全称量词命题与存在量词命题的否定
【教材分析】
本节课是在前面已经学习了全称量词与存在量词的基础上，对命题的否定的再认识，同时学好本节课也使学生对否命题与命题的否定能够区分开。
【教学目标】
课程目标
核心素养
（1）理解命题的否定的含义，会写给定命题的否定并判断命题的真假；
（2）正确掌握全称量词命题与存在量词命题的否定；
（3）明确全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题，会判断其真假。
A．数学抽象：命题的否定概念的形成；
B．逻辑推理：经历命题的否定及其全称量词命题与存在量词命题的否定形成过程，体验由特殊到一般的思维方法；
C．数学运算：会写全称量词命题与存在量词命题的否定；
D．直观想象：通过实例体会对理解抽象概念的作用；
E．数学建模：通过实例体验命题的否定，全称量词命题和存在量词命题的否定。
【教学重难点】
重点：全称量词命题与存在量词命题的否定以及真假的判断。
难点：正确的对全称量词命题与存在量词命题进行否定。
【教学过程】
一、复习回顾
1．命题
1）可供真假判断的陈述语句称为命题。
2）判断为真的语句称为真命题。
3）判断为假的语句称为假命题。
2．全称量词：“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体。
全程量词命题：
3．存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分。
存在量词命题：
二、新课讲授
1．命题的否定
（1）情境与问题：
“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词。2009年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要。一旦下决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：“前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强。”
结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思。
【设计意图】通过生活中的大家熟悉的情境，引出新课——命题的否定，激发学生学习数学的兴趣。
（2）尝试与发现
你能说出命题和这两个命题之间的关系吗？它们的真假性如何？
【师生活动】老师组织学生分组讨论，派代表表述本组结论。由此可知：
命题是对命题的否定，命题也是对命题的否定。命题为真命题，而命题为假命题。
从而得到命题的否定的定义。
命题的否定：一般地，对命题加以否定，就得到一个新的命题，记作：“”，读作：“非”或“的否定”。
（3）思考：命题与真假有什么关系呢？
命题
命题
归纳小结
命题与的真假相反
真
假
假
真
（4）课堂训练
解：（1）
（2）
2．全称量词命题与存在量词命题的否定
（1）课堂探究
下面我们来探究如何对全称量词命题与存在量词命题的否定进行否定。根据要求，认真思考回答问题：
1）命题
命题
自然语言
存在整数是自然数。
每一个整数都不是自然数。
符号语言
命题形式
存在量词命题
全称量词命题
真假判断
真命题
假命题
2）命题
命题
自然语言
存在实数的平方小于0.
每一个实数的平方都不小于0.
符号语言
命题形式
存在量词命题
全称量词命题
真假判断
假命题
真命题
3）命题
命题
自然语言
每一个有理数都是实数。
存在一个有理数不是实数。
符号语言
命题形式
全称量词命题
存在量词命题
真假判断
真命题
假命题
（2）尝试与发现
记：“每一个素数都是奇数。”用类似的方法研究和的关系、符号表示以及真假性。
（
）
命题
自然语言
每一个素数都是奇数。
存在一个素数不是奇数。
符号语言
命题形式
全称量词命题
存在量词命题
真假判断
假命题
真命题
【师生活动】根据表格，填空。可以分组讨论完成后，在展示。
【设计意图】通过具体实例，体会各种量词命题及其否定的写法和真假判断，师生双边活动多，能够激发学生学习数学的积极性。
（3）想一想：
全称量词命题的否定为：
存在量词命题的否定为：
注意：对含有量词的命题进行否定时，不仅要改变量词，还要对结论进行否定。
【设计意图】经历命题的否定及其全称量词命题与存在量词命题的否定形成过程，体验由特殊到一般的思维方法。
【师生活动】归纳猜想，得到结论。
3．经典例题
例1
写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
（1）
（2）
（3）至少有一个直角三角形不是等腰三角形。
【设计意图】通过例题，是通过让学生思考并回答，使学生能够写出全程量词命题与存在量词命题的否定，并判断两种特殊命题的真假，培养学生分析和解决问题的能力。
【师生活动】独立完成上述题目，想一想如何判断真假，教师提问，学生回答，并指正。
解：（1）假命题
（2）真命题
（3）所有直角三角形都是等腰三角形。假命题
例2
写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
（1）
（2）
【师生活动】学生完成，教书指正，归纳如何判断真假的方法。
解：（1）假命题
（2）真命题
归纳方法：
全称量词命题或存在量词命题的否定真假判断的策略。（1）写出该全称量词命题或存在量词命题的否定，在判断真假；（2）根据命题与其否定的真假相反可以转化为判断原全称量词命题或存在量词命题的真假。
4．课堂训练
【设计意图】通过让学生思考并回答，巩固新知，查缺补漏。
【师生活动】学生回答，学生纠错，教师点评。
三、课堂小结
回顾本节课，你有什么收获？
【师生活动】学生可以从以下三点分别回答：
1．命题的否定
2．全称量词命题的否定及其真假判断；
3．存在量词命题的否定及其真假判断。
5
/
5(共26张PPT)
充分条件
必要条件
谢
谢充分条件、必要条件
【学习目标】
1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系。
2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系。
3．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。
【学习重难点】
充分条件与必要条件。
【学习过程】
一、知识点一：充分条件与必要条件
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q。这时，我们就说，由p可以推出q，记作，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。
状元随笔：如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。
二、知识点二：充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件。
状元随笔：p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”，“q当且仅当p”等。
1．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（
）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：“便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件。
答案：B
2．设p：x＜3，q：-1＜x＜3，则p是q成立的（
）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为（-1，3）∪（-∞，3），所以p是q成立的必要不充分条件。
答案：C
3．设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A?B”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A、B是两个集合，则由“A∩B=A”可得“A?B”，由“A?B”可得“A∩B=A”，所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A?B”的充要条件。故选C。
答案：C
4．用符号“”与“”填空：
（1）x2＞1________x＞1；
（2）a，b都是偶数________a＋b是偶数．
解析：（1）命题“若x2＞1，则x＞1”是假命题，故x2＞1x＞1。
（2）命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数?a＋b是偶数。
答案：（1）：（2）
三、素养提升
题型一：充分条件、必要条件、充要条件的判断
例1：判断下列各题中，p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件：
（1）p：x∈Z，q：x∈R；
（2）p：x是长方形；q：x是正方形．
解析：（1）因为整数都是有理数，从而一定也是实数，即p?q，因此p是q的充分条件，q是p的必要条件。
p?q由充分条件的定义来判断。
（2）因为长方形不一定是正方形，即pq，因此p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。
p?q由必要条件的定义来判断．
四、教材反思
充分条件、必要条件、充要条件的判断方法
1．定义法
（1）分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论。
（2）找推式：判断“p?q”及“q?p”的真假。
（3）根据推式及条件得出结论。
2．等价转化法
（1）等价法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题。
（2）逆否法：这是等价法的一种特殊情况。
若┐p?┐q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；
若┐p?┐q，且┐q┐p，则p是q的必要不充分条件；
若┐p?┐q，则p与q互为充要条件；
若┐p┐q，且┐q┐p，则p是q的既不充分也不必要条件。
3．集合法：写出集合A={x|p（x）}及B={x|q（x）}，利用集合间的包含关系进行判断。
4．传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断。
5．特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件（结论）不能推出结论（条件），但是这种方法不适用于证明题。
跟踪训练1：指出下列各题中p是q的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答）。
（1）p：x-3=0，q：（x-2）（x-3）=0；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
（3）p：a＞b，q：a＋c＞b＋c
解析：（1）x-3=0?（x-2）（x-3）=0，但（x-2）（x-3）=0x-3=0，故p是q的充分不必要条件。
（2）两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件。
（3）a＞b?a＋c＞b＋c，且a＋c＞b＋c?a＞b，故p是q的充要条件。
→
题型二：求条件（充分条件、必要条件和充要条件）
经典例题：
例2：使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是（
）
A．x≥0
B．x＜0或x＞2
C．x∈{-1，3，5}
D．x≤-或x≥3
解析：由2x2-5x-3≥0，得x≥3或x≤-，所以选项中只有x∈{-1，3，5}是使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件。
答案：C
五、方法归纳
本题易错的地方是颠倒充分性和必要性，根据{x|x≥3或x≤-}∪{x|x＞2或x＜0}，误选B。事实上，“不等式2x2-5x-3≥0成立”为结论q，我们只需找到条件p使p?q且qp即可。
跟踪训练2：2x2-5x-3＜0的必要不充分条件是（
）
A．-＜x＜3
B．0＜x＜2
C．-1＜x＜2
D．-＜x＜4
解析：2x2-5x-3＜0?-＜x＜3，
∵∪，
∴-＜x＜4是2x2-5x-3＜0的必要不充分条件。
答案：D
使2x2-5x-3＜0成立的x为-＜x＜3，再求必要不充分条件。
题型三：充分条件、必要条件、充要条件的应用
例3：已知p：2x2-3x-2≥0，q：x2-2（a-1）x＋a（a-2）≥0，若p是q的充分不必要条件。求实数a的取值范围。
解析：令M={x|2x2-3x-2≥0}={x|（2x＋1）（x-2）≥0}=；
N={x|x2-2（a-1）x＋a（a-2）≥0}={x|（x-a）[x-（a-2）]≥0}={x|x≤a-2或x≥a}，
由已知p?q且qp，得M∪N
∴或
解得≤a＜2或＜a≤2，即≤a≤2，
即所求a的取值范围是
六、方法归纳
根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式（组）进行求解。
跟踪训练3：已知M={x|（x-a）2＜1}，N={x|x2-5x-24＜0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围。
解析：由（x-a）2＜1得，x2-2ax＋（a-1）（a＋1）＜0，
∴a-1＜x＜a＋1
则M={x|a-1＜x＜a＋1}，
又由x2-5x-24＜0得-3＜x＜8
则N={x|-3＜x＜8}
∵M是N的充分条件，∴M?N，
∴解得-2≤a≤7
故a的取值范围是-2≤a≤7
先求M、N，再利用充分条件得M?N，即M?N来求a的取值范围。
七、达标检测
（一）选择题
1．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A?B”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为A={1，a}，B={1，2，3}，若a=3，则A={1，3}，所以A?B，所以a=3?A?B；若A?B，则a=2或a=3，所以A?Ba=3，所以“a=3”是“A?B”的充分而不必要条件。
答案：A
2．函数f（x）=x2＋mx＋1的图像关于直线x=1对称的充要条件是（
）
A．m=-2
B．m=2
C．m=-1
D．m=1
解析：函数f（x）=x2＋mx＋1的图像关于x=1对称?-=1?m=-2。
答案：A
3．王昌龄的《从军行》中有两句诗：“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”。其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（
）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件。故选B。
答案：B
4．已知p：x＞1或x＜-3，q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（
）
A．[1，＋∞）
B．（-∞，1]
C．[-3，＋∞）
D．（-∞，-3]
解析：令A={x|x＞1或x＜-3}，B={x|x＞a}，
∵q是p的充分不必要条件，
∴B∪A，
∴a≥1
答案：A
（二）填空题
5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空。
（1）“x2-1=0”是“|x|-1=0”的________；
（2）“x＜5”是“x＜3”的________。
解析：（1）设A={x|x2-1=0}={-1，1}，B={x||x|-1=0}={-1，1}，所以A=B，即“x2-1=0”是“|x|-1=0”的充要条件。
（2）设A={x|x＜5}，B={x|x＜3}，因为A∩B，所以“x＜5”是“x＜3”的必要不充分条件。
答案：（1）充要条件：（2）必要不充分条件
6．如果命题“若A则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件。
解析：因为逆否命题为假，那么原命题为假，即AB，又因否命题为真，所以逆命题为真，即B?A，所以A是B的必要不充分条件。
答案：必要不充分
7．函数y=x2＋bx＋c（x∈[0，＋∞））是单调函数的充要条件是________。
解析：对称轴x=-≤0，即b≥0．
答案：b≥0
（三）解答题
8．指出下列各题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答）。
（1）在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC；
（2）对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；
（3）已知x，y∈R，p：（x-1）2＋（y-2）2=0，q：（x-1）（y-2）=0．
解析：（1）在△ABC中，显然有∠A＞∠B?BC＞AC，所以p是q的充要条件。
（2）因为p?q，但qp，所以p是q的充分不必要条件。
（3）因为p：A={（1，2）}，q：B={（x，y）|x=1或y=2}，A∪B，所以p是q的充分不必要条件。
9．已知p：x2-8x-20＞0，q：x2-2x＋1-m2＞0（m＞0），若p是q的充分而不必要条件，求正实数m的取值范围。
解析：由命题p得：x＞10或x＜-2，
由命题q得：x2-2x＋1-m2＞0（m＞0）?[x-（1＋m）]·[x-（1-m）]＞0?x＜1-m，或x＞1＋m（m＞0）
因为p是q的充分不必要条件，
所以p?q，且qp，{x|x＞10或x＜-2}∪{x|x＜1-m或x＞1＋m（m＞0）}，
所以两等号不能同时成立，解得即m≤3
所以正实数m的取值范围为（0，3]。
10．求关于x的方程ax2＋2x＋1=0至少有一个负的实根的充要条件。
解析：（1）a=0时，可得x=-，符合题意。
（2）当a≠0时，方程为一元二次方程，若方程有两个异号的实根，
则解得a＜0；
若方程有两个负的实根，
则必须满足解得0＜a≤1
综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1。
反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根。
因此，关于x的方程ax2＋2x＋1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1。
8
/
8充分条件、必要条件
【教材分析】
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。
【教学目标】
1．理解充分条件和必要条件的概念。
2．掌握充分条件和必要条件的判断方法。
3．理解充分必要条件的概念。
4．能利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要性的证明
【核心素养】
数学抽象：在课前导读中抽象出充分、必要的概念。
逻辑推理：判定推出与不推出，推理充分条件与必要条件的基本形式和规则。
直观想象：借助坐标轴和几何图形来判定充分条件与必要条件。
数学运算：掌握p、q运算，正确判断推出与不推出的关系。
【教学重点】
掌握充分条件和必要条件的概念和判断方法。
掌握充要条件的概念和判断方法。
【教学难点】
能利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要性的证明。
【教学准备】
通过课前导读、身边的例子来了解充分、必要的概念。
【教学过程】
【课前导读】
“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？
（1）“不断出现的数据让禁放派理由更加充分”（《中国青年报》2014年1月23日）；
（2）“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密”（《人民日报》2014年3月4日）；
（3）“积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会”（《中国青年报》2015年6月22日）；
（4）“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”（《人民日报》2015年7月28日）。
本小节我们要学习数学中的充分条件和必要条件。
一、充分条件、必要条件
【新课讲授】
我们已经接触过很多形如“如果p，那么q”①的命题，例如：
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半；
（3）如果x>2，那么x>3；
（4）如果a>b且c>0，那么ac>bC．
在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论。若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q，记作
pq
读作“p推出q”；否则，称由p推不出q，记作pq，读作“p推不出q”。
例如，上述例子中，（1）是一个真命题，即“两条直线都与第三条直线平行”可以推出“这两条直线也互相平行”，这也可记作
两条直线都与第三条直线平行这两条直线也互相平行；
而（3）是一个假命题，即x>2推不出x>3，这也可记作
x>2x>3．
“如果p，那么q”也常常记为“如果p，则q”或“若p，则q”，
【尝试与发现】
当pq时，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件；当pq时，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。事实上，前述课前导读中的“充分”“必要”与这里的充分条件、必要条件表示的是类似的意思。
因此，“如果p，那么q”是真命题，pq，p是q的充分条件，q是p的必要条件，这四种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已。
例如，因为“如果x=-y，则x2=y2”是真命题，所以
x=-yx2=y2，x=-y是x2=y2的充分条件，x2=y2是x=-y的必要条件。
再例如，因为命题“若A∩B≠?，则A≠?”是真命题，所以
A∩B≠?
A≠?
A∩B≠?是A≠?的
条件
A≠?是A∩B≠?的
条件
【思考与辨析】
【典型例题】
例1判断下列各题中，p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件：
（1）p：x∈Z，q：x∈R；
（2）p：x是矩形，q：x是正方形。
解（1）因为整数都是有理数，从而一定也是实数，即pq，因此p是q的充分条件，q是p的必要条件。
（2）因为矩形不一定是正方形，即pq，因此p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。
充分条件与必要条件也可用集合的知识来理解。
设A={x|x≥0}，B={x|x>-1}，则不难看出，A是B的子集（如下图所示），即A?B．
另一方面，“如果x≥0，那么x>-1”是真命题，也就是说
x≥0x>-1，x≥0是x>-1的充分条件，x>-1是x≥0的必要条件。
一般地，如果A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，且A?B．（如下图所示），那么p(x)q(x)，因此也就有p(x)是q(x)的充分条件，q(x)是p(x)的必要条件。
例如，设A={x|x是在北京市出生的人}，B={x|x是在中国出生的人}，则A?B，所以“x是在北京市出生的人”可以推出“x是在中国出生的人”。
充分条件、必要条件还与数学中的判定定理、性质定理有关。
例如，“如果一个函数是正比例函数，那么这个函数是一次函数”可以看成一个判定定理。这指的是，只要函数是正比例函数，那么就可以判定这个函数是一次函数。不难看出，判定定理实际上是给出了一个充分条件，上例中，“函数是正比例函数”是“函数是一次函数”的充分条件。
而“矩形的对角线相等”可以看成一个性质定理。这指的是，只要一个四边形是矩形，那么这个四边形的对角线一定相等。不难看出，性质定理实际上给出了一个必要条件，上例中，“四边形的对角线相等”是“四边形是矩形”的必要条件。
例2
说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理，如果可以，说出其中涉及的充分条件或必要条件：
（1）形如y=ax2（a是非零常数）的函数是二次函数；
（2）菱形的对角线互相垂直。
解（1）这可以看成一个判定定理，因此“形如y=ax2（a是非零常数）的函数”是“这个函数是二次函数”的
条件
这可以看成菱形的一个性质定理，因此“四边形对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的
件。
【扩展阅读】
充要条件
我们已经知道，因为x>3x>2，所以x>3是x>2的
条件，又因为x>2x>3，所以x>3不是x>2的必要条件，把这两方面综合起来，可以说成x>3是x>2的充分不必要条件。
一般地，如果pq且qp，则称p是q的充分不必要条件，
【尝试与发现】
如果pq且qp，则称p是q的必要不充分条件。例如，x（x-1）=0是x=0的必要不充分条件，如果pq且qp，则称p是q的充分必要条件（简称为充要条件），记作pq，此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”。
当然，p是q的充要条件时，q也是p的充要条件。
例如，当x≥0时，有意义；当有意义时，x≥0.因此“x≥0”是“有意义”的充要条件，即x≥0有意义，也可以说成“x≥0与有意义等价”“x≥0当且仅当有意义”。
例3在△ABC中，判断∠B=∠C是否是AC=AB的充要条件。
解：因为“在三角形中，等角对等边”，所以
∠B=∠CAC=AB；
又因为“在三角形中，等边对等角”，所以
AC=AB∠B=∠C．
从而∠B=∠CAC=AB，因此△ABC中，∠B=∠C是AC=AB的充要条件。
从集合的观点来看，如果A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，且A=B，则p(x)q(x)，因此也就有p(x)是q(x)的充要条件。
例如，当A={x|x≤0}，B={x|lxl=-x}时，不难看出A=B，因此x≤0lxl=-x，也就是说x≤0是|x|=-x的
条件，x≤0与lxl=-x等价，x≤0当且仅当lxl=-x。
另外，充要条件与数学中的定义有关。例如，“三条边都相等的三角形称为等边三角形”是等边三角形的定义，这就意味着，只要三角形的三条边都相等，那么这个三角形一定是等边三角形；反之，如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边都相等。不难看出，一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件，上例中，“三角形的三条边都相等”是“三角形是等边三角形”的充要条件。
注意到“三角形的三个角相等”也是“三角形是等边三角形”的一个充要条件，因此我们也可以将等边三角形定义为：“三个角都相等的三角形称为等边三角形。”
需要补充的是，除了上面提到的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件之外，还存在p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件的情形，例如，当p：x>0，q：x2>2时就是如此。
【思考与辨析】
【教学反思】
本节内容简单，但学生容易混淆，需要梳理辨析充分条件、必要条件的数学定义即可。
5
/
6(共18张PPT)
全称量词命题与存在量词命题的否定
复习回顾
命题
与量词
命题
1.可供真假判断的陈述语句称为命题
2.判断为真的语句称为真命题
3.判断为假的语句称为假命题
全称量词
“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体。
全称量词命题
存在量词
“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分。
存在量词命题
情境与问题
？
“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词。2009年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要。一旦下决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：“前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强。”
结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思？
1.命题的否定
你能说出命题
”和
”这两个命题之间的关系吗？它们的真假性如何？
尝试与发现
一般地，对命题
加以否定，就得到一个新的命题，记作“
”，读作“非
”或“
的否定”。
思考：命题
与
真假有什么关系呢？
归纳小结
真
假
真
假
教材练习
2.全称量词命题与存在量词命题的否定
根据要求，认真思考回答问题：
符号语言
命题名称
存在量词命题
符号语言
命题名称
全称量词命题
（真命题）
（假命题）
a.
2.全称量词命题与存在量词命题的否定
符号语言
命题名称
存在量词命题
符号语言
命题名称
全称量词命题
假命题
真命题
b.
2.全称量词命题与存在量词命题的否定
符号语言
命题名称
全称量词命题
符号语言
命题名称
存在量词命题
真命题
假命题
c.
符号语言
命题名称
全称量词命题
符号语言
命题名称
存在量词命题
假命题
真命题
尝试与发现
想一想
注意：对含有量词的命题进行否定时，不仅要改变量词，还要对结论进行否定。
例1.写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
经典例题
例2.写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
归纳方法：全称量词命题或存在量词命题的否定真假判断的策略。（1）写出该全称量词命题或存在量词命题的否定，在判断真假；（2）根据命题与其否定的真假相反可以转化为判断原全称量词命题或存在量词命题的真假。
教材练习
回顾本节课你有什么收获？
1.命题的否定；
2.全称量词命题的否定及其真假判断；
3.存在量词命题的否定及其真假判断。
作业：
教材P29
练习B
2,3
教材P39
10
一份信心，一份努力，一份成功；
十分信心，十分努力，十分成功。
谢
谢集合间的基本关系
【学习目标】
1．理解子集、真子集概念以及集合相等并且能够区分集合间的包含关系与元素与集合的属于关系。
2．掌握用数学符号语言以及V图语言表示集合间的基本关系。
【重点难点】
重点：集合间基本关系。
难点：类比实数间的关系研究集合间的关系。
【知识梳理】
【学习过程】
一、子集
1．情境与问题：如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？
结论：
2．探究新知
问题：大家来仔细观察下面的例子，你能发现集合间的关系吗？
（1）A={1，3}，B={1，3，5，6}；
3．深化认知
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作：AB（或BA），读作“A包含于B”或者“B包含A”。
4．请同学们想一想与表达的含义相同吗？请举例说明
5．尝试与发现
（1）根据子集的定义判断，如果A={1，2，3}，那么AA吗？
（2）你认为可以规定空集必是任意一个集合的子集吗？为什么？
根据（1）（2）问题回答并想一想你能得到怎样的结论。
（1）
（2）
二、真子集
1．情境与问题
前面的情境与问题中的两个集合满足，但是，只要班级中有男同学，那么S中就有元素不属于F，那和是什么关系呢？
2．深化认知
一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属A，那么集合A称为集合B的真子集，记作(或)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)
如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图
根据子集和真子集的定义可知：
（1）对于集合A，B，C，如果，，则A与C是什么关系？
（2）对于集合A，B，C，如果，，则A与C是什么关系？
你能用维恩图来理解这些性质吗？
图示为：
【小试牛刀】
1．写出集合A={6，7，8}的所有子集和真子集
2．已知区间和，且，求实数a的取值范围
三、集合的相等和子集的关系
1．情境与问题：已知，这两个集合的元素有什么关系？吗？吗？你能由此总结出集合相等与子集的关系吗？
2．深化认知
一般地，由集合相等以及子集的定义可知：
（1）如果且，则；
（2）如果，则且．
3．写出下列每对集合之间的关系：
（1）
（2）
（3）
（4），
解：（1）
（2）
（3）
（4）
【自主探究】
填写下表，回答后面的问题：
集合
元素个数
所有子集
子集个数
1
2
3
4
你能找出“元素个数”与“子集个数”之间的规律吗？
如果一个集合中有个元素，你能用表示这个集合子集的个数吗？
【反思小结】
回顾本节课，你有什么收获？
【课后巩固】
作业：教材P14
练习B
答案：
一、子集
结论：集合F中的每一个元素都是集合S中的元素。
2．探究新知
问题：大家来仔细观察下面的例子，你能发现集合间的关系吗？
（1）A={1，3}，B={1，3，5，6}；
集合A中的每一个元素都是集合B中的元素
4．请同学们想一想与表达的含义相同吗？请举例说明
例{1，3}A，3∈A，说明前者是集合之间的关系，后者是元素与集合间的关系。
5．尝试与发现
（1）根据子集的定义判断，如果A={1，2，3}，那么吗？
（2）你认为可以规定空集必是任意一个集合的子集吗？为什么？
根据（1）（2）问题回答并想一想你能得到怎样的结论。
（1）成立，结论：任意集合A都是它自身的子集，即
（2）因为空集不包含任何元素，所以我们规定：空集是任意一个集合A的子集，即
二、真子集
根据子集和真子集的定义可知：
（1）对于集合A，B，C，如果，，则A与C是什么关系？
（2）对于集合A，B，C，如果，，则A与C是什么关系？
你能用维恩图来理解这些性质吗？
图示为：
【小试牛刀】
1．写出集合A={6，7，8}的所有子集和真子集
解：（1）写出元素个数为0的子集，即；
（2）写出元素个数为1的子集，即{6},{7},{8}；
（3）写出元素个数为2的子集，即{6，7},{6，8},{7，8}
（4）写出元素个数为3的子集，即{6，7，8}
解集合A的所有子集是：,{6},{7},{8},{6，7},{6，8},{7，8},{6，7，8}
在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A的真子集
2．已知区间和，且，求实数a的取值范围
解：因为集合B的元素都是集合A的元素，因此可用数轴表示它们的关系，如图1-1-5所示从而可知
三、集合的相等和子集的关系
1．情境与问题：已知，这两个集合的元素有什么关系？吗？吗？你能由此总结出集合相等与子集的关系吗？
且，可得
3．写出下列每对集合之间的关系：
（1）
（2）
（3）
（4），
解：（1）
（2）
（3）
（4）
【自主探究】
填写下表，回答后面的问题：
集合
元素个数
所有子集
子集个数
1
2
2
4
3
8
4
16
你能找出“元素个数”与“子集个数”之间的规律吗？
如果一个集合中有个元素，你能用表示这个集合子集的个数吗？
当元素个数为个时，子集个数为个
【反思小结】
回顾本节课，你有什么收获？
可从以下四方面分别回答：1．子集
2．真子集
3．集合相等与子集的关系
4．性质及子集个数
6
/
6命题与量词
【教材分析】
本节内容是学习逻辑连接词、充要条件、四种命题的基础，由于命题的概念学生在初中已经有所了解，教师在教学中要引导学生联系已有知识，采取让学生观察、抽象、概括的方法，进一步加深理解。对于全称量词命题和存在量词命题，也是高考数学重点考查的内容。
【教学目标与核心素养】
课程目标
核心素养
（1）了解命题的概念，能够判断一个语句是不是命题，会判断命题的真假；
（2）理解全称量词、存在量词的意义，并能正确判断全称量词命题、存在量词命题的真假；
（3）会用自然语言、符号语言表示全称量词命题和存在量词性命题。
a.数学抽象：命题的概念的形成；
b.逻辑推理：经历命题、全称量词命题、存在量词命题概念的形成过程，体验由特殊到一般、由一般到特殊的思维方法；
c.数学运算：初步学会判断命题真假（尤其是全称量词命题和存在量词命题）的方法；
d.直观想象：通过实例体会对理解抽象概念的作用；
e.数学建模：通过实例体验命题，尤其是全称命题和存在性命题的表述方法.
【教学重难点】
重点：命题的概念、全称量词命题与存在量词命题的概念以及真假的判断。
难点：命题真假的判断，全称量词命题和存在量词命题真假的判断。
【教学过程】
一、命题
1．情境与问题：
“命题”这个词在新闻报道中经常可以看到。例如：从最直接的生态保护方式之一——植树造林，到多种更具有创造性的环保活动的开展，如何建立起公众与自然沟通的桥梁，引发人们对于自然环境的关注和思考，成为时下的环保“新命题”。（2017年12月21日《中国青年报》）我们在数学中也经常接触到“命题”这两个字，你知道新闻报道中的“命题”与数学中的“命题”有什么区别吗？
【设计意图】通过生活中的大家熟悉的情境中提取数学概念，使其更通俗易懂。
【师生活动】老师组织学生分组讨论，派代表表述本组结论。
2．阅读课本第22页，23页，回答下列问题：
（1）什么是命题？
（2）命题是如何分类的？
（3）命题可以用什么来表示？
【师生活动】老师组织学生分组讨论，派代表表述本组结论。由此可知：（1）命题是可以正假判断的陈述句，也就是说，一个语句要是命题必须满足：①陈述句；②可以判断真假。两个条件缺一不可。（2）命题可分为真命题和假命题。判断为真的命题为真命题。判断为假的命题为假命题。（3）命题可以用小写英文字母表示。例如：命题.
3．尝试与发现
下列命题中，
是真命题，
是假命题？
（1）；
（2）所有无理数都大于零；
（3）平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；
（4）一次函数的图像经过点；
（5）设是任意实数，如果，则；
（6）.
【师生活动】根据对命题相关概念的学习和理解，完成上述命题的真假判断，并归纳判断一个命题真假的方法。
解：（1）（3）（4）（6）为真命题，（2）（5）为假命题。
方法归纳：判断命题真假的一般方法：（1）推理法（2）反例法
【设计意图】通过例题，加深对命题的概念的理解及其掌握命题真假判断的方法。
4．课堂训练
教材P25
5．拓展阅读
课本P23
数学中的猜想
二、量词
1．探索与研究
在数学中，有很多命题都是针对特定集合而言的，结合下列命题回答问题：
（1）任意给定实数；
（2）存在有理数，使得；
（3）每一个有理数都能写成分数的形式；
（4）所有的自然数都大于或等于零；
（5）有一个实属范围内，至少有一个使得有意义；
（6）方程在实数范围内有两个解；
（7）每一个直角的三条边长都满足勾股定理。
在下列命题中，哪些命题具有相同的特点？具体说明。
【设计意图】通过具体的实例，观察以上命题具有哪些共同的特点为新授知识做铺垫。
【师生活动】学生认真观察，发现：
（1）（3）（4）（7）中含有的“任意”“每一个”“所有的”，都陈述的是指集合中的所有元素都具有特定性质，（2）（5）（6）中的“存在”“至少有一个”，陈述的是指定集合中的某些元素具有特定性质。
2．感受新知
（1）全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体。
用符号“”表示。
全称量词命题：含有全称量词的命题。形如：
对集合中所有元素
可简记为：
例如，命题（1）（3）（4）（7）都是全称量词命题。
（2）存在量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分。
用符号“”表示。
存在量词命题：含有存在量词的命题。形如：
存在集合中所有元素
可简记：
例如，命题（2）（5）（6）都是存在量词命题。
3．练习：将下列命题改写为符号语言
（1）任意给定实数
可简记为：
（2）存在有理数，使得可简记为：
【设计意图】通过练习，巩固新知。
【师生活动】学生尝试完成，教师指正。
（1）处填：
（2）处填：
4．尝试与发现
若记是整数，则通过指定所在的集合和添加量词，就可以构成命题。例如：根据上述内容，回答问题：
（1）上述4个命题中，真命题是
；
（2）总结出判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法。
【师生活动】分组讨论：（1）真命题：；（2）总结方法：
要判断全称量词命题是真命题，必须对限定集合中每一个元素，验证成立；
但要判定其是假命题，却只需举出集合中的一个元素，使得不成立即可即“举反例”。
要判断存在量词命题是真命题，只要在限定集合中的找到一个元素，使得成立即可即“举例说明”；但要判定其是假命题，却需说明集合中的每一个元素，都使得不成立。
5．经典例题
例
判断下列命题的真假：
（1）
（2）
（3）
（4）
【设计意图】通过例题，是通过让学生思考并回答，使学生会判断两种特殊命题的真假，培养学生分析和解决问题的能力。
【师生活动】独立完成想一想及练习，教师提问，学生回答，并指正。
解：（1）真命题
（2）假命题
（3）真命题
（4）假命题
6．阅读课本P25
从“值得注意的是”到结束，了解内容即可。
7．课堂训练
教材P26
练习A
2，3
【设计意图】通过让学生思考并回答，巩固新知，查缺补漏。
【师生活动】学生回答，学生纠错，教师点评。
三、课堂小结
回顾本节课，你有什么收获？
【师生活动】学生可以从以下两点分别回答：
1．命题
2．量词
3．两种特殊命题的形式及其真假判断
作业：教材P26
练习B
5
/
5(共19张PPT)
命题与量词
如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F。你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？
1.命题
情境与问题
？
“命题”这个词在新闻报道中经常可以看到。例如：“从最直接的生态保护方式之一——植树造林，到多种更具有创造性的环保活动的开展，如何建立起公众与自然沟通的桥梁，引发人们对于自然环境的关注和思考，成为时下的环保“新命题”。
（2017年12月21日《中国青年报》）
我们在数学中也经常接触到“命题”这两个字，你知道新闻报道中的“命题”与数学中的“命题”有什么区别吗？
阅读课本，回答下列问题：
（1）什么是命题？
（2）命题是如何分类的？
（3）命题可以用什么来表示？
（1）命题是可以正假判断的陈述句。
（2）命题可分为真命题和假命题。
（3）命题可以用小写英文字母表示。
下列命题中，
是真命题，
是假命题？
（1）
（2）所有无理数都大于零；
（3）平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；
（4）一次函数
的图像经过点
（5）设
是任意实数，如果
，则
（6）
尝试与发现
真
假
真
真
假
真
归纳方法：判断命题真假的一般方法：
（1）推理法（2）反例法
探索与研究
在数学中，有很多命题都是针对特定集合而言的，结合下列命题回答问题：
（1）任意给定实数
（2）存在有理数
使得
（3）每一个有理数都能写成分数的形式；
（4）所有的自然数都大于或等于零；
（5）有一个实属范围内，至少有一个
使得
有意义；
（6）方程
在实数范围内有两个解；
（7）每一个直角的三条边长都满足勾股定理。
在下列命题中，哪些命题具有相同的特点？具体说明。
2.量词
全称量词
“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体。
用符号“
”表示
含有全称量词的命题，称为全称量词命题。
形式
符号语言
练习：
可简记为
2.量词
存在量词
“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分。
用符号“
”表示
含有存在量词的命题，称为存在量词命题。
形式
符号语言
练习：
可简记为
尝试与发现
若记
，则通过指定
所在的集合和添加量词，就可以构成命题。
例如：
（1）上述4个命题
中，真命题是
；
（2）总结出判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法。
例
判断下列命题的真假：
经典例题
真
假
例
判断下列命题的真假：
经典例题
真
假
解：
假命题
假命题
假
假
真
假
真
真
回顾本节课你有什么收获？
1.命题
2.量词
1.定义
2.分类
真命题
假命题
全称量词
存在量词
全称量词命题
存在量词命题
3.特殊命题
作业：
要赢得好的声誉需要20年，而要毁掉它，5分钟就够。如果明白了这一点，你做起事来就会不同了。
谢
谢集合间的基本关系
【学习目标】
1．了解命题的概念，能够判断一个语句是不是命题，会判断命题的真假；
2．理解全称量词、存在量词的意义，并能正确判断全称量词命题、存在量词命题的真假；
3．会用自然语言、符号语言表示全称量词命题和存在量词性命题。
【重点难点】
重点：命题的概念、全称量词命题与存在量词命题的概念以及真假的判断。
难点：命题真假的判断，全称量词命题和存在量词命题真假的判断。
【知识梳理】
【学习过程】
一、命题
1．情境与问题：
“命题”这个词在新闻报道中经常可以看到。例如：“从最直接的生态保护方式之一——植树造林，到多种更具有创造性的环保活动的开展，如何建立起公众与自然沟通的桥梁，引发人们对于自然环境的关注和思考，成为时下的环保‘新命题’。”（2017年12月21日《中国青年报》）我们在数学中也经常接触到“命题”这两个字，你知道新闻报道中的“命题”与数学中的“命题”有什么区别吗？
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．阅读课本第22页，23页，回答下列问题：
（1）什么是命题？
（2）命题是如何分类的？
（3）命题可以用什么来表示？
3．尝试与发现
下列命题中，
是真命题，
是假命题？
（1）；
（2）所有无理数都大于零；
（3）平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；
（4）一次函数的图像经过点；
（5）设是任意实数，如果，则；
（6）.
解：
为真命题，
为假命题。
方法归纳：判断命题真假的一般方法：（1）
（2）
二、量词
1．探索与研究
在数学中，有很多命题都是针对特定集合而言的，结合下列命题回答问题：
（1）任意给定实数；
（2）存在有理数，使得；
（3）每一个有理数都能写成分数的形式；
（4）所有的自然数都大于或等于零；
（5）有一个实属范围内，至少有一个使得有意义；
（6）方程在实数范围内有两个解；
（7）每一个直角的三条边长都满足勾股定理。
在下列命题中，哪些命题具有相同的特点？具体说明。
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．感受新知
（1）全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体。
用符号“”表示。
全称量词命题：含有全称量词的命题。形如：
对集合中所有元素
可简记为：________
例如，在探索与研究中的7个命题中，
都是全称量词命题。
（2）存在量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分。
用符号“”表示。
存在量词命题：含有存在量词的命题。形如：
存在集合中所有元素
可简记：________
例如，在探索与研究中的7个命题中，
都是存在量词命题。
【小试牛刀】
将下列命题改写为符号语言
（1）任意给定实数
可简记为：
（2）存在有理数，使得可简记为：
【自主探究】
若记是整数，则通过指定所在的集合和添加量词，就可以构成命题。例如：根据上述内容，回答问题：
（1）上述4个命题中，真命题是
；
（2）总结出判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法。
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【经典例题】
例
判断下列命题的真假：
（1）
（2）
（3）
（4）
阅读课本P25
从“值得注意的是，”到结束，了解内容即可。
【自我检测】
教材P26
练习A
2，3
【反思小结】
回顾本节课，你有什么收获？
【课后巩固】
作业：教材P26
练习B
【答案】
一、命题
2．阅读课本第22页，23页，回答下列问题：
（1）命题是可以正假判断的陈述句，也就是说，一个语句要是命题必须满足：①陈述句；②可以判断真假。两个条件缺一不可。
（2）命题可分为真命题和假命题。判断为真的命题为真命题。判断为假的命题为假命题。
（3）命题可以用小写英文字母表示。
3．尝试与发现
解：（1）（3）（4）（6）为真命题，（2）（5）为假命题。
方法归纳：判断命题真假的一般方法：（1）推理法（2）反例法
二、量词
1．探索与研究
（1）（3）（4）（7）中含有的“任意”“每一个”“所有的”，都陈述的是指集合中的所有元素都具有特定性质，（2）（5）（6）中的“存在”“至少有一个”，陈述的是指定集合中的某些元素具有特定性质。
2．感受新知
例如，命题（1）（3）（4）（7）都是全称量词命题。
例如，命题（2）（5）（6）都是存在量词命题。
【小试牛刀】
将下列命题改写为符号语言
（1）处填：
（2）处填：
【自主探究】
（1）真命题：;
（2）总结方法：
要判断全称量词命题是真命题，必须对限定集合中每一个元素，验证成立；
但要判定其是假命题，却只需举出集合中的一个元素，使得不成立即可即“举反例”。
要判断存在量词命题是真命题，只要在限定集合中的找到一个元素，使得成立即可即“举例说明”；但要判定其是假命题，却需说明集合中的每一个元素，都使得不成立。
5．经典例题
解：（1）真命题
（2）假命题
（3）真命题
（4）假命题
1
/
5集合的基本运算
【教材分析】
集合是数学的基本和重要语言之一，在数学以及其他的领域都有着广泛的应用，用集合及对应的语言来描述函数，是高中阶段的一个难点也是重点，因此集合语言作为一种研究工具，它的学习非常重要。本节内容主要是集合的基本运算的学习，重在让学生类比结合实例，通过类比，引入集合间的运算，安排这部分内容时，课本继续注重体现逻辑思考的方法，如类比等。值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用图形的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用直观图进行求补集的运算。
【教学目标与核心素养】
课程目标
核心素养
1．理解两个集合的并集与交集、全集和补集的含义；
2．掌握求两个简单集合的交集与并集的方法；
3．会求给定子集的补集。
a．数学抽象：对集合两个集合的交集、并集、全集概念的理解；
b．逻辑推理：补集的理解；
c．数学运算：会求集合间的交集、并集及其补集的运算；
d．直观想象：在借助Venn图理解集合的基本运算．体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想；
e．数学建模：通过观察身边的实例，发现集合间的基本运算，体验其现实意义。
【教学重难点】
重点：交集与并集，全集与补集的概念。
难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系。
【教学过程】
一、交集
1．情境与问题：
学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求：
（1）中考的物理成绩不低于80分；（2）中考的数学成绩不低于70分。
如果满足条件（1）的同学组成的集合记为P，满足条件（2）的同学组成的集合记为M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合为s，那么这三个集合之间有什么联系呢？
【设计意图】通过生活中的大家熟悉的情境中提取数学概念，使其更通俗易懂。
【师生活动】老师组织学生分组讨论，派代表表述本组结论。由此可知：集合S中的元素既属于集合P，又属于集合M．从而引出“交集”的学习。
2．感受新知
交集的定义：一般地，给定两个集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素（即A和B的公共元素）组成的集合，称为A与B的交集．记作：，读作“A交B”．
图形语言：
想一想：如果集合A，B没有公共元素，那么它们的交集是什么？（空集）
练一练：
1．
2．=
3．
【设计意图】通过练习，加深对交集的概念的理解
【师生活动】独立完成想一想及练习，教师提问，学生回答，并指正。
3．深化认知
交集运算的性质:
对于任意两个集合都有：
（1）
（2）
（3）
（4）如果，则，反之成立．
4．经典例题：
例1．下列每对集合的交集：
（1）
（2）
（3）
【师生活动】学生回答，学生纠错，教师点评，归纳方法。
（1）
（2）
（3）
归纳方法：
1．当已知集合是用列举法表示时，可直接依据定义运算，也可借助Venn图简化计算；
2．当已知集合是用描述法表示时，可借
助数轴求解。
例2．已知求
【师生活动】解：
【设计意图】以上设置两道例题，是通过让学生思考并回答，使学生能清楚理解交集运算，锻炼学生解决问题的能力。
二、并集
1．情境与问题
某班班主任准备召开一个意见征求会，要求所有上一次考试中语文成绩低于70分或英语低于70分的同学参加。如果记语文成绩低于70分的同学组成的集合为M，英语成绩低于70分的所有同学组成的集合为N，需要去参加意见征求会的同学组成的集合为P，那么这三个集合之间有什么联系呢？
【设计意图】类比交集的学习方式，提取数学概念，使其更通俗易懂。
【师生活动】老师组织学生分组讨论，可得：集合P中的元素要么属于集合M，要么属于集合N．从而引出“并集”的学习。
2．深化认知
一般地，给定两个集合A、B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集。
记作：读作“A并B”。
图形语言：
练一练：
（1）
（2）
则
注意：同时属于A和B的元素，在中只能出现一次。
【设计意图】通过练习，加深对并集的概念的理解。
【师生活动】学生回答，学生纠错，教师点评。（1）（2）
3．尝试与发现
并集运算的性质：对于任意两个集合都有：
（1）
（2）
（3）
（4）如果，
则
，反之也成立．
【设计意图】类比交集运算的性质，探索并得出交集运算的性质．
【师生活动】（1）（2）（3）（4）
4．经典例题：
例3
已知区间
求
解：在数轴上表示A和B，如图：
由图可得：
,
【师生活动】教师指导学生完成（1）（2）
5．探索与发现
（1）设有限集M所含元素的个数用表示，并规定．已知且,你能求出吗？
（2）设为两个有限集，讨论、,，之间的关系。
【设计意图】利用维恩图，采用数形结合的方式解决实际问题，并归纳猜想公式。
【师生活动】画出维恩图，可得：（1）=24，
（2）
三、补集
1．情境与问题：如果学校里所有同学组成的集合记为S，所有男同学组成的集合记为M，所有女同学组成的集合记为F，那么：
（1）这三个集合之间有什么联系呢？（2）如果且，你能得到什么结论？
【师生活动】分组讨论：（1）集合M和F都是集合S的子集（2）如果且，则一定有
2．感受新知
（1）全集定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个定的集合为全集，全集通常用U表示。
（2）补集定义：如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集。记作：，读作“A在U中的补集”。
图形语言：
（3）练一练：
（1）则
（2）则
【设计意图】通过练习，加深对补集的概念的理解。
【师生活动】学生回答，学生纠错，教师点评。（1）（2）
（4）补集运算的性质：
给定全集U及一个子集补集的运算性质有：
（1）
（2）
（3）
【设计意图】利用维恩图，加深对补集的性质的理解。
【师生活动】学生回答，学生纠错，教师点评。（1）（2）（3）
（5）经典例题：
例4
已知求
分析：注意U中的元素都是自然数，而且A，B都是U的子集。
【师生活动】学生先独立完成，然后小组交流，总结错误原因，老师点评
例5
已知
求
解：在数轴表示A和B，如图所示：
由图可知：
，
．
【设计意图】通过例题，使学生掌握补集的运算。
【师生活动】利用数轴，看图可得
，
（6）探索与研究
给定三个集合，式子的意义是什么？呢？画维恩图研究这两个式子之间的关系，并研究和之间的关系。
【师生活动】利用维恩图，分析可得：
四、练习反馈，培养能力
练习A（教材P19）
【设计意图】通过让学生思考并回答，巩固新知，查缺补漏。
【师生活动】学生回答，教师点评
五、课堂小结
回顾本节课，你有什么收获？
【师生活动】：学生可以从以下四点分别回答：
1．交集
2．并集
3．补集
作业：教材P19
练习B
1
/
7集合的基本运算
【学习目标】
1．理解两个集合的并集与交集、全集和补集的含义；
2．掌握求两个简单集合的交集与并集的方法；
3．会求给定子集的补集。
【学习重难点】
重点：交集与并集，全集与补集的概念。
难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系。
【知识梳理】
【学习过程】
一、交集
1．情境与问题：
学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求：（1）中考的物理成绩不低于80分；（2）中考的数学成绩不低于70分。如果满足条件（1）的同学组成的集合记为P，满足条件（2）的同学组成的集合记为M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合为s，那么这三个集合之间有什么联系呢？
2．交集的定义：
记作：
读作：
图形语言：
想一想：如果集合A，B没有公共元素，那么它们的交集是
练一练：
1．
2．=
3．
4．交集运算的性质:
对于任意两个集合都有：
（1）
（2）
（3）
（4）如果，则，反之成立．
5．例1．下列每对集合的交集：
（1）
（2）
（3）
解：
归纳方法：
1．
2．
例2．已知求
解：
二、并集
1．情境与问题：某班班主任准备召开一个意见征求会，要求所有上一次考试中语文成绩低于70分或英语低于70分的同学参加。如果记语文成绩低于70分的同学组成的集合为M，英语成绩低于70分的所有同学组成的集合为N，需要去参加意见征求会的同学组成的集合为P，那么这三个集合之间有什么联系呢？
2．并集定义：
记作：，读作“A并B”。
图形语言：
练一练：
（1）
（2）则
注意：同时属于A和B的元素，在中只能出现一次。
3．并集运算的性质:
对于任意两个集合
都有：
（1）
（2）
（3）
（4）如果，则
，反之也成立。
4．例3
已知区间求
解：在数轴上表示A和B，如图：
由图可得：
，
5．探索与发现
（1）设有限集M所含元素的个数用表示，并规定．已知且
,你能求出吗？
（2）设为两个有限集，讨论,，之间的关系。
三、补集
1．情境与问题：如果学校里所有同学组成的集合记为S，所有男同学组成的集合记为M，所有女同学组成的集合记为F，那么：
（1）这三个集合之间有什么联系呢？（2）如果且，你能得到什么结论？
2.（1）全集定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个定的集合为全集，全集通常用U表示．
（2）补集定义：
记作：，读作“A在U中的补集”。
图形语言：
（3）练一练：
（1）则
（2）则
（4）补集运算的性质:
给定全集U及一个子集补集的运算性质有：
（1）
（2）
（3）
例4
已知求
解：
例5
已知
求
在数轴表示A和B，如图所示：
由图可知：
，
．
【自主探究】
给定三个集合，式子的意义是什么？呢？画维恩图研究这两个式子之间的关系，并研究和之间的关系。
【自我检测】
练习A（教材P19）
【反思小结】
回顾本节课，你有什么收获？
【课后巩固】
作业：教材P19
练习B
答案：
一、交集
1．集合S中的元素既属于集合P，又属于集合M
2．交集的定义：一般地，给定两个集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素（即A和B的公共元素）组成的集合，称为A与B的交集．记作：，读作“A交B”．
想一想：（空集）
练一练：
1．
2．=
3．
例1．（1）
（2）
（3）
归纳方法：
1．当已知集合是用列举法表示时，可直接依据定义运算，也可借助Venn图简化计算；
2．当已知集合是用描述法表示时，可借
助数轴求解。
例2．解：
二、并集
1．集合P中的元素要么属于集合M，要么属于集合N．
2．并集定义：一般地，给定两个集合A、B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集．记作：，读作“A并B”。
练一练：
（1）（2）
3．并集运算的性质：对于任意两个集合都有：
（1）
（2）
（3）
（4）
4．经典例题：
例3
由图可得：，
5．探索与发现
（1）=24，（2）
三、补集
1．（1）集合M和F都是集合S的子集（2）如果且，则一定有
2．（2）补集定义：如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集．记作：，读作“A在U中的补集”。
（3）练一练：
（1）（2）
（4）补集运算的性质:
（1）（2）（3）
例4
例5
,
【自主探究】
给定三个集合，式子的意义是什么？呢？画维恩图研究这两个式子之间的关系，并研究和之间的关系。
8
/
8集合间的基本关系
【教材分析】
集合是数学的基本和重要语言之一，在数学以及其他的领域都有着广泛的应用，用集合及对应的语言来描述函数，是高中阶段的一个难点也是重点，因此集合语言作为一种研究工具，它的学习非常重要。本节内容主要是集合间基本关系的学习，重在让学生类比实数间的关系，来进行探究，同时培养学生用数学符号语言，图形语言进行交流的能力，让学生在直观的基础上，理解抽象的概念，同时它也是后续学习集合运算的知识储备，因此有着至关重要的作用。
【教学目标与核心素养】
课程目标
核心素养
1．理解子集、真子集概念以及集合相等。
2．掌握用数学符号语言以及V图语言表示集合间的基本关系。
3．能够区分集合间的包含关系与元素与集合的属于关系。
a．数学抽象：对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解；
b．逻辑推理：集合的子集的辨析和应用；
c．数学运算：对给出的集合能写出其子集和真子集；有集合元素个数求子集个数；
d．直观想象：在理解集合间关系的过程中，运用数轴和venn图解决子集及真子集问题，提高学生分析问题和解决问题的能力；
e．数学建模：通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义。
【教学重难点】
重点：集合间基本关系。
难点：类比实数间的关系研究集合间的关系。
【教学过程】
一、子集
1．情境与问题：如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F。你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？
【设计意图】通过生活中的大家熟悉的情境中提取数学概念，使其更通俗易懂。
【师生活动】老师组织学生分组讨论，派代表表述本组结论。
2．探究新知
问题：大家来仔细观察下面的例子，你能发现集合间的关系吗？
（1）A={1，3}，B={1，3，5，6}；
【设计意图】培养学生观察，分析，归纳的能力
【师生活动】学生观察例子后，得出结论，在集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，教师总结，这时我们说集合A与集合B有包含关系。
3．深化认知
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作：AB（或BA），读作“A包含于B”或者“B包含A”。
4．请同学们想一想与表达的含义相同吗？请举例说明
【师生活动】学生以（1）为例{1，3}A，3∈A，说明前者是集合之间的关系，后者是元素与集合间的关系。教师进行点评和补充。
【设计意图】通过让学生举例，清楚集合与集合之间与元素与集合间关系的区别。锻炼学生思维辩证能力
5．尝试与发现
（1）根据子集的定义判断，如果A={1，2，3}，那么吗？
（2）你认为可以规定空集必是任意一个集合的子集吗？为什么？
【师生活动】学生回答，教师点评
不难看出，依据子集的定义，任意集合A都是它自身的子集，即
因为空集不包含任何元素，所以我们规定:空集是任意一个集合A的子集，即
二、真子集
1．情境与问题：前面的情境与问题中的两个集合满足FS，但是，只要班级中有男同学，那么S中就有元素不属于F。
2．深化认知
一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属A，那么集合A称为集合B的真子集，记作（或A），读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)
例如，分析集合A={1，2}，B={1，2，3，4}之间的关系，可知A是B的子集(即)，而且，因此A是B的真子集，即
如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图
根据子集和真子集的定义可知：
（1）对于集合A，B，C，如果，，则
（2）对于集合A，B，C，如果，，则
你能用维恩图来理解这些性质吗？
【师生活动】：学生画图，教师点评
经典例题：
例1写出集合A={6，7，8}的所有子集和真子集
分析：如何才能一个不漏地写出这个集合的所有子集呢？注意到集合A含有3个元素，因此它的子集含有的元素个数为0，1，2，3．可依下列步骤来完成此题：
（1）写出元素个数为0的子集，即;
（2）写出元素个数为1的子集，即{6},{7},{8};
（3）写出元素个数为2的子集，即{6，7},{6，8},{7，8}
（4）写出元素个数为3的子集，即{6，7，8}
解集合A的所有子集是：,{6},{7},{8},{6，7},{6，8},{7，8},{6，7，8}
在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A的真子集
【师生活动】：学生先独立完成，然后小组交流，总结错误原因，老师点评
例2已知区间和，且，求实数a的取值范围
解：因为集合B的元素都是集合A的元素，因此可用数轴表示它们的关系，如图1-1-5所示
从而可知
三．集合的相等和子集的关系
1．情境与问题：已知
，这两个集合的元素有什么关系？吗？吗？你能由此总结出集合相等与子集的关系吗？
【设计意图】培养学生观察，分析，归纳的能力
【师生活动】：学生观察例子后，得出
，由此可知，。再根据子集的定义可知，与都成立，从而总结出用子集的关系定义集合相等。
2．深化认知
一般地，由集合相等以及子集的定义可知：
（1）如果且，则
;
（2）如果，则且．
经典例题：
例3．写出下列每对集合之间的关系：
（1）
（2）
（3）
（4）
，
【设计意图】通过让学生思考并回答，使学生能清楚理解集合间关系，锻炼学生分析问题、解决问题的能力。
【师生活动】：学生回答，学生纠错，教师点评
（1）
（2）
（3）（4）
四、探索与研究
填写下表，回答后面的问题：
集合
元素个数
所有子集
子集个数
1
2
3
4
你能找出“元素个数”与“子集个数”之间的规律吗？
如果一个集合中有个元素，你能用表示这个集合子集的个数吗？
【师生活动】学生分组讨论，归纳出结论，当一个集合有个元素，则子集个数有个。
集合
元素个数
所有子集
子集个数
1
2
2
4
3
8
4
16
五、练习反馈，培养能力
练习A（教材P14）
【设计意图】通过让学生思考并回答，巩固新知，查缺补漏。
【师生活动】：学生回答，教师点评
六．课堂小结
回顾本节课，你有什么收获？
【师生活动】学生可以从以下四点分别回答：
1．子集
2．真子集
3．集合相等与子集的关系
4．性质及子集个数
作业：教材P14
练习B
6
/
6(共21张PPT)
集合的基本运算
如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F。你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？
1.交集
情境与问题
？
学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求：
（1）中考的物理成绩不低于80分；（2）中考的数学成绩不低于70分。
如果满足条件（1）的同学组成的集合记为P，满足条件（2）的同学组成的集合记为M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合为s，那么这三个集合之间有什么联系呢？
集合S中的元素既属于集合P，又属于集合M.
一般地，给定两个集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素（即A和B的公共元素）组成的集合，称为A与B的交集.
记作：
读作：“A交B”
图形语言：
A
B
练一练：
1.
2.
3.
想一想：如果集合A，B没有公共元素，那么它们的交集是什么？
一般地，给定两个集合A、B，由
既属于A又属于B的所有元素（即A和B的公共元素）组成的集合，称为A与B的交集.
记作：
读作：“A交B”
图形语言：
A
B
性质：
1.
2.
3.
4.如果
反之也成立.
例1
求下列每对集合的交集：
（1）
（2）
（3）
经典例题
解:（1）
（2）
（3）
归纳方法：
1.当已知集合是用列举法表示时，可直接依据定义运算，也可借助Venn图简化计算；
2.当已知集合是用描述法表示时，可借助数轴求解。
经典例题
例2
已知集合
，求
解：
如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F。你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？
2.并集
情境与问题
？
某班班主任准备召开一个意见征求会，要求所有上一次考试中语文成绩低于70分或英语低于70分的同学参加。如果记语文成绩低于70分的同学组成的集合为M，英语成绩低于70分的所有同学组成的集合为N，需要去参加意见征求会的同学组成的集合为P，那么这三个集合之间有什么联系呢？
集合P中的元素，要么属于集合M，要么属于集合N.
一般地，给定两个集合A、B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集.
记作：
读作：“A并B”
图形语言：
练一练：
1.
2.
注意：同时属于A和B的元素，在并集运算中只能出现一次！
A
B
类比交集运算的性质，探索出并集运算的性质，对于任意两个集合A，B，都有：
尝试与发现
（1）
（2）
（3）
（4）如果
反之也成立.
经典例题
例3
已知区间
，求
解：在数轴上表示A和B，如图所示：
探索与研究
（1）设有限集M所含元素的个数用
表示，并规定
.已知
，
且
，你能求出
吗？
（2）设
为两个有限集，讨论
之间的关系吗？
如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F。你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？
3.补集
情境与问题
？
如果学校里所有同学组成的集合记为
，所有男同学组成的集合记为
，所有女同学组成的集合记为
，那么：
（1）这三个集合之间有什么联系呢？
（2）如果
且
你能得到什么结论？
集合M和F都是集合S的子集，而且如果
则一定有
在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个定的集合为全集，全集通常用U表示.
记作：
读作：“A在U中的补集”
图形语言：
练一练：
1.
2.
如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集.
A
给定全集U及其任意的一个子集A，补集运算具有如下性质：
（可以借助于维恩图理解）
尝试与发现
（1）
（2）
（3）
经典例题
例4
已知
求
自然数集
解：U=
，A=
，B=
因此
经典例题
例5
已知
求
解：在数轴上表示A和B，如图所示：
探索与研究
给定三个集合
式子
的意义是什么？
呢？画维恩图研究这两个式子之间的关系，并
研究
和
之间的关系。
教材
回顾本节课你有什么收获？
1.交集
2.并集
3.补集
作业：
谢
谢集合及其表示方法
【学习目标】
1．了解集合的含义和集合元素的特性，理解元素和集合的关系；掌握几个常用的数集的符号表示；
2．掌握用列举法和描述法表示集合；
3．能够用区间表示集合。
【重点难点】
重点：集合的基本概念与表示；用区间表示集合。
难点：用集合的两种常用表示法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。
【知识梳理】
【学习过程】
一、集合
（1）在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类。把一些能够________、________汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（简称：集），组成集合的每个对象都是这个集合的________。
集合通常用
表示，集合的元素通常用
表示。
（2）元素与集合的关系：
如果a是集合A的元素，记作
，读作：a属于A；
如果a不是集合A的元素，记作
，读作：a不属于A。
2．你能举出几个用集合表达的、与数学有关的例子吗？指出例子中集合的元素是什么？
（1）如果A是由所有小于10的自然数组成的集合，则0
A，0.5
A
（2）如果B是由方程所组成的集合，则
B，0
B，1
B
（3）如果C是平面上与定点O的距离等于定长的点组成的集合，则对于以O为圆心，r为半径的圆O上的每个点P来说，都有P
C
（4）方程的所有解组成的集合，则集合中的元素是什么？
3．深化认知
集合元素的特征：
、
、
4．尝试与发现
（1）你所在的班级中，身高不低于175cm的同学能组成一个集合吗？
（2）你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗？为什么？
（3）不等式的所有解能组成一个集合吗？
思考：（1）给定集合A和B，如何定义两集合相等即A=B？
（2）集合按含有的元素个数如何分类？
根据（1）（2）问题回答并想一想你能得到怎样的结论。
（1）
（2）
二、几种常见的数集
［阅读教材，完成问题］实数集是如何分类的？用字母怎样表示？
深化认知
用或填空：
（1）0
Z
（2）
Q
（3）如果nN，那么
N
三、列举法
（1）定义：
（2）用列举法表示下列集合：
（3）有两个元素0和1组成的集合
（4）24的所有正因数组成的集合
（5）中国古典长篇小说四大名著组成的集合
（6）不大于100的自然数组成的集合
（7）自然数集N
四、描述法
用
表示集合的方法称为描述法。形式：
五、经典例题
例1．用适当的方法表示下列集合：
（1）方程的所有解组成的集合A；
（2）平面直角坐标系下，第一象限内所有点组成的集合B。
解：
想一想：
判断A与B是有限集还是无限集，由此思考该选用哪种表示方法。
【自主探究】
六、区间及其表示
阅读课本p7，完成下表。
如果则
集
合
区
间
名
称
在区间中，a，b分别是区间的左、右端点，为区间的长度，区间还可以用数轴形象的表示。
如果用表示“正无穷大”，如果用表示“正无穷大”，则实数集R可表示为________
完成下表格：
集
合
区
间
数
轴
【小试牛刀】
例2．用区间表示不等式的所有解组成的集合A。
解：
【反思小结】
回顾本节课，你有什么收获？
【课后巩固】
作业：教材P9练习B
一、集合
（1）在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类。把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（简称：集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素。
集合通常用英文大写字母A，B，C,…表示，集合的元素通常用英文小写字母a，b，c,…表示。
（2）元素与集合的关系：属于或不属于
如果a是集合A的元素，记作a，读作：a属于A；
如果a不是集合A的元素，记作a，读作：a不属于A。
2．你能举出几个用集合表达的、与数学有关的例子吗？指出例子中集合的元素是什么？
（1）如果A是由所有小于10的自然数组成的集合，则0
A，
0．5
A
（2）如果B是由方程所组成的集合，则
B，0
B，1
B
（3）如果C是平面上与定点O的距离等于定长的点组成的集合，则对于以O为圆心，r为半径的圆O上的每个点P来说，都有P
C
（4）方程的所有解组成的集合，则集合中的元素是什么？
不含有任何元素。不含任何元素的集合称为空集。
3．深化认知
集合元素的特征：
确定性
、
互异性
、
无序性
4尝试与发现
（1）你所在的班级中，身高不低于175cm的同学能组成一个集合吗？
能
（2）你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗？为什么？
不能，不满足确定性
（3）不等式的所有解能组成一个集合吗？
能
思考：（1）给定集合A和B，如何定义两集合相等即A=B?
（2）集合按含有的元素个数如何分类？
根据（1）（2）问题回答并想一想你能得到怎样的结论。
（1）给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B。
（2）集合按含有元素的个数可分为有限集和无限集。其中，空集包含0个元素，所以空集是有限集。
二、几种常见的数集
［阅读教材，完成问题］实数集是如何分类的？用字母怎样表示？
2．深化认知
用或填空：
（1）0
Z
（2）
Q
（3）如果，那么
N
三、列举法
（1）定义：把集合中的元素一一列举出来（相邻元素用逗号分隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法。
（2）用列举法表示下列集合：
（3）有两个元素0和1组成的集合
（4）24的所有正因数组成的集合
（5）中国古典长篇小说四大名著组成的集合
{《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》}
（6）不大于100的自然数组成的集合{0，1，2，3，…，100}
（7）自然数集N{0，1，2，3，…，n，…}
四、描述法
用集合的特征性质表示集合的方法称为描述法。形式：
【小试牛刀】
例1．用适当的方法表示下列集合：
（1）方程的所有解组成的集合A；
（2）平面直角坐标系下，第一象限内所有点组成的集合B。
解：（1）（2）
想一想：
判断A与B是有限集还是无限集，由此思考该选用哪种表示方法。
A是有限集，用列举法；B是无限集，用描述法。
【自主探究】
五、区间及其表示
阅读课本p7，完成下表。
如果则
集
合
区
间
名
称
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
在区间中，a，b分别是区间的左、右端点，为区间的长度，区间还可以用数轴形象的表示。
如果用表示“正无穷大”，如果用表示“正无穷大”，则实数集R可表示为
完成下表格：
集
合
区
间
数
轴
略
略
【小试牛刀】
例2．用区间表示不等式的所有解组成的集合A。
解：由可知，所以
回顾本节课，你有什么收获？
四点如下：1．集合2．几种常用数集3．列举法和描述法4．区间及其表示。
【课后巩固】
作业：教材P9
练习B
6
/
8(共21张PPT)
集合的基本关系
如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F。你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？
1.子集
情境与问题
？
如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F。你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？
A={1，3}，B={1，3，5，6}；
观察下面例子，你能发现两个集合之间的关系吗？
集合Ａ中的任意一个元素都是集合Ｂ的元素。
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集。
记作：
读作：“A包含于B”
（或“B包含A”）
符号语言：
则
对应地，如果A不是B的子集，则记作
想一想：上述情景与问题中的两个集合F和S满足什么关系？
想一想：
与
表达的含义相同吗？请举例说明。
前者是集合之间的关系，后者是元素与集合间的关系。
（1）根据子集的定义判断，如果A={1，2，3}，那么A
A吗？
（2）你认为可以规定空集必是任意一个集合的子集吗？为什么？
根据子集的定义，任意集合A都是它自身的子集，即A
A。
因为空集不包含任何元素，所以我们规定：空集是任意一个集合A的子集，即
A。
尝试与发现
如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F。你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？
2.真子集
情境与问题
？
前面的情境与问题中的两个集合F
S，但是，只要班级中有男同学，那么S中就有元素不属于F。那它们是什么关系呢？
如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么称集合A是集合B的真子集。
读作：“A真含于B
”（或“B真包含A”）。
图示法（Venn图）
我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。
如集合A={1，2}，
B={1，2，3，4}；
可用图表示：
B
1，2，3，4
A
B
若集合A是集合B的真子集，如图表示
A
1，2
想一想：
1.根据子集、真子集的定义，子集和真子集有哪些性质呢？
对于集合A，B，C，如果A
B，B
C，则A
C；
对于集合A，B，C，如果A
B，B
C，则A
C。
2.如果要做出维恩图来理解子集与真子集的这些性质，该如何作？
C
B
A
例1.
写出集合A={6，7，8}的所有子集和真子集。
经典例题
解：子集有：
，{6}，{7}，{8}，{6，7}，{6，8}，{7，8}，{6，7，8}
在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A的真子集。
归纳方法：
1.写集合子集的一般方法：先写空集，然后按照集合元素从少到多的顺序写出来，一直到集合本身。
2.写集合真子集时除集合本身外其余的子集都是它的真子集。
例2.已知区间
和
，且
，求实数
的取值范围。
经典例题
解：因为集合B的元素都是集合A的元素，因此可用数轴表示它们
的关系，如图所示
从而可知a≤2。
如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F。你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？
3.集合的相等与子集的关系
情境与问题
？
已知
，这两个集合的元素有什么关系？
吗？
吗？你能由此总结出集合相等与子集的关系吗？
S={x|(x+1)(x+2)=0}
T={-1，-2}
一般地，由集合相等一级子集的定义可知：
（1）如果
（2）
如果
例3.写出下列每对集合之间的关系：
（1）
（2）
（3）
（4）
经典例题
解：（1）B
A
（2）C=D
（3）F
E
（4）G=H
探索与研究
填写下表，回答后面的问题：
集合
元素个数
所有子集
子集个数
{a}
1
{a，b}
2
{a，b，c}
3
{a，b，c，d}
4
你能找出
“元素个数”与“子集个数”之间的规律吗？
如果一个集合中有
个元素，你能用
表示这个集合的子集个数吗？
{a}
2
{a}，{b}，{a，b}
{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，
{a，b，c}
4
8
{a}，{b}，{c}，{d}{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}
16
子集个数为
教材
深化概念
1.包含关系
与属于关系
有什么区别？
2.集合
与集合
有什么区别？
前者为集合之间关系，后者为元素与集合之间的关系。
回顾本节课你有什么收获？
1.子集
2.真子集
3.集合相等与子集的关系
4.性质及子集个数
作业：
学
谢
谢(共21张PPT)
集合及其表示方法
如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F。你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？
1.集合
情境与问题
？
在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类。例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类……
你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析为什么要进行分类。
在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类。把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（简称：集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素。
集合通常用英文大写字母A，B，C，…表示，
集合的元素通常用英文小写字母a，b，c，…表示。
如果
是集合
的元素，
如果
不是集合
的元素，
记作：
记作：
读作：
属于
不属于
读作：
元素与集合的关系
你能举出几个用集合表达的、与数学有关的例子吗？指出例子中集合的元素是什么？
（1）如果A是由所有小于10的自然数组成的集合，则0__A，0.5__A。
（2）如果B是由方程x2=1所组成的集合，则-1__B，0__B，1__B。
（3）如果C是平面上与定点O的距离等于定长r(r>0)的点组成的集合，
则对于以O为圆心，r为半径的圆O上的每个点P来说，都有P__C。
（4）方程x+1=x+2的所有解组成的集合，则集合中的元素是什么？
尝试与发现
一般地，把不含任何元素的集合称为空集，记作
。
集合元素的特性
1.确定性
2.互异性
3.无序性
集合元素必须是确定的。不能确定的对象不能组成集合。
集合中的元素可以任意排列，与次序无关。
给定一个集合，集合中的元素一定是不同的。若相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素。
尝试与发现
（1）你所在的班级中，身高不低于175cm的同学能组成一个集合吗？
（2）你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗？为什么？
（3）不等式x-2>1的所有解能组成一个集合吗？
能
不能
不满足确定性
能
思考
（1）给定集合A和B，如何定义两集合相等即A=B？
（2）集合按含有的元素个数如何分类？
组成它们的元素完全相同
有限集和无限集
2.几种常见的数集
实数
分数
整数
无理数
有理数
负整数
0
正整数
自然数
R
N
N+
N
Z
Q
用
或
填空：
（1）0
Z
（2）Q
（3）如果n
N，那么n+1
N
3.列举法
把集合中的元素一一列举出来（相邻元素用逗号分隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法。
元素放在大括号内
相邻元素之间用逗号隔开
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
想一想
用列举法表示下列集合：
（1）有两个元素0和1组成的集合
（2）24的所有正因数组成的集合
（3）中国古典长篇小说四大名著组成的集合
（4）不大于100的自然数组成的集合
（5）自然数集N
以下集合用列举法表示方便吗？如果不方便，你觉得可以怎样表示？
（1）满足x>3的所有数组成的集合A；
（2）所有有理数组成的集合Q。
尝试与发现
4.描述法
用集合的特征性质表示集合的方法称为描述法。
代表元素
集合的特征性质
大括号
竖线
例1.用适当的方法表示下列集合：
经典例题
（1）方程x(x-1)=0的所有解组成的集合A；
（2）平面直角坐标系下，第一象限内所有点组成的集合B。
答案区域
判断A与B是有限集还是无限集，由此思考该选用哪种表示方法。
想一想
5.区间及其表示
如果
，则
集合
区间
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
在区间中，
分别是区间的左、右端点，
为区间的长度，区间还可以用数轴形象的表示。
集合
区间
数轴
如果用
表示“正无穷大”，如果用
表示“正无穷大”，则
实数集R可表示为
。
经典例题
例2.用区间表示不等式的所有解组成的集合A。
答案：
教材
教材
回顾本节课你有什么收获？
1.集合
2.常见的数集
3.列举法和描述法
4.区间及其表示
作业：
一份信心，一份努力，一份成功；
十分信心，十分努力，十分成功。
谢
谢集合及其表示方法
【教材分析】
集合是是高中数学的基础，集合作为一种数学思想在其它一些章节中也都有渗透，因此学好这一章内容是十分关键的。本章又是高中数学课程的起始章，内容有一定的抽象性，因此设计好这一章内容的教学不但对学生的知识掌握情况而且对学生能否入门高中数学都是很重要的。本节内容主要学习集合的概念，集合的表示方法，同时培养学生用区间来表示集合，通过学习使学生感受到用集合来表示数学内容时的简洁性、准确性，并使学生能用集合语言简洁、准确地表示数学对象，同时它也是后续学习集合运算的知识储备，因此有着至关重要的作用。
【教学目标与核心素养】
课程目标
核心素养
1．了解集合的含义和集合元素的特性，理解元素和集合的关系；
2．掌握几个常用的数集的符号表示；
3．掌握用列举法和描述法表示集合；
4．能够用区间表示集合。
a．数学抽象：集合的含义及其描述法的理解；
b．逻辑推理：用区间表示集合的应用；
c．数学运算：对给出的集合进行化简运算后用区间表示；
d．直观想象：在理解集合表示方法的过程中，列举法的理解，以及区间可以用数轴形象地表示，提高学生分析问题和解决问题的能力；
e．数学建模：通过观察身边的实例，发现集合含义，体验其现实意义。
【教学重难点】
重点：集合的基本概念与表示；用区间表示集合。
难点：用集合的两种常用表示法――列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。
【教学过程】
一、集合
1．情境与问题：
在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类。例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类……
你能说出数学中其他分离实例吗？试着分析为什么要进行分类。
【设计意图】通过生活中的大家熟悉的情境中提取数学概念，使其更通俗易懂。
【师生活动】老师组织学生分组讨论，派代表表述本组结论。
2．探究新知
（1）在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类。把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（简称：集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素。
集合通常用英文大写字母A，B，C，……表示，集合的元素通常用英文小写字母a，b，c，……表示。
（2）元素与集合的关系：属于或不属于
如果a是集合A的元素，记作a，读作：a属于A；
如果a不是集合A的元素，记作a，读作：a不属于A。
3．尝试与发现
你能举出几个用集合表达的、与数学有关的例子吗？指出例子中集合的元素是什么？
（1）如果A是由所有小于10的自然数组成的集合，则0
A，
0.5
A
（2）如果B是由方程所组成的集合，则
B，
0
B，
1
B
（3）如果C是平面上与定点O的距离等于定长的点组成的集合，则对于以O为圆心，r为半径的圆O上的每个点P来说，都有P
C
（4）方程的所有解组成的集合，则集合中的元素是什么？
【设计意图】通过让学生举例，清楚元素与集合之间关系。锻炼学生思维辩证能力。通过（4）题，理解空集。
【师生活动】学生通过理解元素与集合的关系，独自完成（1）（2）（3）。第（4）题教师进行点评和补充，得到空集的概念和理解。
解：（1）
（2）
（3）
（4）不含任何元素，此集合为空集。
4．深化认知
【设计意图】培养学生分析和归纳的能力
【师生活动】学生通过学习集合的相关概念，分小组讨论，得出集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
5．尝试与发现
（1）你所在的班级中，身高不低于175cm的同学能组成一个集合吗？
（2）你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗？为什么？
（3）不等式的所有解能组成一个集合吗？
思考：（1）给定集合A和B，如何定义两集合相等即A=B？
（2）集合按含有的元素个数如何分类？
【设计意图】实现学生对本节知识的应用，完成学生学习的“实践——认识——再实践”过程，培养学生分析和归纳的能力。思考部分可自主探究，形成结论。
【师生活动】学生分析解答，可以自主纠错。（1）可以组成集合（2）由于高个子不满足确定性，故不能组成集合（3）可以组成集合。由此，完成思考部分。
（1）给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B。
（2）集合按含有元素的个数可分为有限集和无限集。其中，空集包含0个元素，所以空集是有限集。
不难看出，依据子集的定义，任意集合A都是它自身的子集，即AA。因为空集不包含任何元素，所以我们规定：空集是任意一个集合A的子集，即A。
二、几种常见的数集
1．自主阅读、探求新知
［阅读教材，完成问题］实数集是如何分类的？用字母怎样表示？
2．深化认知
用或填空：
（1）0
Z
（2）
Q
（3）如果，那么
N
【设计意图】本环节既是对学生自主阅读环节的反馈，也是对学生归纳、表达能力的培养。与传统的灌输式教学相比较，这一环节更体现了平等和谐的师生关系。
【师生活动】（1）学生通过阅读课本和初中所学的知识，清楚实数集的构成及其掌握用符号表示几种常见的数集；（2）学生回答，教师指导。
解：（1）
（2）
（3）
三、集合的表示方法
1．列举法
（1）定义：把集合中的元素一一列举出来（相邻元素用逗号分隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法。
（2）用列举法表示下列集合：
（1）有两个元素0和1组成的集合
（2）24的所有正因数组成的集合
（3）中国古典长篇小说四大名著组成的集合
（4）不大于100的自然数组成的集合
（5）自然数集N
【师生活动】通过列举法的定义，学生回答，教师分析指导。
（1）；（2）；（3）{《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》}
（4）如果一个集合元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不至于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示。所以答案为{0，1，2，3，…，100}
（5）无限集有时也可用列举法表示。答案为{0，1，2，3，…，n，…}
2．描述法
（1）尝试与发现
以下集合用列举法表示方便吗？如果不方便，你觉得可以怎样表示？
（2）满足的所有数组成的集合A；
（3）所有有理数组成的集合Q。
3．学习新知
用集合的特征性质表示集合的方法称为描述法。形式：
【设计意图】通过实例，提取数学概念，使其更通俗易懂。培养学生观察，分析，归纳的能力。
【师生活动】老师组织学生分组讨论，汇集结论提取描述法的概念，进一步理解描述法表示集合。
四、经典例题
例1．用适当的方法表示下列集合：
（1）方程的所有解组成的集合A；
（2）平面直角坐标系下，第一象限内所有点组成的集合B。
想一想：
判断A与B是有限集还是无限集，由此思考该选用哪种表示方法。
【设计意图】锻炼学生分析问题、解决问题的能力。
【师生活动】学生完成，教师点评，并思考选用哪种表示方法合适。
五、区间及其表示
阅读课本p7，完成下表。
如果则
集
合
区
间
名
称
在区间中，a，b分别是区间的左、右端点，为区间的长度，区间还可以用数轴形象的表示。如果用表示“正无穷大”，如果用表示“正无穷大”，则实数集R可表示为
完成下表格：
集
合
区
间
数
轴
【设计意图】本环节既是对学生自主阅读环节的反馈，也是对学生归纳、表达能力的培养。
【师生活动】教师先让学生阅读课本，学生先独立完成表，教师点评，然后讲述正无穷大和负无穷大的定义后，学生小组交流，老师点评，总结错误原因。
经典例题：
例2．用区间表示不等式的所有解组成的集合A。
解：由可知，所以A=
【师生活动】学生完成，教师点评
六、练习反馈，培养能力
练习A（教材P8）
【设计意图】通过让学生思考并回答，巩固新知，查缺补漏。
【师生活动】学生回答，教师点评。
七、课堂小结
回顾本节课，你有什么收获？
【师生活动】学生可以从以下四点分别回答：
1．集合
2．常见的数集
3．列举法和描述法
4．区间及其表示
作业：教材P9
练习B
6
/
7全称量词命题与存在量词命题的否定
【学习目标】
1．能正确写出一个命题的否定，并判断其真假。
2．理解含有一个量词的命题的否定的意义。
3．会对含有一个量词的命题进行否定。（重点）
4．掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。（重点、难点）
【学习重难点】
1．通过对命题的否定的认识，提升数学抽象的数学素养。
2．通过对含有一个量词的命题的否定的理解，提升逻辑推理的数学素养。
【学习过程】
1．命题的否定
（1）一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“p”，读作“非p”或“p的否定”。
（2）如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然。
常见的命题的否定形式有：
原语句
是
都是
>
至少有一个
至多有一个
否定形式
不是
不都是
≤
一个也没有
至少有两个
2．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题p：?x∈M，p（x），它的否定p：?x∈M，p（x）；
存在量词命题p：?x∈M，p（x），它的否定p：?x∈M，p（x）。
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。
初试身手
1．有以下命题：①没有男生爱踢足球；②所有男生都不爱踢足球；③至少有一个男生不爱踢足球；④所有女生都爱踢足球。其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定的是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
C[所有男生都爱踢足球的否定为“不是所有男生都爱踢足球”，即“至少有一个男生不爱踢足球”。]
2．命题“?x∈R，?n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是（
）
A．?x∈R，?n∈N
，使得n＜x2
B．?x∈R，?n∈N
，使得n＜x2
C．?x∈R，?n∈N
，使得n＜x2
D．?x∈R，?n∈N
，使得n＜x2
D[根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D]
3．命题“?x∈R，x2＋2x＋2≤0”的否定是（
）
A．?x∈R，x2＋2x＋2＞0
B．?x∈R，x2＋2x＋2≤0
C．?x∈R，x2＋2x＋2＞0
D．?x∈R，x2＋2x＋2≥0
A[由存在量词命题和全称量词命题的关系可知“?x∈R，x2＋2x＋2≤0”的否定为?x∈R，x2＋2x＋2＞0]
4．命题“任意x∈R，若y＞0，则x2＋y＞0”的否定是________。
存在x∈R，若y＞0，则x2＋y≤0[已知命题是一个全称量词命题，其否定为存在量词命题，先将“任意”换成“存在”，再否定结论，即命题的否定是：存在x∈R，若y＞0，则x2＋y≤0]
合作探究提素养
命题的否定
【例1】写出下列命题的否定，并判断其真假。
（1）p：y＝sin
x是周期函数；
（2）p：实数的绝对值都大于0；
（3）p：菱形的对角线垂直平分；
（4）p：若xy＝0，则x＝0或y＝0.
[解]（1）p
：y＝sin
x不是周期函数。假命题。
（2）p：实数的绝对值不都大于零。真命题。
（3）p：菱形的对角线不垂直或不平分。假命题。
（4）p：若xy＝0，则x≠0且y≠0.假命题。
规律方法
p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反。对一些词语的正确否定是写p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”等。
跟踪训练
1．写出下列命题的否定形式，并判断其真假。
（1）p：面积相等的三角形都是全等三角形；
（2）p：若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；
（3）p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0.
[解]（1）p：面积相等的三角形不都是全等三角形。真命题。
（2）p：若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零。假命题。
（3）p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中都不为0.假命题。
全称量词命题的否定
【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假。
（1）p：任意n∈Z，则n∈Q；
（2）p：等圆的面积相等，周长相等；
（3）p：偶数的平方是正数。
[解]（1）p：存在n∈Z，使n?Q，这是假命题。
（2）p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题。
（3）p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题。
规律方法
1．写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定。
2．有些全称量词命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”。
跟踪训练
2．写出下列全称量词命题的否定。
（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；
（3）p：数列{1，2，3，4，5}中的每一项都是偶数；
（4）p：可以被5整除的整数，末位是0.
[解]（1）p：存在一个能被3整除的整数不是奇数。
（2）p：?x∈Z，x2的个位数字等于3．
（3）p：数列{1，2，3，4，5}中至少有一项不是偶数。
（4）p：存在被5整除的整数，末位不是0.
存在量词命题的否定
【例3】写出下列存在量词命题的否定。
（1）p：?x∈R，x2＋2x＋2≤0；
（2）p：有的三角形是等边三角形；
（3）p：有一个素数含三个正因数。
[解]（1）p：?x∈R，x2＋2x＋2>0.
（2）p：所有的三角形都不是等边三角形。
（3）p：每一个素数都不含三个正因数。
规律方法
与全称量词命题的否定的写法类似，要写出存在量词命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到存在量词命题的否定。
跟踪训练
3．写出下列命题的否定，并判断其真假。
（1）存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直；
（2）存在一个三角形，它的内角和大于180°；
（3）存在偶函数为单调函数。
[解]（1）命题的否定：对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直，是假命题。
（2）命题的否定：对于任意的三角形，它的内角和小于或等于180°，是真命题。
（3）命题的否定：所有的偶函数都不是单调函数，是真命题。
全称量词命题与存在量词命题的应用
【例4】已知命题p：?x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________。
（0，1）[法一：若命题p：?x∈R，x2＋2ax＋a≤0是真命题，得Δ＝（2a）2－4a≥0，即a（a－1）≥0，若命题p是假命题，则a（a－1）<0，解得0
法二：依题意，命题綈p：?x∈R，x2＋2ax＋a>0是真命题，得Δ＝（2a）2－4a<0，即a（a－1）<0，解得0规律方法
1．全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决。
2．存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述。解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设。
跟踪训练
4．命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，＋∞），则实数a的值是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
B[由题意知原命题的否定是真命题，即?x∈R，都有x2＋2x＋m＞0是真命题。由Δ＝4－4m＜0，得m＞1，∴a＝1．]
课堂小结
1．p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反。对一些词语的正确否定是写p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”等。
2．对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
（1）确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题。
（2）改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词。
（3）否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等。
（4）无量词的全称量词命题要先补回量词再否定。
当堂达标
1．已知a＜b，则下列结论中正确的是（
）
A．?c＜0，a＞b＋c
B．?c＜0，a＜b＋c
C．?c＞0，a＞b＋c
D．?c＞0，a＜b＋c
D[A项，若a＝1，b＝2，c＝－1，满足a＜b，但a＞b＋c不成立；
B项，若a＝9．5，b＝10，c＝－1，a＜b＋c不成立；
C项，因为a＜b，c＞0，所以a＜b＋c恒成立，故C错误，D项，?c＞0，a＜b＋c成立，故选D．]
2．设命题p：?x∈R，x2＋1＞0，则p为（
）
A．?x∈R，x2＋1＞0
B．?x∈R，x2＋1≤0
C．?x∈R，x2＋1＜0
D．?x∈R，x2＋1≤0
B[命题p：?x∈R，x2＋1＞0，是一个全称量词命题，∴p：?x∈R，x2＋1≤0.]
3．下列命题的否定为假命题的是（
）
A．?x∈R，x2＋2x＋2≤0
B．?x∈R，x3＜1
C．所有能被3整除的整数都是奇数
D．某些梯形的对角线互相平分
D[对于选项A，因为x2＋2x＋2＝（x＋1）2＋1＞0，所以?x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；
对于选项B，因为当x≥1时，x3≥1，所以?x∈R，x3＜1是假命题，故其否定为真命题；
对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；
对于选项D，任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题，因此其否定是假命题。]
4．“至多有2个人”的否定为________。
至少有3个人[“至多有两个人”含义是有0人或1人或2人，故“至多有2个人”的否定为“至少有3个人”。]
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