4.1圆的方程 同步练习（含解析）

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人教新课标A版
必修二
4.1圆的方程
一、单选题
1.圆
的圆心坐标和半径分别为（???
）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
2.圆的方程为
，则圆心坐标为（???
）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
3.已知方程
表示圆，则实数
的取值范围是(?
)
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
4.圆心坐标为
，半径长为2的圆的标准方程是（
??）
A.??????????????????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????????????????????D.?
5.过点
，且圆心在直线
上的圆的方程是（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????????????????????D.?
6.若方程
表示以
为圆心，4为半径的圆，则F为（???
）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?5
7.圆
关于直线
对称的圆的方程为（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.?
C.?????????????????????????????????????????D.?
8.在平面直角坐标系
中，矩形
的顶点坐标分别为
，则矩形
的外接圆方程是（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????????????????????D.?
9.已知定点
，点
在圆
上运动，则线段
的中点
的轨迹方程是（?
）
A.????????????
B.????????????
C.?????????????
?D.?
10.以
为圆心，
为半径的圆的方程为（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????????????????????D.?
11.直线
恒过定点
，则以
为圆心，
为半径的圆的方程为（??
）
A.??????????????????????????????????????????B.?
C.????????????????????????????????????????D.?
12.已知平面
平面
，且
是正方形，在正方形
内部有一点
，满足
与平面
所成的角相等，则点
的轨迹长度为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?16????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
二、多选题
13.已知
分别为圆M：
与圆
：
上的动点，A为x轴上的动点，则
的值可能是（???
）
A.?7???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?9???????????????????????????????????????????D.?10
三、填空题
14.圆心坐标为
，半径为
的圆的标准方程是________.
15.已知圆C经过
两点，圆心在
轴上，则C的方程为________．
16.圆C:x2+y2-8x-2y=0的圆心坐标是________;关于直线l:y=x-1对称的圆C'的方程为________.
17.已知
，
为坐标原点，动点
满足
，其中
，且
，则
的轨迹方程为________.
四、解答题
18.写出下列方程表示的圆的圆心和半径:
（1）;
（2）;
（3）;
（4）.
19.求满足下列条件的各圆的标准方程:
（1）圆心在原点,半径长为3;
（2）圆心为点
,半径长是
（3）圆心为点
,且经过点
20.已知圆C过A（1，4）、B（3，2）两点，且圆心在直线y=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）判断点P（2，4）与圆C的位置关系．
21.根据下列条件，求圆的方程：
（1）过点A（1，1），B（﹣1，3）且面积最小；
（2）圆心在直线2x﹣y﹣7=0上且与y轴交于点A（0，﹣4），B（0，﹣2）．
22.分别根据下列条件，求圆的方程：
（1）过点
和原点；
（2）与两坐标轴均相切，且圆心在直线
上.
23.已知
中，
，
，求：
（1）直角顶点
的轨迹方程；
（2）直角边
的中点
的轨迹方程.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
B
解：因为圆的方程为：
，所以圆心为
，半径
，
故答案为：B.
【分析】根据圆的标准方程
形式直接确定出圆心和半径.
2.答案：
D
解：将
配方,
化为圆的标准方程可得
,
即可看出圆的圆心为
.
故答案为：D.
【分析】将
化为圆的标准方程可看出圆心坐标.
3.答案：
C
解：由圆的一般式方程可得
即
，解得
，
故答案为：C.
【分析】本题首先根据圆的一般式方程可知
，再根据题意即可列出不等式
，最后通过计算得出结果。
4.答案：
C
解：圆心为
，半径为2的圆的标准方程是
.
故答案为：C.
【分析】利用圆心坐标和半径的长求出圆的标准方程。
5.答案：
C
解：本题作为选择题，可采用排除法，
根据圆心在直线
上，排除B、D，
点
在圆上，排除A
故答案为：C
【分析】直接根据所给信息，利用排除法解题。
6.答案：
B
解：因为方程
表示以
为圆心，4为半径的圆，
所以
，解得
，
所以F为4.
故答案为：B
【分析】方程
可化为
，根据其表示以
为圆心，4为半径的圆列方程组，即可求解.
7.答案：
C
解：圆
的圆心坐标为
，半径为2，
设
关于直线
的对称点为
，
则
，解得
．
，
则圆C关于直线
对称的圆的方程为
．
故答案为：C．
【分析】写出已知圆的圆心坐标和半径，求出圆心坐标关于直线l的对称点的坐标，然后代入圆的标准方程得答案．
8.答案：
B
解：矩形
的中心为
，对角线长为
，
所以矩形
的外接圆的圆心为
，半径为
，
所以矩形
的外接圆方程是
，
即
.
故答案为：B
【分析】根据矩形的中心是其外接圆的圆心，矩形的对角线是其外接圆的直径，求出圆心坐标和半径，得到圆的标准方程，再化为圆的一般方程即可得到答案.
9.答案：
C
解：设
,则
满足
，
故
，即
.
又点
在圆
上，
故
.
故选：C
【分析】设
再表达出
的坐标代入圆方程
化简即可.
10.答案：
C
解：
的圆心为
,半径为
,
的圆心为
,半径为
,
的圆心为
,半径为
,
的圆心为
,半径为
.
故答案为：C
【分析】利用圆心坐标
,半径
计算四个选项中圆的圆心和半径可得答案.
11.答案：
B
解：直线
，化为
，
当时，总有
，
即直线直线
过定点
，圆心坐标为
，
又因为圆的半径是
，
所以圆的标准方程是
，
故答案为：B.
【分析】利用变形的方法，将直线方程转化为点斜式，从而求出定点C的坐标，进而求出圆心C的坐标，再利用已知条件求出圆的标准方程。
12.答案：
C
解：由于平面
平面
，且交线为
，
，
所以
平面
，
平面
.
所以
和
分别是直线
与平面
所成的角，
所以
，
所以
，即
，
所以
.以
为原点建立平面直角坐标系如下图所示，
则
，
，设
（点
在第一象限内），
由
得
，
即
，化简得
，
由于点
在第一象限内，
所以
点的轨迹是以
为圆心，半径为
的圆在第一象限的部分.
令
代入原的方程，解得
，故
，
由于
，所以
，
所以点
的轨迹长度为
.
故选：C
【分析】根据
与平面
所成的角相等，判断出
，建立平面直角坐标系，求得
点的轨迹方程，由此求得点
的轨迹长度.
二、多选题
13.答案：
C,D
解：圆
，关于x轴对称的圆为圆
，
则
的最小值为
，又
，
故答案为：
.
【分析】计算得到
的最小值为
，得到答案.
三、填空题
14.答案：
解：因为圆的圆心坐标为
，半径为
，
所以，圆的标准方程为：
.
故答案为：
【分析】根据圆的标准方程，可直接得出结果.
15.答案：
解：由圆的几何性质得，圆心在
的垂直平分线上,
结合题意知，
的垂直平分线为
，
令
，得
，故圆心坐标为
，
所以圆的半径
，
故圆的方程为
.
【分析】由圆的几何性质得，圆心在
的垂直平分线上,结合题意知，求出
的垂直平分线方程，令
，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程.
16.答案：
(4，1)；(x-2)2+(y-3)2=17
解：由圆的一般式方程可得圆心坐标
,半径
;
设
关于直线
的对称点为
,
则
,解得
,
所以圆
关于直线
对称的圆
的方程为
.
故答案为：
；
.
【分析】根据圆的一般式方程和圆心的关系可求，先求解对称圆的圆心，结合对称性，圆的半径不变可得对称圆的方程.
17.答案：
解：设
，
则
，
∴
，
又
，消去
得
.
故答案为：
.
【分析】设
，由向量的坐标运算，用
表示出
，代入等式后化简即可得
的轨迹方程.
四、解答题
18.答案：
（1）解：由圆
的标准方程可得，
该圆的圆心坐标为
,半径为
，
即圆
的圆心坐标为
,半径为
；
（2）解：由圆
的标准方程可得，
该圆的圆心坐标为
,半径为
，
即圆
的圆心坐标为
,半径为
；
（3）解：由圆
的标准方程可得，
该圆的圆心坐标为
,半径为
，
即圆
的圆心坐标为
,半径为
；
（4）解：由圆
的标准方程可得，
该圆的圆心坐标为
,半径为
，
即圆
的圆心坐标为
,半径为
.
【分析】圆的标准方程为
，则此圆的圆心坐标为
，半径为
，将(1)
(2)
(3)
(4)分别代入即可得解.
19.答案：
（1）解：设圆的标准方程为
，
因为圆心在原点，即
，又由半径长为
，即
，
所以圆的标准方程为
（2）解：设圆的标准方程为
，
以为圆心为点
,即
，半径长是
，即
，
所以圆的标准方程为
（3）解：设圆的标准方程为
，
因为圆心为点
,即
，
又由圆经过点
，则
所以圆的标准方程为
【分析】(1)根据题意，求得
，
，
，代入圆的标准方程，即可求解；(2)
根据题意，求得
，
，
，代入圆的标准方程，即可求解(3)
根据题意，求得
，
，进而得到
，代入圆的标准方程，即可求解；
20.答案：
（1）解：∵圆心在直线y=0上，
∴设圆心坐标为C（a，0），则|AC|=|BC|，
即
，
即（a﹣1）2+16=（a﹣3）2+4，
解得a=﹣1，即圆心为（﹣1，0），
半径r=|AC|=
，
则圆的标准方程为（x+1）2+y2=20
（2）解：∵|PC|=
=
＞r，
∴点P（2，4）在圆C的外面
【分析】（1）求出圆心和半径，即可求圆C的方程；（2）根据点P（2，4）与圆C的位置关系，即可得到结论．
21.答案：
解：（1）过A、B两点且面积最小的圆就是以线段AB为直径的圆，
∴圆心坐标为（0，2），半径r=|AB|==×=，
∴所求圆的方程为x2+（y﹣2）2=2；
（2）由圆与y轴交于点A（0，﹣4），B（0，﹣2），
可知圆心在直线y=﹣3上，
由，
解得，
∴圆心坐标为（2，﹣3），半径r=，
∴所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5．
【分析】（1）过A、B两点面积最小的圆即为以线段AB为直径的圆，由A与B的坐标，利用两点间的距离公式求出|B|的长，确定出圆的半径，即可求出面积最小圆的面积；
（2）由圆与y轴交于A与B两点，得到圆心在直线y=﹣3上，与已知直线联立求出圆心坐标，及圆的半径，写出圆的标准方程即可．
22.答案：
（1）解：设圆的方程为
，
由题意，
，解得
，
故所求圆的方程为
（2）解：由圆心在直线
上，
设圆心的坐标为
，
因为圆与两坐标轴均相切，所以
，??
解得
或
.
当
时，圆心为
，半径为5，
则圆的方程为
；
当
时，圆心为
，半径为1，
则圆的方程为
；
故所求圆的方程为
或
.
【分析】(1)
设圆的方程为
，由
和原点在圆上可得
，从而可求出
，即可得圆的方程.
(2)
设圆心的坐标为
，由圆与坐标轴相切可知
，进而可求出
的值，即可求出圆的方程.
23.答案：
（1）解：设
，
则：
，
???
，
即：
化简得：
.
不共线?，，
故顶点
的轨迹方程为：
（2）解：设
，
，
由（1）知：
……①
又
，
为线段
的中点
，
，
即
，
，
代入①式，得：
故
的轨迹方程为：
【分析】（1）设
，求得
和
，根据垂直关系可知斜率乘积为
，根据三个顶点不共线，可知
，从而得到轨迹方程；
（2）设
，
，利用中点坐标公式用
，
表示出
点坐标，代入（1）中轨迹方程整理可得结果.
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