第一章 空间几何体 单元测试（含解析）

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必修二
第一章空间几何体
一、单选题
1.下列命题中正确的有（???
）
①一个棱柱至少有5个平面；②正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形；③有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台；④正方形的直观图是正方形；
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
2.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是(?
)
A.?0????????????????????????????????????????B.?9????????????????????????????????????????C.?快?????????????????????????????????????????D.?乐
3.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（???
）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
4.若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（??
）
A.?1∶2?????????????????????????????????B.?1∶
?????????????????????????????????C.?1∶
?????????????????????????????????D.?∶2
5.若棱长为
的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
6.已知高为3的棱柱
的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥
的体积为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
7.如图，
是水平放置的
的直观图，
，
，则
的面积是（???
）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
8.如果两个球的体积之比为
，那么两个球的半径之比为（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
9.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（???
）
A.?E???????????????????????????????????????????B.?F???????????????????????????????????????????C.?G???????????????????????????????????????????D.?H
10.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱
，其中
，若
，当“阳马”即四棱锥
体积最大时，“堑堵”即三棱柱
的表面积为（???
）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
11.已知棱长为2的正方体
中，E为DC中点，F在线段
上运动，则三棱锥
的外接球的表面积最小值为（??
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
12.如图，棱长为l的正方体
中，P为线段
的中点，
分别为线段
和
棱
上任意一点，则
的最小值为（??
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?2
二、填空题
13.已知正四棱柱底面边长为
，体积为32，则此四棱柱的表面积为________
14.已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为
，则该棱锥的体积为________
.
15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
16.如图，正方体
的棱长为1，E为棱
上的点，
为AB的中点，则三棱锥
的体积为________.
三、解答题
17.如图,正方形
的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图.请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积.
?
18.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
、
、
，
（1）求这个长方体的对角线长。
（2）求这个长方体的的体积
19.如图所示，四棱锥V-ABCD的底面为边长等于2的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长均为4，求这个四棱锥的体积及表面积.
20.???????
???????????????????????????
（1）某圆锥的侧面展开图为圆心角为
，面积为
的扇形，求该圆锥的表面积和体积.
（2）已知直三棱柱
的底面是边长为
的正三角形，且该三棱柱的外接球的表面积为
，求该三棱柱的体积.
21.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为
，设这条最短路线与CC1的交点为N．求：
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
（2）PC和NC的长．
22.从斜二测画法下的棱长为a的空心正方体
的直观图中分离出来的．
（Ⅰ）求直观图中
的面积；
（Ⅱ)
如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
B
解：①因为底面最少为三角形，故3个侧面，2个底面，共5个面，故①正确；
②正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，
射影侧面都是全等的等腰三角形，故②正确；
③不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交与一点；
④正方形的直观图是平行四边形，所以④不正确；
正确的命题只有①②．
故答案为：B．
【分析】利用棱柱的定义判断①的正误；利用正棱锥的定义判断②；棱台的侧棱所在的直线必交于一点判断③的正误；正方形的直观图判断④的正误即可．
2.答案：
B
解：根据一个正方体的表面展开图以及图中“2”在正方体的上面，
把该正方体还原，其直观图为：
由直观图可得这个正方体的下面是9，
故答案为：B．
【分析】利用正方体的展开图和直观图的关系，再利用已知条件，从而求出这个正方体的下面的数字是9。
3.答案：
D
解：由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，
则其表面积为：
.
故答案为：D.
【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.
4.答案：
C
解：设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，
∴其母线长l＝
r．∴S侧＝πrl＝
πr2
，S底＝πr.
故答案为：C．
【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案
5.答案：
C
解：这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即
，
所以这个球的表面积为
.
故答案为：C.
【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.
6.答案：
D
解：
.
故答案为：D.
【分析】换顶点再根据三棱锥的体积公式求解即可.
7.答案：
C
解：由斜二测画法可知，
的实物图如下图所示：
可知
，
，且
，
因此
的面积为
.
故答案为：C.
【分析】作出
的实物图，即可计算出
的面积.
8.答案：
C
解：因为球的体积公式为
，
又两个球的体积之比为
，
所以两个球的半径之比为
.
故答案为：C
【分析】根据球的体积公式，结合题中数据，即可得出结果.
9.答案：
A
解：根据三视图，画出多面体立体图形，
图中标出了根据三视图M点所在位置，
可知在侧视图中所对应的点为E
故答案为：A
【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M点在侧视图中对应的点.
10.答案：
C
解：四棱锥
的体积是三棱柱体积的
，
，
当且仅当
时，取等号．
∴
．
故答案为：C．
【分析】由四棱锥
的体积是三棱柱体积的
，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．
11.答案：
C
解：取
的中点
，易知
为
的外心，
取
的中点
，连接
，取
的中点
，连接
，
由正方体的性质可得
平面
，
则三棱锥
的外接球球心
在直线
上，连接
，
取
的中点
，连接
、
，
由中位线的性质可得
且
，
所以
，所以
平面
，
，
若要使三棱锥
的外接球的表面积最小，则要使其半径即
最小，
易知当
即点
与
重合时，
最小，
设
，由题意
，
，
则
，
，
由
可得
，化简可得
，
此时，三棱锥
的外接球的半径
满足
，
所以三棱锥
的外接球的表面积最小值
.
故答案为：C.
【分析】取
的中点
，易知
为
的外心，取
的中点P，连接
，取
的中点Q，连接
，由正方体的性质可得三棱锥
的外接球球心O在直线
上，连接
，取
的中点H，连接
、
，易知当
即点
与
重合时，
即外接球半径最小，设
，根据
求得
，进而求得外接球半径，即可得解.
12.答案：
D
解：取
中点E，过M作
面
，如图：
则
，故
，
而对固定的点M，当
时，
最小．
此时由
面
，可知
为等腰直角三角形，
，
则
.
故答案为：D
【分析】取AC中点E，过M作
面
，可得
为等腰直角三角形，由
，可得，当
时，
最小，由
即可求解.
二、填空题
13.答案：
解：设正四棱柱的高为
，由底面边长为
，体积为
，
则
，即
；
所以此四棱柱的表面积为：
．
故答案为：
．
【分析】求出正四棱柱的高，再计算此四棱柱的表面积．
14.答案：
解：由已知条件，得出正四棱锥侧面的高
，
从而得出正四棱锥的高为
，
所以该正四棱锥的体积为
，
故答案为
.
【分析】利用正四棱锥的结构特征结合已知条件，从而求出正四棱锥的高，再利用正四棱锥的体积公式，从而求出该正四棱锥的体积。
15.答案：
解：易知半径最大球为圆锥的内切球，
球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中
，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为O，
由于
，
故
，
设内切圆半径为
，则：
，
解得：
，其体积：
.
故答案为：
.
【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
16.答案：
解：
。
【分析】利用正方体的结构特征结合三棱锥和正方体的位置关系，从而利用三棱锥的体积公式，从而求出三棱锥
的体积。
三、解答题
17.答案：
解：如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上取
;
在y轴上取
;在过点B的x轴的平行线上取
.
?
连接O,A,B,C各点,即得到原图形.
易知,四边形OABC为平行四边形,
,
平行四边形OABC的周长为
,面积
.
【分析】根据直观图与原图像的边角关系建系画图即可.
18.答案：
（1）解：设此长方体的棱长分别为a，b，c，
则
，
可得
，解得
，a=
，b=1
这个长方体的对角线长l=
=
（2）解：由（1）可知：V=abc=
【分析】（1）计算出abc,ab,bc,ac的值，即可得出a,b,c的大小，即可得出答案。
（2）结合体积V=abc，即可得出答案。
19.答案：
解：连结
交于点
,连结
,
∵四棱锥
的底面为边长等于2的正方形，
顶点
与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长4，
∴
，∴
∴这个四棱锥的体积：
∴该四棱锥的表面积：
【分析】根据题意连结
交于点
,连结
，
结合已知条件得出
，
，
根据四棱锥的体积公式以及表面积公式得出结果。
?
20.答案：
（1）解：设圆锥的底面半径、母线长分别为
，
则
，解得
所以圆锥的高为
，得表面积是
，
体积是
（2）解：设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，
由题意，外接球心为MN的中点，
设为O，则OA＝R，
由4πR2＝12π，得R＝OA＝
，
又易得AM＝
，
由勾股定理可知，OM＝1，
所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，
所以该三棱柱的体积为
【分析】（1）分别计算出母线和半径的长，
利用勾股定理，得出高，计算表面积和体积，即可得出答案。（2）结合勾股定理，构造三角形，计算高h，利用体积计算公式，即可得出答案。
21.答案：
（1）解:
正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，
其对角线的长为
．
（2）解:如图所示，
将平面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，
点P运动到点P1的位置，连接MP1
，
则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．
设PC=x，则P1C=x．
在Rt△MAP1中，
由勾股定理得(3+x)2+22=29，
求得x=2，∴PC=P1C=2．
∵
=
，∴NC=
【分析】（1）由题意结合展开图的特征求解其对角线长即可；（2）首先画出其展开图，然后结合展开图的几何特征即可求得PC和NC的长．
22.答案：
解：（Ⅰ）
；
（Ⅱ）如果用图示中的装置来盛水，
那么最多能盛的水的体积等于三棱锥
的体积，
所以
【分析】（1）根据三角形的面积公式，求出相应的面积即可；
（2）根据所盛水的体积等于三棱锥的体积，求出三棱锥的体积即可.
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精品试卷·第
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