第四章 圆与方程 单元测试（含解析）

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必修二
第四章圆与方程
一、单选题
1.过点A（1，2）作圆x2+（y﹣1）2＝1的切线，则切线方程是（???
）
A.?x＝1?????????????????????????????B.?y＝2?????????????????????????????C.?x＝2或y＝1?????????????????????????????D.?x＝1或y＝2
2.已知直线
与圆
相切，则
(?
)
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.?或
??????????????????????????????????????D.?
3.圆
与圆
的公切线共有（??
）
A.?1条???????????????????????????????????????B.?2条???????????????????????????????????????C.?3条???????????????????????????????????????D.?4条
4.圆
与圆
的位置关系为（???
）
A.?相离?????????????????????????????????????B.?内切?????????????????????????????????????C.?外切?????????????????????????????????????D.?相交
5.已知点
，则点
关于
轴对称点的坐标为（???
）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
6.已知方程
表示圆，则实数
的取值范围是(?
)
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
7.直线
被圆
截得最大弦长为(???
)
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????D.?
8.若圆心坐标为
的圆,被直线
截得的弦长为
，则这个圆的方程是（
???）
A.??????????????????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????????????????????D.?
9.已知⊙M：
，直线
：
，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线
，切点为
，当
最小时，直线
的方程为（???
）
A.??????????????????
B.????????????????
C.?????????????????
?D.?
10.在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别为
，则矩形
的外接圆方程是（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????????????????????D.?
11.已知平面
平面
，且
是正方形，在正方形
内部有一点
，满足
与平面
所成的角相等，则点
的轨迹长度为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?16????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
12.已知点
，点
是圆
上的动点，点
是圆
上的动点，则
的最大值为（???
）
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
二、多选题
13.若圆
与圆
相切，则m的值可以是（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
14.已知圆
上存在两个点到点
的距离为
，则m的可能的值为（???
）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?-3??????????????????????????????????????????D.?-5
15.已知
分别为圆M：
与圆
：
上的动点，A为x轴上的动点，则
的值可能是（???
）
A.?7???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?9???????????????????????????????????????????D.?10
三、填空题
16.圆心在直线
，且与直线
相切于点
的圆的标准方程为________.
17.已知直线
过点
且与直线
垂直，则圆
与直线
相交所得的弦长为________。
18.已知圆
，直线
与圆
交于
两点，
，若
，则弦
的长度的最大值为________.
19.已知
为坐标原点，圆
：
，
圆
：
．
分别为圆
和圆
上的动点，则
的最大值为________．
四、解答题
20.如图，正四棱锥P－ABCD中，底面边长为2，侧棱长为
，M
，
N分别为AB
，
BC的中点，以O为原点，射线OM
，
ON
，
OP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．若E
，
F分别为PA
，
PB的中点，求A
，
B
，
C
，
D
，
E
，
F的坐标．
21.已知圆
的方程为：
.
（1）求实数
的取值范围；
（2）若直线
与圆
相切，求实数
的值.
22.分别根据下列条件，求圆的方程：
（1）过点
和原点；
（2）与两坐标轴均相切，且圆心在直线
上.
23.已知圆C的圆心在坐标原点，且过点M（
）．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线
的距离的最小值；
24.已知直线
及圆
．
（1）判断直线
与圆
的位置关系；
（2）求过点
的圆
的切线方程．
25.已知圆M:x2+y2-2y-4=0与圆N:x2+y2-4x+2y=0.
（1）求证:两圆相交;
（2）求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦长;
（3）在平面上找一点P，过点P引两圆的切线并使它们的长都等于1.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
D
解：点A（1，2）在圆外，所以切线有两条，做出圆图象，
x2+（y﹣1）2＝1的圆心
，半径为
，
根据点A的位置关系，过点A的切线方程为x＝1或y＝2.
故答案为：D.
【分析】根据已知圆的圆心
，半径为1，做出图像，即可求出切线方程.
2.答案：
C
解：由圆心到切线的距离等于半径，得
∴
∴
或
.
故选：C.
【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径来求解.
3.答案：
D
解：
?
?圆心坐标为（2，0）半径为2；
圆心坐标为
，半径为1，
圆心距为4，两圆半径和为3，
因为4>3,所以两圆的位置关系是外离，
故两圆的公切线共有4条．
故本题选D.
【分析】把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而可以判断出有几条公切线．
4.答案：
D
解：圆
的圆心
，半径
；
圆
的圆心
，半径
，
，
，
则
两圆相交．
故选：
．
【分析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出．
5.答案：
B
解：设点
是点
关于
轴对称的点，
则
轴，且
中点在
轴上，为
，
则
，解得：
，即
.
故答案为：B
【分析】先设点
是点
关于
轴对称的点，根据题意，列出方程组求解，即可得出结果.
6.答案：
C
解：由圆的一般式方程可得
即
，解得
，
故选C。
【分析】本题首先根据圆的一般式方程可知
，再根据题意即可列出不等式
，最后通过计算得出结果。
7.答案：
D
解：由已知，圆的标准方程为
，
圆心为
，半径
，
圆心到直线
的距离
，
解得
，
所以弦长为
，
因为
，
所以
，
所以弦长
，
当
即
时，弦长有最大值
.
故答案为：D
【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理与勾股定理建立关系即可得到答案.
8.答案：
B
解：由题意，设圆的方程为
，
则圆心到直线
的距离为
，
又由被直线
截得的弦长为
，
则
，
所以所求圆的方程为
，
故答案为：B．
【分析】设出圆的方程，求出圆心到直线的距离，利用圆心到直线的距离、半径和半弦长满足勾股定理，求得圆的半径，即可求得圆的方程，得到答案．
9.答案：
D
解：圆的方程可化为
，
点M到直线l的距离为
，所以直线l与圆相离．
依圆的知识可知，四点
四点共圆，且
，
所以
，而
，
当直线
时，
，
，此时
最小．
∴
即
，由
解得，
．
所以以
为直径的圆的方程为
，即
，
两圆的方程相减可得：
，即为直线
的方程．
故答案为：D.
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点
共圆，且
，根据
可知，当直线
时，
最小，求出以
为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线
的方程．
10.答案：
B
解：矩形
的中心为
，对角线长为
，
所以矩形
的外接圆的圆心为
，半径为
，
所以矩形
的外接圆方程是
，即
.
故答案为：B
【分析】根据矩形的中心是其外接圆的圆心，矩形的对角线是其外接圆的直径，求出圆心坐标和半径，得到圆的标准方程，再化为圆的一般方程即可得到答案.
11.答案：
C
解：由于平面
平面
，且交线为
，
，
所以
平面
，
平面
.
所以
和
分别是直线
与平面
所成的角，
所以
，
所以
，即
，所以
.
以
为原点建立平面直角坐标系如下图所示，
则
，
，设
（点
在第一象限内），
由
得
，
即
，化简得
，
由于点
在第一象限内，
所以
点的轨迹是以
为圆心，半径为
的圆在第一象限的部分.
令
代入原的方程，解得
，故
，
由于
，所以
，
所以点
的轨迹长度为
.
故选：C
【分析】根据
与平面
所成的角相等，判断出
，建立平面直角坐标系，求得
点的轨迹方程，由此求得点
的轨迹长度.
12.答案：
D
解：如图：依题意得点
在直线
上，
点
关于直线
对称的点
,
点
在圆
关于直线
对称的圆
上，
则
，设圆
的圆心为
，
因为
，
，
所以
，
当
五点共线，
在线段
上，
在线段
上时“=”成立.
因此，
的最大值为4.
故答案为：D
【分析】作出图形及E关于直线
对称的点
,结合圆的特点，数形结合，可知当
五点共线，
在线段
上，
在线段
上时，
有最大值，求出最大值即可.
二、多选题
13.答案：
A,C
解：由题意，圆
可化简为
，
所以圆
的圆心坐标
，半径
，
圆
的圆心坐标
，半径
，
所以，
，
所以，
或
，
解得
或
.
故答案为：AC.
【分析】根据题意，求出圆
的圆心与半径，分两圆内切和外切两种情况，求出m的值即可.
14.答案：
A,C,D
解：由题知，圆
与圆
相交，
所以，
，即
，
解得
，
即
的值可以为：
或
或
.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意，圆
与圆
相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.
15.答案：
C,D
解：圆
，关于x轴对称的圆为圆
，
则
的最小值为
，又
，
故答案为：
.
【分析】计算得到
的最小值为
，得到答案.
三、填空题
16.答案：
解：设
则
，
解得
所以（x-1）2+（y+4）2=8．
【分析】可设圆标准方程，根据题意可列三个条件：
，解方程组可得
，即得圆方程.
17.答案：
解：由题意可得，
的方程为
，
可化为
，
圆心
，半径
，
圆心
到
的距离
，
．
故答案为：
．
【分析】先求出直线
的方程，再求出圆心
与半径
，计算圆心到直线
的距离
，由垂径定理求弦长
．
18.答案：
解：设
为
的中点，
，
即
，
即
，
，
.
设
，则
，得
.
所以
，
.
故答案为：
【分析】取
的中点为M，由
可得
，可得M在
上，当
最小时，弦
的长才最大.
19.答案：
解：如图所示，以
为直径作圆，延长
交新圆于
点，
交新圆于
点，
连接
，
，则
与
垂直，
又
，所以
为
中点，
由对称性可知
，
∵
，
所以
，
因此当
最大值时，
最大，
故题意转化为在半径为1的圆内求其内接三角形
的面积最大值，
圆内接三角形的面积
，
由正弦定理得
，
，
∴
由于
，
时为上凸函数，
可得
即
，当且仅当
时等号成立，
进而可得
的最大值为
，故答案为
【分析】如图所示，以
为直径作圆，延长
交新圆于
点，
交新圆于
点，首先证得
，将题意转化为求圆内接三角形面积的最大值，将基本不等式和琴生不等式相结合即可得结果.
四、解答题
20.答案：解：∵正四棱锥P－ABCD中，底面边长为2，侧棱长为
，
∴OB＝
，OP＝
＝
＝2，
∴由上可得A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0,2)．
又∵E
，
F分别为PA
，
PB的中点，
∴由中点坐标公式可得E
，F
.
【分析】建立坐标系，利用空间坐标的定义，再利用中点坐标公式可得结论。
21.答案：
（1）解：由圆的方程的要求可得，22＋42－4m＞0，∴m＜5
（2）解：圆心(1,2)，半径
，
因为圆和直线相切，所以有
，所以
【分析】（1）
由圆的方程判定方法求出实数
的取值范围。
（2）利用直线与圆相切的位置关系的判定方法求出实数
的值.
22.答案：
（1）解：设圆的方程为
，
由题意，
，解得
，
故所求圆的方程为
（2）解：由圆心在直线
上，
设圆心的坐标为
，
因为圆与两坐标轴均相切，所以
，??
解得
或
.
当
时，圆心为
，半径为5，
则圆的方程为
；
当
时，圆心为
，半径为1，
则圆的方程为
；
故所求圆的方程为
或
.
【分析】(1)
设圆的方程为
，由
和原点在圆上可得
，从而可求出
，即可得圆的方程.(2)
设圆心的坐标为
，由圆与坐标轴相切可知
，进而可求出
的值，即可求出圆的方程.
23.答案：
（1）解：由题意，圆C的圆心在坐标原点，且过点
，
所以圆C的半径为
，
即圆C的方程为
.
（2）解：由题意，圆心到直线l的距离为
，
所以P到直线
的距离的最小值为
【分析】（1）由圆C的圆心在坐标原点，且过点
，求得圆的半径，利用圆的标准方程，即可求解；（2）由点到直线的距离公式，求得圆心到直线l的距离为
，进而得到点P到直线
的距离的最小值为
，得出答案.
24.答案：
（1）解：因为
，
消去
，整理得
，
其中
，直线
与圆
相交.
（2）解：当切线斜率存在时，设切线斜率为
，
则可设切线的方程为，
即
，
由
，得
，
此时，切线方程为
，
当切线斜率存在时，结合点与圆的图像知，此时切线方程为
.
综上，圆的切线方程为
和
.
【分析】（1）利用代数法，联立直线方程与圆方程，化为关于
的一元二次方程，再由判别式大于0判断直线与圆相交；（2）当切线斜率存在时，设切线斜率为
，写出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得
，则直线方程可求；当切线斜率不存在时，直接写出切线方程，则答案可求．
25.答案：
（1）证明：由己知得圆M:x2+(y-1)2=5，圆N:(x-2)2+(y+1)2=5,
圆心距
,
∴
,
∴两圆相交.
（2）解：联立两圆的方程得方程组
两式相减得x-y-1=0，此为两圆公共弦所在直线的方程.
法一:设两圆相交于点A，B，
则A，B两点满足方程组
解得
或
所以
，
即公共弦长为
.
法二:
，得x2+(y-1)2=5，
其圆心坐标为(0，1)，半径长r=
，
圆心到直线x-y-1=0的距离为
设公共弦长为2l，由勾股定理得
，
即
，
解得
，故公共弦长
.
（3）解：∵两圆半径均为
，过P点所引的两条切线长均为1,
∴点P到两圆心的距离
,
设P点坐标为(x，y)，则
解得
或
.点P坐标为
或
.
【分析】(1)先求两圆的圆心距和半径，结合圆心距与半径间的关系可证；(2)联立两圆方程可得两圆公共弦所在的直线方程，结合勾股定理可得公共弦长；(3)结合切线长与半径可得点
到圆心的距离，建立方程组可求
的坐标.
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