4.3空间直角坐标系 同步练习（含解析）

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人教新课标A版
必修二
4.3空间直角坐标系
一、单选题
1.已知点
，则点
关于
轴对称点的坐标为（???
）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.????????????????D.?
2.在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于yOz平面对称的点的坐标为（???
）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?2,
????????????????????D.?2,
3.如图所示，把棱长为1的正方体放在空间直角坐标系中，则点D的坐标为
??
A.?0，
??????????????????????????B.?1，
??????????????????????????C.?0，
??????????????????????????D.?1，
4.点A(－3,1,5)与B(4,3,1)的中点的坐标是(
??)
A.???????????????????????????B.????????????????????????????C.?(－2,3,5)??????????????????????????D.??
5.在空间直角坐标系中，已知点
，过点
作平面
的垂线
，垂足为
，则点
的坐标为（??
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
6.不在正方体同一表面上的两顶点
，则正方体的体积是(??
)
A.?16????????????????????????????????????????B.?192????????????????????????????????????????C.?64????????????????????????????????????????D.?48
7.已知空间中点
和点
，且
，则实数
的值是（??
）
A.?或
?????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.?或
?????????????????????????????????D.?或
8.在空间直角坐标系中，点
，过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为（
??）
A.???????????????????????????B.??????????????????C.?????????????????
???????D.?
9.在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为
(?
?)
A.?(3,0,0)??????????????????????????????B.?(0,3,0)??????????????????????????????C.?(0,0,3)??????????????????????????????D.?(0,0，－3)
10.在空间直角坐标系
中，若点
，
，点
是点
关于
平面的对称点，则
（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
二、填空题
11.若A（1，3，-2）、B（-2，3，2），则A、B两点间的距离为________．
12.已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1
，
点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2
，
点P2关于z轴的对称点为P3
，
则点P3的坐标为________．
13.在△ABC中，已知A(－1,2,3)、B(2，－2,3)、
?，则AB边上的中线CD的长是________.
14.在空间直角坐标系中，已知点
与点
，则
________，若在
轴上有一点
满足
，则点
坐标为________．
15.如图，棱长为2的正方体OABC-D'A'B'C'中，点M在B'C'上，且M为B'C'的中点，若以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则点M的坐标为________
．
三、解答题
16.如图，正四棱锥P－ABCD中，底面边长为2，侧棱长为
，M
，
N分别为AB
，
BC的中点，以O为原点，射线OM
，
ON
，
OP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．若E
，
F分别为PA
，
PB的中点，求A
，
B
，
C
，
D
，
E
，
F的坐标．
17.已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)．
（1）在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；
（2）若xOz平面内的点M到点A的距离与到点B的距离相等，求点M的坐标满足的条件．
18.如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a
，
过点B1作B1E⊥BD1于点E
，
求A、E两点之间的距离.
19.在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，－3），试问
（1）在y轴上是否存在点M，满足
?
（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
B
解：设点
是点
关于
轴对称的点，
则
轴，且
中点在
轴上，为
，
则
，解得
，即
.
故答案为：B
【分析】先设点
是点
关于
轴对称的点，根据题意，列出方程组求解，即可得出结果.
2.答案：
C
解：在空间直角坐标系中，点
关于
平面对称的点的坐标为
．
故答案为：C
．
【分析】在空间直角坐标系中，点
关于
平面对称的点的坐标为
3.答案：
D
解：把棱长为1的正方体放在空间直角坐标系中，
则点D的坐标为
1，
．
故答案为：D．
【分析】根据空间直角坐标系，结合正方体的特点，直接写出D的坐标即可.
4.答案：
B
解：根据中点坐标公式可得：
，
，
，
所以中点坐标为
，
故答案为：B.
【分析】利用中点坐标公式可得中点坐标。
5.答案：
C
解：因为过点
作平面
的垂线
，垂足为
，
所以可得
两点的横坐标与竖坐标相同，只纵坐标不同，
且在平面
中所有点的纵坐标都是0，
因为
，所以有
.
故答案为：C
【分析】根据空间直角坐标系的特点即可求出相应的坐标.
6.答案：
C
解：∵正方体中不在同一表面上两顶点坐标为M（-1，2，-1），N（3，-2，3），
∴MN是正方体的体对角线，MN2=
16+16+16
=64
∴正方体的棱长为4，
∴正方体的的体积是64
故答案为：C
【分析】连接正方体八个顶点中的两个，只有棱、面对角线、体对角线三种可能，其中不在同一表面的两顶点只能是体对角线两端点.
7.答案：A
解：因为点
和点
，且
，
，
化简得
，解得
或
，
实数
的值是
或0，
故答案为：A.
【分析】根据空间中两点距离公式,代入数据计算，即可得答案.
8.答案：
D
解：由于点Q在xOy内，故其竖坐标为0，又PQ⊥xOy平面，故点Q的横坐标、纵坐标分别与点P相同，从而点Q的坐标为
.
故答案为：D
【分析】由题意可以得知点Q在xOy内、PQ⊥xOy平面，所以可以推出点Q的横纵坐标与点P相同，从而可以得到点Q坐标。
9.答案：
C
解：设P(0,0，z)，则有
，解得z＝3.
故答案为：C.
【分析】先根据点P的位置特点设出点P的坐标，再利用空间中两点之间的距离公式表示出PA与PB的长度，利用两者相等列出方程，解方程即可求得点P的坐标.
10.答案：
D
解：由对称性可知，点C的坐标为
，
结合空间中两点之间距离公式可得：
.
故答案为：D.
【分析】由对称性可知，点C的坐标为
C
，结合空间中两点之间距离公式，即可得到两点间的距离.
二、填空题
11.答案：
5
解：
，
故答案为：
.
【分析】根据两点间的距离公式表示AB即可.
12.答案：
解：点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，
点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，
点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．
【分析】利用关于什么坐标平面对称，什么不变的原则，即可得出结论。
13.答案：
解：由A(－1,2,3)，B(2，－2,3)及中点坐标公式得D（
，0,3），
由两点间距离公式得CD的长是
=
.
故答案为：.
【分析】先根据点A，B的坐标求得其中点D的坐标，再由两点间的距离公式求得CD的长即可.
14.答案：
；
解：∵点
点
，
∴
在空间直角坐标系中，
z轴上有一个点M到点A（1，0，2）与点B（1，﹣3，1）的距离相等，
设M（0，0，a），则|MA|=|MB|，
即
=
，
解得a=﹣3，
∴M（0，0，﹣3）．
故答案为：
，（0，0，﹣3）．
【分析】先根据两点间的距离公式，直接求出AB，再用待定系数法，设M（0，0，a），结合|MA|=|MB|，解方程求出a，即可求出点M的坐标.
15.答案：
解：设M（x，y，z），由图形可知,M点在正方体的上底面上,
所以M点在z轴上对应的值同B'在z轴上对应的值相同,
即z=2，
又M在面BCC'B'上,所以y=2,
因为
C'M=MB',所以x=1，
所以点M的坐标为（1,2,2）.
故答案为:（1,2,2）.
【分析】根据图形可知，M点在正方体的上底面上，M的纵坐标与B'的纵坐标相同，根据M在面BCC'B'上得竖坐标，再根据C'M=MB'得出横坐标。
三、解答题
16.答案：解：∵正四棱锥P－ABCD中，底面边长为2，侧棱长为
，
∴OB＝
，OP＝
＝
＝2，
∴由上可得A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0,2)．
又∵E
，
F分别为PA
，
PB的中点，
∴由中点坐标公式可得E
，F
.
【分析】建立坐标系，利用空间坐标的定义，再利用中点坐标公式可得结论。
17.答案：
（1）解：由于点P在x轴上，故可设P(a,0,0)，
由|PA|＝|PB|，得
，
即a2－2a＋6＝a2－4a＋8，
解得a＝1，所以点P的坐标为(1,0,0)
（2）解：由于点M在平面xOz内，故可设M(x，0，z)，
由|MA|＝|MB|，得
，
整理得，x＋3z－1＝0.
所以点M的坐标满足的条件为x＋3z－1＝0
【分析】（1）根据题目给出的条件可以设点P的坐标，由|PA|＝|PB|，可以得到等式，求解可以得到点P的坐标。
（2）先设出点M的坐标，由|MA|＝|MB|可以得到等式，通过整理可得到点M的坐标满足的条件。
18.答案：解:以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
根据题意，可得A(a,0,0)、B(a
，
a,0)、D1(0,0，a)、B1(a
，
a
，
a)．
过点E作EF⊥BD于F
，
如图所示，
则在Rt△BB1D1中，
|BB1|＝a
，
|BD1|＝
a
，
|B1D1|＝
a
，
所以|B1E|＝
，
所以Rt△BEB1中，|BE|＝
a
由Rt△BEF∽Rt△BD1D
，
得|BF|＝
a
，
|EF|＝
，
所以点F的坐标为(
，0)，
则点E的坐标为(
，
)．
由两点间的距离公式，得
|AE|＝
＝
a
，
所以A、E两点之间的距离是
a.
【分析】先建立适当的直角坐标系，根据题意表示出相关点的坐标，再根据题中点E的位置关系求得点E的坐标，利用两点间的距离公式表示出线段AE的长度.
19.答案：
（1）解：（1）假设在y轴上存在点M，满足|MA|=|MB|．
因M在y轴上，可设M（0，y，0），由|MA|=|MB|，
可得＝
，
显然，此式对任意y∈R恒成立．
这就是说y轴上所有点都满足关系|MA|=|MB|．
所以存在无数点M，满足|MA|=|MB|．
（2）假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．
由（1）可知，y轴上任一点都有|MA|=|MB|，
所以只要|MA|=|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．
因为|MA|=＝，
|AB|＝＝
于是＝
，
解得y＝±
故y轴上存在点M使△MAB等边，
M坐标为（0，
，
0），或（0，?
，
0）．
【分析】（1）若能求出y轴上点M满足|MA|=|MB|，则问题得到解决，故可先假设存在，设出点M（0，y，0），由|MA|=|MB|，建立关于参数y的方程，求y，若y值存在，则说明假设成立，在y轴上
存在点M，满足|MA|=|MB|，否则说明不存在．
（2）由（1）知，△MAB为等腰三角形，若能证明|MA|=|AB|则可以说明存在点M，使△MAB为等边三角形，故可令|MA|=|AB|建立方程求y，若y值存在，则说明存在，否则说明不存在．
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