人教版八年级数学上册：11.2.2三角形的外角 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
第十一章
三角形
11.2.2
三角形的外角
【学习目标】
1．掌握三角形外角的概念；
2．掌握三角形的外角的性质；
3．能利用三角形的外角性质解决实际问题。
【课前预习】
1．如图，直线，，是截线且交于点，若，，则（）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
2．小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则等于　　
A．150°
B．180°
C．210°
D．270°
3．如图，∠AOB是一钢架，∠AOB＝15°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH…添的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管(
)根．
A．2
B．4
C．5
D．无数
4．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠
的度数是（
）
A．45°
B．60°
C．75°
D．90°
5．将一副直角三角尺如图放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是（
）
A．45°
B．50°
C．60°
D．75°
【课前预习】答案
1．B
2．C
3．B
4．B
5．D
2、在ABC中，
（1）∠C=90°，∠A=30
°
，则∠B=
；
（2）∠A=50
°
，∠B=∠C，则∠B=
.
1、三角形三个内角的和等于多少度？
3、在△ＡＢＣ中，
∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４则∠Ａ＝　
　，
∠Ｂ＝
，∠Ｃ＝
,　
40°
60°
80°
65°
60°
【学习探究】
复习回顾
三角形内角的和等于1800.
△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.
∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:
∠A=1800
–(∠B+∠C).
∠B=1800
–(∠A+∠C).
∠C=1800
–(∠A+∠B).
∠A+∠B=1800-∠C.
∠B+∠C=1800-∠A.
∠A+∠C=1800-∠B.
这里的结论,以后可以直接运用.
A
B
C
三角形的外角的概念
定义
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
A
B
C
D
(
∠ACD是△ABC的一个外角
画一画：画出△ABC的所有外角，请指出来有哪几个.
△ABC的6个外角有什么关系？（从位置关系和数量关系）
（
（
（
（
（
（
A
B
C
1
2
3
4
5
6
A
B
C
有6个，它们是∠1，
∠2，
∠3，
∠4，
∠5，
∠6.
∠1和∠4,
是对顶角，相等；
∠2和∠5,
是对顶角，相等；
∠3和∠6,
是对顶角，相等.
填一填：
（1）如图，在△ABC中，
∠A=70°,
∠B=60°,则∠ACD=
.
(2)任意一个三角形的外角与它不相邻的两个内角是否都有（1）中这种关系呢？
三角形的外角的性质
A
B
C
D
(
(
(
130
°
∠ACD=
∠A+
∠B.
A
B
C
D
E
看一看：
算一算：
若∠A＝
55?，∠B=60?,
试求∠
ACB,
∠ACD,
∠CAE
的度数．并说出你的理由．
图中哪些角是三角形的内角，
哪些角是三角形的外角？
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
115°
60°
65°
55°
125°
　
通过上题的计算，你发现∠ACD，
∠
CAE与三角形的内角之间有怎样的数量关系呢？请你试着用自己的语言说一说．
想一想：
三角形内角和定理的推论
A
B
C
D
(
(
(
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵
∠ACD是△ABC的一个外角
∴
∠ACD=
∠A+
∠B.
注意
三角形外角与内角的关系：
（1）位置关系：相邻和不相邻.
（2）数量关系：外角与相邻内角互补，
外角大于不相邻的任何一个内角.
练一练
说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
B
C
D
(
(
(
80
°
60
°
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50
°
32
°
(2)
∠1=40
°,
∠2=140
°
∠1=18
°,
∠2=130
°
三角形的外角和
如图，
∠BAE,
∠CBF,
∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE=
∠2+
∠3，
∠CBF=
∠1+
∠3,
∠ACD=
∠1+
∠2.
又知∠1+
∠2+
∠3=180
°，
所以∠BAE+
∠CBF+
∠ACD
=2(∠1+
∠2+
∠3)=360
°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法吗？
方法二：如图，∠BAE+∠1=180
°
①
，
∠CBF
+∠2=180
°
②，
∠ACD
+∠3=180
°
③，
又知∠1+
∠2+
∠3=180
°，
①+
②+
③得
∠BAE+
∠CBF+
∠ACD
+(∠1+
∠2+
∠3)=540
°，
所以∠BAE+
∠CBF+
∠ACD=540
°-180°=360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
三角形的外角和等于360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
∠BAE+
∠CBF+
∠ACD
=2(∠1+
∠2+
∠3)=360
°.
A
B
C
D
E
F
1
H
2
【例1】已知:国旗上的一个五角星如图所示.
求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
【解析】设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角和定理来求解.
【例题】
∴
∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).
∴
∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).
又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和等于180°)，
又∵
∠2是△EHC的一个外角(外角的定义),
∴
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=180°(等式的性质).
【解析】∵∠1是△BDF的一个外角(外角的定义),
例2
(一题多解）如图，计算∠BDC.
A
B
C
D
(
(
(
51
°
20
°
30
°
A
B
D
E
A
C
D
E
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
A
B
C
D
(
(
(
51
°
20
°
30
°
解：（解法一）连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，
∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51°
+20°+30°=101°.
E
)
)
1
2
)
3
)
4
A
B
C
D
(
(
(
51
°
20
°
30
°
E
)
1
（解法二）延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC
=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51°
+20°+30°=101°.
（解法三）连接延长CD交AB于点F.（解题过程同解法二）
)
2
A
B
C
D
(
(
(
1
3
2
(
重要发现
∠BDC=
∠1+
∠2+
∠3.
例3:如图，D是△ABC的BC边上一点，
∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°,∠BAC=70°.
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.
问：（1）中为什么∠ADC＝∠B+∠BAD？
（2）中求∠C的度数还有其他方法吗？
A
B
C
D
80°
70°
40?
40?
⌒
【课后练习】
1．已知△ABC的外角∠CBE，∠BCF的角平分线BP，CP交于P点，则∠BPC是（?
）
A．钝角
B．锐角
C．直角
D．无法确定
2．下列叙述正确的是
A．三角形的外角等于两个内角的和
B．三角形的外角大于内角
C．三角形任何两个内角的和都等于第三个角的外角
D．三角形每一个内角都只有一个外角
3．若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是(
)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．都有可能
4．下列说法正确的是(
)
A．三角形的每一个外角都大于和它相邻的一个内角
B．三角形的一个外角可以等于和它相邻的一个内角
C．三角形的外角和等于180°
D．三角形中至少有一个外角小于和它相邻的内角
5．三角形的一个外角，不大于和它相邻的内角，这个三角形一定是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．非锐角三角形
【课后练习】答案
1．B
2．C
3．B
4．B
5．D
6．B
7．D
8．B
9．A
10．D
11．30°
12．135°
13．75°
14．110°.
15．140°．