2020年复旦大学自主招生试题
1、抛物线y2=2p,过焦点F作直线交抛物线于A、B两点,满足AF=3FB,过A作抛物线准线的垂线,垂
足记为A,准线交x轴于点C,若S4=123,则p=
解析:由题意知F(201,设4B:x=my+2(m>0)
2
px
联立得
→y2-2py-p2=0
X=mv+
B
由韦达定理可得:y4+yg=2pm,y4:yg=-P
2yB=2pm
因为AF=3FB,所以y4=-31g→
→m
2
y
P
P
所以SCz4
Aa+CF
1、p+2p.J31
3
p2=123
2
2、已知实数x,y满足x2+2xy=1,求x2+y2的最小值
解析:x2+2xy-1=0→y
/5
则x2+y2=5x2+
当且仅当5r21
2→x2=时,等号成立
3、已知f(x)=asi2ax)+bco(2a)+cs4x)+dc4x),若f+x1+(x)=/(2x),则在abcd中
能确定的参数是
3
解析:令x=0→
d-b=0→d=b;令x
=0→-2d=0→b=d=0
4
/
+x=-asin
2
T+c
sin
4m,
f(2x)=asin
4,zx+csin
8
m
)+)22x=+如=()m2如m
则2c-a=2c=0→a=c=0,综上a=b=c=d=0
4、若三次方程x3+ax2+4x+5=0有一个根是纯虚数,则a=
46=bi
解析:设纯虚数根为b,则-b3i-ab2+4bi+5=0→
5=6a
10
5、已知展开式x2+-+y3+-中,常数项为
10
10-i
解析:x2++y3+=∑
0
10/+21
∑c∑
∑C
j,,4j+}-10
y
y
「3k-i=0
则有
4j+i-10=0
、10③i=0.3.69
当i=0→j=2.52;当i=3→j=EZ;当i=9→j=gZ
当i=6→k=2,j=2符合题意,则常数项为C6-C2·C2=12600
n1×42×5
n1(n+3
解析:~1
11
n(n+3)3\nn+3
所以,++…+
+-+…
1×4
2×5
n(n+3
n-1n+2nn+1
1+
n+1n+2n+3
所以lin/1
…+
lim
1+-+
n州1×42×5
n(n+3)3
n→0
23n+1n+2n+3)18
7、点(4,5)绕点(1)顺时针旋转60°,所得的点的坐标为
解析:直线AB的斜率为k5-14
4-13
y
B(,5)
k
由夹角公式得tam60°、k-hc3NAC=√3,所以kc
25√3-48
1+kaBkac
1+kac
4
392020年复旦大学自主招生试题
1.抛物线y2=2px,过焦点F作直线交抛物线于A、B两点,满足AF=3FB,
过A作抛物线准线的垂线,垂足记为A,O为顶点,若S=123,求p.
1.抛物线y2=2D,过焦点F作直线交抛物线于A,B两点,满足AF=3FB
过A作抛物线准线的垂线,垂足记为A’,淮线交x轴于C点若S=123
求p
2.已知实数xy,满足x2+2y=1,求x2+y2最小值
3.已知f(x)=asin(2x)+bcos(2mx)+csin(4x)+dco(4x),若
+
+f(x)=f(2x),则在a,b,C,d中能确定的参数是
4.若三次方程x3+ax2+4x+5=0有一个根是纯虚数,则a=
5.展开式|x2++y3+中,常数项为
x
y
6.m
1×42×5n(n+3)
7.点(45)绕点(1)顺时针旋转60°,所得的点的坐标为
8.方程5cos0=40+3pc0s20所表示的曲线形状是
3兀
r+cosx+
2a=0
9.设x,y∈
兀兀
若
则cos(x+2y)
4y+sin
y
cos
y
+a=0
10.实数x,y满足x2+y2=1若kx+2y-d++6-x-2y的值与x,y无关,
则a的范围是
1.在△ABC中,cos∠BAC=,若O为内心,且满足AO=xAB+yAC,则
x+y的最大值为
12.已知直线m:y=
r
cos
a和m:3x+y=c,则()
A.m和n可能重合
B.m和n不可能垂直
C.存在直线m上一点P,以P为中心旋转后与m重合
D.以上都不对
13.抛物线3y2=x的焦点为F,A在抛物线上,A点处的切线与AF夹角为30°
则A点的横坐标为
14.已知P为直线
14=0上一点,且P点到4(25)和B(43)的距离相
同,则P点坐标为
15.已知xye{1,2,345,6,78,9}且y≠x,联结原点O和A(x,y),B(y,x)两
点,则∠AOB=2
arctan的概率为
4+32
16.
arcsin
t
arcsin
-=
8
4
17.已知三棱锥P-ABC的体积为10.5,且AB=6,AC=BC=4,AP=BP=10
则CP长度为
18.在△ABC中,AB=9,BC=6,CA=7,则BC边上中线长度为
19若∫(x)=x2-1.则f((x)的图像大致为
20.定义f(x)=
M⑧N={xlJr(x)x(x)=-1},已知
1,x∈M
A={x0),则A8B=
