2.3直线、平面垂直的判定及其性质 同步练习（含解析）

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人教新课标A版
必修二
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
一、单选题
1.已知直线
平面
，直线
，则（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.?异面???????????????????????????D.?相交而不垂直
2.已知三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有（?
）
A.?平面ABC⊥平面ADC??????????????????????????????????????????B.?平面ADC⊥平面BCD
C.?平面ABC⊥平面BDC???????????????????????????????????????????D.?平面ABC⊥平面ADB
3.如图，在以下四个正方体中，使得直线
与平面
垂直的个数是(???
)
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?4
4.如图，四棱锥
的底面为正方形，
，则下列结论中不正确的是（???
）
A.???????????????B.????????????????C.?平面
平面
????????????????D.?
5.已知三棱锥
中,若PA,PB,PC两两互相垂直,作
面ABC,垂足为O，则点O是
的（???
）
A.?外心?????????????????????????????????????B.?内心?????????????????????????????????????C.?重心?????????????????????????????????????D.?垂心
6.如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，
平面ABC，则四面体
的四个面中，直角三角形的个数有（???
）
A.?4个???????????????????????????????????????B.?3个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?1个
7.已知
是两条不同的直线，
是三个不同的平面，下列命题中：
①若
，且
∥
，则
∥
；
②若
相交，且都在
外，
，
∥
，
，
∥
，则
∥
；
③若
，
，
，
，则
；
④若
，
，
，
，则
.
其中正确命题的序号是（???
）
A.?①②③?????????????????????????????????B.?①③?????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????D.?①②③④
8.如图所示，在正方形
中，
分别是
的中点，现在沿
把这个正方形折成一个四面体，使
三点重合，重合后的点记为
.给出下列关系：
①
平面
；②
平面
；③
；④
上平面
.
其中关系成立的有（???
）
A.?①②?????????????????????????????????????B.?①③?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?③④
9.如图，
为圆
的直径，
，
垂直于圆
所在的平面，
为圆周上不与点
、
重合的点，
于
，
于
，则下列不正确的是（?
）
A.?平面
平面
???????????????????????????????????B.?平面
平面
C.?平面
平面
????????????????????????????????????D.?平面
平面
10.如图，在正方形
中，
分别是
的中点，
是
的中点.现在沿
及
把这个正方形折成一个空间图形，使
三点重合，重合后的点记为
，下列说法：
①
平面
；②
平面
；
③
平面
；④
平面
.
其中正确的有（???
）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
11.如图，已知
是顶角为
的等腰三角形，且
，点
是
的中点.将
沿
折起，使得
，则此时直线
与平面
所成角的正弦值为（?
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
12.正四面体
的棱
与平面
所成角为
，其中
，点
在平面
内，则当四面体
转动时（???
）
A.?存在某个位置使得
，也存在某个位置使得
B.?存在某个位置使得
，但不存在某个位置使得
C.?不存在某个位置使得
，但存在某个位置使得
D.?既不存在某个位置使得
，也不存在某个位置使得
二、填空题
13.如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，则图形中有________个直角三角形．
14.如图所示，四棱锥
的底面
是边长为
的正方形，侧棱
，
，则它的5个面中，互相垂直的面有________对.
15.如图甲所示，在直角
中，
，
是垂足，则有
，该结论称为射影定理.如图乙所示，在三棱锥
中，
平面
，
平面
，
为垂足，且
在
内，类比直角三角形中的射影定理，则有________．
??
16.如图，在棱长为1的正方体
中，点E、F是棱
、
的中点，P是底面
上（含边界）一动点，满足
，则线段
长度的最小值为________.
三、解答题
17.如图所示，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，
求证：平面PAC⊥平面PBC．
18.如图长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=
AD，E，F分别为棱AB，A1D1的中点
（1）求证:平面EFC⊥平面BB1D;
（2）请在答题卡图形中画出直线DB1与平面EFC的交点O(保留必要的辅助线)，写出画法并计算
的值(不必写出计算过程)
19.图1是由矩形ADEB、
ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°.将其沿AB
，
BC折起使得BE与BF重合，连结DG
，
如图2.
（1）证明图2中的A
，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的四边形ACGD的面积.
20.如图，正方形
所在的平面与
所在的平面相交于
，
?⊥平面
，且
．
（1）求证：
⊥平面
；
（2）求
到正方形
所在平面的距离．
21.如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋
，过A作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.
（1）求证：BC⊥面CDE;
（2）在线段AE上是否存在一点R，使得面BDR⊥面DCB，若存在，求出点R的位置；若不存在，请说明理由.
22.如图，已知正方体
的棱长为1，点
是棱
上的动点，
是棱
上一点，
.
（1）求证：
；
（2）若直线
平面
，试确定点
的位置，并证明你的结论；
（3）设点
在正方体的上底面
上运动，求总能使
与
垂直的点
所形成的轨迹的长度.（直接写出答案）
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
A
解：根据线面垂直的定义，若直线与平面垂直，
则直线垂直与该平面内的任意一条直线，因此
，
故答案为：A
【分析】根据线面垂直的定义，即可得出结果.
2.答案：
B
解：画出图象如下图所示，
由于
，所以
平面
，
而
平面
，所以平面
平面
.
故答案为：B.
【分析】作出图形，结合面面垂直的判定定理即可说明平面
平面
.
3.答案：
B
解：①因为
是正三角形，所以AB与AC的夹角为
，又因为
，所以AB与ED的夹角为
，故错误；
②因为正方形对角线相互垂直，由，
，
则平面
，故正确；
③由①知AB与CE的夹角为
，故错误；
④因为
，所以
平面
，则
，
同理
，又
，所以
平面
，故正确.
故答案为：B
【分析】①根据
是正三角形，利用异面直线所成的角结合线面垂直的定义判断；②根据正方形对角线相互垂直，利用线面垂直的判定定理判断；③根据AB与CE的夹角为
，再由线面垂直的定义判断；④易知
平面
，得到
，同理
，再利用线面垂直的判定定理判断.
4.答案：
D
解：
，
在平面
的射影
与
垂直，
则
，A符合题意；
在平面
的射影
与
垂直，则
，B符合题意；
利用上述垂直可得
平面
，从而有平面
平面
，C符合题意；
若
，则
垂直
在平面
内的射影
，这是不可能的，D不符合题意．
故答案为：D．
【分析】由底面正方形及
，确定线线间的垂直关系，判断各个结论的正确性．
5.答案：
D
解：因为PA,PB,PC两两互相垂直,所以由线面垂直的判定定理可知：
平面
,
而
平面
,因此
,又因为
面ABC,
平面
,所以
,又
平面
,所以
平面
,
平面
,所以
,同理
,故点O是
的垂心.
故答案为：D
【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理可以判断出则点O是
垂心.
6.答案：
A
解：∵AB是圆O的直径
∴∠ACB＝90°即BC⊥AC，三角形ABC是直角三角形
又∵PA⊥圆O所在平面，
∴△PAC，△PAB是直角三角形．
且BC在这个平面内，
∴PA⊥BC
因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，
∴BC⊥平面PAC，
∴△PBC是直角三角形．
从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是：4．
故答案为：A．
【分析】由题意得出三角形ABC是直角三角形，根据线面垂直的性质定理得出PA垂直于AC，BC，从而得出两个直角三角形，又可证明BC垂直于平面PAC，从而得出三角形PBC也是直角三角形，从而问题解决．
7.答案：
C
解：①错误，三个平面可以两两相交且交线互相平行;
④错误,
相交时结论才成立，通过排除可知②③正确.
故选:C.
【分析】由线面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理,面面垂直的性质定理对命题依次判断即可得出结论.
8.答案：
B
解：由
，得
平面
，排除C，D；
若
平面
，则
，这与
矛盾，排除A，
故答案为：B.
【分析】先由线面垂直的判定定理得到
平面
，排除C、D，再假设
平面
，根据题意推出矛盾，排除A，即可得出结果.
9.答案：
B
解：平面
平面
?
?
?
?
?
，
∴A符合题意，C、D显然正确.
故答案为：B.
【分析】利用几何图形的结构特征结合已知条件，用面面垂直的判定定理，用线线垂直证出线面垂直，再用线面垂直证出面面垂直。
10.答案：
B
解：因为
，
所以
平面
，
平面
.②③正确
，所以
为锐角，所以
不垂直于
，所以
不垂直于平面
，
同理
不垂直于
，所以
不垂直于平面
.①④错误.
故②③正确，①④错误.
故答案为：
【分析】根据条件依次判断每个选项的正误，判断得到答案.
11.答案：
A
解：作
，垂足为
，连接
，
???
平面
平面
???
又
???
平面
???
即为
与平面
所成角
由题意可知：
，
设
中，
边上高为
，则
，解得：
本题正确结果；
【分析】作
，垂足为
，利用线面垂直判定定理可知
平面
，得到
，又
，利用线面垂直判定定理得
平面
，可知
即为
与平面
所成角；根据已知中的长度关系可求解出
，从而得到所求正弦值.
12.答案：
B
解：当正四面体过点
的高与平面
垂直时，平面
平面
，所以
平面
；
若
平面
，因为正四面体中
，所以
平面
，或
平面
，
此时
与平面
所成角为0，与条件矛盾，所以
不可能垂直平面
；
故答案为：B
【分析】利用线面垂直的判定定理结合已知条件找出说法正确的命题。
二、填空题
13.答案：
4
解：∵
是直角三角形，
，
平面
，
∴
，
，
∵
，∴
平面
，
∴图中直角三角形有
（
是直角
），
（
是直角），
（
是直角），
（
是直角），
∴图中直角三角形有4个，
故答案为4.
【分析】利用线面垂直的定义结合直角三角形的定义和结构特征找出图形中的直角三角形的个数。
14.答案：
5
解：由勾股定理逆定理得PA⊥AD
，
PA⊥AB
，
∴PA⊥面ABCD
，
PA⊥CD
，
PA⊥CB.
由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论．
平面PAB⊥平面PAD
，
平面PAB⊥平面ABCD
，
平面PAB⊥平面PBC
，
平面PAD⊥平面ABCD
，
平面PAD⊥平面PCD.
答案：5.
【分析】根据面面垂直的判定定理，证明线面垂直，逐一判断即可.
15.答案：
解：结论：
，证明如下：
在△BCD内，延长DO交BC于E
，
连接AE
，
∵AD⊥平面ABC
，
BC?平面ABC
，
∴BC⊥AD
，
同理可得：BC⊥AO，
∵AD、AO是平面AOD内的相交直线，∴BC⊥平面AOD
∵AE、DE?平面AOD∴AE⊥BC且DE⊥BC
∵△AED中，EA⊥AD
，
AO⊥DE，
∴根据题中的已知结论,得AE2=EO?ED，
两边都乘以
得
∵AE、EO、ED分别是△ABC、△BCO、△BCD的边BC的高线，
∴
，
∴有
故答案为：
.
【分析】根据题意作出辅助线，由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直再由线面垂直的判定定理即可得出BC⊥平面AOD，利用解三角形的知识以及三角形的面积计算出结果即可。
16.答案：
解：如图所示：
连接
，
，易知
，
，故
，
，故
平面
，故
，
，
故
平面
，故
在线段
上，
故线段
长度的最小值为
.
故答案为：
.
【分析】如图连接
，
，故
平面
，故
在线段
上，计算得到答案.
三、解答题
17.答案：
解：设⊙O所在的平面为α，由已知条件得PA⊥α，BC?α，
所以PA⊥BC，因为C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是⊙O的直径，
所以BC⊥AC，又PA∩AC＝A，BC⊥平面PAC，又BC?平面PBC，
所以，平面PAC⊥平面PBC.
【分析】先由已知得到
PA⊥α，BC?α，
可证
PA⊥BC
，再由
AB是⊙O的直径，可证
BC⊥AC，
利用直线与平面垂直的判定定理，可证BC⊥平面PAC，进而证明平面PAC⊥平面PBC.
18.答案：
（1）证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
AB=??AD，E，F分别为棱AB，A1D1的中点，
∴平面，∴，
在中，
，
在中，
，
∴，
∵在中，
∴，∴
∵，∴平面
∵平面
∴平面平面；
（2）在平面内过点M作的平行线，连接交于点，
则.
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理，通过平面得出，
再根据得出进而得出得出进而证出平面，
最后证得平面平面。（2）利用面面垂直的性质定理即可画出。
19.答案：
（1）解：由已知得AD
BE
，
CG
BE
，
所以AD
CG
，
故AD
，
CG确定一个平面，
从而A
，
C
，
G
，
D四点共面．
由已知得AB
BE
，
AB
BC
，
故AB
平面BCGE
．
又因为AB
平面ABC
，
所以平面ABC
平面BCGE
．
（2）取CG的中点M
，
连结EM
，
DM.
因为AB//DE
，
AB
平面BCGE，
所以DE
平面BCGE
，
故DE
CG.
由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60°得EM
CG
，
故CG
平面DEM，因此DM
CG.
在
DEM中，DE=1，EM=
，故DM=2.
所以四边形ACGD的面积为4.
【分析】（1）由已知可证AD
CG
，
得到AD
，
CG确定一个平面，即可证明结论；（2）先作辅助线，可证DE
平面BCGE
，
得DE
CG
，
又可证CG
平面DEM
，
得DM
CG
，
利用勾股定理得到DM=2，即可求出四边形ACGD的面积.
20.答案：
（1）解：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE,∴AE⊥CD，
又∵ABCD为正方形∴AD⊥CD，
∵AE∩AD=A，CD⊥平面ADE,
又∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE...
（2）由（1）得，AB⊥平面ADE，
又∵AB?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE
过E作EO⊥AD于O，则EO⊥平面ABCD.
在Rt△ADE中，AE=3，AD=6,可得DE=
,
∴
即点E到正方形ABCD所在平面的距离为
【分析】（1）要证明线面垂直，需要证明线线垂直，根据平面，
得，
结合可得平面，
再由，
可得平面；（2）过作于，
根据面面垂直的性质，得平面，
长即为到正方形所在平面的距离．结合已知条件，在中，求出斜边上上的高，即可求得的长。
21.答案：
（1）解：由已知，
,
且，
面
．
，又
，
面
；
（2）解：分析可知，
点满足
时，面
面
．
理由如下：取
中点
，连接
、
、
、
、
容易计算
，
在
中，
，
由平行四边形性质得
,
所以
可知
，
在
中，
，
．
又在
中，
，
为
中点
，
因为
面
，因为
,
面
面
．
【分析】（1）利用折叠的方法结合直角梯形的结构特征，用线线垂直证出线面垂直。
（2）利用面面垂直的性质定理结合空间向量的方法求出在线段AE上存在一点R，且点
满足
，
使得面BDR⊥面DCB。
22.答案：
（1）证明：连结
，
是正方形，所以
，
在正方体
中，
平面
，
所以
，
又
，
所以
平面
，
因为
平面
，
所以
（2）解：当
时，直线
平面
，
证明如下：
过点
在平面
作
交
于点
，
连结
，交
于点
，
因为
，所以
，
在
与
中，
，
，
所以
，
，
又
，
所以
，
所以
，
，
在正方体
中，
面
，
所以
面
，
所以
，
又
，
所以
面
，
所以
，
又
，
，
所以直线
平面
（3）解：
【分析】（1）先用线面垂直的判定定理证得
B1D1⊥
平面
A1C1C，再由线面垂直性质定理得到答案。
（2）过点
F
在平面
BCC1B1作
F
G
/
/
BC，由全等三角形的判定得到
ΔA1B1G
?
Δ
B1BE，由角之间的计算得到A1G
⊥
B1E
，最后由线面垂直的判定定理证得答案。
（3）简单计算直接得到答案。
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