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人教九上数学同步课时训练
第21章
21.2.3 因式分解法
基础题
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
1．(桂林中考改编)一元二次方程(x－3)(x－2)＝0的解为(C)
A．x1＝－3，x2＝2
B．x1＝3，x2＝－2
C．x1＝3，x2＝2
D．x1＝－3，x2＝－2
2．用因式分解法解下列方程，正确的是(D)
A．x(x＋1)＝0，∴x＋1＝0
B．(x＋1)(x－2)＝1，∴x＋1＝1或x－2＝1
C．(x－1)(x－2)＝2×3，∴x－1＝2或x－2＝3
D．(x－2)(3x－4)＝0，∴x－2＝0或3x－4＝0
3．我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是(A)
A．转化思想
B．函数思想
C．数形结合思想
D．公理化思想
4．解方程：2x(x－1)＋x－1＝0.
解：因式分解，得(2x＋1)(x－1)＝0.
于是得2x＋1＝0，或x－1＝0，
∴x1＝－，x2＝1．
5．用因式分解法解下列方程：
(1)x2－9＝0；
解：(x＋3)(x－3)＝0，
∴x1＝－3，x2＝3.
(2)x2＋2x＝0；
解：x(x＋2)＝0，
∴x1＝0，x2＝－2.
(3)x2－5x＝0；
解：x(x－5)＝0，
∴x1＝0，x2＝5.
(4)(2＋x)2－9＝0.
解：(x＋5)(x－1)＝0，
∴x1＝－5，x2＝1.
知识点2 用适当的方法解一元二次方程
6．在下列各题的横线上填写适当的解法．
(1)解方程
(x－3)2＝4，用直接开平方法较适宜；
(2)解方程x2－6x＋4＝0，用配方法较适宜；
(3)解方程x2－4＝x＋2，用因式分解法较适宜．
7．用适当的方法解下列方程：
(1)2(x＋1)2＝4.5；
解：(x＋1)2＝2.25.
x＋1＝±1.5.
∴x1＝0.5，x2＝－2.5.
(2)x2＋4x－1＝0；
解：(x＋2)2＝5.
x＋2＝±.
∴x1＝－2＋，x2＝－2－.
(3)x2＝5x；
解：x2－5x＝0.
x(x－5)＝0.
x＝0或x－5＝0.
∴x1＝0，x2＝.
(4)4x2＋3x－2＝0.
解：a＝4，b＝3，c＝－2.
b2－4ac＝32－4×4×(－2)＝41>0.
∴x＝＝.
∴x1＝，x2＝.
易错点 等式的性质运用不当导致漏解
8．(扬州中考)一元二次方程x(x－2)＝x－2的根是x1＝2，x2＝1．
中档题
9．【易错】一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的周长是(B)
A．11
B．13
C．11或13
D．11和13
10．方程x2＝|x|的根是0，±1．
11．(十堰中考)对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝－3或4．
12．用因式分解法解下列方程：
(1)2(x－3)2＝x2－9；
解：2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，
(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0，
(x－3)(x－9)＝0，
解得x1＝3，x2＝9.
(2)(3x＋2)2－4x2＝0；
解：(3x＋2＋2x)(3x＋2－2x)＝0，
(5x＋2)(x＋2)＝0，
解得x1＝－，x2＝－2.
(3)5x(2x－3)＝10x－15.
解：5x(2x－3)＝5(2x－3)，
(5x－5)(2x－3)＝0，
解得x1＝1，x2＝.
13．【类比思想】(滨州中考)(1)根据要求，解答下列问题：
①方程x2－2x＋1＝0的解为x1＝x2＝1；
②方程x2－3x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝2；
③方程x2－4x＋3＝0的解为x1＝1，x2＝3；
…
(2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为x1＝1，x2＝8；
②关于x的方程x2－(1＋n)x＋n＝0的解为x1＝1，x2＝n；
(3)请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
解：由x2－9x＝－8，配方，得
(x－)2＝，即x－＝±，
所以x1＝1，x2＝8.
运用十字相乘法分解因式解一元二次方程
【注重阅读理解】阅读下列材料：
(1)将x2＋2x－35分解因式，我们可以按下面的方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项：
x2＝x·x，－35＝(－5)×(＋7)．
②交叉相乘，验中项：?7x－5x＝2x.
③横向写出两因式：x2＋2x－35＝(x＋7)(x－5)．
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．
(2)根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0.
试用上述方法和原理解下列方程：
(1)x2＋5x＋4＝0； (2)x2－6x－7＝0； (3)x2－6x＋8＝0； (4)2x2＋x－6＝0.
解：(x＋1)(x＋4)＝0，
x1＝－1，x2＝－4.
解：(x－7)(x＋1)＝0，,x1＝7，x2＝－1.
解：(x－2)(x－4)＝0，,x1＝2，x2＝4.
解：(2x－3)(x＋2)＝0，,x1＝，x2＝－2.
【变式应用1】 若分式的值为0，则x的值为－3．
【变式应用2】 已知x2－15xy＋50y2＝0(xy≠0)，则的值是5或10．
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21．2.3 因式分解法
基础题
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
1．(桂林中考改编)一元二次方程(x－3)(x－2)＝0的解为(C)
A．x1＝－3，x2＝2
B．x1＝3，x2＝－2
C．x1＝3，x2＝2
D．x1＝－3，x2＝－2
2．用因式分解法解下列方程，正确的是(D)
A．x(x＋1)＝0，∴x＋1＝0
B．(x＋1)(x－2)＝1，∴x＋1＝1或x－2＝1
C．(x－1)(x－2)＝2×3，∴x－1＝2或x－2＝3
D．(x－2)(3x－4)＝0，∴x－2＝0或3x－4＝0
3．我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是(A)
A．转化思想
B．函数思想
C．数形结合思想
D．公理化思想
4．解方程：2x(x－1)＋x－1＝0.
解：因式分解，得(2x＋1)(x－1)＝0.
于是得2x＋1＝0，或x－1＝0，
∴x1＝－，x2＝1．
5．用因式分解法解下列方程：
(1)x2－9＝0；
解：(x＋3)(x－3)＝0，
∴x1＝－3，x2＝3.
(2)x2＋2x＝0；
解：x(x＋2)＝0，
∴x1＝0，x2＝－2.
(3)x2－5x＝0；
解：x(x－5)＝0，
∴x1＝0，x2＝5.
(4)(2＋x)2－9＝0.
解：(x＋5)(x－1)＝0，
∴x1＝－5，x2＝1.
知识点2 用适当的方法解一元二次方程
6．在下列各题的横线上填写适当的解法．
(1)解方程
(x－3)2＝4，用直接开平方法较适宜；
(2)解方程x2－6x＋4＝0，用配方法较适宜；
(3)解方程x2－4＝x＋2，用因式分解法较适宜．
7．用适当的方法解下列方程：
(1)2(x＋1)2＝4.5；
解：(x＋1)2＝2.25.
x＋1＝±1.5.
∴x1＝0.5，x2＝－2.5.
(2)x2＋4x－1＝0；
解：(x＋2)2＝5.
x＋2＝±.
∴x1＝－2＋，x2＝－2－.
(3)x2＝5x；
解：x2－5x＝0.
x(x－5)＝0.
x＝0或x－5＝0.
∴x1＝0，x2＝.
(4)4x2＋3x－2＝0.
解：a＝4，b＝3，c＝－2.
b2－4ac＝32－4×4×(－2)＝41>0.
∴x＝＝.
∴x1＝，x2＝.
易错点 等式的性质运用不当导致漏解
8．(扬州中考)一元二次方程x(x－2)＝x－2的根是x1＝2，x2＝1．
中档题
9．【易错】一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的周长是(B)
A．11
B．13
C．11或13
D．11和13
10．方程x2＝|x|的根是0，±1．
11．(十堰中考)对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝－3或4．
12．用因式分解法解下列方程：
(1)2(x－3)2＝x2－9；
解：2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，
(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0，
(x－3)(x－9)＝0，
解得x1＝3，x2＝9.
(2)(3x＋2)2－4x2＝0；
解：(3x＋2＋2x)(3x＋2－2x)＝0，
(5x＋2)(x＋2)＝0，
解得x1＝－，x2＝－2.
(3)5x(2x－3)＝10x－15.
解：5x(2x－3)＝5(2x－3)，
(5x－5)(2x－3)＝0，
解得x1＝1，x2＝.
13．【类比思想】(滨州中考)(1)根据要求，解答下列问题：
①方程x2－2x＋1＝0的解为x1＝x2＝1；
②方程x2－3x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝2；
③方程x2－4x＋3＝0的解为x1＝1，x2＝3；
…
(2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为x1＝1，x2＝8；
②关于x的方程x2－(1＋n)x＋n＝0的解为x1＝1，x2＝n；
(3)请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
解：由x2－9x＝－8，配方，得
(x－)2＝，即x－＝±，
所以x1＝1，x2＝8.
运用十字相乘法分解因式解一元二次方程
【注重阅读理解】阅读下列材料：
(1)将x2＋2x－35分解因式，我们可以按下面的方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项：
x2＝x·x，－35＝(－5)×(＋7)．
②交叉相乘，验中项：?7x－5x＝2x.
③横向写出两因式：x2＋2x－35＝(x＋7)(x－5)．
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．
(2)根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0.
试用上述方法和原理解下列方程：
(1)x2＋5x＋4＝0； (2)x2－6x－7＝0； (3)x2－6x＋8＝0； (4)2x2＋x－6＝0.
解：(x＋1)(x＋4)＝0，
x1＝－1，x2＝－4.
解：(x－7)(x＋1)＝0，,x1＝7，x2＝－1.
解：(x－2)(x－4)＝0，,x1＝2，x2＝4.
解：(2x－3)(x＋2)＝0，,x1＝，x2＝－2.
【变式应用1】 若分式的值为0，则x的值为－3．
【变式应用2】 已知x2－15xy＋50y2＝0(xy≠0)，则的值是5或10．
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九上数学
同步课时训练（含小专题+
章末复习）
第二十一章 一元二次方程
21．2 解一元二次方程
21．2.3 因式分解法
数
学
01
基础题
C
D
A
1
直接开平方
配方
因式分解
02
中档题
B
－3
5或10
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