公共点，
，
解得
．
12．（2019·黑龙江省初三月考）抛物线与轴的交点坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当x＝0时，y＝-4，
所以y轴的交点坐标是（0，-4）．
13．（2019·环县第一中学初三期末）
若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为(
).
A．－1或2
B．－1或1
C．1或2
D．－1或2或1
【答案】D
【解析】当该函数是一次函数时，与x轴必有一个交点，此时a－1＝0，即a＝1.
当该函数是二次函数时，由图象与x轴只有一个交点可知Δ＝(－4)2－4(a－1)×2a＝0，解得a1＝－1，a2＝2.
综上所述，a＝1或－1或2.
14．（2019·北京市第三十一中学初三期中）二次函数y
=3x2－6x＋k的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是（ ）
A．k≤3且k≠0
B．k=3
C．k<3
D．k≤3
【答案】C
【解析】∵二次函数y＝3x2?6x＋k的图象与x轴有两个公共点，
∴b2?4ac＞0，
即：36?4×3×k＞0，
解得：k＜3，故选：C．
15．（2020·湖南省中考真题）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：当
＜，
原方程没有实数解，
没有零点，故不符合题意，
当
显然，方程没有解，
所以没有零点，故不符合题意，
当
显然方程无解，
所以没有零点，故不符合题意，
当
所以有两个零点，故符合题意，故选
16．（2020·贵州省中考真题）已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3．则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是（
）
A．或0
B．或2
C．或3
D．或4
【答案】B
【解析】二次函数的图象经过与两点，即方程的两个根是﹣3和1，
可以看成二次函数y的图象沿着y轴平移m个单位,得到一个根3，
由1到3移动2个单位，可得另一个根为﹣5.由于0＜n＜m，
可知方程的两根范围在﹣5~﹣3和1~3，
由此判断B符合该范围．
17．（2020·湖北省中考真题）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小，其中正确的有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
【解析】解：①∵抛物线开口向上与y轴交于负半轴，
∴a＞0,c＜0
∴ac＜0
故①正确；
②∵抛物线的对称轴是x=1，
∴
∴b=-2a
∵当x=-1时，y=0
∴0=a-b+c
∴3a+c=0
故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，即一元二次方程有两个不相等的实数解
∴
∴
故③正确；
④当-1＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时y随x的增大而增大．
故④错误
所以正确的答案有①、②、③共3个
18．（2020·山东省中考真题）二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（
）
A．若，是图象上的两点，则
B．
C．方程有两个不相等的实数根
D．当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】由函数的图象可知，二次函数的对称轴为
则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，选项D错误
由对称性可知，时的函数值与时的函数值相等
则当时，函数值为
，则选项A正确
又当时，
，即，选项B正确
由函数的图象可知，二次函数的图象与x轴有两个交点
则将二次函数的图象向上平移2个单位长度得到的二次函数与x轴也有两个交点
因此，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
即方程有两个不相等的实数根，选项C正确
19．（2020·河南省初三其他）已知某二次函数的图象与轴相交于，两点．若该二次函数图象的对称轴是直线，且点的坐标是，则的长为（
）
A．5
B．8
C．10
D．11
【答案】C
【解析】解：∵二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，
∴，两点关于对称轴直线对称，
∵的坐标是，
∴的坐标是，
∴.
20．（2020·山东省初三二模）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为（
）
A．1或－3
B．0或－3
C．0或1
D．－1
【答案】A
【解析】∵二次函数的部分图象与x轴的交点的横坐标为﹣3，对称轴为，直线x=﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为1，
∴的解为：x1=?1，x2=﹣3．
21．（2020·江西省初三其他）对于抛物线，下列说法错误的是（
）
A．若顶点在x轴下方，则一元二次方程有两个不相等的实数根
B．若抛物线经过原点，则一元二次方程必有一根为0
C．若，则抛物线的对称轴必在y轴的左侧
D．若，则一元二次方程，必有一根为-2
【答案】A
【解析】解：A：当顶点在x轴的下方且a＜0时，
此时抛物线与x轴没有交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，
∴A错误；
B：当抛物线经过原点时，c=0，
∴ax2+bx=0，
解得：x=0或x=-，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0，
∴B正确；
C：∵抛物线的对称轴为：x=-，
∴抛物线的对称轴的位置由与b的符合共同决定，
∴C正确；
D：令x=-2，得：4a-2b+c=0，
∴2b=4a+c，
∴D正确，故选A．
22．（2020·山东省初三其他）抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，
∵方程在的范围内有实数根，
当时，，
当时，，
函数在时有最小值2，
∴，故选A．
23．（2020·江苏省初三月考）二次函数y1＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数）的图象如图所示，若y1＋y2＝2，则下列关于函数y2的图象与性质描述正确的是：（
）
A．函数y2的图象开口向上
B．函数y2的图象与x轴没有公共点
C．当x＞2时，y2随x的增大而减小
D．当x＝1时，函数y2的值小于0
【答案】C
【解析】∵y1的图象开口向上，与y轴交点在（0，2）上方，
∴a>0，c>2，
∵y1＋y2＝2，
∴y2=-y1+2=-ax2-bx-c+2，
∵-a<0，
∴函数y2的图像开口向下，故A错误，
∴y2的最大值为=-+2，
∵<1，
∴-+2>1
∴函数y2的图像与x轴有两个交点，故B错误，
∵对称轴直线在1和2之间，图象开口向下，
∴x>2时，y2随x的增大而减小，故C正确，
∵x=1时，y1=a+b+c<2，
∴-（a+b+c）>-2
∴x=1时，y2=-a-b-c+2=-(a+b+c)+2>0，故D错误，故选C.
24．（2020·贵州省中考真题）已知的图象如图所示，对称轴为直线，若，是一元二次方程的两个根，且，，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：，是一元二次方程的两个根，
、是抛物线与轴交点的横坐标，
抛物线的对称轴为，
，即，故选项错误；
由图象可知，，
，
解得：，故选项正确；
抛物线与轴有两个交点，
，故选项错误；
由对称轴可知，可知，故选项错误．
25．（2020·黑龙江省中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；
抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；
x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，故选：C．
26．（2020·江苏省初三一模）已知二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则a的值是_______．
【答案】1
【解析】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点，
∴一元二次方程有两个相等的实数根，
∴且，
解得：，
∴a的值为1，
故答案为：1．
27．（2020·山东省中考真题）抛物线（为常数）与轴交点的个数是__________．
【答案】2
【解析】解：∵?=4(k-1)2+8k=4k2+4>0，
∴抛物线与轴有2个交点．
故答案为：2．
28．（2020·湖北省初三一模）抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n交于点A(﹣2，5)、B(3，)两点，则关于x的一元二次方程a（x+1）2+c﹣n＝（m﹣b）（x+1）的两根之和是_____．
【答案】-1
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n交于点A（-2，5）、B（3，）两点，
∴方程ax2+bx+c=mx+n的两个根为x1=-2，x2=3，
∵a（x+1）2+c-n=（m-b）（x+1）可变形为a（x+1）2+b（x+1）+c=m（x+1）+n，
∴x+1=-2或x+1=3，
解得，x=-3或x=2，
∴方程a（x+1）2+c-n=（m-b）（x+1）的两根之和是-3+2=-1，
故答案为：-1．
29．（2020·湖北省中考真题）我们约定：为函数的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为____________．
【答案】或或
【解析】解：将关联数为代入函数得到：
，
∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），
∴y=0，即，
因式分解得，
又∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点，
即
∴m=1，
∴，
与x轴交点即y=0解得x=1或x=2，
即坐标为或，
与y轴交点即x=0解得y=2，
即坐标为，
∴这个函数图象上整交点的坐标为或或；
故答案为：或或．
30．（2020·山东省初三其他）如图为抛物线的部分图象，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），下列结论：
①4ac＜b2
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3
③3a+c＞0
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3
⑤当x＜0时，y随x增大而增大
其中正确的结论是____．
【答案】①②⑤
【解析】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2-4ac＞0，即4ac＜b2，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，所以②正确；
∵x==1，即b=-2a，
而x=-1时，y=0，即a-b+c=0，
∴a+2a+c=0，
∴3a+c=0，所以③错误；
由图象知，当y＞0时，x的取值范围是-1＜x＜3，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，
∴当x＜0时，y随x增大而增大，所以⑤正确；
即正确的个数是3个，
故答案为：①②⑤
拓展提升
1．（2018·浙江省初三期中）抛物线与轴交于点(0，3)．
（1）求的值及抛物线与轴的交点坐标；
（2）取什么值时，抛物线在轴下方？
（3）取什么值时，的值随着的增大而增大？
【解析】（1）将点代入得：
则二次函数的解析式为
令得：
解得
则抛物线与轴的交点坐标为，；
（2）二次函数的开口向下
结合（1）可得：当或时，抛物线在轴下方；
（3）二次函数的顶点式为
二次函数的增减性为：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
则当时，的值随着的增大而增大．
2．（2019·温州市第二十三中学初三月考）如图，抛物线y＝ax2-5x＋4a与x轴相交于点A，B，
且过点C（5,4）．
（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线经过原点，并写出平移后抛物线的解析式．
【解析】（1）
把C（5,4）代入y=ax2-5x＋4a得：a=1，
所以y=x2-5x＋4，
所以点P的坐标为：；
（2）将抛物线y=x2-5x＋4向下平移４个单位，得：．
3．（2020·浙江省中考真题）已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)．
（1）求a，b的值；
（2）若(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，且，求m的值．
【解析】（1）∵抛物线经过点（1，-2），（-2，13），
∴，解得，
∴a的值为1，b的值为-4；
（2）∵(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，
∴，解得或（舍去）
∴m的值为-1.
4．（2020·浙江省初三其他）如图，直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象交于点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x＝1．
（1）求m的值及二次函数解析式；
（2）若直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积；
（3）根据函数图象回答：x为何值时该一次函数值大于二次函数值．
【解析】解：（1）∵直线y＝x+m经过点A（0，3），
∴m＝3，
∴直线为y＝x+3，
∵二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点A（0，3），且对称轴为直线x＝1．
∴，
解得，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解得或，
∴B（1，4），
∴△OAB的面积＝＝；
（3）由图象可知：当x＜0或x＞1时，该一次函数值大于二次函数值．
5．（2020·黑龙江省初三三模）如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点．此抛物线与轴的另一个交点为抛物线的顶点为．
（1）求次此抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上的一个动点，求使的点的坐标．
【解析】解：（1）∵当x=0时，y=-3，∴．
∵当y=0时，x-3=0，∴x=3，∴．
将点与点的坐标代入抛物线，
得，
解得，
抛物线的解析式是；
∵=(x-1)2-4，
∴对称轴是直线x=1，顶点，
∵，
点．
为抛物线上的一个动点，
设点，
整理，得或（由，得到无实数解，舍去）．
解得．
满足条件的点的坐标为或．
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精品试卷·第
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