一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【教材分析】
本节内容结合初三学过的一元二次方程，三角形相似，勾股定理，必修一集合的知识，让学生通过古代数学语言，体会数学在实际生活中的应用，了解近年来高考的语境。
【教学目标】
1．掌握一元二次方程一般式解集的方法．
2．掌握一元二次方程根与系数的关系．
3．会用整体代入法解一元二次方程．
4．学会用配方法推出一元二次方程的解集．
5．灵活运用根与系数的关系解决一元二次方程问题．
【核心素养】
1．数学抽象：学会整体代入法解特殊一元二次方程思想方法。
2．逻辑推理：由一般性地配方法解集推理出特殊性的方程解集，探索其过程。
3．数学建模：在实际情景中分析问题，构建一元二次方程模型，计算结果，检验结果实际性。
4．数学运算：掌握解一元二次方程的运算法则，选择运算方法。
5．数据分析：对特殊一元二次方程选择相关系数进行分析，得出简捷运算方法。
【教学重难点】
教学重点
1．掌握用配方法，整体代入法解一元二次方程．
2．用根与系数的关系解题．
3．实际情景问题中构建一元二次方程模型．
教学难点
1．用整体代入法解一元二次方程．
2．灵活运用根与系数的关系，基础恒等式解决问题．
【课前准备】
回顾初中所学的一元二次方程，三角形相似，勾股定理等知识。
【教学过程】
一、一元二次方程的解集
情境与问题
我们知道，形如
ax2+bx+c=0
的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0．
从上一节的内容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用这种方法有时候并不容易，例如情境与问题中所得到的方程就是这种情形，此时该怎么办呢？
尝试与发现
不难知道，如果一个一元二次方程可以化为
x2=t
的形式，其中t为常数，那么这个方程的解集①是容易获得的．（①如不特别声明，本书中所说的一元二次方程的解均指的是实数解，下同。）
例如，方程x2=3的解集为{一，}，方程x2=0的解集为{0}，方程x2=-2的解集为?．
一般地，方程x2=t：
当t>0时，解集为{，-}；
（2）当t=0时，解集为{0}；
（3）当t<0时，解集为?．
更进一步，形如（x-k）2=t（其中k，t是常数）的一元二次方程的解集也容易得到．例如，由（x-1）2=2可知x-1=﹣或x-1=，从而x=1-或x=1+，因此解集为{1-，1+}．
一般地，方程（x-k）2=t：
当t>0时，解集为________；
当t=0时，解集为________；
当t<0时，解集为________．
因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为（x-k）2=t的形式，就可得到方程的解集．
尝试与发现
我们知道，利用配方法可得
x2+2x+3=x2+2x+1+2=（x+1）2+2
因此x2+2x+3=0可以化为（x+1）2=﹣2，从而解集为?．
事实上，利用配方法，总是可以将ax2+bx+c=0（a≠0）化为（x-k）2=t的形式。过程如下：因为a≠0，所以
一般地，Δ=b2-4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式．由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定。
前述情境与问题中的方程可以化为（x+17）2=71289，从而可解得x=250或x=-284（舍）．
典型例题
例1：求方程的解集．
分析：这不是一个一元二次方程，但是通过把看成一个整体就可以转化为一个一元二次方程．
解：设=y，则y≥0，且原方程可变为
因此可知y=1+或y=1-（舍）
从而=1+，即x=3+2，所以原方程的解为{3+2}．
二、一元二次方程根与系数的关系
我们知道，当一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解集不是空集时，这个方程的解可以记为
①
①当Δ=0时，x1=x2，按照初中的习惯，我们仍称方程有两个相等的实数根．
尝试与发现
这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系．
典型例题
例2：已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根为x1与x2，求下列各式的值：
（1）x12+x22；（2）|x1-x2|．
尝试与发现
解：如下图所示：
【教学反思】
本节内容新引用了“整体代入法”数学思想，也有一元二次方程常考的“分类讨论”思想，对学生的运算能力有一定的要求。
6
/
6均值不等式及其应用
【学习目标】
掌握基本不等式≤（a，b≥0）．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
【学习重难点】
均值不等式的应用．
【学习过程】
【第1课时】
一、自主学习
知识点一：数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式
1．数轴上两点之间的距离公式
一般地，如果A（a），B（b），则线段AB的长为AB＝|a－b|．
2．中点坐标公式
如果线段AB的中点M的坐标为x．若a
则M为x＝．
知识点二：基本不等式
（1）重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
（2）基本不等式：≤（a>0，b>0），当且仅当a＝b时，等号成立．其中和分别叫做正数a，b的算术平均数和几何平均数．
基本不等式（a，b∈R＋）的应用：
（1）两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a>0，b>0，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，当且仅当a＝b时等号成立．即：a＋b＝M，M为定值时，（ab）max＝．
（2）两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a>0，b>0，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立．
基础自测：
1．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是（
）
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2
C．＋>
D．＋≥2
解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2，即＋≥2成立．
答案：D
2．若a>1，则a＋的最小值是（
）
A．2
B．a
C．
D．3
解析：a>1，所以a－1>0，
所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3．
当且仅当a－1＝即a＝2时取等号．
答案：D
3．下列不等式中，正确的是（
）
A．a＋≥4
B．a2＋b2≥4ab
C．≥
D．x2＋≥2
解析：a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错，a＝4，b＝16，则<，故C错误；由基本不等式可知D项正确．
答案：D
4．已知x，y都是正数．
（1）如果xy＝15，则x＋y的最小值是________．
（2）如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．
解析：（1）x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；当且仅当x＝y＝时取最小值．
（2）xy≤2＝2＝，
即xy的最大值是．
当且仅当x＝y＝时xy取最大值．
答案：（1）2
（2）
二、素养提升
题型一：对基本不等式的理解
例1：（1）下列不等式中，不正确的是（
）
A．a2＋b2≥2|a||b|
B．≥2a－b（b≠0）
C．2≥－1（b≠0）
D．2（a2＋b2）≥（a＋b）2
（2）给出下列命题：
①若x∈R，则x＋≥2；
②若a<0，b<0，则ab＋≥2；
③不等式＋≥2成立的条件是x>0且y>0．其中正确命题的序号是________．
解析：（1）A中，a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|，所以A正确．由a2＋b2≥2ab，得a2≥2ab－b2．B中，当b<0时，≤2a－b，所以B不正确．C中，b≠0，则2≥－1，所以C正确．D中，由a2＋b2≥2ab，得2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2，所以D正确．
1．举反例、基本不等式?逐个判断．
2．明确基本不等式成立的条件?逐个判断．
答案：（1）B
解析：（2）只有当x>0时，才能由基本不等式得到x＋≥2＝2，故①错误；当a<0，b<0时，ab>0，由基本不等式可得ab＋≥2＝2，故②正确；由基本不等式可知，当>0，>0时，有＋≥2＝2成立，这时只需x与y同号即可，故③错误．
基本不等式的两个关注点
（1）正数：指式子中的a，b均为正数，
（2）相等：即“＝”成立的条件．
答案：（2）②
跟踪训练1：设0）
A．aB．a<<C．a<D．解析：0答案：B
利用基本不等式时先要确定成立的条件，有的要适当变形处理．
题型二：利用基本不等式求最值
例2：已知x>0，求y＝x＋的最小值，并说明x为何值时y取得最小值．
解析：因为x>0，所以根据均值不等式有
x＋≥2＝2，
其中等号成立当且仅当x＝，即x2＝1，解得x＝1或x＝－1（舍）．
因此x＝1时，y取得最小值2．
三、教材反思
1．利用基本不等式求最值的策略
2．通过消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
特别提醒：利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件．
跟踪训练2：（1）已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则（1＋x）（1＋y）的最大值为（
）
A．16
B．25
C．9
D．36
（2）若正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，则x＋2y的最小值（
）
A．3
B．4
C．
D．
解析：（1）因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
所以（1＋x）（1＋y）＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋2＝9＋42＝25，
因此当且仅当x＝y＝4时，
（1＋x）·（1＋y）取最大值25．
（2）因为正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，
所以x＋2y＋2－8≥0．
设x＋2y＝t>0，
所以t＋t2－8≥0，
所以t2＋4t－32≥0，
即（t＋8）（t－4）≥0，
所以t≥4，
故x＋2y的最小值为4．
答案：（1）B；（2）B
1．展开（1＋x）（1＋y）?将x＋y＝8代入?用基本不等式求最值．
2．利用基本不等式得x＋2y＋2－8≥0?设x＋2y＝t>0，解不等式求出x＋2y的最小值．
易错点：利用基本不等式求最值
例：若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是（
）
A．
B．
C．5
D．6
错解：由x＋3y＝5xy?5xy≥2，
因为x>0，y>0，所以25x2y2≥12xy，即xy≥．
所以3x＋4y≥2≥2＝，
当且仅当3x＝4y时取等号，
故3x＋4y的最小值是．
错误的根本原因是忽视了两次使用基本不等式，等号成立的条件必须一致．
正解：由x＋3y＝5xy可得＋＝1，所以3x＋4y＝（3x＋4y）＝＋＋＋≥＋2＝＋＝5，
当且仅当x＝1，y＝时取等号，
故3x＋4y的最小值是5．
答案：C
四、课时作业
（一）选择题
1．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：当，均为正数时，＋≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以．
答案：C
2．已知t>0，则y＝的最小值为（
）
A．－1
B．－2
C．2
D．－5
解析：依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝（t>0）的最小值是－2．
答案：B
3．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则（
）
A．ab≤
B．ab≥
C．a2＋b2≥2
D．a2＋b2≤3
解析：∵a2＋b2≥2ab，
∴（a2＋b2）＋（a2＋b2）≥（a2＋b2）＋2ab，
即2（a2＋b2）≥（a＋b）2＝4，
∴a2＋b2≥2．
答案：C
4．若a，b都是正数，则的最小值为（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
解析：因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．
答案：C
（二）填空题
5．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________．
解析：当a2＋1＝2a，即（a－1）2＝0时“＝”成立，此时a＝1．
答案：a＝1
6．设a＋b＝M（a>0，b>0），M为常数，且ab的最大值为2，则M等于________．
解析：因为a＋b＝M（a>0，b>0），
由基本不等式可得，ab≤2＝，
因为ab的最大值为2，
所以＝2，M>0，所以M＝2．
答案：2
7．已知x>0，y>0，且＋＝1，则3x＋4y的最小值是________．
解析：因为x>0，y>0，＋＝1，
所以3x＋4y＝（3x＋4y）＝13＋＋≥13＋3×2＝25（当且仅当x＝2y＝5时取等号），
所以（3x＋4y）min＝25．
答案：25
（三）解答题
8．已知x<，求f（x）＝4x－2＋的最大值．
解析：因为x<，所以4x－5<0，5－4x>0．
f（x）＝4x－5＋3＋＝－＋3≤－2＋3＝1．
当且仅当5－4x＝时等号成立，
又5－4x>0，
所以5－4x＝1，x＝1．
所以f（x）max＝f（1）＝1．
9．已知函数f（x）＝4x＋（x>0，a>0）在x＝3时取得最小值，求a的值．
解析：因为f（x）＝4x＋≥2＝4，
当且仅当4x＝，即4x2＝a时，f（x）取得最小值．
又因为x＝3，所以a＝4×32＝36．
尖子生题库：
10．已知x∈，求函数y＝＋的最小值．
解析：y＝＋＝·（2x＋1－2x）＝10＋2·＋8·，
而x∈，2·＋8·≥2＝8，
当且仅当2·＝8·，
即x＝∈时取到等号，则y≥18，
所以函数y＝＋的最小值为18．
【第2课时】
一、素养提升
题型一：利用基本不等式证明不等式
例1：已知a、b、c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c．
解析：∵a，b，c，，，均大于0，
∴＋b≥2＝2a．
当且仅当＝b时等号成立．
＋c≥2＝2b．
当且仅当＝c时等号成立．
＋a≥2＝2c，
当且仅当＝a时等号成立．
相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，
∴＋＋≥a＋b＋c．
→→→→
方法归纳：
（1）在利用a＋b≥2时，一定要注意是否满足条件a>0，b>0．
（2）在利用基本不等式a＋b≥2或≥（a>0，b>0）时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式．
（3）另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．
跟踪训练1：已知x>0，y>0，z>0．
求证：≥8．
证明：因为x>0，y>0，z>0，
所以＋≥>0，
＋≥>0，
＋≥>0，
所以≥＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．
分别对＋，＋，＋用基本不等式?同向不等式相乘．
题型二：利用基本不等式解决实际问题
例2：（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
分析：在（1）中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；在（2）中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽的积的最大值．
解析：（1）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得xy＝100．
因为x>0，y>0，所以≥＝10，
所以2（x＋y）≥40．
当且仅当x＝y时，等号成立，由可知此时
x＝y＝10．
因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40．
（2）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得2（x＋y）＝36，即x＋y＝18．
因为x>0，y>0，所以＝≥，
因此≤9，即xy≤81．
当且仅当x＝y时，等号成立，由可知此时
x＝y＝9．
因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81．
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．
二、教材反思
利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
（1）理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．
（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．
（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
（4）正确写出答案．
跟踪训练2：某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．
（1）问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？
（2）问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？
解析：（1）设该船捕捞n年后的总盈利y万元．则
y＝50n－98－
＝－2n2＋40n－98＝－2（n－10）2＋102，
∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．
（2）年平均利润为
＝－2≤－2＝12，
当且仅当n＝，即n＝7时上式取等号．
所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．
1．盈利等于总收入－支出，注意支出，由两部分组成．
2．利用基本不等式求平均利润．
三、课时作业
（一）选择题
1．已知a，b，c，是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为（
）
A．3
B．6
C．9
D．12
解析：∵a＋b＋c＝1，∴＋＋＝（a＋b＋c）＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
答案：C
2．（－6≤a≤3）的最大值为（
）
A．9
B．
C．3
D．
解析：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时，等号成立．
答案：B
3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为4.5m2的直角三角形框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是（
）
A．9.5m
B．10m
C．10.5m
D．11m
解析：不妨设直角三角形两直角边长分别为a，b，则ab＝9，注意到直角三角形的周长为l＝a＋b＋，从而l＝a＋b＋≥2＋＝6＋3≈10.24，当且仅当a＝b＝3时，l取得最小值．从最节俭的角度来看，选择10.5m．
答案：C
4．已知函数y＝x－4＋（x>－1），当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝（
）
A．－3
B．2
C．3
D．8
解析：y＝x－4＋＝x＋1＋－5．由x>－1，得x＋1>0，>0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3．
答案：C
（二）填空题
5．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y（单位：万元）与机器运转时间x（单位：年）的关系为y＝－x2＋18x－25（x∈N
），则该公司年平均利润的最大值是________万元．
解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
答案：8
6．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
解析：设＝t（t>0），由xy＝2x＋y＋6≥2＋6，即t2≥2t＋6，（t－3）（t＋）≥0，∴t≥3，则xy≥18，当且仅当2x＝y，2x＋y＋6＝xy，即x＝3，y＝6时等号成立，∴xy的最小值为18．
答案：18
7．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价%，若p>q>0，则提价多的方案是________．
解析：设原价为1，则提价后的价格为
方案甲：（1＋p%）（1＋q%），
方案乙：2，
因为≤＝1＋%，
且p>q>0，
所以<1＋%，
即（1＋p%）（1＋q%）<2，
所以提价多的方案是乙．
答案：乙
（三）解答题
8．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：≥9．
证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，
同理，1＋＝2＋，
∴
＝
＝5＋2≥5＋4＝9．
∴≥9（当且仅当a＝b＝时等号成立）．
9．桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a?：b＝1?：2．
（1）试用x，y表示S；
（2）若要使S最大，则x，y的值各为多少？
解析：（1）由题可得，xy＝1800，b＝2a，则y＝a＋b＋6＝3a＋6，S＝（x－4）a＋（x－6）b＝（3x－16）a＝（3x－16）＝1832－6x－y（x>6，y>6，xy＝1800）．
（2）方法一：S＝1832－6x－y≤1832－2＝1832－480＝1352，
当且仅当6x＝y，xy＝1800，即x＝40，y＝45时，S取得最大值1352．
方法二：S＝1832－6x－×＝1832－≤1832－2＝1832－480＝1352，
当且仅当6x＝，即x＝40时取等号，S取得最大值，此时y＝＝45．
尖子生题库：
10．已知a>b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2（a－b）．
证明：∵a>b，∴a－b>0，又ab＝1，
∴＝＝＝a－b＋≥2＝2，即≥2，即a2＋b2≥2（a－b），当且仅当a－b＝，即a－b＝时取等号．
13
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16不等式的解集
【教学目标】
【核心素养】
1．掌握不等式的解集及不等式组的解集．
2．解绝对值不等式．（重点、难点）
通过数学抽象理解绝对值不等式．
【教学过程】
一、新知初探
1．不等式的解集与不等式组的解集
一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．
2．绝对值不等式
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
思考1：你能总结出若a＞0，|x|＞a与|x|＜a的解集吗？
提示：
不等式
|x|＜a
|x|＞a
解集
{x|－a＜x＜a}
{x|x＞a或x＜－a}
3．数轴上两点之间的距离公式、中点坐标公式
一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A（a），B（b），则线段AB的长为AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．数轴上线段AB的中点坐标公式为x＝．
二、初试身手
1．不等式组的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
答案：D
解析：因为2x＋1＞0，∴x＞－，3x－2≤0，∴x≤，不等式组的解集为．
2．不等式|x|－3＜0的解集为________．
答案：{x|－3＜x＜3}
解析：不等式变形为|x|＜3，解集为{x|－3＜x＜3}．
三、合作探究
类型1：求不等式组的解集
例1：不等式组的解集是（
）
A．x＞－3
B．－3≤x＜2
C．－3＜x≤2
D．x≤2
答案：C
解析：
解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞－3，
∴不等式组的解集为－3＜x≤2，故选C．
规律方法
一元一次不等式组解集的求解策略
（1）一元一次不等式组的解集就是每个不等式解集的交集；
（2）求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
跟踪训练
1．解不等式组并在数轴上表示该不等式组的解集．
解：
由①得，x＜3，
由②得，x≥－1，
故此不等式组的解集为－1≤x＜3，
在数轴上表示为：
类型2：解绝对值不等式
例2：不等式|5－4x|＞9的解集为________．
答案：
解析：∵|5－4x|＞9，∴5－4x＞9或5－4x＜－9．
∴4x＜－4或4x＞14，
∴x＜－1或x＞．
∴原不等式的解集为．
母题探究
1．（变设问）不等式|5－4x|≤9的解集为________．
答案：
解析：∵|5－4x|≤9，∴－9≤4x－5≤9．
∴－1≤x≤，∴原不等式的解集为
．
2．（变设问）若不等式|kx－5|≤9的解集为，则实数k＝________．
答案：4
解析：由|kx－5|≤9?－4≤kx≤14．
∵不等式的解集为，
∴k＝4．
规律方法
1．|x|＜a与|x|＞a型不等式的解法
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a
{x|－a＜x＜a}
?
?
|x|＞a
{x|x＞a或x＜－a}
{x|x∈R且x≠0}
R
2．|ax＋b|≤c（c＞0）和|ax＋b|≥c（c＞0）型不等式的解法
（1）|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；
（2）|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c．
跟踪训练
2．不等式2＜|2x＋3|≤4的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
答案：C
解析：∵2＜|2x＋3|≤4，∴2＜2x＋3≤4，或－4≤2x＋3＜－2，∴－＜x≤，或－≤x＜－，∴不等式的解集为，故选C．
四、课堂小结
1．不等式（组）的解集要写成集合形式，不等式组的解集是每个不等式解集的交集．
2．解绝对值不等式的关键就是去掉绝对值，利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
5．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标．
五、当堂达标
1．已知数轴上A（3），B（－5），则线段AB中点M的坐标为________．
答案：M（－1）
解析：＝－1，线段AB中点M的坐标为M（－1）．
2．如果＜2和|x|＞同时成立，那么x的取值范围是________．
答案：
解析：由＜2可得x＜0，或x＞．①
再由|x|＞可得x＞，或x＜－．②
把①②取交集可得x的取值范围是．
4
/
4不等式的解集
【学习目标】
掌握不等式的解集，理解绝对值不等式，会解简单的不等式组．
【学习重难点】
不等式的解法．
【学习过程】
一、自主学习
知识点一：不等式的解集与不等式组的解集
一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．
知识点二：绝对值不等式
含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
知识点三：数轴上两点间的距离及中点坐标公式
（1）距离公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A（a），B（b），则线段AB的长为|a－b|．
（2）中点坐标公式：A（a），B（b），线段AB的中点M对应的数为x，则x＝．
基础自测：
1．在数轴上从点A（－2）引一线段到B（1），再同向延长同样的长度到C，则点C的坐标为（
）
A．13
B．0
C．4
D．－2
解析：根据数轴标好相应的点易判断．
答案：C
2．不等式的解集是（
）
A．{x|x<－2}
B．{x|x<2}
C．{x|－2D．{x|－2解析：由可得则x<－2，故选A．
答案：A
3．集合M＝{x|x>0，x∈R}，N＝{x||x－1|≤2，x∈Z}，则M∩N＝（
）
A．{x|0B．{x|0C．{－1，－2，1，2}
D．{1，2，3}
解析：由题得N＝{x|－1≤x≤3，x∈Z}＝{－1，0，1，2，3}，所以M∩N＝{1，2，3}．故选D．
答案：D
4．不等式|x＋1|<5的解集为________．
解析：|x＋1|<5?－5答案：{x|－6二、素养提升
题型一：不等式组的解集
例1：解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
（1）（2）
解析：分别求出各不等式的解集，再求出各个解集的交集，并在数轴上表示出来即可．
（1）解不等式2x＋3>1，得x>－1，
解不等式x－2<0，得x<2，
则不等式组的解集为{x|－1将解集表示在数轴上如下：
（2）解不等式x－>，得x>2，
解不等式x＋8<4x－1，得x>3，
则不等式组的解集为{x|x>3}，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
方法归纳：
一元一次不等式组的求解策略
熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此类问题的关键．
跟踪训练1：不等式组的解集是（
）
A．{x|x<－2}
B．{x|－2C．{x|x≤－2}
D．{x|x≥－2}
解析：解①，得x≤1，解②，得x<－2，
∴不等式组的解集为{x|x<－2}，故选A．
答案：A
题型二：解绝对值不等式
例2：设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段AB的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围．
解析：因为AB的中点对应的数为，所以由题意可知≤5，即|3＋x|≤10，因此－10≤3＋x≤10，所以－13≤x≤7，因此x的取值范围是[－13，7]．
答案：[－13，7]
方法归纳：
含有绝对值的不等式的解题策略
解含有绝对值的不等式，总的思路是同解变形为不含绝对值的不等式，但要根据所求不等式的结构，选用恰当的方法．此题中有两个绝对值符号，故可用绝对值的几何意义来求解，或用分区间讨论法求解，还可构造函数利用函数图象求解．
跟踪训练2：解不等式3≤|x－2|<4．
解析：此题的不等式属于绝对值的连不等式，求解时可将其化为绝对值的不等式组再求解．
原不等式等价于
由①，得x－2≤－3，或x－2≥3，∴x≤－1，或x≥5．
由②，得－4如图所示，原不等式的解集为{x|－2题型三：数轴上的基本公式及应用
例3：已知数轴上的三点A、B、P的坐标分别为A（－1），B（3），P（x）．
（1）点P到A，B两点的距离都是2时，求P（x），此时P与线段AB是什么关系？
（2）在线段AB上是否存在一点P（x），使得P到A和B的距离都是3？若存在，求P（x），若不存在，请说明理由．
解析：根据数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式求解．
（1）由题意知可以化为或或或解得x＝1．
∴点P的坐标为P（1），此时P为AB的中点．
（2）不存在这样的P（x），理由如下：
∵AB＝|3－（－1）|＝4<6，
∴在线段AB上找一点P使|PA|＋|PB|＝3＋3＝6是不可能的．
方法归纳：
数轴上基本公式的应用
（1）已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式求距离，若已知两点间的距离，也可用距离公式求相应点的坐标；
（2）中点坐标公式可以解决三点共线问题．其中已知两点坐标，可用公式求第三点的坐标．
跟踪训练3：已知数轴上有点A（－2），B（1），D（3），点C在射线BA上，且有＝，问在线段CD上是否存在点E使＝？如存在，求点E坐标，如不存在，请说明理由．
解析：设C（x），E（x′），则＝＝，x＝－5，所以C（－5），
∵E在线段CD上，所以＝＝，4x′＋20＝3－x′，x′＝－∈（－5，3），
∴在线段CD上存在点E，使＝．
三、课时作业
（一）选择题
1．数轴上的三点M，N，P的坐标分别为3，－1，－5，则MP－PN等于（
）
A．－4
B．4
C．12
D．－12
解析：MP＝（－5）－3＝－8，PN＝（－1）－（－5）＝4，MP－PN＝－8－4＝－12．
答案：D
2．不等式组的解集是（
）
A．{x|x≤2}
B．{x|x≥－2}
C．{x|－2D．{x|－2≤x<2}
解析：化简可得因此可得－2≤x<2．故选D．
答案：D
3．不等式组的解集是x>1，则m的取值范围是（
）
A．m≥1
B．m≤1
C．m≥0
D．m≤0
解析：不等式整理，得由不等式组的解集为x>1，得到m＋1≤1，解得m≤0．故选D项．
答案：D
4．[2019·天津卷]设x∈R，则“0）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由|x－1|<1可得0答案：B
（二）填空题
5．若点P（1－m，－2m－4）在第四象限，且m为整数，则m的值为________．
解析：∵点P（1－m，－2m－4）在第四象限，且m为整数，
∴解得－2答案：－1，0
6．不等式<的解集为________．
解析：∵<，∴|x－1|>2，∴x－1>2或x－1<－2，即x>3或x<－1，∴原不等式的解集为（－∞，－1）∪（3，＋∞）．
答案：（－∞，－1）∪（3，＋∞）
7．数轴上一点P（x），它到点A（－8）的距离是它到点B（－4）距离的2倍，则x＝________．
解析：由题意知，|x＋8|＝2|x＋4|，即|x＋8|＝|2x＋8|，即x＋8＝±（2x＋8），解得x＝0或x＝－．故P（0）或P．
答案：0或－
（三）解答题
8．解不等式组：
解析：由x＋1<5，得x<4．由2（x＋4）>3x＋7，得2x＋8>3x＋7，即x<1．所以不等式组的解集为（－∞，1）．
9．若不等式|2x－a|≤x＋3对任意x∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．
解析：不等式|2x－a|≤x＋3去掉绝对值符号得－x－3≤2x－a≤x＋3，即对任意x∈[0，2]恒成立，变量分离得只需即所以a的取值范围是[－1，3]．
尖子生题库：
10．解不等式：|x＋7|－|x－2|≤3．
解析：方法一：|x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点（坐标为x）到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1（如图所示）．
从图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1，即x∈（－∞，－1]．
方法二：令x＋7＝0，x－2＝0，得x＝－7，x＝2．
①当x<－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3，
∴－9≤3成立，∴x<－7．
②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，即2x≤－2，∴x≤－1，∴－7≤x≤－1．
③当x>2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，即9≤3不成立，∴x∈?．
∴原不等式的解集为（－∞，－1]．
方法三：将原不等式转化为|x＋7|－|x－2|－3≤0，
构造函数y＝|x＋7|－|x－2|－3，即
y＝
作出函数的图象（如图），从图可知，
当x≤－1时，有y≤0，即|x＋7|－|x－2|－3≤0，
∴原不等式的解集为（－∞，－1]．
8
/
8(共22张PPT)
不等式的解集
谢
谢(共40张PPT)
一元二次不等式的解法
谢
谢等式的性质与方程的解集
【学习目标】
（1）掌握等式的性质及常用的恒等式．
（2）会用因式分解解一元二次方程．
【学习重难点】
一元二次方程的解法．
【学习过程】
一、知识点一：等式的性质
（1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；
（2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
用符号语言和量词表示上述等式的性质：
（1）如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c；
（2）如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc．
二、知识点二：恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
初中学习的恒等式
（1）a2－b2＝（a＋b）（a－b）（平方差公式）；
（2）（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2（两数和的平方公式）；
（3）（a＋b）c＝ac＋bc；
（4）t3＋1＝（t＋1）（t2－t＋1）．
三、知识点三：方程的解集
方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值．一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
基础自测
1．分解因式a2＋8ab－33b2得（
）
A．（a＋11）（a－3）
B．（a＋11b）（a－3b）
C．（a－11b）（a－3b）
D．（a－11b）（a＋3b）
解析：a2＋8ab－33b2＝（a－3b）（a＋11b）
答案：B
2．若多项式－6ab＋18abx＋24aby的一个因式是－6ab，那么另一个因式是（
）
A．1＋3x－4y
B．－1－3x－4y
C．1－3x－4y
D．－1－3x＋4y
解析：－6ab＋18abx＋24aby＝－6ab（1－3x－4y），
所以另一个因式是（1－3x－4y）．
答案：C
3．若4x2－3（a－2）x＋25是完全平方式，则a的值为（
）
A．－
B．
C．－或
D．不存在
解析：因为4x2－3（a－2）x＋25＝（2x）2－3（a－2）x＋（±5）2＝（2x±5）2，
即4x2－3（a－2）x＋25＝（2x＋5）2或4x2－3（a－2）x＋25＝（2x－5）2
所以－3（a－2）＝20或－3（a－2）＝－20
解得a＝－或a＝
答案：C
4．方程x2＋2x－15＝0的解集为________．
解析：x2＋2x－15＝（x－3）（x＋5）＝0，
所以x＝3或x＝－5
所以方程的解集为{3，－5}．
答案：{3，－5}
题型一：因式分解
经典例题
例1：把下列各式因式分解：
（1）6x2＋11x－7；
（2）x＋5－6y（x>0，y>0）；
（3）（x＋y）2－z（x＋y）－6z2．
解析：（1）由图，得
所以6x2＋11x－7＝（2x－1）（3x＋7）
（2）（＋6）（－）；
（3）（x＋y＋2z）（x＋y－3z）．
利用十字相乘法因式分解
方法归纳：
对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1·a2，常数项c分解成c1·c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成（a1x＋c1）（a2x＋c2），其中a1，c1位于上图中上一行，a2，c2位于下一行．
跟踪训练1：把下列各式分解因式：
（1）x2－3x＋2＝________；
（2）x2＋37x＋36＝________；
（3）（a－b）2＋11（a－b）＋28＝________；
（4）4m2－12m＋9＝________．
解析：（1）x2－3x＋2＝（x－1）（x－2）；
（2）x2＋37x＋36＝（x＋1）（x＋36）；
（3）（a－b）2＋11（a－b）＋28
＝[（a－b）＋4][（a－b）＋7]
＝（a－b＋4）（a－b＋7）；
（4）4m2－12m＋9＝（2m－3）2
答案：（1）（x－1）（x－2）
（2）（x＋1）（x＋36）
（3）（a－b＋4）（a－b＋7）
（4）（2m－3）2
题型二：一元一次方程的解集
例2：求下列方程的解集：
（1）4－3（10－y）＝5y；
（2）＝－1．
解析：（1）去括号，得4－30＋3y＝5y．移项，得3y－5y＝30－4．
合并同类项，得－2y＝26．系数化为1，得y＝－13．
所以该方程的解集为{－13}．
（2）去分母，得2（2x－1）＝（2x＋1）－6．
去括号，得4x－2＝2x＋1－6．
移项，得4x－2x＝1－6＋2．
合并同类项，得2x＝－3．
系数化为1，得x＝－．
所以该方程的解集为．
把方程化成ax＝b的形式，求x＝．
方法归纳
解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤．（1）在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子，分母必须同时扩大同样的倍数．（2）当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号．
跟踪训练2：如果方程－8＝－的解集与方程4x－（3a＋1）＝6x＋2a－1的解集相同，求式子a－的值．
解析：解方程－8＝－，
去分母，得2（x－4）－48＝－3（x＋2），
去括号，得2x－8－48＝－3x－6，
移项、合并同类项，得5x＝50，
系数化为1，得x＝10．
把x＝10代入方程4x－（3a＋1）＝6x＋2a－1，
得4×10－（3a＋1）＝6×10＋2a－1，解得a＝－4．
当a＝－4时，a－＝－4－＝－．
题型三：因式分解法解一元二次方程
例3：求方程x2－5x＋6＝0的解集．
解析：因为x2－5x＋6＝（x－2）（x－3），所以原方程可以化为（x－2）（x－3）＝0，
从而可知x－2＝0或x－3＝0，即x＝2或x＝3，因此方程的解集为{2，3}．
四、教材反思
用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程的左边分解为两个一次因式的积；
（3）令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．
提醒：①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应该移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．
跟踪训练3：用因式分解法求下列方程的解集：
（1）x＝x；
（2）（x－3）2＋2x－6＝0；
（3）9（2x＋3）2－4（2x－5）2＝0．
解析：（1）x＝0，
即x＝0，
所以x1＝0，x2＝，
所以该方程的解集为．
（2）（x－3）2＋2（x－3）＝0，
（x－3）（x－3＋2）＝0，
所以x－3＝0或x－1＝0，
所以x1＝3，x2＝1，
所以该方程的解集为{3，1}．
（3）[3（2x＋3）＋2（2x－5）][3（2x＋3）－2（2x－5）]＝0，
所以（10x－1）（2x＋19）＝0，
所以10x－1＝0或2x＋19＝0，
所以x1＝，x2＝－．
所以该方程的解集为．
五、课时作业
（一）选择题
1．（a＋b）2＋8（a＋b）－20分解因式得（
）
A．（a＋b＋10）（a＋b－2）
B．（a＋b＋5）（a＋b－4）
C．（a＋b＋2）（a＋b－10）
D．（a＋b＋4）（a＋b－5）
解析：（a＋b）2＋8（a＋b）－20＝[（a＋b）－2][（a＋b）＋10]＝（a＋b－2）（a＋b＋10）．
答案：A
2．若多项式x2－3x＋a可分解为（x－5）（x－b），则a，b的值是（
）
A．a＝10，b＝2
B．a＝10，b＝－2
C．a＝－10，b＝－2
D．a＝－10，b＝2
解析：因为（x－5）（x－b）＝x2－（5＋b）x＋5b，
所以即．
答案：C
3．方程2x－（x＋10）＝5x＋2（x＋1）的解集为（
）
A．
B．
C．{－2}
D．{2}
解析：因为2x－（x＋10）＝5x＋2（x＋1），
所以2x－x－10＝5x＋2x＋2，
即－6x＝12，
所以x＝－2．
答案：C
4．多项式mx2－m和多项式x2－2x＋1的公因式是（
）
A．x－1
B．x＋1
C．x2－1
D．（x－1）2
解析：∵mx2－m＝m（x2－1）＝m（x＋1）（x－1），x2－2x＋1＝（x－1）2，∴公因式为x－1，故选A．
答案：A
（二）填空题
5．方程3x（x－2）＝2－x的解集为________．
解析：因为3x（x－2）＝2－x，
所以3x（x－2）－（2－x）＝0，
即3x（x－2）＋（x－2）＝0，
所以（x－2）（3x＋1）＝0，
所以x＝2或x＝－，
所以方程的解集为．
答案：
6．已知y＝1是方程2－13（m－y）＝2y的解，则关于x的方程m（x－3）－2＝m（2x－5）的解集为________．
解析：因为y＝1是方程2－13（m－y）＝2y的解，
所以2－13（m－1）＝2，
即m＝1．
所以方程m（x－3）－2＝m（2x－5）等于（x－3）－2＝2x－5．
解得x＝0．
所以方程的解集为{0}．
答案：{0}
7．若实数a，b满足（4a＋4b）（4a＋4b－2）－8＝0，则a＋b＝________．
解析：设a＋b＝x，则原方程可化为4x（4x－2）－8＝0，整理，得（2x＋1）（x－1）＝0，
解得x1＝－，x2＝1．则a＋b＝－或1．
答案：－或1
（三）解答题
8．因式分解：
（1）x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y．
（2）4xy＋1－4x2－y2．
解析：（1）x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y
＝（x＋2y）（x＋y）＋2（x＋2y）
＝（x＋2y）（x＋y＋2）．
（2）4xy＋1－4x2－y2
＝1－（4x2－4xy＋y2）
＝1－（2x－y）2
＝（1＋2x－y）（1－2x＋y）．
9．用因式分解法求下列方程的解集：
（1）x2－10x＋9＝0；
（2）2（x－3）＝3x（x－3）；
（3）4（3x－2）（x＋1）＝3x＋3；
（4）2（2x－3）2－3（2x－3）＝0；
（5）2x2－16＝x2＋5x＋8；
（6）（3x－1）2＋3（3x－1）＋2＝0．
解析：（1）（x－1）（x－9）＝0，
所以x1＝1，x2＝9；
所以该方程的解集为{1，9}．
（2）整理，得（x－3）（2－3x）＝0，
所以x－3＝0或2－3x＝0，
所以x1＝3，x2＝；
所以该方程的解集为．
（3）4（3x－2）（x＋1）－3（x＋1）＝0，
所以（x＋1）（12x－11）＝0，
所以x1＝－1，x2＝；
所以该方程的解集为．
（4）（2x－3）[2（2x－3）－3]＝0，
（2x－3）（4x－9）＝0，
所以x1＝，x2＝；
所以该方程的解集为．
（5）2x2－x2－5x－16－8＝0，
x2－5x－24＝0，
（x－8）（x＋3）＝0，
所以x1＝8，x2＝－3；
所以该方程的解集为{8，－3}．
（6）[（3x－1）＋1][（3x－1）＋2]＝0，
3x（3x＋1）＝0，
所以x1＝0，x2＝－；
所以该方程的解集为．
尖子生题库：
10．已知方程（2018x）2－2017×2019x－1＝0的较大根为m，方程x2＋2018x－2019＝0的较小根为n．求m－n的值．
解析：将方程（2018x）2－2017×2019x－1＝0化为
（20182x＋1）（x－1）＝0，
所以x1＝－，x2＝1，
所以m＝1．
同理，由方程x2＋2018x－2019＝0可得
（x＋2019）（x－1）＝0，
所以x1＝－2019，x2＝1，
所以n＝－2019，
所以m－n＝2020．
9
/
9一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【学习目标】
（1）从函数观点看一元二次方程．
（2）会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．
【学习重难点】
一元二次方程的解集及其根与系数的关系。
【学习过程】
一、知识点一：b2－4ac（Δ）的取值与根的个数间的关系
b2－4ac（Δ）
根的情况
b2－4ac>0
方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，即，
b2－4ac＝0
方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－
b2－4ac<0
方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根
二、知识点二：一元二次方程根与系数的关系
若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根，则x1＋x2＝－，x1x2＝．
应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形：
（1）x2＋x2＝（x2＋2x1x2＋x）－2x1x2＝（x1＋x2）2－2x1x2；
（2）（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2；
（3）|x1－x2|＝＝；
（4）；
（5）．
基础自测：
1．方程x2－2kx＋3k2＝0的根的情况是（
）
A．有一个实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
解析：Δ＝（－2k）2－12k2＝12k2－12k2＝0．
答案：C
2．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为（
）
A．4
B．－4
C．3
D．－3
解析：由题知x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，
则x1＋x2－3x1x2＝－b－3×（－3）＝5，
解得b＝4．
答案：A
3．若代数式x2－6x＋5的值是12，则x的值为（
）
A．7或－1
B．1或－5
C．－1或－5
D．不能确定
解析：由题意得x2－6x＋5＝12，x2－6x＋5－12＝0，
x2－6x－7＝0，∴x＝，
解得x1＝－1，x2＝7．故选A．
答案：A
4．已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则________．
解析：因为x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，
所以x1＋x2＝2，x1x2＝－1，
所以．
答案：－2
题型一：方程根个数的判断及应用
例1：若关于x的不等式的解集为x<1，试判断关于x的一元二次方程x2＋ax＋1＝0的根的情况．
解析：解不解式，得x<1＋，而不等式的解集为x<1，所以1＋＝1，解得a＝0，所以一元二次方程的根的判别式Δ＝a2－4＝－4<0，所以关于x的一元二次方程x2＋ax＋1＝0没有实数根．
先求出a再判断根的个数
（1）解一元一次不等式，利用解集求a．
（2）Δ＝a2－4，利用Δ>0，Δ＝0，Δ<0的情况讨论根的情况．
方法归纳：
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
（1）当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根x1，x2＝；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－；
（3）当Δ<0时，方程没有实数根．
跟踪训练1：已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围．
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根．
解析：Δ＝（－2）2－4×3k＝4（1－3k）．
（1）因为方程有两个不相等的实数根，
所以Δ>0，即4（1－3k）>0，
所以k<．
（2）因为方程有两个相等的实数根，
所以Δ＝0，即4（1－3k）＝0，
所以k＝．
题型二：直接应用根与系数的关系进行计算
例2：已知一元二次方程2x2＋3x－4＝0的两根为x1与x2，求下列各式的值：
（1）|x1－x2|．
解析：由一元二次方程根与系数的关系，得
x1＋x2＝－，x1x2＝－2．
（1）因为
（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝2－4×（－2）＝，
所以
|x1－x2|＝＝．
三、教材反思
在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．
跟踪训练2：已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根分别是x1，x2，请利用根与系数的关系求：
（1）．
解析：根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1．
（1）．
题型三：应用根与系数的关系求字母系数的值或范围
例3：已知关于x的方程x2－（k＋1）x＋k2＋1＝0，根据下列条件，求出k的值．
（1）方程两实根的积为5；
（2）方程的两实根x1，x2，满足|x1|＝x2．
解析：Δ＝[－（k＋1）]2－4×＝2k－3，
Δ≥0，k≥．
（1）设方程的两个根为x1，x2，x1x2＝k2＋1＝5，
k2＝16，k＝4或k＝－4（舍）．
（2）①若x1≥0，则x1＝x2，Δ＝0，k＝．
方程为x2－x＋＝0，x1＝x2＝>0满足．
②若x1<0，则x1＋x2＝0，即k＋1＝0，k＝－1．
方程为x2＋＝0而方程无解，
所以k≠－1，所以k＝．
方法归纳：
利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0．
跟踪训练3：
（1）关于x的方程x2－（m＋6）x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是（ ）
A．－2或3
B．3
C．－2
D．－3或2
（2）已知：方程2x2－（k＋1）x＋k＋3＝0的两根之差为1，则k的值为________．
解析：（1）∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2，
∴m＋6＝m2，
解得m＝3或m＝－2．
∵方程x2－（m＋6）x＋m2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝[－（m＋6）]2－4m2＝－3m2＋12m＋36＝0，
解得m＝6或m＝－2．
∴m＝－2．
（2）设x1，x2为方程的两个根，则，
|x1－x2|＝1，2－2（k＋3）＝1，k＝9或k＝－3．
检验当k＝9或k＝－3时，Δ≥0成立．
答案：（1）C
（2）－3或9
四、课时作业
（一）选择题
1．已知关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0，下列说法正确的是（
）
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．方程没有实数根
D．方程的根的情况无法确定
解析：∵Δ＝42－4×3×（－5）＝76>0，
∴方程有两个不相等的实数根．故选B．
答案：B
2．若关于x的一元二次方程x2＋2（m－1）x＋m2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1＋x2>0，x1x2>0，则m的取值范围是（
）
A．m≤
B．m≤且m≠0
C．m<1
D．m<1且m≠0
解析：∵Δ＝[2（m－1）]2－4m2＝－8m＋4≥0，∴m≤，
∵x1＋x2＝－2（m－1）>0，x1x2＝m2>0，∴m<1，m≠0．
综上，m≤且m≠0．故选B．
答案：B
3．关于x的一元二次方程x2＋（a2－2a）x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为（
）
A．2
B．0
C．1
D．2或0
解析：根据根与系数的关系，得－（a2－2a）＝0，解得a1＝0，a2＝2，∵当a＝2时，原方程为x2＋1＝0，无解，∴a＝0．
答案：B
4．若关于x的一元二次方程x2＋2（k－1）x＋k2－1＝0有实数根，则k的取值范围是（
）
A．k≥1
B．k>1
C．k<1
D．k≤1
解析：∵关于x的一元二次方程x2＋2（k－1）x＋k2－1＝0，
有实数根，∴Δ＝b2－4ac＝4（k－1）2－4（k2－1）＝－8k＋8≥0，解得k≤1．故选D．
答案：D
（二）填空题
5．已知代数式7x（x＋5）＋10与代数式9x－9的值互为相反数，则x＝________．
解析：根据题意，得7x（x＋5）＋10＋9x－9＝0，
整理得7x2＋44x＋1＝0，
∵a＝7，b＝44，c＝1，∴Δ＝442－28＝1908，
∴x＝＝．
答案：
6．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且＝10，则a＝________．
解析：由题知：x1＋x2＝5，x1x2＝a．
因为＝（x1＋x2）（x1－x2）＝10，
所以x1－x2＝2，
所以（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝25－4a＝4，
所以a＝．
答案：
7．关于x的一元二次方程（m－5）x2＋2x＋2＝0有实数根，则m的最大整数值是________．
解析：∵关于x的一元二次方程（m－5）x2＋2x＋2＝0有实数根，∴Δ＝4－8（m－5）>0，且m－5≠0，解得m<5.5，且m≠5，∴m的最大整数值是4．
答案：4
（三）解答题
8．解下列方程：
（1）x2＝2x－2；
（2）（3x＋2）（x＋3）＝x＋14．
解析：（1）整理成一般式，得x2－2x＋2＝0，
∵a＝1，b＝－2，c＝2，∴Δ＝20－4×1×2＝12>0，
则x1＝＋，x2＝－．
（2）方程整理得3x2＋10x－8＝0，∵a＝3，b＝10，c＝－8，
∴Δ＝100＋96＝196，∴x1＝，x2＝－4．
9．若关于x的方程x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，试说明关于x的方程x2＋mx＋12m＝1一定有实数根．
解析：∵方程x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，
∴此方程的判别式Δ＝22－4×1×（－m＋1）<0，解得m<0．
而方程x2＋mx＋12m＝1的根的判别式Δ′＝m2－4×1×（12m－1）＝m2－48m＋4，
∵m<0，∴m2>0，－48m>0．∴m2－48m＋4>0，即Δ′>0，
∴方程x2＋mx＋12m＝1有两个不等的实数根，即一定有实数根．
尖子生题库：
10．已知关于x的一元二次方程x2－（2k－1）x＋k2＋k－1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两个实数根x1，x2满足＝11，求k的值．
解析：（1）因为关于x的一元二次方程x2－（2k－1）x＋k2＋k－1＝0有实数根．
所以Δ≥0，
即[－（2k－1）]2－4×1×（k2＋k－1）＝－8k＋5≥0，
解得k≤．
（2）由题知x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1，
所以＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（2k－1）2－2（k2＋k－1）＝2k2－6k＋3．
因为＝11，所以2k2－6k＋3＝11，
解得k＝4或k＝－1，
因为k≤，所以k＝－1．
9
/
9等式的性质与方程的解集
【教材分析】
相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础。本单元的学习，可以帮助学生通过类比，理解等式与不等式的差异与共性，掌握基本不等式。
【教学目标】
1．掌握等式的性质。
2．掌握几个重要的恒等式。
3．掌握因式分解中的十字相乘法。
4．规范方程的解集的书写。
【核心素养】
1．数学抽象：体会解方程所形成的等式思想和数学方法，理解等式的模型。
2．逻辑推理：通过类比推理形式，掌握等式推理的基本形式和规则，探索出解方程的核心方法。
3．直观想象：通过十字相乘法，建立数与形的关系，正确写出因式分解。
4．数学运算：掌握恒等式和解方程的运算法则，选择运算方法，求得运算结果。
5．数据分析：例3中对常数a的分类讨论，是理解和处理数据a的方法。
【教学重难点】
教学重点：
1．掌握等式的性质与重要恒等式。
2．会正确写出方程的解集。
教学难点：
能利用十字相乘法正确写出式子的因式分解。
【课前准备】
回顾初中所学的等式和方程知识，在高中如何用集合来表示解集。
【教学过程】
一、等式的性质
新课讲授
我们已经学习过等式的性质：
（1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；
（2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立。
尝试与发现
因为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个数等于乘以这个数的倒数，因此上述等式性质中的“加上”与“乘以”如果分别改为“减去”与“除以”，结论仍成立。
二、恒等式
尝试与发现
新课讲授
如果从量词的角度来对以上6个等式进行分类的话，可以知道，等式________对任意实数都成立，而等式________只是存在实数使其成立。例如3x-6=0只有x=2时成立，x取其他数时都不成立。
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等。
恒等式是进行代数变形的依据之一。例如，因为（x+y）2=x2+2xy+y2对任意x，y都成立，所以可用其他代数式去替换其中的x，y，等式仍然会成立，若用-z替换其中的y，则
（x-z）2=x2+2x（-z）+（-z）2=x2-2xz+z2，
由此就得到了以前学过的两数差的平方公式。
典型例题
例1：化简（2x+1）2-（x-1）2．
解（方法一）可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即
（2x+1）2-（x-1）2
=4x2+4x+1-（x2-2x+1）
=3x2+6x
（方法二）可以将2x+1和x-1分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即
（2x+1）2-（x-1）2
=[（2x+1）+（x+1）][（2x+1）-（x+1）]
=3x（x+2）
=3x2+6x
下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式：对任意的x，a，b，都有
（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab．
这个恒等式的证明，只需将左边展开然后合并同类项即可，留作练习。
可以利用这个恒等式来进行因式分解．给定式子x2+Cx+D，如果能找到a和b，使得D=ab且C=a+b，则
x2+Cx+D=（x+a）（x+b）．
为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”。
例如，对于式子x2+5x+6来说，因为2×3=6且2+3=5，所以
x2+5x+6=________．
尝试与发现
上述恒等式的证明，也只需将左边展开然后合并同类项即可。
据此也可进行因式分解。例如，对于3x2+11x+10来说，因为1×3=3，2×5=10，1×5+3×2=11，如右图所示，所以3x2+11x+10=（x+2）（3x+5）．
三、方程的解集
新课讲授
我们知道，方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值．一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集。
利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集。例如，对于方程3x+5=-1来说，首先在等式两边同时加上-5，然后在上述等式两边同时乘以，则得x=-2，因此可知方程3x+5=-1的解集为{-2}。
不难知道，利用类似的方法可以得到所有一元一次方程的解集。
从小学开始我们就知道，任意两个非零的实数，它们的乘积不可能是零，因此：如果ab=0，则a=0或b=0。
利用这一结论，我们可以得到一些方程的解集。例如，由方程（4x+1）（x-1）=0可知4x+1=0或x-1=0，从而x=或x=1，因此方程（4x+1）（x-1）=0的解集为{，1}。
典型例题
例2：求方程x2-5x+6=0的解集．
解：因为x2-5x+6=0=（x-2）（x-3），所以原方程可以化为（x-2）（x-3）=0，
从而可知x-2=0或x-3=0，即x=2或x=3，因此所求解集为{2，3}．
例2说明，如果一个一元二次方程可以通过因式分解化为（x-x1）（x-x2）=0的形式，那么就能方便地得出原方程的解集了。
思考与辨析
例3：求关于x的方程ax=2的解集，其中a是常数．
尝试与发现
解：当a≠0时，在等式ax=2的两边同时乘以，得x=，此时解集为{}．
当a=0时，方程变为0x=2，这个方程无解，此时解集为?．
综上，当a≠0时，解集为{}；当a=0时，解集为?．
【教学反思】
本节内容为回顾初中解方程内容，注意解题格式规范书写。
3
/
4一元二次不等式的解法
【教学目标】
【核心素养】
1．掌握一元二次不等式的解法．（重点）
2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．（难点）
通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．一元二次不等式的概念
一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0．
2．一元二次不等式的一般形式
（1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）．
（2）ax2＋bx＋c≥0（a≠0）．
（3）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）．
（4）ax2＋bx＋c≤0（a≠0）．
思考2：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？
提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．
3．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．
思考：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？
提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．
7．三个“二次”的关系
设y＝ax2＋bx＋c（a＞0），方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤
求方程y＝0的解
有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2）
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
画函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图像
思考：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？
提示：结合二次函数图像可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得a∈?，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R．
二、初试身手
1．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为（
）
A．
B．
C．?
D．R
答案：D
解析：因为Δ＝（－2）2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R．
2．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．
答案：?
解析：原不等式变形为3x2－5x＋4<0．因为Δ＝（－5）2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．由函数y＝3x2－5x＋4的图像可知，3x2－5x＋4<0的解集为?．
三、合作探究
类型1：一元二次不等式的解法
例1：解下列不等式：
（1）2x2＋7x＋3>0；
（2）－4x2＋18x－≥0；
（3）－2x2＋3x－2<0．
解：（1）因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－．又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为．
（2）原不等式可化为2≤0，所以原不等式的解集为．
（3）原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R．
规律方法
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
1．化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
2．判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
3．求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
4．画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
5．写解集．根据图像写出不等式的解集．
跟踪训练
1．解下列不等式．
（1）2x2－3x－2>0；（2）x2－4x＋4>0；
（3）－x2＋2x－3<0；（4）－3x2＋5x－2>0．
解：（1）∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2，∴不等式2x2－3x－2>0的解集为．
（2）∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，
∴不等式x2－4x＋4>0的解集为．
（3）原不等式可化为x2－2x＋3>0，
由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，
∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R．
（4）原不等式可化为3x2－5x＋2<0，
由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1，
∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为．
类型2：含参数的一元二次不等式的解法
例2：解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1<0．
思路点拨：①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？
解：当a＝0时，原不等式可化为x>1．
当a≠0时，原不等式可化为（ax－1）（x－1）<0．
当a<0时，不等式可化为（x－1）>0，
∵<1，∴x<或x>1．
当a>0时，原不等式可化为（x－1）<0．
若<1，即a>1，则若＝1，即a＝1，则x∈?；
若>1，即0综上所述，当a<0时，原不等式的解集为x或x>1；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当01时，原不等式的解集为．
规律方法
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
跟踪训练
2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax（a<0）．
解：原不等式移项得ax2＋（a－2）x－2≥0，
化简为（x＋1）（ax－2）≥0．
∵a<0，∴（x＋1）≤0．
当－2当a＝－2时，x＝－1；
当a<－2时，－1≤x≤．
综上所述，
当－2当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；
当a<－2时，解集为．
类型3：三个“二次”的关系
探究问题
1．利用函数y＝x2－2x－3的图像说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？
提示：y＝x2－2x－3的图像如图所示．
函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图像在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－10（a>0）或ax2＋bx＋c<0（a>0）是函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．
2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？
提示：方程x2－2x－3＝0的解集为{－1，3}．
不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．
3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0（a>0）和ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集分别为{x|xx2}，{x|x1提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0（a>0）和ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集分别为{x|xx2}，{x|x1例3：已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2思路点拨：
解：法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为．
法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2母题探究
1．（变结论）本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
解：由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0．
∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，
即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0．
解得．
2．（变条件）若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2解：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0．又×2＝＜0，则c＞0．
又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－＝，∴＝－．
又＝－，∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式变为x2＋x＋a＜0，
即2ax2＋5ax－3a＞0．
又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，
所求不等式的解集为．
规律方法
已知以a，b，c为参数的不等式?如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
1．根据解集来判断二次项系数的符号；
2．根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
3．约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．
四、课堂小结
1．解一元二次不等式的常见方法
（1）图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0（a＞0）或ax2＋bx＋c＜0（a＞0）；
②求方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图像的简图；
③由图像得出不等式的解集．
（2）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
当m若（x－m）（x－n）＜0，则可得{x|m＜x＜n}．
有口诀如下：大于取两边，小于取中间．
2．含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
（1）关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0．
（2）关于不等式对应的方程根的讨论：两根（Δ>0），一根（Δ＝0），无根（Δ<0）．
（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2．
3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）mx2－5x<0是一元二次不等式．（
）
（2）若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．（
）
（3）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2（x1）
（4）若|x|＞c的解集为R，则c≤0．（
）
提示：（1）错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式．
（2）错误．因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R．
（3）错误．当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1（4）显然c＝0不成立，错误．
答案：（1）×（2）×（3）×（4）×
2．解下列不等式：
（1）x（7－x）≥12；
（2）x2>2（x－1）．
解：（1）原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．
（2）原不等式可以化为x2－2x＋2>0，因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R．
7
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8(共24张PPT)
方程组的解集
谢
谢(共28张PPT)
不等式及其性质
谢
谢(共42张PPT)
均值不等式及其应用
第1课时 基本不等式
第2课时 基本不等式的应用
谢
谢方程组的解集
【学习目标】
（1）全用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组．
（2）能灵活解二元二次方程组．
【学习重难点】
二元方程组的解集．
【学习过程】
一、知识点：方程组的解集
方程组中，由两个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．
当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．
二、基础自测
1．方程组的解集是（
）
A．{2，－1}
B．{（2，－1）}
C．{－2，1}
D．{（－2，1）}
解析：
①＋②得2x＝4，∴x＝2，
代入①得y＝－1．
答案：B
2．若x，y满足方程组则x＋y的值是（
）
A．5
B．－1
C．0
D．1
解析：
方法一：②×2－①，得3y＝9，解得y＝3．
把y＝3代入②，得x＝2．
所以x＋y＝2＋3＝5．
方法二：由①＋②，得3x＋3y＝15．
化简，得x＋y＝5．故选A．
答案：A
3．方程组的解集是（
）
A．（±1，±1）
B．{（±1，±1）}
C．{（－1，－1），（1，1）}
D．（－1，－1），（1，1）
解析：
把①代入②得2x2＝2，∴x2＝1
x＝±1，y＝±1．
答案：C
4．方程组的解集为________．
解析：①＋②＋③得x＋y＋z＝16
④
④－①，得z＝8；
④－②，得x＝4.5；
④－③，得y＝3.5．
所以原方程组的解集为{（x，y，z）|（4.5，3.5，8）}．
答案：{（x，y，z）|（4.5，3.5，8）}
题型一：n元一次方程组
例1：解方程组
解析：设＝＝＝k（k为常数，k≠0），
则x＝3k，y＝4k，z＝5k．
将它们代入②中，得3k－4k＋10k＝18，解得k＝2．
所以x＝6，y＝8，z＝10，
所以原方程组的解集为{（x，y，z）|（6，8，10）}．
n元一次方程组主要指二元和三元一次方程组，主要用加减消元法和代入消元法求解．
方法归纳：
消元法解三元一次方程组的两个注意点：
（1）在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数．
（2）消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的．
跟踪训练1：用适当的方法解方程组：
解析：由②×6，得3（x＋y）＋（x－y）＝6．③
③－①，得5（x－y）＝2，即x－y＝．
把x－y＝代入③，得x＋y＝．
解方程组得
所以原方程组的解集为．
题型二：“二·一”型的二元二次方程组
例2：求方程组的解集．
解析：将②代入①，整理得x2＋x－2＝0，解得x＝1或x＝－2．
利用②可知，x＝1时，y＝2；x＝－2时，y＝－1．
所以原方程组的解集为{（x，y）|（1，2），（－2，－1）}．
三、教材反思
“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把一元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断．
跟踪训练2：解方程组
解析：方法一：由②得x＝2y＋5③
将③代入①，得（2y＋5）2＋2y（2y＋5）＋y2＝4．
整理，得3y2＋10y＋7＝0．
解得y1＝－，y2＝－1．
把y1＝－代入③，得x1＝，
把y2＝－1代入③，得x2＝3．
所以原方程组的解是
所以方程组的解集为．
方法二：由①得（x＋y）2＝4，
即x＋y＝2或x＋y＝－2．
原方程组转化为或
解得
所以方程组的解集为．
题型三：“二·二”型的二元二次方程组
例3：解方程组
解析：由①得（x－4y）（x＋y）＝0，
所以x－4y＝0或x＋y＝0，
由②得（x＋2y）2＝1，
所以x＋2y＝1或x＋2y＝－1．
原方程可化为以下四个方程组：
解这四个方程组，得原方程组的四个解是：
所以方程组的解集为
．
方法归纳：
解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．它的一般解法是：
（1）当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组．解这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解．
（2）当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解．
跟踪训练3：解方程组
解析：由②得（x－y－3）（x－y＋1）＝0．
所以x－y－3＝0或x－y＋1＝0．
所以原方程组可化为两个方程组：
用代入消元法解方程组，分别得
所以原方程组的解集为．
四、课时作业
（一）选择题
1．方程组的解集为（
）
A．{1，1}
B．{（x，y）|x＝1，y＝1}
C．{2，－1}
D．{（x，y）|x＝2，－1}
解析：
①×5－②得7x＝7，∴x＝1．
代入①得y＝1．
答案：B
2．方程组的解集为（
）
A．{－1，2}
B．{（x，y）|（－1，2）}
C．{2，－1}
D．{（x，y）|（2，－1）}
解析：由
①＋②×4得27x＋27＝0，得x＝－1．
代入①得y＝2．
答案：B
3．方程组的解集为（
）
A．{（x，y）|（3，5），（－1，－3）}
B．{（x，y）|（3，5）}
C．{（x，y）|（－1，3）}
D．{（x，y）|（3，5），（3，－1）}
解析：
由①得y＝2x－1，代入②得
3x2－2x－（2x－1）2＝－4
整理得x2－2x－3＝0，解得
或
答案：A
4．方程组的解集为（
）
A．
B．{（x，y）|（1，2），（1，－2）}
C．{（x，y）|（1，2），（－1，－2）}
D．{（x，y）|（2，1），（－2，1）}
解析：
①×2－②得5x2＋3x－8＝0
解得x＝－，x＝1
把x＝－代入①得y2＝7－<0（无解）
把x＝1代入①得y2＝4，y＝±2．
答案：B
（二）填空题
5．若＝＝，且x＋y＋z＝102，则x＝________．
解析：由已知得
由①得y＝，④
由②得z＝，⑤
把④⑤代入③并化简，得12x－6＝306，
解得x＝26．
答案：26
6．已知方程组的解也是方程3x＋my＋2z＝0的解，则m的值为________．
解析：
①＋②，得x－z＝5，④
将③④组成方程组解得
把x＝3代入①，得y＝1．
故原方程组的解是
代入3x＋my＋2z＝0，得9＋m－4＝0，
解得m＝－5．
答案：－5
7．若方程组的解集为{（a，b）|（8.3，1.2）}，则方程组的解集为________．
解析：由题意可得即
答案：{（x，y）|（6.3，2.2）}
（三）解答题
8．解下列三元一（二）次方程组：
（1）
（2）
（3）
解析：（1）将①代入②、③，消去z，得
解得把x＝2，y＝3代入①，得z＝5．
所以原方程组的解集为{（x，y，z）|（2，3，5）}．
（2）①－②，得x＋2y＝11．④
①＋③，得5x＋2y＝9．⑤
④与⑤组成方程组解得
把x＝－，y＝代入②，得z＝－．
所以原方程组的解集为．
（3）①－②×3得x2＋xy－3（xy＋y2）＝0，
即x2－2xy－3y2＝0?（x－3y）（x＋y）＝0，
所以x－3y＝0或x＋y＝0，
所以原方程组可化为两个二元二次方程组：
用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：
所以该方程组的解集为{（x，y）|（3，1）（－3，－1）}．
9．解方程组：
（1）
（2）
解析：（1）由①得（x－1）（y－1）＝0，即x＝1或y＝1．
（ⅰ）当x＝1时，4y2＝－2无解．
（ⅱ）当y＝1时，3x2＝－3无解，
所以原方程组的解集为?．
（2）由①得（3x－4y）（x＋y）－（3x－4y）＝0，
（3x－4y）（x＋y－1）＝0，
即3x－4y＝0或x＋y－1＝0．
由得或．
由得或．
所以原方程组的解集为{（x，y）|（4，3），（－4，－3），（4，－3），（－3，4）}．
尖子生题库：
10．k为何值时，方程组
（1）有一个实数解，并求出此解；
（2）有两个不相等的实数解；
（3）没有实数解．
解析：将①代入②，整理得k2x2＋（2k－4）x＋1＝0，③
Δ＝（2k－4）2－4×k2×1＝－16（k－1）．
（1）当k＝0时，y＝2，则－4x＋1＝0，解得x＝，
方程组的解为
当时，原方程组有一个实数解，即k＝1时方程组有一个实数解，将k＝1代入原方程组得解得
（2）当时，原方程组有两个不相等的实数解，即k<1且k≠0．
所以当k<1且k≠0时，原方程组有两个不相等的实数解．
（3）当时，即当k>1时，方程组无实数解．
11
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11均值不等式及其应用
【第1课时】
均值不等式
【教学目标】
【核心素养】
1．掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件．（难点）
2．会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小．（重点）
1．通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养．
2．通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算的素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．算术平均值与几何平均值
对于正数a，b，常把叫做a，b的算术平均值，把叫做a，b的几何平均值．
2．均值不等式
（1）当a＞0，b＞0时，有≥，当且仅当a＝b时，等号成立；
（2）均值不等式的常见变形
①当a＞0，b＞0，则a＋b≥2；
②若a＞0，b＞0，则ab≤2．
二、初试身手
1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是（
）
A．a＝±1
B．a＝1
C．a＝－1
D．a＝0
答案：B
解析：当a2＋1＝2a，即（a－1）2＝0，即a＝1时“＝”成立．
2．已知a，b∈（0，1），且a≠b，下列各式中最大的是（
）
A．a2＋b2
B．2
C．2ab
D．a＋b
答案：D
解析：∵a，b∈（0，1），∴a2＜a，b2＜b，
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab（a≠b），
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b．
又∵a＋b＞2（a≠b），∴a＋b最大．
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
答案：B
解析：∵a>0，b>0，∴a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2．
4．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________．
①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab．
答案：③
解析：根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．
三、合作探究
类型1：对均值不等式的理解
例1：给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－－＋－≤－2＝－2．
其中正确的推导为（
）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
答案：B
解析：①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确．
②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，
∴＋a≥2＝4是错误的．
③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．
规律方法
1．均值不等式≤
（a＞0，b＞0）反映了两个正数的和与积之间的关系．
2．对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：
（1）定理成立的条件是a，b都是正数．
（2）“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b?＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝?a＝b．
跟踪训练
1．下列不等式的推导过程正确的是________．
①若x＞1，则x＋≥2＝2；
②若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4；
③若a，b∈R，则＋≥2＝2．
答案：②
解析：①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x＝时，即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．
类型2：利用均值不等式比较大小
例2：（1）已知a，b∈（0，＋∞），则下列各式中不一定成立的是（
）
A．a＋b≥2
B．＋≥2
C．≥2
D．≥
（2）已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
答案：（1）D
（2）a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac
解析：（1）由≥得a＋b＝2，
∴A成立；
∵＋≥2＝2，∴B成立；
∵≥＝2，∴C成立；
∵≤＝，∴D不一定成立．
（2）∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac．
∴2（a2＋b2＋c2）>2（ab＋bc＋ac）．
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac．
规律方法
1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．
2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b．
跟踪训练
2．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是（
）
A．P＞Q＞M
B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P
D．M＞Q＞P
答案：B
解析：显然＞，又因为＜，所以＞＞．故M＞P＞Q．
类型3：利用均值不等式证明不等式
例3：已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9．
思路点拨：看到＋＋>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．
证明：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2
＝3＋2＋2＋2
＝9．
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴＋＋>9．
母题探究
本例条件不变，求证：>8．
证明：∵a，b，c∈R＋，
且a＋b＋c＝1，
∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，
∴
＝··
≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴＞8．
规律方法
1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
2．先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质（注意限制条件），通过相加（乘）合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
跟踪训练
3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2．
证明：由均值不等式可得
a4＋b4＝（a2）2＋（b2）2≥2a2b2，
同理，b4＋c4≥2b2c2，
c4＋a4≥2a2c2，
∴（a4＋b4）＋（b4＋c4）＋（c4＋a4）≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，
从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2．
4．已知a＞1，b＞0，＋＝1，求证：a＋2b≥2＋7．
证明：由＋＝1，得b＝（a＞1），
则a＋2b＝a＋＝a＋
＝a＋＋6＝（a－1）＋＋7
≥2＋7，
当且仅当a－1＝时，即a＝1＋时，取等号．
四、课堂小结
1．应用均值不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a>0，b>0时，才会有≤．对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b．
2．应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的条件结构．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．（
）
（2）若a≠0，则a＋≥2＝2．（
）
（3）若a>0，b>0，则ab≤．（
）
提示：（1）任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2成立．
（2）只有当a>0时，根据均值不等式，才有不等式a＋≥2＝2成立．
（3）因为≤，所以ab≤．
答案：（1）×（2）×（3）√
2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是（
）
A．a－b<0
B．0<<1
C．<
D．ab>a＋b
答案：C
解析：∵a>b>0，由均值不等式知<一定成立．
3．不等式＋（x－2）≥6（其中x＞2）中等号成立的条件是（
）
A．x＝3
B．x＝－3
C．x＝5
D．x＝－5
答案：C
解析：由均值不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5（x＝－1舍去）．
4．设a>0，b>0，证明：＋≥a＋b．
证明：∵a>0，b>0，
∴＋a≥2b，＋b≥2a，
∴＋≥a＋b．
【第2课时】
均值不等式的应用
【教学目标】
【核心素养】
1．熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．（重点）
2．会用均值不等式求解实际应用题．（难点）
1．通过均值不等式求最值，提升数学运算素养．
2．借助均值不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．
【教学过程】
一、新知初探
已知x，y都是正数．
（1）若x＋y＝S（和为定值），则当x＝y时，积xy取得最大值．
（2）若xy＝p（积为定值），则当x＝y时，和x＋y取得最小值2．
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
二、初试身手
1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是（
）
A．
B．4
C．
D．5
答案：C
解析：∵a＋b＝2，∴＝1．
∴＋＝
＝＋≥＋2＝
．
故y＝＋的最小值为．
2．若x>0，则x＋的最小值是________．
答案：2
解析：x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立．
3．设x，y∈N
满足x＋y＝20，则xy的最大值为________．
答案：100
解析：∵x，y∈N
，
∴20＝x＋y≥2，
∴xy≤100．
三、合作探究
类型1：利用均值不等式求最值
例1：（1）已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
（2）已知0思路点拨：（1）看到求y＝4x－2＋的最值，想到如何才能出现乘积定值；（2）要求y＝x（1－2x）的最值，需要出现和为定值．
解：（1）∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1．
（2）∵0∴1－2x>0，
∴y＝×2x（1－2x）≤×2＝×＝．
∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝．
规律方法
利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”．解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数的基本性质的知识解决．
跟踪训练
1．（1）已知x>0，求函数y＝的最小值；
（2）已知0解：（1）∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立．
故y＝（x>0）的最小值为9．
（2）法一：∵00．
∴y＝x（1－3x）＝·3x（1－3x）
≤＝．
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，函数取得最大值．
法二：∵00．
∴y＝x（1－3x）＝3·x≤3·
＝，当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，函数取得最大值．
类型2：利用均值不等式求条件最值
例2：已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1．求x＋2y的最小值．
解：∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋2y＝（x＋2y）＝10＋＋
≥10＋2＝18，
当且仅当即时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，（x＋2y）min＝18．
母题探究
若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．
解：∵x，y∈R＋，
∴＋＝（x＋2y）
＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18．
当且仅当＝时取等号，
结合x＋2y＝1，得x＝，y＝，
∴当x＝，y＝时，＋取到最小值18．
规律方法
1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足均值不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．
2．常见的变形技巧有：（1）配凑系数；（2）变符号；（3）拆补项．常见形式有y＝ax＋型和y＝ax（b－ax）型．
跟踪训练
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值．
解：法一：＋＝·1
＝·（a＋2b）
＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2
＝3＋2，
当且仅当即时等号成立．
∴＋的最小值为3＋2．
法二：＋＝＋＝1＋＋＋2
＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当即时等号成立，
∴＋的最小值为3＋2．
类型3：利用均值不等式解决实际问题
例3：如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
解：设每间虎笼长xm，宽ym，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18．
设每间虎笼面积为S，则S＝xy．
法一：由于2x＋3y≥2＝2，
所以2≤18，得xy≤，
即Smax＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4．5m，宽为3m时，可使每间虎笼面积最大．
法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y．
∵x>0，∴0∵00．
∴S≤2＝．
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4．5．
故每间虎笼长为4．5m，宽为3m时，可使每间虎笼面积最大．
规律方法
在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：
（1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
（4）正确写出答案．
跟踪训练
3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝
解：设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝．
∴每平方米的平均综合费用
y＝560＋48x＋＝560＋48．
当x＋取最小值时，y有最小值．
∵x>0，∴x＋≥2＝30．
当且仅当x＝，即x＝15时，上式等号成立．
∴当x＝15时，y有最小值2000元．
因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．
四、课堂小结
1．利用均值不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用均值不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用均值不等式的情境．
2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，均值不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．（
）
（2）若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4．（
）
（3）当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数y的最小值是2．（
）
提示：（1）由a＋b≥2可知正确．
（2）由ab≤2＝4可知正确．
（3）不是常数，故错误．
答案：（1）√（2）√（3）×
2．若实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为（
）
A．1
B．2
C．2
D．4
答案：A
解析：由均值不等式得，ab≤2＝1．
3．已知0）
A．
B．
C．
D．
答案：A
解析：∵00，
则x（3－3x）＝3[x（1－x）]≤3×2＝，
当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．
4．已知x>0，求y＝的最大值．
解：y＝＝．
∵x>0，∴x＋≥2＝2，
∴y≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．
1
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13方程组的解集
【教学目标】
【核心素养】
1．理解方程组的解集的定义及表示方法．（难点）
2．掌握用消元法求方程组解集的方法．（重点）
3．会利用方程组知识解决一些简单的实际问题．（重点、难点）
1．通过理解方程组的定义，培养数学抽象的素养．
2．通过求方程组的解集，提升数据分析、数学运算的学科素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．方程组的解集
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．
2．求方程组解集的依据是等式的性质等，常用的方法是消元法．
3．二元一（二）次方程组解集的表示方法为{（x，y）|（a，b），…}，其中a，b为确定的实数，三元一次方程组解集的表示方法为{（x，y，z）|（a，b，c），…}，其中a，b，c为确定的实数．
二、初试身手
1．用代入法解方程组时，代入正确的是（
）
A．x－2－x＝4
B．x－2－2x＝4
C．x－2＋2x＝4
D．x－2＋x＝4
答案：C
解析：把①代入②得，x－2（1－x）＝4，去括号得，x－2＋2x＝4．故选C．
2．已知二元一次方程组解集为（
）
A．{（x，y）|（2，3）}
B．{（x，y）|（3，2）}
C．{（x，y）|（－2，3）}
D．{（x，y）|（－2，－3）}
答案：A
解析：①＋②得：3x＋3y＝15，解得x＝2，y＝3，解集为{（x，y）|（2，3）}，故选A．
3．已知A＝{（x，y）|x＋y＝5}，B＝{（x，y）|2x－y＝4}，则A∩B＝（
）
A．{（x，y）|（1，4）}
B．{（x，y）|（2，3）}
C．{（x，y）|（3，2）}
D．{（x，y）|（4，1）}
答案：C
解析：根据题意，得
由代入消元法可求得x＝3，y＝2，故A∩B＝{（x，y）|（3，2）}．
4．已知那么x－y的值是________．
答案：－1
解析：两式相减可得结果x－y＝－1．
三、合作探究
类型1：二元一次方程组的解集
例1：求下列方程组的解集．
（1）
（2）
解：（1）由①，得y＝4－x．③
把③代入②，得2x－3（4－x）＝3．
解这个方程，得x＝3．
把x＝3代入③，得y＝1．
所以原方程组的解集为{（x，y）|（3，1）}．
（2）法一：①＋②，得6x＝12，所以x＝2．
把x＝2代入②，得3×2＋7y＝13，所以y＝1．
所以原方程组的解集为{（x，y）|（2，1）}．
法二：①－②，得－14y＝－14，所以y＝1．
把y＝1代入①得，3x－7×1＝－1，所以x＝2．
所以原方程组的解集为{（x，y）|（2，1）}．
规律方法
求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式．
跟踪训练
1．求下列方程组的解集．
（1）
（2）
解：（1）由②，得2y＝3x－5．③
把③代入①，得4x＋4（3x－5）＝12，解得x＝2．
把x＝2代入③，得y＝．
所以原方程组的解集为．
（2）由①×2，得16x＋18y＝146，③
由③－②，得9x＝144，解得x＝16．
把x＝16代入①，得8×16＋9y＝73，解得y＝－．
所以原方程组的解集为．
类型2：三元一次方程组的解集
例2：求下列方程组的解集．
（1）
（2）
解：（1）法一：将③分别代入①②，得
解得
把y＝2代入③，得x＝8．
所以原方程组的解集为{（x，y，z）|（8，2，2）}．
法二：②－①，得y＋4z＝10，④
②－③，得6y＋5z＝22，⑤
联立④⑤，得解得
把y＝2代入③，得x＝8．
所以原方程组的解集为{（x，y，z）|（8，2，2）}．
法三：①×5，得5x＋5y＋5z＝60，④
④－②，得4x＋3y＝38，⑤
联立③⑤，得解得
把x＝8，y＝2代入①，得z＝2．
所以原方程组的解集为{（x，y，z）|（8，2，2）}．
（2）①×2－②，得x＋8z＝11，④
①×3＋③，得10x＋7z＝37，⑤
联立④⑤，得解得
把x＝3，z＝1代入①，得y＝2．
所以原方程组的解集为{（x，y，z）|（3，2，1）}．
规律方法
求三元一次方程组解集的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程求解．
跟踪训练
2．求方程组的解集．
解：①＋②＋③，得2（x＋y＋z）＝10，
即x＋y＋z＝5．④
④－①，得z＝4；④－②，得x＝－1；④－③，得y＝2．
所以原方程组的解集为{（x，y，z）|（－1，2，4）}．
类型3：待定系数法求函数的解析式
例3：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过点（－1，2），（2，8），（5，158），求这个二次函数的解析式．
思路点拨：把a，b，c看成三个未知数，分别把三组已知的x，y的值代入，就可以得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可求出a，b，c的值．
解：根据题意，得
②－①，得a＋b＝2，④
③－①，得4a＋b＝26，⑤
联立④⑤，得解得
把a＝8，b＝－6代入①，得c＝－12．
因此所求函数的解析式为y＝8x2－6x－12．
规律方法
解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式．
跟踪训练
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过点（1，4），（3，－20），（－1，－12），求这个二次函数的解析式．
解：根据题意，得解得
因此所求函数的解析式为y＝－5x2＋8x＋1．
类型4：二元二次方程组的解集
例4：求下列方程组的解集．
（1）
（2）
解：（1）由①得y＝8－x，③
把③代入②，整理得x2－8x＋12＝0．
解得x1＝2，x2＝6．
把x1＝2代入③，得y1＝6．
把x2＝6代入③，得y2＝2．
所以原方程组的解集为{（x，y）|（2，6），（6，2）}．
（2）由①得（x－2y）2＋（x－2y）－2＝0，
解得x－2y＝1或x－2y＝－2，
由得
由得
所以原方程组的解集为．
规律方法
求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程．
跟踪训练
4．求方程组的解集．
解：∵方程①是x与2y的和，方程②是x与2y的积，
∴x与2y是方程z2－4z－21＝0的两个根，解此方程得z1＝－3，z2＝7，
∴或
即或
所以原方程组的解集为
．
类型5：方程组的实际应用
例5：某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5h，从乙地到甲地需要2.3h．假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30km，20km，40km，则从甲地到乙的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
思路点拨：题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70km；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5h；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3h．
解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是xkm，ykm和zkm．
由题意得解得
故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km，平路是54km，下坡路是4km．
规律方法
根据实际问题列方程组，求出方程组的解集，进而解决实际问题．
跟踪训练
5．在中国古算术《张丘建算经》（约成书于公元5世纪）里，有一道著名的“百鸡问题”：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？（三种鸡都买）
解：设鸡翁、鸡母、鸡雏分别买x只、y只、z只．
根据题意，得
②×3－①，得7x＋4y＝100，y＝＝25－x．
因为x，y均为正数，所以x一定是4的倍数，且x是小于的正整数，所以x的取值只能为4，8，12．
若x＝4，则y＝18，z＝78；
若x＝8，则y＝11，z＝81；
若x＝12，则y＝4，z＝84．
故鸡翁为4只，鸡母为18只，鸡雏为78只或鸡翁为8只，鸡母为11只，鸡雏为81只或鸡翁为12只，鸡母为4只，鸡雏为84只．
四、课堂小结
1．求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式．
2．待定系数法求函数的解析式，解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式．
五、当堂达标
1．二元一次方程组的解集是（
）
A．{（x，y）|（1，2）}
B．{（x，y）|（1，0）}
C．{（x，y）|（－1，2）}
D．{（x，y）|（1，－2）}
答案：A
解析：由加减消元法可求得x＝1，y＝2，故所求方程组的解集为{（x，y）|（1，2）}．
2．求方程组的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取（
）
A．先消去x
B．先消去y
C．先消去z
D．以上说法都不对
答案：B
解析：根据系数特点，先消去y最简便，故选B．
3．桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差（
）
A．80毫升
B．110毫升
C．140毫升
D．220毫升
答案：B
解析：设甲杯中原有水a毫升，乙杯中原有水b毫升，丙杯中原有水c毫升，
依题意有
②－①，得b－a＝110，故选B．
4．设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是和试写出符合要求的方程组________．
答案：
解析：由于这两组解都有：xy＝2×3＝6，x－y＝－1，故可组成方程组为（答案不唯一）．
9
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9(共24张PPT)
一元二次方程的解集及其根与系数的关系
谢
谢不等式及其性质
【第1课时】
不等关系与不等式
【教学目标】
【核心素养】
1．会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系．（难点）
2．会用比较法比较两实数的大小．（重点）
1．借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养．
2．通过大小比较，培养逻辑推理素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．不等关系
不等关系常用不等式来表示．
2．实数a，b的大小比较
文字语言
数学语言
等价条件
a－b是正数
a－b＞0
a＞b
a－b等于零
a－b＝0
a＝b
a－b是负数
a－b＜0
a＜b
3．重要不等式
一般地，?a，b∈R，有（a－b）2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．
二、初试身手
1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为（
）
A．T<40
B．T>40
C．T≤40
D．T≥40
答案：C
解析：限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40．
2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（
）
A．v≤120km/h且d≥10m
B．v≤120km/h或d≥10m
C．v≤120km/h
D．d≥10m
答案：A
解析：v的最大值为120km/h，即v≤120km/h，车间距d不得小于10m，即d≥10m，故选A．
3．雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4．5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是________．
答案：4.5t<28000
解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28000．
4．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________．
答案：M＞N
解析：M－N＝a2＋a＋1＝2＋＞0，∴M＞N．
三、合作探究
类型1：用不等式（组）表示不等关系
例1：京沪线上，复兴号列车跑出了350km/h的速度，这个速度的2倍再加上100km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
解：设复兴号列车速度为v1，
民航飞机速度为v2，
普通客车速度为v3．
v1，v2的关系：2v1＋100≤v2，
v1，v3的关系：v1＞3v3．
规律方法
在用不等式?组?表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个?或几个?量之间不可用不等式?组?来表示．另外，在用不等式组表示实际问题时，一定要注意单位的统一．
跟踪训练
1．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于216m2，靠墙的一边长为xm．试用不等式（组）表示其中的不等关系．
解：由于矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为18m，所以0这时菜园的另一条边长为＝（m）．
因此菜园面积S＝x·，
依题意有S≥216，即x≥216，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
类型2：比较两数（式）的大小
例2：已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
解：3x3－（3x2－x＋1）＝（3x3－3x2）＋（x－1）
＝3x2（x－1）＋（x－1）＝（3x2＋1）（x－1）．
∵x≤1，∴x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴（3x2＋1）（x－1）≤0，∴3x3≤3x2－x＋1．
母题探究
把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．
解：3x3－（3x2－x＋1）＝（3x3－3x2）＋（x－1）
＝（3x2＋1）（x－1）．
∵3x2＋1＞0，
当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；
当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；
当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1．
规律方法
作差法比较两个实数大小的基本步骤
跟踪训练
2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
解：（2x2＋5x＋3）－（x2＋4x＋2）＝x2＋x＋1
＝2＋．
∵2≥0，∴2＋≥＞0．
∴（2x2＋5x＋3）－（x2＋4x＋2）＞0，
∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2．
类型3：不等关系的实际应用
例3：某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
解：设该单位职工有n人（n∈N
），全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x·（n－1）＝x＋xn，y2＝nx．
因为y1－y2＝x＋xn－nx
＝x－nx＝x，
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2．
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
规律方法
解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．
跟踪训练
3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？
解：设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为y甲、y乙，一张全票价为a元，则
y甲＝a＋0．55ax，y乙＝0．75（x＋1）a．
y甲－y乙＝（a＋0．55ax）－0．75（x＋1）a
＝0．2a（1．25－x），
当x＞1．25（x∈N）时，y甲＜y乙；
当x＜1．25，即x＝1时，y甲＞y乙．
因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社较优惠．
四、课堂小结
1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．
a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a2．作差法比较大小的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0（不确定的要分情况讨论）；
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）不等式x≥2的含义是指x不小于2．（
）
（2）若a）
（3）若a>b，则ac>bc一定成立．（
）
提示：（1）正确．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．
（2）正确．不等式a≤b表示a（3）错误．ac－bc＝（a－b）c，这与c的符号有关．
答案：（1）√（2）√（3）×
2．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是（
）
A．a－b＞0
B．a－b＜0
C．a－b≥0
D．a－b≤0
答案：C
3．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2．（填“>”或“<”）．
答案：>
解析：因为（a2－ab）－（ba－b2）＝（a－b）2，又a>b，所以（a－b）2>0．
4．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，试用不等式表示上述关系．
解：由题意知，500x＋400y≤20
000，
即5x＋4y≤200．
【第2课时】
不等式及其性质
【教学目标】
【核心素养】
1．掌握不等式的性质．（重点）
2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．（难点）
3．通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异．
1．通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力．
2．借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养．
【教学过程】
一、新知初探
不等式的基本性质
（1）对称性：a＞b?b＜a．
（2）传递性：a＞b，b＞c?a＞c．
（3）可加性：a＞b?a＋c＞b＋c．
（4）可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc．
（5）加法法则：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d．
（6）乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd．
（7）乘方法则：a＞b＞0?an＞bn＞0（n∈N，n≥2）．
二、初试身手
1．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（
）
A．a－b＞d－c
B．a＋d＞b＋c
C．a－c＞b－c
D．a－c＜a－d
答案：B
解析：根据不等式的性质判断．
2．与a>b等价的不等式是（
）
A．|a|>|b|
B．a2>b2
C．>1
D．a3>b3
答案：D
解析：可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A，B正确而不满足a>b．再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D．
3．设x）
A．x2B．x2>ax>a2
C．x2D．x2>a2>ax
答案：B
解析：∵xa2．
∵x2－ax＝x（x－a）>0，∴x2>ax．
又ax－a2＝a（x－a）>0，∴ax>a2．
∴x2>ax>a2．
三、合作探究
类型1：利用不等式性质判断命题真假
例1：对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是（
）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则＞
C．若a＜b＜0，则＞
D．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0
思路点拨：本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断．
答案：D
解析：法一：∵c2≥0，∴c＝0时，
有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a＞b＞0，有ab＞0?＞?＞，
故B为假命题；
?＞，
故C为假命题；
ab＜0．
∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．
法二：特殊值排除法．
取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．
取a＝2，b＝1，则＝，＝1．
有＜，故B错．取a＝－2，b＝－1，
则＝，＝2，有＜，故C错．
规律方法
运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
跟踪训练
1．下列命题正确的是（
）
A．若a2＞b2，则a＞b
B．若＞，则a＜b
C．若ac＞bc，则a＞b
D．若＜，则a＜b
答案：D
解析：A错，例如（－3）2＞22；B错，例如＞；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b．
类型2：利用不等式性质证明简单不等式
例2：若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞．
思路点拨：可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．
证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0．
∴（a－c）2＞（b－d）2＞0．
两边同乘以，
得＜．
又e＜0，∴＞．
母题探究
本例条件不变的情况下，求证：＞．
证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴0＜＜．
又∵e＜0，∴＞．
规律方法
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
1．利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
2．应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
跟踪训练
2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac证明：∵a>b，c>0，∴ac>bc．
又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，
∴e－bc>f－ac，
∴f－ac类型3：不等式性质的应用
探究问题
1．小明同学做题时进行如下变形：
∵2∴<<，
又∵－6∴－2<<4．
你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－62．由－6提示：不正确．因为同向不等式具有可加性．但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？
∵2∴－4又∵－2∴0∴－3这怎么与－2提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加（相乘），这种转化不是等价变形．本题中将2例3：已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求a－b与的取值范围．
思路点拨：依据不等式的性质，找到－b与的范围，进而求出a－b与的取值范围．
解：因为1＜a＜4，2＜b＜8，
所以－8＜－b＜－2．
所以1－8＜a－b＜4－2，即－7＜a－b＜2．
又因为＜＜，所以＜＜＝2，
即＜＜2．
规律方法
求含字母的数或式子的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除．
跟踪训练
3．已知－≤α＜β≤，求，的取值范围．
解：∵－≤α＜β≤，
∴－≤＜，－＜≤，
两式相加，得－＜＜．
∵－＜≤，
∴－≤－＜．
∴－≤＜，
又知α＜β，∴＜0．
故－≤＜0．
四、课堂小结
1．在应用不等式性质时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．
2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）若a>b，则ac>bc一定成立．（
）
（2）若a＋c>b＋d，则a>b，c>d．（
）
提示：（1）错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个负数时，不等号方向改变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立．
（2）错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2．满足a＋c>b＋d，但不满足a>b．
答案：（1）×（2）×
2．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是（
）
A．a－d＞b－c
B．－＜－
C．a＋d＞b＋c
D．ac＞bd
答案：C
解析：由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，
即a－d＞b－c，所以A正确；
由c＞d＞0，得＞＞0．
又a＞b＞0，所以＞，－＜－，
即B正确；
显然D正确，因此不正确的选项是C．
3．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是（
）
A．－2＜α－β＜0
B．－2＜α－β＜－1
C．－1＜α－β＜0
D．－1＜α－β＜1
答案：A
解析：由－1＜α＜1，－1＜β＜1，
得－1＜－β＜1．
∴－2＜α－β＜2，但α＜β．
故知－2＜α－β＜0．
4．若bc－ad≥0，bd>0．求证：≤．
证明：因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，
因为bd>0，所以≤，所以＋1≤＋1，所以≤．
12
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12一元二次不等式的解法
【学习目标】
①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．
②借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
【学习重难点】
一元二次不等式的解法．
【学习过程】
一、自主学习
知识点：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图像
ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根
有两个不相等的实数根x1，x2（x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集
{x|xx2}
{x|x≠－}
R
ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集
{x|x1?
?
一元二次不等式的解法：
（1）图像法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0（≥0）或ax2＋bx＋c<0（≤0）的一元二次不等式，一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；③由图像得出不等式的解集．
对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．
（2）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p0，则x>q或x基础自测：
1．下列不等式中是一元二次不等式的是（
）
A．a2x2＋2≥0
B．<3
C．－x2＋x－m≤0
D．x3－2x＋1>0
解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．
答案：C
2．不等式x（x＋1）≤0的解集为（
）
A．[－1，＋∞）
B．[－1，0）
C．（－∞，－1]
D．[－1，0]
解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D．
答案：D
3．函数y＝的定义域为（
）
A．[－7，1]
B．（－7，1）
C．（－∞，－7]∪[1，＋∞）
D．（－∞，－7）∪（1，＋∞）
解析：由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即（x＋7）（x－1）<0，所以－7答案：B
4．不等式1＋2x＋x2≤0的解集为________．
解析：不等式1＋2x＋x2≤0化为（x＋1）2≤0，解得x＝－1．
答案：{－1}
二、素养提升
题型一：解不含参数的一元二次不等式
例1：（1）求不等式x2－x－2>0的解集．
（2）求不等式x2－6x－1≤0的解集．
（3）求不等式－x2＋2x－1<0的解集．
解析：（1）因为x2－x－2＝（x＋1）（x－2），
所以原不等式等价于（x＋1）（x－2）>0，因此所求解集为（－∞，－1）∪（2，＋∞）．
（2）因为x2－6x－1＝x2－6x＋9－9－1＝（x－3）2－10，
所以原不等式可化为（x－3）2－10≤0，即（x－3）2≤10，
两边开平方得|x－3|≤，从而可知－≤x－3≤，
因此3－≤x≤3＋，所以不等式的解集为[3－，3＋]．
（3）原不等式可化为x2－2x＋1>0，
又因为x2－2x＋1＝（x－1）2，所以上述不等式可化为
（x－1）2>0．
注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以不等式的解集为（－∞，1）∪（1，＋∞）．
三、教材反思
我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0（a>0）形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．
跟踪训练1：解下列不等式：
（1）x2－7x＋12>0；
（2）－x2－2x＋3≥0；
（3）x2－2x＋1<0；
（4）－2x2＋3x－2<0．
解析：（1）因为Δ＝1＞0，所以方程x2－7x＋12＝0有两个不等实根x1＝3，x2＝4．再根据函数y＝x2－7x＋12的图像开口向上，可得不等式x2－7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}．
（2）不等式两边同乘－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0．因为Δ＝16＞0，所以方程x2＋2x－3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝1．再根据函数y＝x2＋2x－3的图像开口向上，可得不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．
（3）因为Δ＝0，所以方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝1．再根据函数y＝x2－2x＋1的图像开口向上，可得不等式x2－2x＋1＜0的解集为?．
（4）原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R．
―→
题型二：三个“二次”之间的关系
例2：已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2解析：方法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为∪．
方法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2→→
→→
方法归纳：
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
（1）若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．
（2）若一元二次不等式的解集为R或?，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．
跟踪训练2：已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集为，求不等式qx2＋px＋1>0的解集．
解析：因为x2＋px＋q<0的解集为，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得解得
所以不等式qx2＋px＋1>0即为－x2＋x＋1>0，
整理得x2－x－6<0，解得－2即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2→→→
题型三：含参数的一元二次不等式的解法[经典例题]
例3：解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0．
解析：对于方程2x2＋ax＋2＝0，其判别式Δ＝a2－16＝（a＋4）（a－4）．
①当a>4或a<－4时，Δ>0，方程2x2＋ax＋2＝0的两根为x1＝（－a－），x2＝（－a＋）．
∴原不等式的解集为．
②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，
∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．
③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，
∴原不等式的解集为{x|x≠1}．
④当－4二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．
方法归纳：
含参数一元二次不等式求解步骤
（1）讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向；
（2）讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x轴交点的个数；
（3）当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；
（4）最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．
跟踪训练3：解关于x的不等式x2－（a＋a2）x＋a3>0．
解析：原不等式可变形为（x－a）·（x－a2）>0，则方程（x－a）（x－a2）＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，
（1）当a<0时，有aa2，此时原不等式的解集为{x|xa2}；
（2）当0a2，即xa，此时原不等式的解集为{x|xa}；
（3）当a>1时，有a2>a，即xa2，此时原不等式的解集为{x|xa2}；
（4）当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
（5）当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；
综上可知：
当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．
→→→
题型四：一元二次不等式的实际应用
例4：某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x（百台），其总成本为g（x）万元（总成本＝固定成本＋生产成本），并且销售收入r（x）满足r（x）＝
假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：
（1）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？
（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？
解析：（1）依题意得g（x）＝x＋3，设利润函数为f（x），则
f（x）＝r（x）－g（x），所以f（x）＝
要使工厂有盈利，则有f（x）>0，因为f（x）>0?或?或?或则3＜x≤7或7＜x＜10.5，即3＜x＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内．
（2）当3＜x≤7时，f（x）＝－0.5（x－6）2＋4．5，故当x＝6时，f（x）有最大值4.5，而当x＞7时，f（x）＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大．
（1）求利润函数f（x）?解不等式f（x）>0?回答实际问题．
（2）根据第（1）题所求范围，分类讨论求函数最值?回答实际问题．
方法归纳：
解不等式应用题的四步骤
（1）审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
（2）设：引进数学符号，用不等式表示不等关系．
（3）求：解不等式．
（4）答：回答实际问题．
特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
跟踪训练4：某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x（x≠0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式；
（2）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
解析：（1）降低税率后的税率为（10－x）%，农产品的收购量为a（1＋2x%）万担，收购总金额为200a（1＋2x%）
依题意得，y＝200a（1＋2x%）（10－x）%＝a（100＋2x）（10－x）（0（2）原计划税收为200a·10%＝20a（万元）．
依题意得，a（100＋2x）（10－x）≥20a×83.2%，
化简得x2＋40x－84≤0，
∴－42≤x≤2．
又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2．
∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}．
根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：
原计划
降税后
价格（元/担）
200
200
税率
10%
（10－x）%（0收购量（万担）
a
a（1＋2x%）
收购总金额（万元）
200a
200·a（1＋2x%）
税收y（万元）
200a·10%
200·a（1＋2x%）（10－x）%
四、课时作业
（一）选择题
1．不等式3x2－2x＋1>0的解集为（
）
A．
B．
C．?
D．R
解析：因为Δ＝（－2）2－4×3×1＝－8<0，所以抛物线y＝3x2－2x＋1开口向上，与x轴无交点，故3x2－2x＋1>0恒成立，即不等式3x2－2x＋1>0的解集为R．
答案：D
2．设m＋n>0，则关于x的不等式（m－x）（n＋x）>0的解集是（
）
A．{x|x<－n或x>m}
B．{x|－nC．{x|x<－m或x>n}
D．{x|－m解析：不等式（m－x）（n＋x）>0可化为（x－m）（x＋n）<0，方程（x－m）（x＋n）＝0的两根为x1＝m，x2＝－n．由m＋n>0，得m>－n，则不等式（x－m）（x＋n）<0的解集是{x|－n答案：B
3．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a，c的值分别为（
）
A．a＝6，c＝1
B．a＝－6，c＝－1
C．a＝1，c＝1
D．a＝－1，c＝－6
解析：由题意知，方程ax2＋5x＋c＝0的两根为x1＝，x2＝，由根与系数的关系得x1＋x2＝＋＝－，x1·x2＝×＝．解得a＝－6，c＝－1．
答案：B
4．若不等式x2＋mx＋>0的解集为R，则实数m的取值范围是（
）
A．（2，＋∞）
B．（－∞，2）
C．（－∞，0）∪（2，＋∞）
D．（0，2）
解析：由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m2－4×1×<0，即m2－2m<0，解得0答案：D
（二）填空题
5．不等式（2x－5）（x＋3）<0的解集为________．
解析：方程（2x－5）（x＋3）＝0的两根为x1＝，x2＝－3，函数y＝（2x－5）（x＋3）的图像与x轴的交点坐标为（－3，0）和，所以不等式（2x－5）（x＋3）<0的解集为．
答案：
6．不等式<0的解集为________．
解析：原不等式可以化为（2x－1）（2x＋1）<0，
即<0，
故原不等式的解集为．
答案：
7．用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于600m2的矩形吗？若“能”，当长＝________m，宽＝________m时，所围成的矩形的面积最大．
解析：设矩形一边的长为x
m，则另一边的长为（50－x）m，0600，即x2－50x＋600<0，解得20m2的矩形．用S表示矩形的面积，则S＝x（50－x）＝－（x－25）2＋625（0m时，所围成的矩形的面积最大．
答案：25；25
（三）解答题
8．解下列不等式：
（1）x2＋2x－15>0；
（2）x2－3x＋5>0；
（3）4（2x2－2x＋1）>x（4－x）．
解析：（1）x2＋2x－15>0?（x＋5）（x－3）>0?x<－5或x>3，所以不等式的解集是{x|x<－5或x>3}．
（2）因为Δ＝（－3）2－4×1×5＝－11<0，再根据函数y＝x2－3x＋5图像的开口方向，所以原不等式的解集为R．
（3）由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2．
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0．
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝．
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图像知，原不等式的解集为．
9．若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
解析：由题意知所以
代入不等式cx2－bx＋a>0中得ax2＋ax＋a>0（a<0）．
即x2＋x＋1<0，化简得x2＋5x＋6<0，
所以所求不等式的解集为{x|－3尖子生题库：
10．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0．
解析：方程x2－ax－2a2＝0的判断式Δ＝a2＋8a2＝9a2≥0，得方程两根x1＝2a，x2＝－a．
（1）若a>0，则－a（2）若a<0，则2a（3）若a＝0，则原不等式即为x2<0，此时解集为?．
综上所述，原不等式的解集为：
当a>0时，{x|－a当a<0时，{x|2a当a＝0时，?．
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11(共23张PPT)
等式的性质与方程的解集
谢
谢
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7不等式及其性质
【学习目标】
理解不等式的概念，掌握不等式的性质．
【学习重难点】
不等式的性质．
【学习过程】
一、自主学习
知识点一：实数大小比较
1．文字叙述
如果a－b是正数，那么a>b；
如果a－b等于0，那么a＝b；
如果a－b是负数，那么a2．符号表示
a－b>0?a>b；
a－b＝0?a＝b；
a－b<0?a比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．
知识点二：不等式的性质
性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a>b?b可逆
2
传递性
a>b，b>c?a>c
3
可加性
a>b?a＋c>b＋c
可逆
4
可乘性
?ac>bc
c的符号
?ac5
同向
可加性
?a＋c>b＋d
同向
6
同向同正
可乘性
?ac>bd
同向
7
可乘方性
a>b>0?an>bn
（n∈N，n≥2）
同正
8
可开方
a>b>0?>（n∈N，n≥2）
同正
（1）性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a＋b>c?a>c－b．性质3是可逆性的，即a>b?a＋c>b＋c．
（2）注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．
（3）在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．
基础自测：
1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系（
）
A．T<40
B．T>40
C．T≤40
D．T≥40
解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思．
答案：C
2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是（
）
A．M>N
B．M＝N
C．MD．与x有关
解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，所以M>N．
答案：A
3．已知x）
A．x2B．x2>ax>a2
C．x2D．x2>a2>ax
解析：因为xa2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2．
答案：B
4．不等式组的解集为________．
解析：，∴－答案：
二、素养提升
题型一：比较大小
例1：比较x2－x和x－2的大小．
解析：因为（x2－x）－（x－2）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，
又因为（x－1）2≥0，所以（x－1）2＋1≥1>0，从而（x2－x）－（x－2）>0，
因此x2－x>x－2．
通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系．
三、教材反思
用作差法比较两个实数大小的四步曲
跟踪训练1：若f（x）＝3x2－x＋1，g（x）＝2x2＋x－1，则f（x）与g（x）的大小关系是（
）
A．f（x）B．f（x）＝g（x）
C．f（x）>g（x）
D．随x值变化而变化
解析：f（x）－g（x）＝（3x2－x＋1）－（2x2＋x－1）
＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1>0，
所以f（x）>g（x）．故选C．
答案：C
→→→
题型二：不等式的性质
例2：对于实数a、b、c，有下列说法：
①若a>b，则ac②若ac2>bc2，则a>b；
③若aab>b2；
④若c>a>b>0，则>；
⑤若a>b，>，则a>0，b<0．
其中正确的个数是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：对于①，令c＝0，则有ac＝bc．①错．
对于②，由ac2>bc2，知c≠0，
∴c2>0?a>b．②对．
对于③，由a两边同乘以a得a2>ab，
两边同乘以b得ab>b2，
∴a2>ab>b2．③对．
对于④，?0．④对．
对于⑤，??a>0，b<0．⑤对．
故选C．
答案：C
→
方法归纳：
（1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．
（2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
跟踪训练2：（1）已知a）
A．4a<4b
B．－4a<－4b
C．a＋4D．a－4（2）对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（
）
A．若a>b，c≠0，则ac>bc
B．若a>b，则ac2>bc2
C．若ac2>bc2，则a>b
D．若a>b，则<
解析：（1）根据不等式的性质，a0?4a<4b，A项正确；a－4b，B项错误；a（2）对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b．故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．
答案：（1）B
（2）C
利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．
题型三：利用不等式性质求范围
例3：已知－2（1）|a|；（2）a＋b；（3）a－b；（4）2a－3b．
解析：（1）|a|∈[0，3]；（2）－1（3）依题意得－2（4）由－2由1≤b<2得－6<－3b≤－3，②
由①②得，－10<2a－3b≤3．
运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向．
方法归纳：
利用不等式性质求范围的一般思路
（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
（3）结合不等式的传递性进行求解．
跟踪训练3：已知实数x，y满足：1（1）求xy的取值范围；
（2）求x－2y的取值范围．
解析：（1）∵1（2）由（1）知1（1）根据不等式的性质6可直接求解；
（2）求出－2y的取值范围后，利用不等式的性质5即可求x－2y的取值范围．
四、课时作业
（一）选择题
1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是（
）
A．A≤B
B．A≥B
C．AB
D．A>B
解析：因为A－B＝a2＋3ab－（4ab－b2）＝2＋b2≥0，所以A≥B．
答案：B
2．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是（
）
A．若a>b，c>b，则a>c
B．若a>－b，则c－aC．若a>b，c
D．若a2>b2，则－a<－b
解析：选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0b>0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立．
答案：B
3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是（
）
A．－2<α－β<0
B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0
D．－1<α－β<1
解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1．
又－1<α<1，∴－2<α＋（－β）<2，
又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0．故选A．
答案：A
4．有四个不等式：①|a|>|b|；②ab3．若<<0，则不正确的不等式的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由<<0可得bb，②不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋bb3，④正确．故不正确的不等式的个数为2．
答案：C
（二）填空题
5．已知a，b均为实数，则（a＋3）（a－5）________（a＋2）（a－4）（填“>”“<”或“＝”）．
解析：因为（a＋3）（a－5）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－15）－（a2－2a－8）＝－7<0，所以（a＋3）（a－5）<（a＋2）（a－4）．
答案：<
6．如果a>b，那么c－2a与c－2b中较大的是________．
解析：c－2a－（c－2b）＝2b－2a＝2（b－a）<0．
答案：c－2b
7．给定下列命题：
①a>b?a2>b2；②a2>b2?a>b；③a>b?<1；④a>b，c>d?ac>bd；⑤a>b，c>d?a－c>b－d．
其中错误的命题是________（填写相应序号）．
解析：由性质7可知，只有当a>b>0时，a2>b2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a>0且a>b时，<1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a>b>0，c>d>0时，ac>bd才成立，故④错误；对于⑤，由c>d得－d>－c，从而a－d>b－c，故⑤错误．
答案：①②③④⑤
（三）解答题
8．已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
解析：x3－1－（2x2－2x）＝x3－2x2＋2x－1
＝（x3－x2）－（x2－2x＋1）＝x2（x－1）－（x－1）2
＝（x－1）（x2－x＋1）＝（x－1）·，
因为x<1，所以x－1<0，
又因为2＋>0，
所以（x－1）<0，
所以x3－1<2x2－2x．
9．若bc－ad≥0，bd>0．求证：≤．
证明：因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，
因为bd>0，所以≤，
所以＋1≤＋1，所以≤．
尖子生题库：
10．设f（x）＝ax2＋bx，1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（－2）的取值范围．
解析：方法一：设f（－2）＝mf（－1）＋nf（1）（m，n为待定系数），
则4a－2b＝m（a－b）＋n（a＋b）＝（m＋n）a＋（n－m）b，
于是得，解得
∴f（－2）＝3f（－1）＋f（1）．
又∵1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4．∴5≤3f（－1）＋f（1）≤10，
故f（－2）的取值范围是[5，10]．
方法二：由，得，
∴f（－2）＝4a－2b＝3f（－1）＋f（1）．
又∵1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4，
∴5≤3f（－1）＋f（1）≤10，
故f（－2）的取值范围是[5，10]．
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