第三章 直线与方程 单元测试（含解析）

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必修二
第三章直线与方程
一、单选题
1.直线
经过原点和
，则它的倾斜角是（???
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.?或
??????????????????????????????D.?-45°
2.过点
且斜率为
的直线方程为(???
)
A.?????????????????B.?????????????????C.?????????????????D.?
3.两平行直线
与
之间的距离为（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?
4.已知直线
在两坐标轴上的截距相等，则实数
???
A.?1???????????????????????????????????????B.?-1???????????????????????????????????????C.?-2或1???????????????????????????????????????D.?2或1
5.过点（1，0）且与直线
垂直的直线方程是（?
）
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
6.点(0，﹣1)到直线
距离的最大值为（???
）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2
7.如图所示,直线
的斜率分别为
,则（??
）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
8.直线
和直线
平行，则实数
的值为（???
）
A.?3?????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?或
9.已知直线
和
，若
，则实数m的值为（??
）
A.?1或
???????????????????????????B.?或
???????????????????????????C.?2或
???????????????????????????D.?或
10.在直角坐标系中，已知A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1=0上存在点P，使得|PA|=2|PB|，则正实数m的最小值是(???
)
A.??????????????????????????????????????????B.?3?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
11.若三条直线
，
，
相交于同一点，则点
到原点的距离的最小值为（??
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
12.已知直线
：
，
：
，和两点
（0,1），
（-1,0），
给出如下结论：
①不论
为何值时，
与
都互相垂直；
②当
变化时，
与
分别经过定点A（0,1）和B（-1,0）；
③不论
为何值时，
与
都关于直线
对称；
④如果
与
交于点
，则
的最大值是1；
其中，所有正确的结论的个数是（?
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4.
二、多选题
13.在下列四个命题中，错误的有（???
）
A.?任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率????????
B.?直线的倾斜角的取值范围是
，
C.?坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率????
D.?直线y=3x﹣2
在y轴上的截距为2
14.若直线过点
，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（???
）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
15.下列说法中，正确的有（???
）
A.?过点
且在x，y轴截距相等的直线方程为
B.?直线
在
轴上的截距为-2
C.?直线
的倾斜角为
D.?过点
并且倾斜角为
的直线方程为
16.若两条平行直线
：
与
：
之间的距离是
，则
的可能值为（???
）
A.?3?????????????????????????????????????????B.?-17?????????????????????????????????????????C.?-3?????????????????????????????????????????D.?17
三、填空题
17.直线
过点
，倾斜角为
.则直线l的斜截式方程为________.
18.点
到直线
的距离为
，则
________.
19.已知直线
：
，
：
，且
，则k的值________.
20.正方形
的两个顶点
在直线
上，另两个顶点
分别在直线
，
上，那么正方形
的边长为________.
四、解答题
21.求经过M（-1，2），且满足下列条件的直线方程
（1）与直线2x+y+5=0平行；
（2）与直线2x+y+5=0垂直.
22.如图，在直角坐标系中，已知
的三个顶点的坐标，
求：（1）直线
的一般式方程；
（2）边上的高所在直线的斜截式方程．
23.已知△ABC的顶点为
．
（1）求BC边上的中线AM所在的直线方程；
（2）求AB边上的高所在的直线方程．
24.在
中，已知
，且
边中点M在y轴上，
边的中点N在x轴上．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求
的面积．
25.已知直线l：
（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；
（2）过定点M作一条直线
，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线
的方程．
26.已知动点
到直线
的距离比到定点
的距离多1.
（1）求动点
的轨迹
的方程
（2）若
为（1）中曲线
上一点，过点
作直线
的垂线，垂足为
，过坐标原点
的直线
交曲线
于另外一点
，证明直线
过定点，并求出定点坐标.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
A
解：由题得直线
的斜率为
，
所以直线的倾斜角为
.
故答案为：A
【分析】先求出直线的斜率，即得直线的倾斜角.
2.答案：
B
解：直线
过点
且斜率为
?,
则直线
的方程为
，
即
，
故答案为：B.
【分析】直接利用直线的点斜式方程写出所求直线方程，再化为一般式即可.
3.答案：
C
解：因为直线
与
平行，所以
，
将
化为
，
∴两条平行线之间的距离d＝
＝
，
故答案为：C.
【分析】根据两条直线平行，计算k的值，然后将直线化相等的系数，再利用两条平行线之间的距离公式即可得出．
4.答案：
D
解：由题意，当
，即
时，直线
化为
，
此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；
当
，即
时，直线
化为
，
由直线在两坐标轴上的截距相等，可得
，解得
；
综上所述，实数
或
．
故答案为：D．
【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a的值，即可得到答案．
5.答案：
D
解：依题意设所求直线方程为
，代入点
得
，
故所求直线方程为
.
故答案为：D.
【分析】设出直线方程，代入点
求得直线方程.
6.答案：
B
解：由
可知直线过定点
，设
，
当直线
与
垂直时，点
到直线
距离最大，
即为
.
故答案为：B.
【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点
，设
，当直线
与
垂直时，点A到直线
距离最大，即可求得结果.
7.答案：
B
解：由图可知,直线
的倾斜角为锐角,所以
,
而直线
与
的倾斜角均为钝角,且
的倾斜角小于
的倾斜角,
故
，所以
.
故答案为：B.
【分析】设直线
所对应的倾斜角为
，
由图可知，
，由直线的倾斜角与斜率的关系可得
，得解.
8.答案：
B
解：由a?（a+2）+1＝0，即a2+2a+1＝0，解得a＝﹣1．
经过验证成立，∴a＝﹣1．
故答案为：B．
【分析】由a?（a+2）+1＝0，解得a．经过验证即可得出．
9.答案：
C
解：∵直线
和
，若
，
∴
，得
，解得
或
，
∴实数
的值为
或
．
故答案为：C．
【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．
10.答案：
D
解：由题意，设点
.
，
即
，
整理得
，
则
，解得
或
.
.
故答案为：
.
【分析】设点
，由
，得关于Y的方程.由题意，该方程有解，则
，求出正实数m的取值范围，即求正实数m的最小值.
11.答案：
A
解：联立
，解得
，
．
∵三条直线
，
，
相交于同一点，∴
．
则点
到原点的距离的最小值为原点到直线
的距离
．
故答案为：A．
【分析】利用两直线
和
相交联立方程求交点的方法求出交点坐标，再利用三条直线
，
，
相交于同一交点，利用代入法求出，
再利用几何法推出点
到原点的距离的最小值为原点到直线
的距离，再利用点到直线的距离公式求出点
到原点的距离的最小值。
12.答案：
C
解：对于①，当
时，两条直线分别化为:
，此时两条直线互相垂直，
当
时，两条直线斜率分别为:
,满足
,此时两条直线互相垂直，
因此不论
为何值时，
与
都互相垂直，故①正确；
对于②，当
变化时，代入验证可得:
与
分别经过定点
和
，故②正确；
对于③，由①可知:两条直线交点在以
为直径的圆上，不一定在直线
上，
因此
与
关于直线
不一定对称，故③不正确；
对于④，如果
与
交于点
，由③可知:
，则
，
所以
的最大值是1，故④正确.
所有正确结论的个数是3.
故答案为：C
【分析】由已知利用两条直线互相垂直的判断方法，直线过定点，直线关于直线的对称，基本不等式求最值，分别判断各结论，即可得到正确结论的个数.
二、多选题
13.答案：
B,C,D
解：对于A，任意一条直线都有倾斜角，但当倾斜角为直角时，其斜率不存在，所以A正确；
对于B，直线的倾斜角的取值范围中不含180度，所以B错误；
对于C，当倾斜角为直角时，其斜率不存在，所以C错误；
对于D，直线y=3x﹣2
在y轴上的截距应为-2，所以D错误.
故答案为：BCD
【分析】由倾斜角和斜率的定义及关系进行判断即可.
14.答案：
A,B,C
解：当直线经过原点时，斜率为
，所求的直线方程为y=2x，即
；
当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y=k，把点A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k，
求得k=-1，或k=3，故所求的直线方程为
，或
；
综上知，所求的直线方程为
、
，或
．
故答案为：ABC．
【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．
15.答案：
B,D
解：对A项，点
在直线
上，且该直线在x，y轴截距都为
，则A不符合题意；
对B项，令
，则直线
在
轴上的截距为-2，则B符合题意；
对C项，
可化为
，
则该直线的斜率
，则倾斜角
，则C不符合题意；
对D项，过点
并且倾斜角为
的直线上的所有点的横坐标
，则D符合题意；
故答案为：BD
【分析】由点
在直线
上，结合截距的定义判断A；令
，得出该直线在
轴上的截距，从而判断B；先得出该直线的斜率，从而得出其倾斜角，判断C；由倾斜角为
的直线上的所有点的横坐标都相等，从而判断D.
16.答案：
A,B
解：由题意，
，
，所以
，
所以
：
，即
，
由两平行直线间的距离公式得
，
解得
或
，
所以
或
.
故答案为：AB
【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，相加即可得到答案.
三、填空题
17.答案：
解：
直线
的倾斜角为
，
直线l的斜率
，
又因为直线l过点
，
所以直线
的方程为
，
即
，
所以直线l的斜截式方程为
.
故答案为：
.
【分析】根据倾斜角，求出斜率，写出直线的点斜式方程，然后化为斜截式方程即可.
18.答案：
或11
解：由点到直线的距离公式可得点
到直线
的距离为,
?
,
依题意可得
,化简得,
,
所以
或
,
解得
或
.
故答案为
或11.
【分析】根据点到直线的距离公式求出点
到直线
的距离,再根据已知距离列等式可解得.
19.答案：
-1
解：
直线
：
，
：
，且
，
则
，解得
或
.
当
时，
，
，两直线重合，不合乎题意；
当
时，
，即
，
又，两直线平行，满足题意.
因此，
.
故答案为：-1
【分析】根据两直线平行列关于k的方程，解出k的值，然后代入两直线方程进行验证是否满足
，即可得出实数k的值.
20.答案：
或
解：设直线
的方程为
，
联立
，得
，
联立
，得
，
∴由两点的距离公式可得
，
又直线
与
的距离为
，
∴
，
解得
或
，
即
或
.
即正方形的边长为
或
，
故答案为：
或
.
【分析】先设直线
的方程为
，再求出
的坐标，然后结合两点的距离公式及两平行线的距离公式求解即可.
四、解答题
21.答案：
（1）解：：
点M（-1，2）
???????
直线方程为
（2）解：
????
直线方程为
【分析】（1）与直线2x
+
y
+
5
=
0平行的直线方程可设为
，再将点的坐标代入直线方程可解得t的值（2）与直线2x
+
y
+
5
=
0垂直的直线方程可设为
，再将点的坐标代入直线方程可解得t的值
22.答案：
（1）解：由直线方程的两点式得
,即
,
所以直线
的一般式方程为
（2）解：设直线
的斜率为
,则有
,
所以
边上的高所在直线的斜率为
,
因为
边上的高经过
点,由直线方程的点斜式得
,
即
边上的高所在直线的斜截式方程为
．
【分析】(1)写出直线方程的两点式再化简成一般方程即可.(2)求出直线
的斜率,再利用垂直求出
边上的高所在直线的斜率,再利用高过
点写出直线的点斜式再化简成斜截式即可.
23.答案：
（1）解：∵△ABC的顶点为
．
，
BC边上的中线方程为
.
（2）解：
∴AB边上的高所在的直线方程为，即
．
【分析】（1）求出
中点
的坐标，求出直线
的斜率，即可得出其直线方程；（2）先求出直线
的斜率，利用直线垂直的斜率关系，得出
边上高所在直线的斜率，最后由点斜式得出方程.
24.答案：
（1）解：设点
,
边的中点M在y轴上，
，解得
．
又
边的中点N在x轴上，
，解得
．
点C的坐标是
.
（2）解：
，
由题得
,
所以直线
的方程为
，即，
又
，
点B到直线
的距离为
【分析】（1）设点
,根据
边的中点M在y轴上求出
，根据
边的中点N在x轴上求出
，即得解；（2）先求出直线
的方程为
，再求出点B到直线
的距离，即得
的面积．
25.答案：
（1）解：直线l整理得：
令
，解得：
则无论m为何实数，直线l恒过定点
；
（2）解：由题意可知，当直线
的斜率不存在或等于零时，显然不合题意
设直线
的方程为
令
，则
；令
，则
即直线
与坐标轴的交点为
，
由于过定点M
作一条直线l1
，
使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，
则点M为线段
中点，即
，解得
则直线l1的方程为
，即
．
【分析】（1）将直线l整理得：
，由题意得出
，得出定点的坐标；（2）设出直线
的方程，求出其与坐标轴的交点坐标，结合题意，列出方程，即可得出直线
的方程.
26.答案：
（1）解：设点
，则
.
当
时，
，
即
，整理得
.
当
时，
，即
，
整理得
，由
知
，矛盾，舍去.
∴所求轨迹方程为
.
（2）解：设
，
，
，则
.
由
、
、
三点共线知
，即
.
所以
.①
由
得
，所以
②
由①②得
，即
，此表达式对任意
恒成立，
∴
.即直线
过定点，定点坐标为
.
【分析】利用直接法，求动点
的轨迹
的方程。设出直线
方程以及
，由
、
、
三点共线可得
，将直线
方程与
联立，可得
，利用韦达定理，可得
，所以
，得出直线过定点
.
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精品试卷·第
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