九年级（上）数学
第2章
一元二次方程
单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为
A．
B．
C．
D．
2．若关于的方程有一个根为，则的值是
A．9
B．4.5
C．3
D．
3．用配方法解方程，则方程可变形为
A．
B．
C．
D．
4．一元二次方程的解为
A．，
B．，
C．，
D．，
5．如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是
A．
B．且
C．且
D．
6．若、是方程的两个解，则代数式的值为
A．8
B．10
C．12
D．14
7．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是
A．6
B．7
C．8
D．9
8．某品牌运动服原来每件售价400元，受疫情影响经过连续两次降价后，现在每件售价为256元．设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程
A．
B．
C．
D．
9．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为
A．
B．
C．
D．
10．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例．若为实数）是关于的方程，则它的根的情况为
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
二．填空题（共8小题）
11．方程的解为
．
12．一元二次方程根的判别式的值为
．
13．已知、是方程的两个实数根，则的值为
．
14．关于的方程有两个实数根，则的取值范围是
．
15．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为
．
16．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为，；小刚看错了常数项，得到的解为，．请你写出正确的一元二次方程
．
17．超市的一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销售，准备适当降价，据测算，每降价1元，每天可多售出20箱，若要使每天销售这种饮料获利1400元，每箱应降价多少元？设每箱降价元，则可列方程（不用化简）为：
．
18．已知，是方程的两个实数根，而是关于的方程的实数根，则代数式的值是
．
三．解答题（共7小题）
19．解方程：
（1）；
（2）．
20．已知：关于的一元二次方程为常数）．
（1）证明：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．
21．已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
22．某学校计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米．那么这个花圃的长和宽分别应为多少米？
23．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间正好可以住满．每个房间每天的定价每增加10元，就会有一个房间空闲．已知有游客入住的房间，宾馆每天需对每个房间支出50元的各种费用．
（1）若某天宾馆的入住量为58个房间，则该天宾馆的利润为 元；
（2）求宾馆每天房间入住量达到多少个时，每天的利润为11000元．
24．阅读理解：已知，求、的值．
解：
．
．
，
，．
方法应用：（1）已知，求、的值；
（2）已知．
①用含的式子表示 ；
②若，求的值．
25．有甲、乙两家草莓采摘园，草莓的销售价格相同，在生长旺季，两家均推出优惠方案，甲园的优惠方案是：采摘的草莓不超过时，按原价销售；若超过，超过部分6折优惠；乙园的优惠方案是：游客进园需购买20元门票，采摘的草莓直接降价出售．已知在甲园、乙园采摘草莓时，所需费用相同．
在乙采摘园所需费用（元与草莓采摘量（千克）满足一次函数关系，如下表：
数量千克
0.5
1
1.5
2
费用元
50
60
（1）求与的函数关系式（不必写出的范围）；
（2）求两个采摘园的草莓在生长旺季前的销售价格，并求在甲采摘园所需费用（元与草幕采摘量（千克）的函数关系式；
（3）若嘉琪准备花费200元去采摘草莓，去哪个园采摘，可以得到更多数量的草莓？说明理由．
九年级（上）数学
第2章
一元二次方程
单元测试卷
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为
A．
B．
C．
D．
解：、当时，，不是一元二次方程；
、整理得，，不是一元二次方程；
、，不是整式方程，不是一元二次方程；
、，是一元二次方程；
故选：．
2．若关于的方程有一个根为，则的值是
A．9
B．4.5
C．3
D．
解：把代入方程得，
解得．
故选：．
3．用配方法解方程，则方程可变形为
A．
B．
C．
D．
解：，
，
，
，
．
故选：．
4．一元二次方程的解为
A．，
B．，
C．，
D．，
解：，
或，
所以，．
故选：．
5．如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是
A．
B．且
C．且
D．
解：关于的一元二次方程有两个实数根，
△且，
解得且，
故选：．
6．若、是方程的两个解，则代数式的值为
A．8
B．10
C．12
D．14
解：根据题意得，，
所以．
故选：．
7．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是
A．6
B．7
C．8
D．9
解：设参加此次比赛的球队数为队，根据题意得：
，
化简，得，
解得，（舍去），
答：参加此次比赛的球队数是9队．
故选：．
8．某品牌运动服原来每件售价400元，受疫情影响经过连续两次降价后，现在每件售价为256元．设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程
A．
B．
C．
D．
解：设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程，
故选：．
9．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为
A．
B．
C．
D．
解：依题意，得：．
故选：．
10．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例．若为实数）是关于的方程，则它的根的情况为
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
解：为实数）是关于的方程，
，
整理得，
△
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．方程的解为 ．
解：，
，
，
或，
故答案为：．
12．一元二次方程根的判别式的值为 13 ．
解：，，，
△．
所以一元二次方程根的判别式的值为13．
故答案为：13．
13．已知、是方程的两个实数根，则的值为 25 ．
解：根据题意得，，
所以．
故答案为25．
14．关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 且 ．
解：关于的方程有两个实数根，
△，且，
解得：且．
故答案为：且．
15．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 13 ．
解：，
，
，，
三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，，，
三角形的第三边长是6，
该三角形的周长为：．
故答案为：13．
16．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为，；小刚看错了常数项，得到的解为，．请你写出正确的一元二次方程 ．
解：根据题意得，
，
解得，，
所以正确的一元二次方程为．
故答案为．
17．超市的一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销售，准备适当降价，据测算，每降价1元，每天可多售出20箱，若要使每天销售这种饮料获利1400元，每箱应降价多少元？设每箱降价元，则可列方程（不用化简）为： ．
解：每箱降价元，每降价1元，每天可多售出20箱，
平均每天可售出箱．
依题意，得：．
18．已知，是方程的两个实数根，而是关于的方程的实数根，则代数式的值是 ．
解：，是方程①的两个实数根，
，，
，，
方程②为，
是关于的方程②的根，
，
，
．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
19．解方程：
（1）；
（2）．
解：（1）方程，
分解因式得：，
可得或，
解得：，；
（2）方程，
这里，，，
△，
，
解得：，．
20．已知：关于的一元二次方程为常数）．
（1）证明：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．
【解答】（1）证明：，
，，
△，
，
，
△，
无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为，
则
，
方程的另一个根为．
21．已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
解：（1）由题意可知，△，
整理得：，
解得：，
的取值范围是：．
故答案为：．
（2）由题意得：，
由韦达定理可知：，，
故有：，
整理得：，
解得：，，
又由（1）中可知，
的值为．
故答案为：．
22．某学校计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米．那么这个花圃的长和宽分别应为多少米？
解：设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，
依题意，得：，
整理，得：，．
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：这个花圃的长为10米，宽为8米．
23．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间正好可以住满．每个房间每天的定价每增加10元，就会有一个房间空闲．已知有游客入住的房间，宾馆每天需对每个房间支出50元的各种费用．
（1）若某天宾馆的入住量为58个房间，则该天宾馆的利润为 9860 元；
（2）求宾馆每天房间入住量达到多少个时，每天的利润为11000元．
解：（1）（元．
故答案为：9860．
（2）设每个房间每天的定价增加了元，则每天可入住个房间，
依题意，得：，
化简得：，
解得：，，
或20．
答：每天房间入住量达到55个或20个时，利润为11000元．
24．阅读理解：已知，求、的值．
解：
．
．
，
，．
方法应用：（1）已知，求、的值；
（2）已知．
①用含的式子表示 ；
②若，求的值．
解：（1），
，
，
，，
，；
（2）①，
；
故答案为：；
②，
，
，
，
，
，，
，
的值．
25．有甲、乙两家草莓采摘园，草莓的销售价格相同，在生长旺季，两家均推出优惠方案，甲园的优惠方案是：采摘的草莓不超过时，按原价销售；若超过，超过部分6折优惠；乙园的优惠方案是：游客进园需购买20元门票，采摘的草莓直接降价出售．已知在甲园、乙园采摘草莓时，所需费用相同．
在乙采摘园所需费用（元与草莓采摘量（千克）满足一次函数关系，如下表：
数量千克
0.5
1
1.5
2
费用元
50
60
（1）求与的函数关系式（不必写出的范围）；
（2）求两个采摘园的草莓在生长旺季前的销售价格，并求在甲采摘园所需费用（元与草幕采摘量（千克）的函数关系式；
（3）若嘉琪准备花费200元去采摘草莓，去哪个园采摘，可以得到更多数量的草莓？说明理由．
解：（1）设与的函数关系式为，依题意有
，
解得．
故；
（2）设草莓在生长旺季前的销售价格为元千克，依题意有
，
解得，
则在甲采摘园所需费用（元与草幕采摘量（千克）的函数关系式；
（3）去乙园采摘可以得到更多数量的草莓．
当时，有，解得；
当时，，
，
解得，
，
去乙园采摘可以得到更多数量的草莓．九年级(上)数学第2章一元二次方程单元测试卷
选择题(共10小题)
1.下列关于x的方程中,一定是一元二次方程的为()
A.ax2+bx+c=0B.x-2=(x+3)C.x2+3-5=0D.x2=0
2.若关于x的方程x2+ax+a=0有一个根为-3,则a的值是()
B.4.5
C,3
3.用配方法解方程2x2-4x+1=0,则方程可变形为()
A.(x-2)2=1B.2(x-2y2=1c.(x-1)3=
D.(2x-1)2=1
4.一元二次方程x2-5x+6=0的解为()
5.如果关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根,那么k的取值范围是()
A.k≥
B.k≥-9且k≠0C.k≤9且k≠0D.k≤-9
6.若x、x2是方程x2-5x+6=0的两个解,则代数式(x1+1)(x2+1)的值为()
B.10
某年级举办篮球友谊赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共要比赛36场,则参加此
次比赛的球队数是()
8.某品牌运动服原来每件售价400元,受疫情影响经过连续两次降价后,现在每件售价为
256元,设平均每次降价的百分率为x,根据题意可列方程()
A.400(1-2x)=256
B.4001-x)2=256
C.4001-x2)=256
D.256(1+x)2=400
9.如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形,为便于管理,
要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600平方米,则小道的宽为多少
米?若设小道的宽为x米,则根据题意,列方程为(
A.35×20-35x-20x+2x2=600
B.35×20-35x-2×20x=600
C.(35-2x)(20-x)=600
D.(35-x)(20-2x)=600
10.定义新运算“a
b”:对于任意实数a,b,都有a
b=(a+b)a-b)-1,其中等式右
边是通常的加法、减法、乘法运算,例4
3=(4+3)4-3)-1=7-1=6.若x
k=x(k为实
数)是关于x的方程,则它的根的情况为()
A.有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.没有实数根
填空题(共8小题)
11.方程3(x-1)2=6的解为
12.一元二次方程x2+3x-1=0根的判别式的值为
13.已知a、B是方程x2+3x-8=0的两个实数根,则a2+B2的值为
4.关于x的方程(m+1)x2+3x-1=0有两个实数根,则m的取值范围是
15.一个三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程x2-8x+12=0的根,则该三角形
的周长为
16.在解一元二次方程x2+bx+c=0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x=2,
x2=3;小刚看错了常数项c,得到的解为x1=1,x2=5.请你写出正确的一元二次方
程
17.超市的一种饮料,平均每天可售出100箱,每箱利润12元,为扩大销售,准备适当降
价,据测算,每降价1元,每天可多售出20箱,若要使每天销售这种饮料获利1400元,每
箱应降价多少元?设每箱降价x元,则可列方程(不用化简)为:
18.已知x,x2是方程x2-2k+1)x+k2+2k-1=0的两个实数根,而a是关于y的方程
y-(x+x2-2k)y+(x1-k(x2-k)=0的实数根,则代数式
a2-1的
值
aa+
是
三.解答题(共7小题)
