4.2直线、圆的位置关系 同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
人教新课标A版
必修二
4.2直线、圆的位置关系
一、单选题
1.圆
与圆
的公切线共有（??
）
A.?1条???????????????????????????????????????B.?2条???????????????????????????????????????C.?3条???????????????????????????????????????D.?4条
2.过点A（1，2）作圆x2+（y﹣1）2＝1的切线，则切线方程是（???
）
A.?x＝1?????????????????????????????B.?y＝2?????????????????????????????C.?x＝2或y＝1?????????????????????????????D.?x＝1或y＝2
3.圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦的长为（???
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
4.圆
与圆
的位置关系为（???
）
A.?相离?????????????????????????????????????B.?内切?????????????????????????????????????C.?外切?????????????????????????????????????D.?相交
5.已知直线
与圆
相切，则
(?
)
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.?或
??????????????????????????????????????D.?
6.直线
与圆
的位置关系为（???
）
A.?相离??????????????????????B.?相切??????????????????????C.?相交但直线不过圆心??????????????????????D.?相交且直线过圆心
7.直线
被圆
截得的弦长为（
???）
A.??????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?1
8.已知圆
，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
9.若圆
：
与圆
：
外切，则正数
的值是（??
）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?6
10.已知
为直线
上的动点，过点
作圆
的一条切线，切点为
，则
面积的最小值是（??
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
11.已知圆E的圆心在y轴上，且与圆
的公共弦所在直线的方程为
，则圆E的方程为（??
）
A.??????B.???????C.????????D.?
12.已知圆
，由直线
上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（???
）
A.?2?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?7
二、多选题
13.若圆
与圆
相切，则m的值可以是（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
14.在同一直角坐标系中，直线
与圆
的位置可能是（???
）
A.?????????B.?????????C.?????????D.?
15.已知圆
上存在两个点到点
的距离为
，则m的可能的值为（???
）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?-3??????????????????????????????????????????D.?-5
三、填空题
16.已知直线
平分圆
的周长，则实数a=________．
17.已知圆
的圆心为C，点M在直线
上，则
|MC|
的最小值为________．
18.已知直线
过点
且与直线
垂直，则圆
与直线
相交所得的弦长为________
19.已知
为坐标原点，圆
：
，
圆
：
．
分别为圆
和圆
上的动点，则
的最大值为________．
四、解答题
20.在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线
，设圆C的半径为1，圆心在直线
上．
(Ⅰ)若圆C与直线
相交于M，N两点，且
，求圆心C的横坐标a的值；
(Ⅱ)若圆心C也在直线
上，过点A作圆C的切线，求切线的方程．
21.试就
的值，讨论直线
和圆
的位置关系.
22.已知直线
及圆
．
（1）判断直线
与圆
的位置关系；
（2）求过点
的圆
的切线方程．
23.已知两圆
和
．
（1）判断两圆的位置关系；
（2）求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长．
24.已知圆
经过点
.
（1）若直线
与圆
相切，求
的值；
（2）若圆
与圆
无公共点，求
的取值范围.
25.在平面直角坐标系xOy中,过点A（?,
）的圆的圆心C在x轴上,且与过原点倾斜角为30°的直线
相切。
（1）求圆C的标准方程；
（2）点P在直线m:y=2x上,过点P作圆C的切线PM、PN,切点分别为M、N,求经过P、M、N、C四点的圆所过的定点的坐标。
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
D
解：
?
?圆心坐标为（2，0）半径为2；
圆心坐标为
，半径为1，
圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3,所以两圆的位置关系是外离，
故两圆的公切线共有4条．
故本题选D.
【分析】把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而可以判断出有几条公切线．
2.答案：
D
解：点A（1，2）在圆外，所以切线有两条，做出圆图象：
x2+（y﹣1）2＝1的圆心
，半径为
，
根据点A的位置关系，过点A的切线方程为x＝1或y＝2.
故答案为：D.
【分析】根据已知圆的圆心
，半径为1，做出图像，即可求出切线方程.
3.答案：
C
解：因为圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0，
两式相减得
，即公共弦所在的直线方程.
圆C1：x2+y2＝4，圆心到公共弦的距离为
，
所以公共弦长为：
.
故选：C
【分析】两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解.
4.答案：
D
解：圆
的圆心
，半径
；
圆
的圆心
，半径
．
，
，
则
，
两圆相交．
故选：
．
【分析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出．
5.答案：
C
解：由圆心到切线的距离等于半径，
得
，
∴
∴
或
故选：C.
【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径来求解.
6.答案：
C
解：将
化为圆的标准方程，
得
,
可看出圆的圆心为
,半径
为
,
圆心到直线
的距离：
即
.
所以直线与圆相交但直线不过圆心.
故答案为：C
【分析】将圆的一般式方程化为标准方程,再求出圆心到直线的距离,即可得直线与圆的位置关系.
7.答案：
B
解：由
可知圆心为
,半径为
,
所以圆心到直线
的距离为
,
由勾股定理可得弦长为
.
故答案为：B
【分析】先求出圆心到直线的距离,再根据勾股定理可求得弦长.
8.答案：
B
解：圆
化为
，
所以圆心
坐标为
，半径为
，
设
，当过点
的直线和直线
垂直时，
圆心到过点
的直线的距离最大，所求的弦长最短，
根据弦长公式最小值为
.
故答案为：B.
【分析】根据直线和圆心与点
连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
9.答案：
C
解：由题意，圆
：
与圆
：
，
可得圆心坐标分别为
，半径分别为
，
又由圆
和圆
相外切，可得
，
即
，解得
.
故答案为：C.
【分析】由圆
和圆
相外切，可得
，列出方程，即可求解.
10.答案：
A
解：如下图所示，
过点
引圆
的切线，切点为点
，
，且
，
由勾股定理得
.
点
是直线
上的动点，
当
时，此时
取得最小值，则
取得最小值，
则圆心
到直线
的距离为
.
则
的最小值为
，
所以
的面积等于
，
因此，
面积的最小值为
．
故答案为：A.
【分析】作出图形，根据勾股定理
，可知当
与直线
垂直时，
取得最小值，此时
取得最小值，则
取得最小值，利用点到直线的距离公式计算出
的最小值，可得出
的最小值，由此可计算出
面积的最小值.
11.答案：
C
解：两圆圆心连线与公共弦垂直，不妨设所求圆心的坐标为
，
又圆
的圆心为
，半径为1，
故
，解得
.故所求圆心为
.
直线
截得
所成弦长
，
圆心
到直线
的距离为
，
所以直线
截得所求圆的弦长
，
解得
.
故圆心坐标为
，半径为
，
故答案为：C.
【分析】根据圆心的连线与公共弦所在直线垂直，即可求得圆心；再结合弦长公式，即可易求半径.
12.答案：
B
解：如图，
切线长
，当
最小时，
最小，
最小值为
到直线
的距离
，
故
的最小值为
，
故答案为：B.
【分析】如图利用几何性质求出最小的
，再求出
的最小值．
二、多选题
13.答案：
A,C
解：由题意，圆
可化简为
，
所以，圆
的圆心坐标
，半径
，
圆
的圆心坐标
，半径
，
所以，
所以
或
，
解得
或
.
故答案为：AC.
【分析】根据题意，求出圆
的圆心与半径，分两圆内切和外切两种情况，求出m的值即可.
14.答案：
A,D
解：圆
的圆心为
，半径为
则圆心
到直线
的距离为
不妨令
，可得
，即
，
当
时，恒成立，可知A符合题意，B不正确；
当
时，不等式不成立，说明直线与圆相离，
但是直线的斜率为负数，所以C
不正确，D符合题意，
故答案为：AD
【分析】利用圆的圆心到直线的距离与圆的半径比较大小即可得到结果
15.答案：
A,C,D
解：由题知，圆
与圆
相交，
所以，
，即
，
解得
，
即
的值可以为：
或
或
.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意，圆
与圆
相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.
三、填空题
16.答案：
1
解：由题得圆心（1，a）在直线
上，
所以
.
故答案为：1.
【分析】由题得圆心在直线上，解方程即得解.
17.答案：
4
解：因为圆方程为
，故
，
则圆心到直线的距离
，则直线与圆相离.
故
得最小值为4
.
故答案为：4.
【分析】根据直线和圆相离，即可得圆心到直线的距离减去半径，即为所求.
18.答案：
解：由题意可得，
的方程为
，
可化为
，
圆心
，半径
，
圆心
到
的距离
，
．
故答案为：
．
【分析】先求出直线
的方程，再求出圆心
与半径
，计算圆心到直线
的距离
，由垂径定理求弦长
．
19.答案：
解：如图所示，以
为直径作圆，延长
交新圆于
点，
交新圆于
点，
连接
，
，则
与
垂直，
又
，所以
为
中点，
由对称性可知
，
∵
，
所以
，
因此当
最大值时，
最大，
故题意转化为在半径为1的圆内求其内接三角形
的面积最大值，
圆内接三角形的面积
，由正弦定理得
，
，
∴
由于
，
时为上凸函数，
可得
即
，当且仅当
时等号成立，
进而可得
的最大值为
，
故答案为
【分析】如图所示，以
为直径作圆，延长
交新圆于
点，
交新圆于
点，首先证得
，将题意转化为求圆内接三角形面积的最大值，将基本不等式和琴生不等式相结合即可得结果.
四、解答题
20.答案：
解：（Ⅰ）设圆心
，
圆心C到直线
的距离
，
得：
或2.
（Ⅱ）联立：
，得圆心为：C(3，2)．
设切线为：
，
,得：
或
．
故所求切线为：
或
．
【分析】（Ⅰ）设圆心
，由题意结合点到直线距离公式得到关于实数a的方程，解方程可得
或2.
（Ⅱ）由题意可得圆心为C(3，2)，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径可得直线的斜率
或
．则所求切线为：
或
．
21.答案：
解：联立
得
，
所以
，
当
时，
，此时该方程有唯一解，即直线与圆相切；
当
时，
，此时该方程总有两解，即直线与圆相交
【分析】联立直线与圆的方程，消元，得到
，求出判别式
，分别讨论
和
两种情况，即可得出结果.
22.答案：
（1）解：因为
，
消去
，整理得
，其中
，
直线
与圆
相交.
（2）解：当切线斜率存在时，设切线斜率为
，则可设切线的方程为
，即
由
得
此时，切线方程为
当切线斜率存在时，结合点与圆的图像知，此时切线方程为
综上，圆的切线方程为
和
.
【分析】（1）利用代数法，联立直线方程与圆的方程，化为关于
的一元二次方程，再由判别式大于0判断直线与圆相交；
（2）当切线斜率存在时，设切线斜率为
，写出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得
，则直线方程可求；当切线斜率不存在时，直接写出切线方程，则答案可求．
23.答案：
（1）解：联立方程
，
消去
，整理得
①，其中，
所以两圆相交.
（2）解：两圆作差得
由①得
，
代入上式得
，
，
所以交点坐标为：
，
由两点间距离公式得：
所以所求弦长为
.
【分析】（1）联立两圆的方程，消去
，根据方程根的个数，即可判断两圆的位置关系；（2）两圆作差，求出公共弦的方程，再联立第一问的方程①，求出两个交点坐标，算出弦长．
24.答案：
（1）解：因为直线
与圆
相切，
所以圆心
到直线
的距离等于圆的半径，
即
，整理得
，
解得
或
.
（2）解：圆
的圆心为
，则
,
由题意可得圆
与圆
内含或外离，
所以
或
，
解得
或
.
所以
的取值范围为
.
【分析】由题意可得圆的方程为
，（1）由圆心到直线的距离等于半径可得
，解得
或
，即为所求。（2）由圆
与圆
无公共点可得两圆内含或外离，根据圆心距和两半径的关系得到不等式即可得到所求范围。
25.答案：
（1）解：由题意知,直线
的方程为
,
整理为一般方程可得
,
由圆C的圆心在
轴上,
设圆C的方程为
,
由题意有
,解得:a=2,r=1,
故圆C的标准方程为
（2）解：由圆的几何性质知,PM
MC,PN
NC,
取线段PC的中点D,由直角三角形的性质可知PD=DC=DM=DN,
故经过P、M、N、C四点的圆是以线段PC为直径的圆,
设点P的坐标为（t,2t),则点D的坐标为
有
则以PC为直径的圆的方程为:
,
整理为
,
可得
,
令
,解得
或
,
故经过P、M、N、C四点的圆所过定点的坐标为(2,0)、
【分析】（1）由题意知,写出直线
x
的方程，又由圆C的圆心在?轴上，可设圆C的方程为，由题意列出方程组，解出a，r，进而求出设圆C的方程；
（2）
由圆的几何性质，直角三角形的性质可知经过P、M、N、C四点的圆是以线段PC为直径的圆，可得出圆的方程，两圆相减可得公共弦的方程，此方程可看作是关于的一元一次方程，求出此方程经过的定点即可.??
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)