第二章 点、直线、平面之间的位置关系 单元测试（含解析）

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人教新课标A版
必修二
第二章点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题
1.下列几何图形中，可能不是平面图形的是(
??)
A.?梯形????????????????????????????????B.?菱形????????????????????????????????C.?平行四边形????????????????????????????????D.?四边形
2.已知直线
平面
，直线
，则（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.?异面???????????????????????????D.?相交而不垂直
3.在正方体
中，
与
是（???
）
A.?相交直线???????????????????????B.?平行直线???????????????????????C.?异面直线???????????????????????D.?相交且垂直的直线
4.已知
平面两两垂直，直线
满足：
，则直线
不可能满足以下哪种关系（?
）
A.?两两垂直???????????????????????????B.?两两平行???????????????????????????C.?两两相交???????????????????????????D.?两两异面
5.已知
，
是空间内两条不同的直线，
，
是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是（???
）
A.?若
，
，则
????????????????????????????B.?若
，
，
，则
C.?若
，
，则
?????????????????????????D.?若
，
，
，则
6.在长方体
中，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（???
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
7.如图，正方体
中，
，
，
，
分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面
平行的是（???
）
A.?直线
???????????????????????????B.?直线
???????????????????????????C.?直线
???????????????????????????D.?直线
8.如图，在以下四个正方体中，使得直线
与平面
垂直的个数是(???
)
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
9.三棱柱
中，底面边长和侧棱长都相等，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（?
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
10.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（???
）
A.?20°???????????????????????????????????????B.?40°???????????????????????????????????????C.?50°???????????????????????????????????????D.?90°
11.如图，在三棱柱
中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，
.若
分别是棱
上的点，且
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（??
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
12.在棱长均相等的正三棱柱
中，
为
的中点，
在
上，且
，则下述结论：①
；②
；③平面
平面
：
④异面直线
与
所成角为
,其中正确命题的个数为（??
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
二、多选题
13.如图，平面α∩平面β＝l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D?直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是（
??）
A.?若AB
CD，则MN
l??????????????????????????????????????
B.?若M，N重合，则AC
l
C.?若AB与CD相交，且AC
l，则BD可以与l相交???
D.?若AB与CD是异面直线，则MN不可能与l平行
14.在空间四边形
中,
分别是
上的点,当
平面
时,下面结论正确的是(???
)
A.?一定是各边的中点?????????????????????????
??B.?一定是
的中点
C.?,且
?
?D.?四边形
是平行四边形或梯形
15.如图所示,P为矩形
所在平面外一点,矩形对角线的交点为
为
的中点,给出以下结论,其中正确的是(???
)
A.?????????B.?平面
??????C.?平面
????
?D.?平面
16.如图，在正四棱柱
中，
，
，
分别为
，
的中点，异面直
与
所成角的余弦值为
，则（???
）
A.?????????B.?直线
与直线
共面????????C.?????????D.?直线
与直线
异面
三、填空题
17.若直线
平面
，直线
，则
与
的位置关系是________
18.下列说法中正确的有________个.
①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；
②一个平行四边形确定一个平面；
③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；
④已知两个不同的平面
和
，若
，
，且
，则点A在直线
上.
19.如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为________.
20.如图，已知圆柱的轴截面
是正方形，C是圆柱下底面弧
的中点，
是圆柱上底面弧
的中点，那么异面直线
与
所成角的正切值为________.
四、解答题
21.如图，已知四棱锥
，底面四边形
为正方形，
，M，N分别是线段
、
的中点.
（1）求证：
∥平面
；
（2）求异面直线MN与BC所成角的大小.
22.如图，在长方体
中，点E，F分别在棱
，
上，且
，
．证明：
（1）当
时，
；
（2）点
在平面
内．
23.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1
．
24.如图，四棱锥
中，
平面
分别为线段
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求证：平面
平面
25.在三棱锥
中，
和
是边长为
的等边三角形，
，
分别是
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求证:
平面
；
（3）求三棱锥
的体积.
26.如图，在三棱柱
中，
平面
，
，
.
（1）求证：
平面
；
（2）求异面直线
与
所成角的大小；
（3）点
在线段
上，且
，点
在线段
上，若
平面
，求
的值（用含
的代数式表示）.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
D
解：有定义易知梯形，菱形，平行四边形都是平面图形，
四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四边形.
故答案为：D.
【分析】由题意结合所给的选项确定可能不是平面图形的几何体即可.
2.答案：
A
解：根据线面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直与该平面内的任意一条直线，因此
，
故答案为：A
【分析】根据线面垂直的定义，即可得出结果.
3.答案：
C
解：由图形可知，
与
不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线.
故答案为：C.
【分析】根据异面直线的概念可判断出
与
是异面直线.
4.答案：
B
解：设
，且
与
均不重合
假设：
，由
可得：
，
又
，可知
，
又
，可得：
因为
两两互相垂直，可知
与
相交，即
与
相交或异面
若
与
或
重合，同理可得
与
相交或异面
可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行
本题正确选项：
【分析】通过假设
，可得
平行于
的交线，由此可得
与交线相交或异面，由此不可能存在
，可得正确结果.
5.答案：
D
解：若
，
，则
或
，故A不正确，；
若
，
，
，若
，则
，故B不正确，
若
，
，
与
的关系是异面或平行，故C不正确，
若
，
，
，又因为
，所以
，故D正确.
故选：D
【分析】A.若
，
，则
或
.B.若
，
，
，若
，不成立，C.若
，
，
与
的关系是异面或平行.D.由面面垂直的性质定理判断.
6.答案：
C
解：由题意可得
因为
，
所以
是异面直线
与
所成的角，记为
，
故
.
故选：
.
【分析】根据
确定
是异面直线
与
所成的角，利用余弦定理计算得到答案.
7.答案：
C
解：首先四个选项的直线都不在平面
内，
由中点及正方体的性质知
，
，
，
∴直线
，
，
都与平面
平行，剩下的只有
不与平面
平行．
实际上过
作
的平行线，这条平行线在平面
内且与
相交.
（它们都在平面
内）
故选：C．
【分析】根据线面平行的判定定理判断．
8.答案：
B
解：①因为
是正三角形，所以AB与AC的夹角为
，
又因为
，所以AB与ED的夹角为
，故错误；
②因为正方形对角线相互垂直，所以
，
，
则平面
，故正确；
③由①知AB与CE的夹角为
，故错误；
④因为
，所以
平面
，则
，
同理
，又
，所以
平面
，故正确.
故答案为：B
【分析】①根据
是正三角形，利用异面直线所成的角结合线面垂直的定义判断；②根据正方形对角线相互垂直，利用线面垂直的判定定理判断；③根据AB与CE的夹角为
，再由线面垂直的定义判断；④易知
平面
，得到
，同理
，再利用线面垂直的判定定理判断.
9.答案：
B
解：设棱长为1，
，
，
由题意得：
，
，
，
又
即异面直线
与
所成角的余弦值为：
故答案为：
【分析】设
，
，
，根据向量线性运算法则可表示出
和
；分别求解出
和
，
，根据向量夹角的求解方法求得
，即可得所求角的余弦值.
10.答案：
B
解：画出截面图如下图所示，
其中
是赤道所在平面的截线；l是点A处的水平面的截线，
依题意可知
；
是晷针所在直线.m是晷面的截线，
依题意晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知
，根据线面垂直的定义可得
，
由于
，所以
，
由于
，
所以
，
也即晷针与点
处的水平面所成角为
.
故答案为：B
【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A处的纬度，计算出晷针与点A处的水平面所成角.
11.答案：
B
解：依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设
的中点为
，
建立空间直角坐标系如下图所示：
所以
，
所以
，
所以异面直线
与
所成角的余弦值为：
.
故答案为：B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线
与
所成角的余弦值.
12.答案：
B
解：不妨设棱长为：2，对于①连结
，
则
，
，
即
与
不垂直，又
，
①不正确；
对于②，连结
，
，在
中，
，
而
，
是
的中点，所以
，
②正确；
对于③由②可知，在
中，
，
连结
，易知
，
而在
中，
，
，
即
，又
，
面
，
平面
平面
，
③正确；
以
为坐标原点，平面
上过
点垂直于
的直线为
轴，
所在的直线为
轴，
所在的直线为
轴，建立如图所示的直角坐标系；
，
，
，
，
，
；
，
；
异面直线
与
所成角为
，
，故
．④不正确．
故答案为：
．
【分析】设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F是
的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线
与
所成角判断④的正误．
二、多选题
13.答案：
B,D
解：若
，则
、
、
、
四点共面
，当
时，
平面
、
、
两两相交有三条交线，分别为
、
、
，则三条交线交于一点
，
则
与平面
交于点
，
与
不平行，故
错误；
若
，
两点重合，则
，
、
、
、
四点共面
，
平面
、
、
两两相交有三条交线，分别为
、
、
，
由
，得
，故
正确；
若
与
相交，确定平面
，平面
、
、
两两相交有三条交线，
分别为
、
、
，由
，得
，故
错误；
当
，
是异面直线时，如图，连接
，取
中点
，连接
，
．
则
，
，
，则
，假设
，
，
，
，
又
，
平面
，
同理可得，平面
，则
，与平面
平面
矛盾．
假设错误，
不可能与
平行，故
正确．
故答案为：
．
【分析】由若两两相交的平面有三条交线，交线要么相交于一点，要么互相平行判定A、B、C；用反证法证明D．
14.答案：
C,D
解：由
平面
,所以由线面平行的性质定理,得
,
,
则
,且
,且
,
四边形
是平行四边形或梯形.
故答案为：
.
【分析】根据线面平行的性质定理即可得解.
15.答案：
A,B,C
解：由题意知,
是
的中位线,
,A符合题意;
平面
,
平面
,
平面
,故
正确;
同理,可得
平面
,故
正确;
与平面
和平面
都相交,故
不正确.
故答案为：
.
【分析】根据线面平行的判定定理证明即可.
16.答案：
B,C
解：连接EF
，
，
，DF
，
，
根据长方体性质可得
，
所以直线
与直线
共面.
根据长方体性质
，
所以异面直线
与
所成角为
.
设
，则
，
则
，
，
，
由余弦定理，得
.
故选：BC
【分析】连接
，
，
，DF
，
易得
，在三角形
中，由余弦定理求解
，即可得到
.
三、填空题
17.答案：
垂直
解：若直线
平面
，则直线
垂直于平面
内的任意一条直线，
又直线
，所以
.
故答案为：垂直
【分析】根据直线与平面垂直的性质，直接判断，即可得出结果.
18.答案：
2
解：反例：正方体的一个顶点处的3条棱，确定3个平面，所以①不正确；
由于平行四边形对边平行，结合两条平行线可以确定一个面，可得②正确；
如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，所以③不正确；
，
，且
，则A在
上，满足平面的基本性质，所以④正确，
即正确的个数有2个，
故答案为：2.
【分析】对于①举出反例，正方体的一个顶点处的3条棱；根据两条平行线可以确定一个面可判断②；根据等角定理可判断③；直接根据公理可判断④.
19.答案：
60°
解：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则E（0，1，2），F（0，2，1），B1（2，2，2），D1（0，0，2），
（0，1，﹣1），
（﹣2，﹣2，0），
设异面直线EF与B1D1所成的角θ，
则cosθ
，∴θ＝60°.
故答案为：60°.
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF与B1D1所成的角.
20.答案：
解：取圆柱下底面弧
的另一中点
，连接
，
则因为C是圆柱下底面弧
的中点，
所以
，
所以直线
与
所成角等于异面直线
与
所成角.
因为
是圆柱上底面弧
的中点，
所以
圆柱下底面，所以
.
因为圆柱的轴截面
是正方形，
所以
，
所以直线
与
所成角的正切值为
.
所以异面直线
与
所成角的正切值为
.
故答案为:
.
【分析】取圆柱下底面弧
的另一中点
，连接
,直线
与
所成角等于异面直线
与
所成角,利用圆柱的轴截面
是正方形,
,从而可得结论.
四、解答题
21.答案：
（1）证明：如图所示，连接
，在
中，
分别是
的中点，
所以
是三角形
的中位线，所以
，
又由
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）解：由（1）知
，
可得异面直线
与
所成的角即为直线
与
所成的角，
即
是异面直线
与
所成角，
因为四边形
是正方形，所以
，
即异面直线
与
所成的角为
.
【分析】（1）连接
，在
中，证得
，再结合线面平行的判定定理，即可求解；（2）由（1）知
，把异面直线
与
所成的角转化为直线
与
所成的角，在正方形
中，即可求解.
22.答案：
（1）解：因为长方体
,
所以
平面
,
因为长方体
,
所以四边形
为正方形
因为
平面
,
因此
平面
,
因为
平面
,所以
（2）解：在
上取点M使得
,连
,
因为
,所以
所以四边形
为平行四边形，
因为
所以四边形
为平行四边形，
，因此
在平面
内.
【分析】（1）根据正方形性质得
，根据长方体性质得
,进而可证
平面
,即得结果；（2）只需证明
即可，在
上取点M使得
,再通过平行四边形性质进行证明即可.
23.答案：
（1）证明：由于
分别是
的中点，所以
.
由于
平面
,
平面
，所以
平面
.
（2）证明：由于
平面
，
平面
，所以
.
由于
，所以
平面
,
由于
平面
，所以平面
平面
.
【分析】（1）通过证明
，来证得
平面
.（2）通过证明
平面
，来证得平面
平面
.
24.答案：
（1）证明：设
交点为
，连接
，
又
，
又
，所以四边形
是菱形，则
是
中点，
又
为
中点，
是
中位线，
，
平面
，
平面
，
平面
；
（2）证明：由（1）可知四边形
是菱形，
，
又
平面
可得
，
为
中点可得
，又
，
四边形
为平行四边形，
，
，
，
平面
，又
平面
，
平面
平面
【分析】（1）设
交点为O，连接OF，则可根据OF是
中位线求证
，进而得证；（2）由线段关系可证
，又由
平面
可得
，进而可得
，再结合四边形
是菱形可得
，即可求证；
25.答案：
（1）证明：
，D分别为AB，PB的中点，
又
平面PAC，
平面PAC
平面
（2）证明：如图，连接OC
，O为AB中点，
，
，且
．
同理，
，
又
，
，得
．
．
、
平面ABC，
，
平面
（3）解：
平面ABC，
为三棱锥
的高，
结合
，得棱锥
的体积为
【分析】（1）由三角形中位线定理，得出
，结合线面平行的判定定理，可得
平面PAC；（2）等腰
和等腰
中，证出
，而
，由勾股定理的逆定理，得
，结合
，可得
平面ABC；（3）由（2）易知PO是三棱锥
的高，算出等腰
的面积，再结合锥体体积公式，可得三棱锥
的体积．
26.答案：
（1）解：在三棱柱
中，
由
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以平面
平面
，交线为
.
又因为
，所以
，所以
平面
.
因为
平面
，所以
又因为
，所以
，
又
，所以
平面
.
（2）解：由（1）知
底面
，
，如图建立空间直角坐标系
，
由题意得
，
，
，
.
所以
，
.
所以
.
故异面直线
与
所成角的大小为
.
（3）解：易知平面
的一个法向量
，
由
，得
.
设
，得
，则
因为
平面
，所以
，
即
，解得
，所以
.
【分析】（1）根据三棱柱
的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得
平面
，得到
，再利用线面垂直的判定定理，即可证得
平面
；（2）由（1）得到
，建立空间直角坐标系
，求得向量
，利用向量的夹角公式，即可求解.（3）由
，得
，设
，得
，求得向量
的坐标，结合
平面
，利用
，即可求解.
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