2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 同步练习（含解析）

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人教新课标A版
必修二
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题
1.不重合的两个平面可以把空间分成（???
）部分
A.?2??????????????????????????????????????B.?3或4??????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????D.?2或3或4
2.如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b（???
）
A.?共面?????????????????????????????????B.?平行?????????????????????????????????C.?异面?????????????????????????????????D.?平行或异面
3.下列条件能唯一确定一个平面的是（???
）
A.?空间任意三点??????????????????????B.?不共线三点??????????????????????C.?共线三点??????????????????????D.?两条异面直线
4.下列几何图形中，可能不是平面图形的是(
??)
A.?梯形????????????????????????????????B.?菱形????????????????????????????????C.?平行四边形?????????????????????????D.?四边形
5.已知直线m?平面α，直线n?平面α，且点A∈直线m，点A∈平面α，则直线m，n的位置关系不可能是（???
）
A.?垂直?????????????????????????????????????B.?相交?????????????????????????????????????C.?异面?????????????????????????????????????D.?平行
6.如图所示，平面
平面
，点
，点
，直线
.设过
三点的平面为
，则
（???
）
A.?直线
?????????????????????????B.?直线
?????????????????????????C.?直线
?????????????????????????D.?以上均不正确
7.在正方体
中，
与
是（???
）
A.?相交直线???????????????????????B.?平行直线???????????????????????C.?异面直线???????????????????????D.?相交且垂直的直线
8.在长方体
中，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（???
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
9.三棱柱
中，底面边长和侧棱长都相等，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（?
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
10.如图，在正方体
的八个顶点中任取两个点作直线，与直线
异面且夹角成
的直线的条数为（???
）．
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
11.如图所示，
是长方体，
是
的中点，直线
交平面
于点
，则下列结论正确的是（???
）
A.?三点共线????????B.?不共面????????C.?不共面????????D.?共面
12.如图，在三棱柱
中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，
.若
分别是棱
上的点，且
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（??
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
二、填空题
13.若直线a、b均平行于平面
，那么a与b位置关系是________
14.下列说法中正确的有________个.
①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；
②一个平行四边形确定一个平面；
③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；
④已知两个不同的平面
和
，若
，
，且
，则点A在直线
上.
15.如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为________.
16.如图，已知圆柱的轴截面
是正方形，C是圆柱下底面弧
的中点，
是圆柱上底面弧
的中点，那么异面直线
与
所成角的正切值为________.
三、解答题
17.（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形：
①直线
在平面
内；
②直线m不在平面
内；
③直线m与平面
交于点A；
④直线l不经过点A.
（2）如图，在长方体
中，
为棱
的中点，F为棱
的三等分点，画出由
三点所确定的平面
与平面
的交线.(保留作图痕迹)
18.已知正方体
?中，
?，
?分别为
，
的中点，
?，
求证：
（1）四点共面
（2）若
交平面
?于R
点，则
三点共线．
19.如图，已知点
分别为正方体
的棱
的中点，求证：
三线共点．
20.如图，在正方体
中，E、F、G、H分别是棱
、
、
、
的中点.
（1）判断直线
与
的位置关系，并说明理由；
（2）求异面直线
与
所成的角的大小.
21.如图,四棱锥
中,底面
为矩形,
底面
,
,
,
分别为棱
的中点.
（1）求证:
、
、
、
四点共面；
（2）求异面直线
与
所成的角.
22.??????
（1）已知四棱锥
的侧棱长与底面边长都相等，四边形
为正方形，点
是
的中点，求异面直线
与
所成角的余弦值．
（2）如图，在长方体
中，
分别是
的中点，求异面直线
与
所成角的余弦值．
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
B
解：当两个平面相互平行时，把空间分成3部分.
当两个平面相交时，把空间分成4部分.
所以不重合的两个平面可以把空间分成3或4部分
故答案为：B
【分析】分两个平面平行和相交两种情况进行分析，得出答案.
2.答案：
D
解：如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，则a与b平行或异面.
故答案为：D.
【分析】根据空间中直线与直线的位置关系的定义即可判断出直线a与b的位置关系.
3.答案：
B
解：过直线与线外一点，有且只有一个平面；
所以不共线的三点能唯一确定一个平面；B符合题意；
共线的三点，不能唯一确定一个平面；空间中任意三点可能共线，A，C都错；
由异面直线的定义，可得：两条异面直线也不能唯一确定一个平面；D不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据平面的性质，即可判断出结果.
4.答案：
D
解：有定义易知梯形，菱形，平行四边形都是平面图形，
四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四边形.
故答案为：D.
【分析】由题意结合所给的选项确定可能不是平面图形的几何体即可.
5.答案：
D
解：∵直线m?平面α，直线n?平面α，且点A∈直线m，点A∈平面α，
∴m∩α＝A，∴直线m，n的位置关系不可能是平行直线．
故答案为：D．
【分析】推导出直线n?平面α，m∩α＝A，从而直线m，n的位置关系不可能是平行直线．
6.答案：
C
解：
，平面
平面
，
，
.
又
三点确定的平面为
，
.
又
是平面
和
的公共点，
.
故答案为：C
【分析】由
是平面
和
的两个公共点，由两个平面若有交点，所有的交点都在同一条直线上，即可进行判断.
7.答案：
C
解：由图形可知，
与
不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线.
故答案为：C.
【分析】根据异面直线的概念可判断出
与
是异面直线.
8.答案：
C
解：由题意可得
.
因为
，
所以
是异面直线
与
所成的角，记为
，
故
.
故选：
.
【分析】根据
确定
是异面直线
与
所成的角，利用余弦定理计算得到答案.
9.答案：
B
解：设棱长为1，
，
，
由题意得：
，
，
，
又
即异面直线
与
所成角的余弦值为：
故答案为：
【分析】设
，
，
，根据向量线性运算法则可表示出
和
；分别求解出
和
，
，根据向量夹角的求解方法求得
，即可得所求角的余弦值.
10.答案：
B
解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，
与直线A1B异面且夹角成60°的直线有：
AD1
，
AC
，
D1B1
，
B1C
，
共4条．
故选B
．
【分析】结合图形，利用异面直线所成的角的概念，把与A1B成60°角的异面直线一一列出，即得答案．
11.答案：
A
解：连接A1C1
，
AC，则A1C1∥AC，
∴A1、C1、C、A四点共面，
∴A1C?平面ACC1A1
，
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1
，
又M∈平面AB1D1
，
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
∴A、M、O三点共线．
故答案为：A．
【分析】先观察图形判断A，M，O三点共线，为了要证明A，M，O三点共线，先将M看成是在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，利用同样的方法证明点O、A也是在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，从而证明三点共线．
12.答案：
B
解：依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.
设
的中点为
，建立空间直角坐标系如下图所示.
所以
，
所以
.
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
.
故答案为：B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线
与
所成角的余弦值.
二、填空题
13.答案：
相交、平行、异面
解：由题意可知：直线
平面
，直线
平面
，则a与b的位置关系是：
图1是相交；图2是平行；图3是异面直线．
故答案为：相交、平行、异面.
【分析】依据题意画出图形，即可判断．
14.答案：
2
解：反例：正方体的一个顶点处的3条棱，确定3个平面，所以①不正确；
由于平行四边形对边平行，结合两条平行线可以确定一个面，可得②正确；
如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，所以③不正确；
，
，且
，则A在
上，满足平面的基本性质，所以④正确，
即正确的个数有2个，
故答案为：2.
【分析】对于①举出反例，正方体的一个顶点处的3条棱；根据两条平行线可以确定一个面可判断②；根据等角定理可判断③；直接根据公理可判断④.
15.答案：
60°
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则E（0，1，2），F（0，2，1），B1（2，2，2），D1（0，0，2），
（0，1，﹣1），
（﹣2，﹣2，0），
设异面直线EF与B1D1所成的角θ，
则cosθ
，
∴θ＝60°.
故答案为：60°.
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF与B1D1所成的角.
16.答案：
解：取圆柱下底面弧
的另一中点
，连接
，
则因为C是圆柱下底面弧
的中点，
所以
，
所以直线
与
所成角等于异面直线
与
所成角.
因为
是圆柱上底面弧
的中点，
所以
圆柱下底面，所以
.
因为圆柱的轴截面
是正方形，
所以
，
所以直线
与
所成角的正切值为
.
所以异面直线
与
所成角的正切值为
.
故答案为:
.
【分析】取圆柱下底面弧
的另一中点
，连接
,直线
与
所成角等于异面直线
与
所成角,利用圆柱的轴截面
是正方形,
,从而可得结论.
三、解答题
17.答案：
（1）解：
；
；
；
；
示意图如下：
（2）解：如图，
直线IL即为所求.
【分析】（1）根据题意，作出示意图即可；（2）根据题意，作出示意图即可.
18.答案：
（1）解：如图．
∵EF是
的中位线，
．
在正方体
中，
，
．
∴EF确定一个平面，即D，B，F，E四点共面
（2）解：正方体
中，设
确定的平面为
，又设平面BDEF为
．
，∴
．又
，∴
则Q是
与
的公共点，∴
又
，∴
∴
，且
，则
．
故
三点共线
【分析】（1）利用平行，共面判定定理，即可得出答案。（2）利用平面与平面交线性质，判断点R也在PQ上，即可得出答案。
19.答案：
证明：∵点
，
，
，
分别为所在棱的中点，连接
，
，
∴
是
的中位线，∴
.∵
，且
，
∴四边形
是平行四边形.
∴
，∴
.
∴
，
，
，
四点共面.
∵
，故
与
必相交.设
.
∵
，
平面
，∴
平面
.
同理可证
平面
.∴点
在交线
上，即
，
，
三线共点.
【分析】
根据题意，先证明，
，
，
四点共面，再设
，平面
，平面
，得到点
在交线
上，即可证明三线共点.
20.答案：
（1）解：取
的中点
∵E、F、I分别是正方形
中
、
、
的中点，
∴
∴在平面
中，延长
与
必交于C右侧一点P，且
同理，在平面
中，延长
与
必交于C右侧一点Q，且
∴P与Q重合，
进而，直线
与
相交；
方法二：∵在正方体
中，E、H分别是
、
的中点，
∴
，∴
是平行四边形，∴
，
又∵F、G分别是
、
的中点，∴
，
∴
，
，
∴
、
是梯形
的两腰，
∴直线
与
相交；
（2）解：∵在正方体
中，
，
∴
是平行四边形，∴
，
又∵E、F分别是
、
的中点，
∴
，∴
，
∴
与
所成的角即为
与
所成的角，
（或：
与
所成的角即为
及其补角中的较小角）①
又∵在正方体
中，
为等边三角形，
∴
②
∴由①②得直线
与
所成的角为
.
【分析】(1)
延长
与
必交于C右侧一点P，延长
与
必交于C右侧一点Q，证明P与Q重合，从而得到答案.(2)由
，可得
，则
与
所成的角即为
与
所成的角，然后在三角形中求解.
21.答案：
（1）证明：
在
中,由
、
为
、
中点得:
为中位线,
∥
又
底面为矩形,
∥
,
∥
，
由平行线确定唯一平面得
、
、
、
在同一平面上
（2）解：以
为原点建立坐标系,
其中
、
、
分别为
、
、
轴,
如图:
可得
,
,
,
,
,
故:
异面直线
与
夹角:
.
【分析】（1）因为在
中,由
、
为
、
中点得:
为中位线,可得
∥
,结合底面为矩形,即可求得答案;（2）以
为原点建立坐标系,其中
、
、
分别为
、
、
轴,求得
和
,
,即可求得答案.
22.答案：
（1）解：设
的中点分别为
，连接
，
在
中，
为中点，则
，
同理
，而
，故
，
所以四边形
为平行四边形，从而
，
故
或其补角为异面直线
与
所成角，
设四棱锥的棱长为
，则
，
，
，
故
，
故异面直线
与
所成角的余弦值为
.
（2）解：如图，连接
，
，
，
在
中，
为中点，则
，
在正方体
中，因为
，
所以四边形
为平行四边形，
，
故
或其补角为异面直线
与
所成角，
又
，故
.
故异面直线
与
所成角的余弦值为
.
【分析】（1）先作辅助线，可证
，得到
或其补角为异面直线
与
所成角，
再利用余弦定理列式，即可求出异面直线
与
所成角的余弦值；
（2）先作辅助线，可证，得到
或其补角为异面直线
与
所成角，
再利用余弦定理列式，即可求出异面直线
与
所成角的余弦值.
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