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2020年秋人教版
九上数学
同步课时训练（含小专题+
章末复习）
第二十一章 一元二次方程
21．2 解一元二次方程
数
学
21．2.2 公式法
第1课时 一元二次方程的根的判别式
01
基础题
A
B
B
>1
＝1
<1
C
A
D
C
02
中档题
B
D
B
0
03
综合题
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212.2第
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的判别式
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X
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人教九上数学同步课时训练
第21章
21．2.2第1课时 一元二次方程的根的判别式
基础题
知识点1 利用根的判别式判别一元二次方程根的情况
1．(滨州中考)一元二次方程x2－2x＝0根的判别式的值为(A)
A．4
B．2
C．0
D．－4
2．(铜仁中考)一元二次方程4x2－2x－1＝0的根的情况为(B)
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
3．下列一元二次方程没有实数根的是(B)
A．x2＋2x＋1＝0
B．x2＋x＋2＝0
C．x2－1＝0
D．x2－2x－1＝0
4．(教材P17习题T4变式)不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：
(1)9x2＋6x＋1＝0；
解：∵a＝9，b＝6，c＝1，
∴Δ＝b2－4ac＝36－4×9×1＝0.
∴此方程有两个相等的实数根．
(2)16x2＋8x＝－3；
解：化为一般形式为16x2＋8x＋3＝0.
∵a＝16，b＝8，c＝3，
∴Δ＝b2－4ac＝64－4×16×3＝－128<0.
∴此方程没有实数根．
(3)3(x2－1)－5x＝0.
解：化为一般形式为3x2－5x－3＝0.
∵a＝3，b＝－5，c＝－3，
∴Δ＝(－5)2－4×3×(－3)＝25＋36＝61＞0.
∴此方程有两个不相等的实数根．
知识点2 利用根的判别式确定字母的取值或范围
5．关于x的方程x2＋2x－(m－2)＝0的根的判别式Δ＝4m－4，若方程有两个不相等的实数根，则m>1；若方程有两个相等的实数根，则m＝1；若方程没有实数根，则m<1．
6．若方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根，则k的值是(C)
A．－2
B．2
C．±2
D.
7．已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为(A)
A．k＞－
B．k＞4
C．k＜－1
D．k＜4
8．若关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根，则a的值可以是(D)
A．2
B．1
C．0.5
D．0.25
易错点1 用一元二次方程根的判别式时忽略二次项系数不为0
9．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，求k的最小整数值．
解：因为原方程有两个不相等的实数根，
所以Δ>0，即(－2)2－4k·(－1)>0，
解得k>－1.
所以k的最小整数值是0.
以上解答是否正确？若不正确，请指出错误并给出正确答案．
解：不正确．
错误原因：∵当k＝0时，原方程不是一元二次方程，
∴k≠0.
∴k的最小整数值为1.
易错点2 未对方程进行分类讨论导致漏解
10．(营口中考)若关于x的方程kx2－x－＝0有实数根，则实数k的取值范围是(C)
A．k＝0
B．k≥－且k≠0
C．k≥－
D．k＞－
中档题
11．(咸宁中考)已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(B)
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
12．(菏泽中考)若关于x的一元二次方程(k＋1)x2－2x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是(D)
A．k≥0
B．k≤0
C．k＜0且k≠－1
D．k≤0且k≠－1
13．【数形结合思想】若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是(B)
14．已知关于x的方程x2＋(1－m)x＋＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是0．
15．【易错】若|b－1|＋＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是k≤4且k≠0．
16．已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
解：(1)∵1为原方程的一个根，
∴1＋a＋a－2＝0.
∴a＝.
将a＝代入方程，得x2＋x－＝0.
解得x1＝1，x2＝－.
∴a的值为，方程的另一个根为－.
(2)证明：∵在x2＋ax＋a－2＝0中，
Δ＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4>0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
综合题
17．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：(1)△ABC是等腰三角形．
理由：∵x＝－1是方程的根，
∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0.
∴a＋c－2b＋a－c＝0.
∴2a－2b＝0.
∴a＝b.
∴△ABC是等腰三角形．
(2)△ABC是直角三角形．
理由：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0.
∴4b2－4a2＋4c2＝0.
∴a2＝b2＋c2.
∴△ABC是直角三角形．
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21．2.2 公式法
第1课时 一元二次方程的根的判别式
基础题
知识点1 利用根的判别式判别一元二次方程根的情况
1．(滨州中考)一元二次方程x2－2x＝0根的判别式的值为(A)
A．4
B．2
C．0
D．－4
2．(铜仁中考)一元二次方程4x2－2x－1＝0的根的情况为(B)
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
3．下列一元二次方程没有实数根的是(B)
A．x2＋2x＋1＝0
B．x2＋x＋2＝0
C．x2－1＝0
D．x2－2x－1＝0
4．(教材P17习题T4变式)不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：
(1)9x2＋6x＋1＝0；
解：∵a＝9，b＝6，c＝1，
∴Δ＝b2－4ac＝36－4×9×1＝0.
∴此方程有两个相等的实数根．
(2)16x2＋8x＝－3；
解：化为一般形式为16x2＋8x＋3＝0.
∵a＝16，b＝8，c＝3，
∴Δ＝b2－4ac＝64－4×16×3＝－128<0.
∴此方程没有实数根．
(3)3(x2－1)－5x＝0.
解：化为一般形式为3x2－5x－3＝0.
∵a＝3，b＝－5，c＝－3，
∴Δ＝(－5)2－4×3×(－3)＝25＋36＝61＞0.
∴此方程有两个不相等的实数根．
知识点2 利用根的判别式确定字母的取值或范围
5．关于x的方程x2＋2x－(m－2)＝0的根的判别式Δ＝4m－4，若方程有两个不相等的实数根，则m>1；若方程有两个相等的实数根，则m＝1；若方程没有实数根，则m<1．
6．若方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根，则k的值是(C)
A．－2
B．2
C．±2
D.
7．已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为(A)
A．k＞－
B．k＞4
C．k＜－1
D．k＜4
8．若关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根，则a的值可以是(D)
A．2
B．1
C．0.5
D．0.25
易错点1 用一元二次方程根的判别式时忽略二次项系数不为0
9．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，求k的最小整数值．
解：因为原方程有两个不相等的实数根，
所以Δ>0，即(－2)2－4k·(－1)>0，
解得k>－1.
所以k的最小整数值是0.
以上解答是否正确？若不正确，请指出错误并给出正确答案．
解：不正确．
错误原因：∵当k＝0时，原方程不是一元二次方程，
∴k≠0.
∴k的最小整数值为1.
易错点2 未对方程进行分类讨论导致漏解
10．(营口中考)若关于x的方程kx2－x－＝0有实数根，则实数k的取值范围是(C)
A．k＝0
B．k≥－且k≠0
C．k≥－
D．k＞－
中档题
11．(咸宁中考)已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(B)
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
12．(菏泽中考)若关于x的一元二次方程(k＋1)x2－2x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是(D)
A．k≥0
B．k≤0
C．k＜0且k≠－1
D．k≤0且k≠－1
13．【数形结合思想】若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是(B)
14．已知关于x的方程x2＋(1－m)x＋＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是0．
15．【易错】若|b－1|＋＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是k≤4且k≠0．
16．已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
解：(1)∵1为原方程的一个根，
∴1＋a＋a－2＝0.
∴a＝.
将a＝代入方程，得x2＋x－＝0.
解得x1＝1，x2＝－.
∴a的值为，方程的另一个根为－.
(2)证明：∵在x2＋ax＋a－2＝0中，
Δ＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4>0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
综合题
17．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：(1)△ABC是等腰三角形．
理由：∵x＝－1是方程的根，
∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0.
∴a＋c－2b＋a－c＝0.
∴2a－2b＝0.
∴a＝b.
∴△ABC是等腰三角形．
(2)△ABC是直角三角形．
理由：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0.
∴4b2－4a2＋4c2＝0.
∴a2＝b2＋c2.
∴△ABC是直角三角形．
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