(共22张PPT)
有两组对边分别平行的四边形
叫做
平行四边形
平行四边形的定义
平行四边形的性质：
平行四边形的对边平行
平行四边形的对边相等
平行四边形的对角相等
平行四边形的邻角互补
平行四边形的对角线互相平分
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD
AD=BC
∴AB∥CD
AD∥BC
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
判定
文字语言
图形语言
符号语言
定义
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
∵AB∥CD,
AD∥BC
∴…是平行四边形
定理１
两组对边分别相等的四边形是平等四边形
∵AB=CD,
AD=
BC
∴…是平行四边形
定理２
对角线互相平分的四边形是平行四边形
∵OA=OC,
OB=OD
∴…是平行四边形
推论
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
∵∠A=∠C,
∠B=∠D
∴…是平行四边形
一个角是
直角
两组对边
分别平行
矩形
6.3.1
矩形
有一个角是直角的平行四边形是矩形
一、矩形的定义：
生活中的实例
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
二、矩形的一般性质：
探究一:
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
A
B
C
D
已知：如图,四边形ABCD是矩形
求证：AC
=
BD
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC
=
∠DCB
=
90°
又∵AB
=
DC
，
BC
=
CB
∴△ABC≌△DCB
∴AC
=
BD
即矩形的对角线相等
求证:矩形的对角线相等
矩形的
两条对角线互相平分
矩形的两组对边分别平行
矩形的两组对边分别相等
矩形的四个角都是直角
矩形
的两条对角线相等
边
对角线
角
数学语言
∵四边形ABCD是矩形
∴AD
=
BC
，CD
=
AB
∴AD
∥BC
，CD
∥AB
∴AC=
BD
∴AO=
CO
，OD
=
OB
矩形的性质
O
A
B
C
D
公平,因为OA=OC=OB=OD
生活链接---投圈游戏
如图，在任意的矩形ABCD中，ＡＣ，ＢＤ相交于O，那么BO与AC有怎样的数量关关系？
Rt⊿ABC中，BO是一条什么线？
由此你能得到什么结论？
A
B
C
D
O
还能得到什么结论？
探究二：
直角三角形的性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
在Rt三角形ABC中
∵∠ABC=90°
BO是AC边的中线
A
B
C
O
例1:
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？
∴AC=BD，且OA=OC,OB=OD
∴
OA=OB
∵
∠AOB=60°
∴
△AOB是等边三角形
∴
OA=AB=4(㎝)
∴
矩形的对角线长
AC=BD=2OA=8(㎝)
解：∵
四边形ABCD是矩形
当堂检测
点击进入
1.矩形具有而一般平行四边形不
具有的性质是
(
)
B.对边相等
C
2.
如图，在矩形ABCD中，找出等腰三角形。
3.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900，
BD是斜边AC上的中线
(1)若BD=3㎝
则AC＝
㎝
(2)
若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝
㎝，
BD＝
㎝.
6
5
10
营中寻宝
本课小结
矩形的四个角都是直角.
※
矩形的性质定理1
矩形的对角线相等.
※
矩形的性质定理2
※
推
论
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
课后作业:
1．P
20
练习第1、2题
2．
P27
习题6.3
第1、2题
谢谢！(共42张PPT)
6.3.1矩形的判定
学习目标：
1.
理解并掌握矩形的判定方法；
2
会用矩形的判定定理进行有关的论证或计算；
知识回顾
从一般到特殊
边
角
对角线
矩形对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且平分；
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
直角三角形斜边上的中线性质
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
情境一：李同学用四步画出了一个四边形，她的画法是“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
猜想：
你能证明上述结论吗？
有三个角是直角的四边形是矩形
。
矩形的判定方法：
有三个角是直角的四边形是矩形
∵
∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
几何语言：
情境二：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
猜想：
对角线相等的平行四边形是矩形
。
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。
求证：四边形ABCD是矩形。
证明
∴
AB=CD,
(平行四边形对边相等）
∠ABC+∠DCB=180°
(平行四边形邻角互补）
∴
△ABC≌
△DCB（SSS）
∵
四边形ABCD是平行四边（已知）
∵
BC=CB
AC=BD
（已知）
∴
∠ABC=∠DCB（全等三角形对应边相等）
∴
∠ABC=90°（等式的性质）
∴四边形ABCD是矩形（矩形的定义）
你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？
定义判定：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。（方法一）
你还有其它的判定方法吗？
∠A=900
四边形ABCD是矩形
∵
∴
（已知）
（矩形的定义）
几何语言：
为了庆祝五一劳动节，八年级同学要在广场上布置一个矩形的花坛。计划用“串红”摆成两条对角线。如果一条对角线用了38盆“串红”，还
需要从花房运来多少盆“串红”？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？为什么？
一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟。一天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，完事之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形。
甲的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角，发现它们都是直角。所以我这个四边形门就是矩形”
乙的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线，发现它们的长度相等，所以我这个四边形门就是矩形”。
根据它们的对话，你能肯定谁的门一定是矩形。
谁正确？
你能归纳矩形的几种判定方法吗？
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形
。
(对角线平分且相等的四边形是矩形)
有三个角是直角的四边形是矩形
。
方法1：
方法2：
方法3：
例、已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、BC和AD、CD分别相交于点B、D．
（1）说说AB和CD、BC和AD的位置关系？。
（2）
∠ABC
、
∠BCD、
∠CDA、
∠DAB各等于多少度？
（3）你能判定四边形ABCD是矩吗？为什么？
（4）AC和BD有怎样的大小关系？为什么？
C
C
学以致用
1、下列四边形中不是矩形的是（
）
A、有三个角是直角的四边形是矩形
B、四个角都相等的四边形
C、一组对边平行且对角相等的四边形
D、对角线相等且互相平分的四边形
2、如果E、F、G、H是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH是矩形，那么四边形ABCD应具备的条件是（
）
A、一组对边平行而另一组对边不平行
B、对角线相等
C、对角线互相垂直
D、对角线相等互相平分
4、已知平行四边形ABCD的对角线
AC，BD交于点O，△AOB是等边三角形，
AB=4cm．
（1）平行四边形是矩形吗？说明你的理由．
（2）求这个平行四边形的面积
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形
。
有三个角是直角的四边形是矩形
。
方法1：
方法2：
方法3：
我的收获
迁移提高训练题
1.下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形;
X
X
X
X
2.如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC，
求证：四边形ABCD是矩形。
3.变式：平行四边形ABCD,E是CD的中点,
△ABE是等边三角形,
求证:四边形ABCD是矩形。
D
A
B
C
E
4.在平行四边形ABCD中,对角线AC
BD相交于O,EF过O,且AF⊥BC,
求证:四边形AFCE是矩形
A
B
C
D
O
F
E
5.
已知：矩形的对角线ABCD的对角线ＡＣ、ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别在ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ、ＯＤ上，且ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＧ＝ＤＨ。求证：四边形ＥＦＧＨ是矩形
Ｂ
A
Ｃ
Ｄ
Ｏ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
6.变式：
已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形．
7.已知:如图,四边形ABCD的对角线AC与BD
相交于点O，且AC⊥BD。E、F、G、H分别是AB、
BC、CD、AD的中点。
求证：四边形EFGH是矩形
8.平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点Ｏ，点Ｐ是四边形外一点，且PA⊥PC,PB⊥PD，垂足为Ｐ。
求证：四边形ABCD为矩形
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｄ
Ｏ
Ｐ
在V型公路（∠AOB）内部有两个村庄
C、D，如图所示，你能选择一个纺织厂
的厂址P，使P到V型公路两条路的距
离相等，且使C、D两村的工人
上下班的路一样吗？
１、什么是轴对称图形？如何验证一个
图形是轴对称图形?
２、角是轴对称图形吗？你能验证吗？
１、在纸上任意作一个角，剪下并对折。
２、角是轴对称图形吗？
它的对称轴是什么？
结论：
角
轴对称图形;
是它的对称轴。
角平分线有什么性质呢？
PD⊥OA，PE⊥OB
∵
OC是∠AOB的平分线
∴
PD＝PE
角平分线上的点到角两边的距离相等
在∠AOB内部作两边的平行线且到两边的距离相等。
到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
∵
QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．
用数学语言表示为：
总结归纳：
用尺规做已知角的平分线。
、如图,在△ABC中,
∠C=900,BD平分∠ABC,
交AC于点D,AC=15cm,且CD∶AD=2∶3,
求点D到AB的距离.
达标检测
1．已知：△ABC中，∠B=90°，
∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为
.
2.角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在
．
3.∠AOB的平分线上一点M
，M到
OA的距离为1.5
cm，则M到OB的距离为_________.
达标检测
4.如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3
cm，BD=5
cm，则BC=_____cm.
达标检测
6.如图，已知AB、CD相交于点E，∠AEC及∠AED的平分线所在的直线为PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________.
7.已知OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的度数.
通过本节课的学习，你有哪些收获？
与你的同伴交流一下。
通过本题的证明，你能得到一个关于三角形角平分线的什么结论？
三角形的三条角平分线交于一点，并且交点到三角形三边的距离相等。
1、关于三角形的角平分线的说法错误的是(
)
A.两角平分线的交点在三角形内
B.两角平分线的交点在第三个角的平分线上
C.两角平分线的交点到三边的距离相等
D.两角平分线的交点到三个顶点的距离相等
２、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。
求证：AD是△ABC的角平分线。
变式训练：
若已知AD是△ABC的角平分线。
求证：BE＝CF。
