3.3直线的交点坐标与距离公式 同步练习（含解析）

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人教新课标A版
必修二
3.3直线的交点坐标与距离公式
一、单选题
1.原点到直线
的距离为（???
）．
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
2.已知点P与点
关于直线
对称，则点P的坐标为
??
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
3.若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是(???
)
A.?1????????????????????????????????????B.?-3????????????????????????????????????C.?1或
????????????????????????????????????D.?-3或
4.两平行直线
与
之间的距离为（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?
5.点
到直线：
的距离d最大时，d与a的值依次为(??
)
A.?3，－3???????????????????????????????????B.?5，2???????????????????????????????????C.?5，1???????????????????????????????????D.?7，1
6.已知点
,点
在直线
上运动．当
最小时，点
的坐标是（??
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
7.若直线
与直线
关于点
对称，则直线
一定过定点（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
8.在直角坐标系中，已知A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1=0上存在点P，使得|PA|=2|PB|，则正实数m的最小值是(???
)
A.??????????????????????????????????????????B.?3?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
9.若三条直线
，
，
相交于同一点，则点
到原点的距离的最小值为（??
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
10.与直线
关于
轴对称的直线方程为（???
）
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
11.已知入射光线在直线l1：2x-y=3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为（??
）
A.?6????????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
12.唐代诗人李欣的是
古从军行
开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为
，若将军从
出发，河岸线所在直线方程
，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（???
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
二、多选题
13.若两条平行直线
：
与
：
之间的距离是
，则
的可能值为（???
）
A.?3?????????????????????????????????????????B.?-17?????????????????????????????????????????C.?-3?????????????????????????????????????????D.?17
三、填空题
14.点
到直线
的距离为
，则
________.
15.两直线
与
平行，则它们之间的距离为________.
16.正方形
的两个顶点
在直线
上，另两个顶点
分别在直线
，
上，那么正方形
的边长为________.
17.已知直线
和
，直线m分别与
交于A，B两点，则线段AB长度的最小值为________.
四、解答题
18.直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2且l1与l2的距离为5，求l1
，
l2的方程．
19.已知直线l：y＝3x＋3，求：
（1）点P(4,5)关于直线l的对称点坐标；
（2）直线l1：y＝x－2关于直线l的对称直线的方程；
（3）直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．
20.如图，已知直线l1：x+y-1=0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2
，
l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程.
21.已知点
的坐标是
，过点
的直线
与
轴交于
，过点
且与直线
垂直的直线
交
轴与点
，设点
为
的中点，求点
的轨迹方程．
22.在
中，点
，角
的内角平分线所在直线的方程为
边上的高所在直线的方程为
.
(Ⅰ)求点
的坐标；
(Ⅱ)求
的面积.
23.已知动点
到直线
的距离比到定点
的距离多1.
（1）求动点
的轨迹
的方程
（2）若
为（1）中曲线
上一点，过点
作直线
的垂线，垂足为
，过坐标原点
的直线
交曲线
于另外一点
，证明直线
过定点，并求出定点坐标.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：D
解：
.
故答案为：
．
【分析】利用点到直线的距离公式，从而求出原点到直线
的距离。
2.答案：A
解：设P的坐标为（a，b），
则PQ的中点坐标为（
，
），
若点P与Q（1，﹣2）关于x+y﹣1＝0对称，
则有
，
解可得：a＝3，b＝0，
则点P的坐标为（3，0）；
故答案为：A．
【分析】利用中点坐标公式结合两直线垂直斜率之积等于-1的等价关系求出a,b的值，从而求出与点
关于直线
对称的点P的坐标。
3.答案：D
解：由题得
，
解方程即得k=-3或
.
故答案为：D
【分析】利用点到直线的距离公式结合已知条件求出k的值。
4.答案：C
解：解：因为直线
与
平行，所以
，
将
化为
，
∴两条平行线之间的距离d＝
＝
，
故答案为：C.
【分析】根据两条直线平行，计算k的值，然后将直线化相等的系数，再利用两条平行线之间的距离公式即可得出．
5.答案：C
解：
直线
，
即
，
直线
是过直线
和
交点的直线系方程，
由
，得
，
可得直线
经过定点
，
当直线
与
垂直时，
点
到直线
的距离最大，
的最大值为
，
此时
轴，
可得直线
斜率不存在，即
.
故答案为：C.
【分析】将直线方程整理为
，可得直线
经过定点
，由此可得当直线
与
垂直时
的长，并且此时点
到直线的距离达到最大值，从而可得结果.
6.答案：B
解：因为点
在直线
上运动，
所以设点
的坐标为
，
由两点间距离公式可知：
，
显然
时,
有最小值，最小值为
，
此时点
的坐标是
，
故答案为：B.
【分析】利用几何法结合两点距离公式找出A,B两点距离的最小值，从而求出对应的点B的坐标。
7.答案：C
解：∵
＝k（x﹣1）+1，
∴l1：y＝kx﹣k+1过定点（1，1），
设定点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y），
则
，得
，即直线l2恒过定点
故答案为：C
【分析】求出直线l1过定点，结合点的对称性进行求解即可．
8.答案：D
解：由题意，设点
.
，
即
，
整理得
，
则
，
解得
或
.
.
故答案为：
.
【分析】设点
，由
，得关于Y的方程.由题意，该方程有解，则
，求出正实数m的取值范围，即求正实数m的最小值.
9.答案：A
解：联立
，解得
，
．
∵三条直线
，
，
相交于同一点，
∴
．
则点
到原点的距离的最小值为原点到直线
的距离，
即
．
故答案为：A．
【分析】利用两直线
和
相交联立方程求交点的方法求出交点坐标，再利用三条直线
，
，
相交于同一交点，利用代入法求出，
再利用几何法推出点
到原点的距离的最小值为原点到直线
的距离，再利用点到直线的距离公式求出点
到原点的距离的最小值。
10.答案：A
解：设对称直线上的点为
，
则其关于
轴的对称点
在直线
上，
所以
即
，
故答案为：A.
【分析】根据关于x轴对称的点的特点，代入，即可求出对称直线的方程.
11.答案：C
解：如图所示，结合图形可知，
直线
∥
，则直线
上一点P到直线l3的距离即为
与
之间的距离.
由题意得，
与
关于x轴对称，可得
的方程为：
，
与
关于y轴对称，可得
的方程为
，
由两平行线间的距离公式可得
与
之间的距离
，
即P到直线l3的距离为
，
故答案为：C.
【分析】由已知画出图形，可得点P到直线l3的距离即为
与
之间的距离，再利用两平行线间的距离公式求出距离即可.
12.答案：B
解：设点A关于直线
的对称点
，
，
则的中点为
，故
解得
，
，
要使从点A到军营总路程最短，即为点
到军营最短的距离，
即为点
和圆上的点连线的最小值，为点
和圆心的距离减半径，
“将军饮马”的最短总路程为
，
故选:B
【分析】先求出点
关于直线
的对称点
，点
到圆心的距离减去半径即为最短．
二、多选题
13.答案：A,B
解：由题意，
，
，所以
，
所以
：
，即
，
由两平行直线间的距离公式得
，
解得
或
，
所以
或
.
故答案为：AB
【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，相加即可得到答案.
三、填空题
14.答案：或11
解：由点到直线的距离公式可得点
到直线
的距离为：
?
,
依题意可得
,化简得,
,
所以
或
,
解得
或
.
故答案为
或11.
【分析】根据点到直线的距离公式求出点
到直线
的距离,再根据已知距离列等式可解得.
15.答案：
解：根据两直线平行得到斜率相等，
即
解得m=2，
则直线为6x+2y+1，
取3x+y-3=0上一点(1,0)，
点到直线的距离即为两平行线间的距离,
所以
【分析】根据两直线平行求出实数m，结合平行线间距离公式，即可求出它们之间的距离.
16.答案：或
解：设直线
的方程为
，
联立
，得
，
联立
，得
，
∴由两点的距离公式可得
，
又直线
与
的距离为
，
∴
，
解得
或
，
即
或
.
即正方形的边长为
或
，
故答案为：
或
.
【分析】先设直线
的方程为
，再求出
的坐标，然后结合两点的距离公式及两平行线的距离公式求解即可.
17.答案：
解：由题知，
，即
，
故直线
为平行直线，
则线段
的最小值为两平行直线间的距离
.
故答案为：
.
【分析】根据题意知，直线
为平行直线，则线段AB的最小值为两平行直线间的距离.
四、解答题
18.【答案】解：当l1、l2的斜率存在时，∵l1∥l2
，
∴可设两直线的斜率为k.由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，
即kx－y＋1＝0.由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，
即kx－y－5k＝0.
由两平行线间的距离公式得
＝5，解得k＝
，
∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.
若l1、l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，
它们之间的距离为5，同样满足条件．
则满足条件的直线方程有以下两组：
l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；或l1：x＝0，l2：x＝5
【分析】由两直线分别过两点,分别设出两直线的方程,由距离公式求出k,另要注意斜率不存在时也满足题意.
19.答案：（1）解:
设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，
则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l
，
即
解得
.
所以P′(－2,7)．
（2）解:联立方程组
解得
所以直线l1与l的交点为
.
在直线l1：x－y－2＝0上任取一点(2,0)，
过点(2,0)与直线l：3x－y＋3＝0垂直的直线方程为x＋3y＝2.
设直线x＋3y＝2与直线l的交点坐标为(x0
，
y0)，
则
解得
即交点坐标为
.
又点(2,0)关于点
对称的点的坐标为
，
所以过两点
，
的直线方程为
＝
，
整理得7x＋y＋22＝0.
则所求直线方程为7x＋y＋22＝0.
（3）解:
设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l′，
由l∥l′，设l′：y′＝3x′＋b.
任取y＝3x＋3上的一点(0,3)，
则该点关于点A(3,2)的对称点一定在直线l′上，
设其对称点为(x′，y′)．
则
解得
代入y′＝3x′＋b
，
得b＝－17.
故直线l′的方程为y′＝3x′－17，
即所求直线的方程为3x－y－17＝0.
【分析】（1）设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l
，
建立等式，即可得出答案。（2）计算出直线l1与直线l的交点坐标，在直线l1上取一点，计算出该点关于直线l的对称点，利用两点式，即可得出对称直线方程，即可得出答案。（3）直线l关于点A对称，对称直线与l平行，即可设出l'的方程，然后再直线l上取一点（0，3）,计算出该点关于点A的对称点，代入直线l'的方程，即可得出答案。
20.【答案】解:
设l2的方程为y=-x+b(b>1)，
则图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).
所以AD=
，BC=
b.
梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，
故h=
=
?(b>1)，
由梯形面积公式得
×
=4，
所以b2=9，b=±3.
但b>1，所以b=3.
从而得到直线l2的方程是x+y-3=0.
【分析】设B(b，0)，C(0，b),用b表示梯形的高，然后结合梯形面积计算公式，即可得出答案。
21.答案：解：在直角三角形
和直角三角形
中，
是
中点
，
，
，
设
则
,
化简得
，
故点
的轨迹方程为
【分析】由题意可知：点M既是Rt△ABC的斜边AB的中点，又是Rt△OAB的斜边AB的中点，可得|OM|＝|CM|，利用两点间的距离公式即可得出．
22.答案：解：（Ⅰ）由题意知
的斜率为-2，又点
，
直线
的方程为
，即
.
解方程组
得
点
的坐标为
.
又
的内角平分线所在直线的方程为
，
点
关于直线的点
在直线
上，
直线
的方程为
，即
.
解方程组
得
点
的坐标为
.
（Ⅱ）
，
又直线
的方程是
，
点
到直线
的距离是
，
的面积是
.
【分析】（Ⅰ）根据题意可知直线
的斜率为
，过点
，则直线
的方程为
，点
刚好是
边上的高所在直线
与角
的内角平分线所在直线
的交点，即
,又因为
的内角平分线所在直线的方程为
，所以点
关于直线
的对称点
在直线
上，即可求出直线
的方程
，在根据点
是直线
和
的交点，即
的坐标为
；（Ⅱ）根据
、
点坐标，求出
，再根据点到直线的距离公式，求出点
到直线
的距离是
，所以
的面积
.
23.答案：（1）解：设点
，则
.
当
时，
，
即
，
整理得
.
当
时，
，
即
，
整理得
，由
知
，矛盾，舍去.
∴所求轨迹方程为
.
（2）解：设
，
，
，则
，
由
、
、
三点共线知
，
即
.
所以
.①
由
得
，
所以
②
由①②得
，
即
，此表达式对任意
恒成立，
∴
.即直线
过定点，定点坐标为
.
【分析】利用直接法，求动点
的轨迹
的方程。设出直线
方程以及
，由
、
、
三点共线可得
，将直线
方程与
联立，可得
，利用韦达定理，可得
，所以
，得出直线过定点
.
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