1.3空间几何体的表面积与体积 同步练习（含解析）

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人教新课标A版
必修二
1.3空间几何体的表面积与体积
一、单选题
1.一个正四棱锥的底面边长为2，高为
，则该正四棱锥的全面积为（??
）
A.?8?????????????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????????????C.?16?????????????????????????????????????????D.?20
2.已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
3.如果两个球的体积之比为
，那么两个球的半径之比为（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
4.若棱长为
的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
5.已知正方体外接球的体积是
π，那么正方体的棱长等于(???
)
A.?2
?????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
6.已知某圆锥的表面积是14π，其侧面展开图是顶角为
的扇形，则该圆锥的侧面积为（
??）
A.?π????????????????????????????????????????B.?2π????????????????????????????????????????C.?6π????????????????????????????????????????D.?12π
7.已知高为3的棱柱
的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥
的体积为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
8.在四面体
中，棱
，其余各条棱长均为2，则四面体
外接球的表面积是（??
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积V=（　　?
　）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.??
10.已知棱长为2的正方体
中，E为DC中点，F在线段
上运动，则三棱锥
的外接球的表面积最小值为（??
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
11.在高为
的正三棱柱
中，
的边长为2，
为棱
的中点，若一只蚂蚁从点
沿表面爬向点
，则蚂蚁爬行的最短距离为（???
）
A.?3????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?2
12.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱
，其中
，若
，当“阳马”即四棱锥
体积最大时，“堑堵”即三棱柱
的表面积为（???
）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
二、填空题
13.已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为
，则该棱锥的体积为________
.
14.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为________.
15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
16.如图，正方体
的棱长为1，E为棱
上的点，
为AB的中点，则三棱锥
的体积为________.
三、解答题
17.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
、
、
，
（1）求这个长方体的对角线长。
（2）求这个长方体的的体积
18.底面边长为2的正三棱锥
,其表面展开图是三角形
，如图，求△
的各边长及此三棱锥的体积
.
19.（1）某圆锥的侧面展开图为圆心角为
，面积为
的扇形，求该圆锥的表面积和体积.
（2）已知直三棱柱
的底面是边长为
的正三角形，且该三棱柱的外接球的表面积为
，求该三棱柱的体积.
20.如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a
，
连接A′C′，A′D
，
A′B
，
BD
，
BC′，C′D
，
得到一个三棱锥.求：
（1）三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；
（2）三棱锥A′－BC′D的体积.
21.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？
22.从斜二测画法下的棱长为a的空心正方体
的直观图中分离出来的．
（Ⅰ）求直观图中
的面积；
（Ⅱ)
如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
B
解：由题得为
，
所以该四棱锥的全面积为
.
故答案为：B
【分析】根据正四棱锥的几何特征，确定侧面三角形的斜高，即可得到四棱锥的全面积.
2.答案：
D
解：由题意结合原图与直观图的面积比为
可知该四棱锥的底面积
，
则该四棱锥的体积为
.
故答案为：D.
【分析】由原图与直观图的面积比可求得该四棱锥的底面积，利用棱锥体积公式即可得解.
3.答案：
C
解：因为球的体积公式为
，
又两个球的体积之比为
，
所以两个球的半径之比为
.
故答案为：C
【分析】根据球的体积公式，结合题中数据，即可得出结果.
4.答案：
C
解：这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即
，
所以，这个球的表面积为
.
故答案为：C.
【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.
5.答案：
D
解：设球的半径为R，立方体的棱长为a
由球的体积公式得：，
解得：R=2
又∵球的直径即为内接正方体的体对角线
∴，
∴，
故答案为：D
【分析】首先根据球的体积公式求出球的半径，球的直径就是正方体的体对角线，然后求出正方体的棱长即可。
6.答案：
D
解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，
则圆锥的侧面展开图的弧长为2πr，
则由l·
=2πr，所以l=6r，S表=S底+S侧=πr2+πr·6r=14π，
解得r2=2，所以S侧=6πr2=12π.
故答案为：D
【分析】由已知圆锥的侧面展开图的弧长为2πr列式，可得l=6r，利用S表=S底+S侧列式，解得r2=2，即可求出该圆锥的侧面积
.
7.答案：
D
解：
.
故答案为：D.
【分析】换顶点再根据三棱锥的体积公式求解即可.
8.答案：
A
解：如图，设E、F分别是
，
的中点，
连接
、
、
、
，
由四面体中，棱
，其余各条棱长均为2，
所以
，
，
由
、
分别是
，
的中点，
所以
，
，
所以
，
，
所以
.
问题转化为：
上是否存在一点
，使得
即可.
设
，
则
，
，.
于是
，解得
.
又.
于是四面体
外接球的表面积是
.
故答案为：A
【分析】设
、
分别是
，
的中点，易得，问题转化为：
上是否存在一点
，使得
即可，设
，则
，利用勾股定理求出
，进而求出外接球的半径
，根据球的表面积公式即可求解.
9.答案：
C
解：根据几何体的三视图，得该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，
三棱柱的体积为：，
三棱锥的体积：，
故组合体的体积：.
故答案为：C
【分析】由已知中的三视图，得该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，分别计算出柱体和锥体的体积，用三棱柱的体积减去三棱锥的体积可得到组合体的体积。
10.答案：
C
解：取
的中点
，易知
为
的外心，
取
的中点
，连接
，取
的中点
，连接
，
由正方体的性质可得
平面
，
则三棱锥
的外接球球心
在直线
上，连接
，
取
的中点
，连接
、
，
由中位线的性质可得
且
，
所以
，所以
平面
，
，
若要使三棱锥
的外接球的表面积最小，
则要使其半径即
最小，
易知当
即点
与
重合时，
最小，
设
，由题意
，
，
则
，
，
由
可得
，化简可得
，
此时，三棱锥
的外接球的半径
满足
，
所以三棱锥
的外接球的表面积最小值
.
故答案为：C.
【分析】取
的中点
，易知
为
的外心，取
的中点P，连接
，取
的中点Q，连接
，由正方体的性质可得三棱锥
的外接球球心O在直线
上，连接
，取
的中点H，连接
、
，易知当
即点
与
重合时，
即外接球半径最小，设
，根据
求得
，进而可求得外接球半径，即可得解.
11.答案：
A
解：如图1，
将矩形
翻折到与平面
共面的位置
,
此时，爬行的最短距离为
；
如图2，将
翻折到与平面
共面的位置
，
易知
，
，此时爬行的最短距离
；
如图3，将矩形
翻折到与平面
共面的位置
，
此时，爬行的最短距离
.
综上，小蚂蚁爬行的最短距离为3.
故选：A.
【分析】将正三棱柱展开，化平面图形中的距离最短的问题.有三种选择，第一种是从A点出发，经过
再到达点D.第二种是从A点出发，经过
再到达点D.第三种是从A点出发，经过
，最后到达点D.分别求出三种情况的距离，选其中较小的值，即为所求最短距离.
12.答案：
C
解：四棱锥
的体积是三棱柱体积的
，
，
当且仅当
时，取等号．
∴
．
故答案为：C．
【分析】由四棱锥
的体积是三棱柱体积的
，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．
二、填空题
13.答案：
解：由已知条件，得出正四棱锥侧面的高
，
从而得出正四棱锥的高为
，
再利用棱锥的体积公式，所以该正四棱锥的体积为
，
故答案为
.
【分析】利用正四棱锥的结构特征结合已知条件，从而求出正四棱锥的高，再利用正四棱锥的体积公式，从而求出该正四棱锥的体积。
14.答案：
2:3
解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.
∴
，
，
∴
.
故答案为:
2：3
.
【分析】根据圆柱的侧面积公式，求出圆柱的表面积，再由球的表面积公式，即可求解.
15.答案：
解：易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中
，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为O，
由于
，故
，
设内切圆半径为
，则：
，
解得：
，其体积：
.
故答案为：
.
【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
16.答案：
解：
。
【分析】利用正方体的结构特征结合三棱锥和正方体的位置关系，从而利用三棱锥的体积公式，从而求出三棱锥
的体积。
三、解答题
17.答案：
（1）解：设此长方体的棱长分别为a，b，c，
则
，
可得
，解得
，a=
，b=1
这个长方体的对角线长l=
=
；
（2）解：由（1）可知：V=abc=
.
【分析】（1）计算出abc,ab,bc,ac的值，即可得出a,b,c的大小，即可得出答案。（2）结合体积V=abc，即可得出答案。
18.答案：
解：由题意
中
，
，
，
所以
是
的中位线，
因此
是正三角形，且边长为4．
即
，三棱锥
是边长为2的正四面体
∴如右图所示作图，设顶点
在底面
内的投影为
，连接
，并延长交
于
，
∴
为
中点，
为
的重心，
底面
，
∴
，
，
.
【分析】由于展开图是
，
分别是所在边的中点，根据三角形的性质，
是正三角形，其边长为4，原三棱锥的侧棱也是2，要求棱锥的体积需要求出棱锥的高，由于是正棱锥，顶点
在底面上的射影是底面
的中心，由相应的直角三角形可求得高，得到体积．
19.答案：
（1）解：设圆锥的底面半径、母线长分别为
，
则
，解得
所以圆锥的高为
，
则表面积是
，体积是
（2）解：设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，
由题意，外接球心为MN的中点，
设为O，则OA＝R，由4πR2＝12π，得R＝OA＝
，又易得AM＝
，
由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，
所以该三棱柱的体积为
【分析】（1）分别计算出母线和半径的长，
利用勾股定理，得出高，计算表面积和体积，即可得出答案。（2）结合勾股定理，构造三角形，计算高h，利用体积计算公式，即可得出答案。
20.答案：
（1）解：∵ABCD?A′B′C′D′是正方体，∴六个面都是正方形，∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝
a
，
∴S三棱锥＝4×
×(
a)2＝2
a2
，
S正方体＝6a2
，
∴
＝
（2）解：显然，三棱锥A′?ABD、C′?BCD、D?A′D′C′、B?A′B′C′是完全一样的，
∴V三棱锥A′BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′ABD＝a3－4×
×
a2×a＝
a3
【分析】（1）三棱锥A′?BC′D为正四面体，表面积为四个正三角形面积，边长为正方体棱长
倍，根据三角形面积公式以及正方形面积公式求比值（2）三棱锥A′?BC′D的体积等于正方体体积减去4个小三棱锥体积.
21.答案：解：要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须有V圆锥≥V半球
，
而V半球＝
×
πr3＝
×
π×43
，
V圆锥＝
Sh＝
πr2h
=π×42×h，
则有
π×42×h≥
×
π×43
，
解得h≥8．
即当圆锥形杯子的高大于或等于8
cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．
又因为S圆锥侧＝πrl＝
，
所以高为8
cm时，制造的杯子最省材料
【分析】要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须有V圆锥≥V半球,进而求出h应满足的范围.
22.答案：
解：（Ⅰ）
；
（Ⅱ）如果用图示中的装置来盛水，
那么最多能盛的水的体积等于三棱锥
的体积，
所以
【分析】（1）根据三角形的面积公式，求出相应的面积即可；
（2）根据所盛水的体积等于三棱锥的体积，求出三棱锥的体积即可.
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