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人教九上数学同步课时训练
第21章
21.3第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
类型1 一般图形问题
1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，则长为(x＋10)米．根据题意，可列方程为x(x＋10)＝900．
2．(教材P21习题T3变式)若一个直角三角形的两条直角边相差5
cm，面积是7
cm2，则它的两条直角边长分别为(D)
A．2
cm和5
cm
B．2
cm和6
cm
C．3
cm和6
cm
D．2
cm和7
cm
3．如图，把小圆形场地的半径增加5
m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为(D)
A．5
m
B．(5＋)m
C．(5＋3)m
D．(5＋5)m
4．如图，矩形ABCD的周长是20
cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH.如果正方形ABEF和ADGH的面积之和是68
cm2，那么矩形ABCD的面积是(B)
A．21
cm2
B．16
cm2
C．24
cm2
D．9
cm2
5．(徐州中考)如图，有一块矩形硬纸板，长30
cm，宽20
cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200
cm2?
解：设剪去正方形的边长为x
cm，则做成无盖长方体盒子的底面长为(30－2x)cm，宽为(20－2x)cm，高为x
cm，
依题意，得2×[(30－2x)＋(20－2x)]x＝200.
解得x1＝，x2＝10.
当x＝10时，20－2x＝0，故x＝10不合题意，应舍去．
答：当剪去正方形的边长为
cm时，所得长方体盒子的侧面积为200
cm2.
类型2 边框与甬道问题
6．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1
m，另一边减少了2
m，剩余空地的面积为18
m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x
m，则可列方程为(C)
A．(x＋1)(x＋2)＝18
B．x2－3x＋16＝0
C．(x－1)(x－2)＝18
D．x2＋3x＋16＝0
7．(山西中考)如图，在一块长12
m，宽8
m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77
m2，设道路的宽为x
m，则根据题意，可列方程为(12－x)(8－x)＝77．
8．在一幅长50
cm，宽30
cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个矩形挂图的面积是1
800
cm2，设金色纸边的宽为x
cm，那么x满足的方程为x2＋40x－75＝0．
9．如图，在长为33米，宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分)，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为3米．
10．(南京中考)某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50
m，宽40
m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用为642
000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
解：设扩充后广场的长为3x
m，宽为2x
m，依题意，得
3x·2x·100＋30(3x·2x－50×40)＝642
000.
解得x1＝30，x2＝－30(舍去)．
所以3x＝90，2x＝60.
答：扩充后广场的长为90
m，宽为60
m.
类型3 围墙问题
11．如图，某农场计划利用一面墙(墙的长度不限)为一条边，另三边用总长58米的篱笆围成一个面积为200平方米的矩形场地．若设该矩形垂直于墙的边长为x米，则可列方程为(D)
A．x(58－x)＝200
B．x(29－x)＝200
C．x(29－2x)＝200
D．x(58－2x)＝200
12．如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33
m的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米(围栏宽忽略不计)．
(1)每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；
(2)每个生态园的面积不能(填“能”或“不能”)达到108平方米．
解：设每个生态园垂直于墙的边长为x米，
根据题意，得x(33＋1.5×2－3x)＝48×2.
解得x1＝4，x2＝8>6(不合题意，舍去)．
当x＝4时，33＋1.5×2－3x＝24，24÷2＝12.
答：每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米．
类型4 动点问题
13．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16
cm，AD＝6
cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3
cm/s的速度向点B移动，点Q以2
cm/s的速度向点D移动，当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动，问P，Q两点从出发经过1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10
cm.
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5
cm，BC＝7
cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1
cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2
cm/s的速度移动．
(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4
cm2?
(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5
cm?
(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7
cm2？说明理由．
解：(1)设x
s后，△PBQ的面积等于4
cm2.根据题意，得
·2x(5－x)＝4.
解得x1＝1，x2＝4.
∵当x＝4时，2x＝8>7，不合题意，舍去．
∴x＝1.
答：1
s后，△PBQ的面积等于4
cm2.
(2)设y
s后，PQ＝5
cm，则
(5－y)2＋(2y)2＝25.
解得y1＝0(舍去)，y2＝2.
答：2
s后，PQ的长度等于5
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2020年秋人教版
九上数学
同步课时训练（含小专题+
章末复习）
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
数
学
(x＋10)
x(x＋10)＝900
D
D
B
C
3米
D
不能
1.6或4.8
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213篪3曝
一元映方耀解映
几何图形间题
D
B
咖●·●●●
8
m
12m
50c
30
cm
33米
20米
原广场
扩充区域
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第21章
21．3第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
类型1 一般图形问题
1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，则长为(x＋10)米．根据题意，可列方程为x(x＋10)＝900．
2．(教材P21习题T3变式)若一个直角三角形的两条直角边相差5
cm，面积是7
cm2，则它的两条直角边长分别为(D)
A．2
cm和5
cm
B．2
cm和6
cm
C．3
cm和6
cm
D．2
cm和7
cm
3．如图，把小圆形场地的半径增加5
m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为(D)
A．5
m
B．(5＋)m
C．(5＋3)m
D．(5＋5)m
4．如图，矩形ABCD的周长是20
cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH.如果正方形ABEF和ADGH的面积之和是68
cm2，那么矩形ABCD的面积是(B)
A．21
cm2
B．16
cm2
C．24
cm2
D．9
cm2
5．(徐州中考)如图，有一块矩形硬纸板，长30
cm，宽20
cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200
cm2?
解：设剪去正方形的边长为x
cm，则做成无盖长方体盒子的底面长为(30－2x)cm，宽为(20－2x)cm，高为x
cm，
依题意，得2×[(30－2x)＋(20－2x)]x＝200.
解得x1＝，x2＝10.
当x＝10时，20－2x＝0，故x＝10不合题意，应舍去．
答：当剪去正方形的边长为
cm时，所得长方体盒子的侧面积为200
cm2.
类型2 边框与甬道问题
6．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1
m，另一边减少了2
m，剩余空地的面积为18
m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x
m，则可列方程为(C)
A．(x＋1)(x＋2)＝18
B．x2－3x＋16＝0
C．(x－1)(x－2)＝18
D．x2＋3x＋16＝0
7．(山西中考)如图，在一块长12
m，宽8
m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77
m2，设道路的宽为x
m，则根据题意，可列方程为(12－x)(8－x)＝77．
8．在一幅长50
cm，宽30
cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个矩形挂图的面积是1
800
cm2，设金色纸边的宽为x
cm，那么x满足的方程为x2＋40x－75＝0．
9．如图，在长为33米，宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分)，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为3米．
10．(南京中考)某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50
m，宽40
m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用为642
000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
解：设扩充后广场的长为3x
m，宽为2x
m，依题意，得
3x·2x·100＋30(3x·2x－50×40)＝642
000.
解得x1＝30，x2＝－30(舍去)．
所以3x＝90，2x＝60.
答：扩充后广场的长为90
m，宽为60
m.
类型3 围墙问题
11．如图，某农场计划利用一面墙(墙的长度不限)为一条边，另三边用总长58米的篱笆围成一个面积为200平方米的矩形场地．若设该矩形垂直于墙的边长为x米，则可列方程为(D)
A．x(58－x)＝200
B．x(29－x)＝200
C．x(29－2x)＝200
D．x(58－2x)＝200
12．如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33
m的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米(围栏宽忽略不计)．
(1)每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；
(2)每个生态园的面积不能(填“能”或“不能”)达到108平方米．
解：设每个生态园垂直于墙的边长为x米，
根据题意，得x(33＋1.5×2－3x)＝48×2.
解得x1＝4，x2＝8>6(不合题意，舍去)．
当x＝4时，33＋1.5×2－3x＝24，24÷2＝12.
答：每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米．
类型4 动点问题
13．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16
cm，AD＝6
cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3
cm/s的速度向点B移动，点Q以2
cm/s的速度向点D移动，当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动，问P，Q两点从出发经过1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10
cm.
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5
cm，BC＝7
cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1
cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2
cm/s的速度移动．
(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4
cm2?
(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5
cm?
(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7
cm2？说明理由．
解：(1)设x
s后，△PBQ的面积等于4
cm2.根据题意，得
·2x(5－x)＝4.
解得x1＝1，x2＝4.
∵当x＝4时，2x＝8>7，不合题意，舍去．
∴x＝1.
答：1
s后，△PBQ的面积等于4
cm2.
(2)设y
s后，PQ＝5
cm，则
(5－y)2＋(2y)2＝25.
解得y1＝0(舍去)，y2＝2.
答：2
s后，PQ的长度等于5
cm.
(3)△PBQ的面积不能等于7
cm2.理由：
假设a
s后，△PBQ的面积等于7
cm2.根据题意，得
·2a(5－a)＝7.
化简，得a2－5a＋7＝0.
∵Δ＝(－5)2－4×1×7＝－3＜0.
∴此方程无实数解．
∴△PBQ的面积不能等于7
cm2.
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精品试卷·第
2
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