函数与方程、不等式之间的关系
【学习目标】
运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法），再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法．
【学习重难点】
函数与方程、不等式的关系．
【学习过程】
一、自主学习
知识点一：函数的零点
1．零点的定义
一般地，如果函数y＝f（x）在实数α处的函数值等于零，即f（α）＝0，则称α为函数y＝f（x）的零点．
2．方程的根与函数零点的关系
函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
知识点二：二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图像
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根
有两相异实根x1，x2（x1
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集
{x|xx2}
R
ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集
{x|x1?
?
知识点三：函数零点的判定
函数零点存在定理
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f（a）f（b）<0（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数y＝f（x）在区间（a，b）中至少有一个零点，即?x0∈[a，b]，f（x0）＝0．
定理要求具备两条：
①函数在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线；②f（a）·f（b）＜0．
基础自测：
1．函数y＝3x－2的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是（
）
A．；
B．；
C．－；－
D．；－
解析：令3x－2＝0，则x＝，∴函数y＝3x－2的图像与x轴的交点坐标为，函数零点为．
答案：B
2．函数f（x）＝的定义域为（
）
A．[0，3]
B．（0，3）
C．（－∞，0]∪[3，＋∞）
D．（－∞，0）∪（3，＋∞）
解析：要使函数f（x）＝有意义，则3x－x2≥0，即x2－3x≤0，解得0≤x≤3．
答案：A
3．函数f（x）＝x3－x的零点个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：f（x）＝x（x－1）（x＋1），令x（x－1）（x＋1）＝0，解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函数的零点为－1，0，1，共3个．
答案：D
4．若函数f（x）＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g（x）＝bx2－ax－1的零点是________．
解析：由得
∴g（x）＝－6x2－5x－1的零点是－，－．
答案：－，－
二、素养提升
题型一：函数零点的概念及求法
例1：（1）下列图像表示的函数中没有零点的是（
）
（2）不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．
解析：（1）由图观察，A中图像与x轴没有交点，所以A中函数没有零点．
（2）由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得：－4所以不等式－x2－3x＋4>0的解集为（－4，1）．
答案：（1）A；（2）（－4，1）
1．由函数图像判断函数是否有零点是看函数的图像与x轴是否有交点．
2．求函数对应方程的根即为函数的零点．
方法归纳：
函数零点的求法：
求函数y＝f（x）的零点通常有两种方法：其一是令f（x）＝0，根据解方程f（x）＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f（x）的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
跟踪训练1：若函数f（x）＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f（x）其余的零点．
解析：由题意知f（－3）＝0，即（－3）2－3－a＝0，a＝6．所以f（x）＝x2＋x－6．
解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2．
所以函数f（x）其余的零点是2．
由函数f（x）的零点是－3，得f（－3）＝0，求a．
题型二：确定函数零点的个数
例2：求证：函数f（x）＝x3－2x＋2至少有一个零点．
证明：因为f（0）＝2>0，f（－2）＝－8＋4＋2＝－2<0，
所以f（－2）f（0）<0，因此?x0∈[－2，0]，f（x0）＝0，
即结论成立．
三、教材反思
判断函数零点个数的三种方法：
（1）方程法：若方程f（x）＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．
（2）图像法：由f（x）＝g（x）－h（x）＝0，得g（x）＝h（x），在同一坐标系内作出y1＝g（x）和y2＝h（x）的图像．根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数．
（3）定理法：函数y＝f（x）的图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f（a）·f（b）＜0即可判断函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点．若函数y＝f（x）在区间（a，b）上是单调函数，则函数f（x）在区间（a，b）内只有一个零点．
跟踪训练2：（1）函数f（x）＝x－－2的零点个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
（2）判断函数f（x）＝x－3＋lnx的零点个数．
解析：（1）令f（x）＝0得x－－2＝0，设t＝（t≥0），则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1（舍）．
故＝2即x＝4，因此方程f（x）＝0有一个根4，所以函数f（x）有一个零点．
（2）令f（x）＝x－3＋lnx＝0，则lnx＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝lnx与y＝－x＋3的图像，如图所示：由图可知函数y＝lnx，y＝－x＋3的图像只有一个交点，即函数f（x）＝x－3＋lnx只有一个零点．
答案：（1）B；（2）一个
思路一：解方程求零点，方程f（x）＝0的实数根的个数就是函数f（x）的零点的个数；
思路二：画出函数图像，依据图像与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数．
题型三：判断函数的零点所在的大致区间
例3：设x0是函数f（x）＝lnx＋x－4的零点，则x0所在的区间为（
）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）
解析：因为f（2）＝ln2＋2－4＝ln2－2＜0，f（3）＝ln3－1＞lne－1＝0，f（2）·f（3）＜0．由零点存在性定理，得x0所在的区间为（2，3）．
答案：C
根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图像分析．
方法归纳：
判断函数零点所在区间的三个步骤：
（1）代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
（2）判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
（3）结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
跟踪训练3：函数f（x）＝2x－1＋x－5的零点所在的区间为（
）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）
解析：f（2）＝22－1＋2－5＜0，f（3）＝23－1＋3－5＞0，故f（2）·f（3）＜0，又f（x）在定义域内是增函数，则函数f（x）＝2x－1＋x－5只有一个零点，且零点所在的区间为（2，3）．
答案：C
利用f（a）·f（b）＜0求零点区间．
题型四：函数零点的应用[经典例题]
例4：已知函数f（x）＝其中m>0．
若存在实数b，使得关于x的方程f（x）＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
解析：作出f（x）的图像如图所示．
当x>m时，x2－2mx＋4m＝（x－m）2＋4m－m2，
∴要使方程f（x）＝b有三个不同的根，
则4m－m20．
又m>0，解得m>3．
答案：（3，＋∞）
方法归纳：
已知函数零点情况求参数的步骤及方法：
（1）步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式（组）；③解不等式（组），即得参数的取值范围．
（2）方法：常利用数形结合法．
跟踪训练4：已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是________．
解析：如图，由图像知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图像有三个交点，
则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1．
答案：1
求解这类问题可先将原式变形为f（x）＝g（x），则方程f（x）＝g（x）的不同解的个数等于函数f（x）与g（x）图像交点的个数，分别画出两个函数的图像，利用数形结合的思想使问题得解．
四、课时作业
（一）选择题
1．下列函数不存在零点的是（
）
A．y＝x－
B．y＝
C．y＝
D．y＝
解析：令y＝0，得A中函数的零点为1，－1；B中函数的零点为－，1；C中函数的零点为1，－1；只有D中函数无零点．
答案：D
2．若函数f（x）＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g（x）＝bx2－ax的零点是（
）
A．0，2
B．0，
C．0，－
D．2，－
解析：∵2a＋b＝0，
∴g（x）＝－2ax2－ax＝－ax（2x＋1）．
∴零点为0和－．
答案：C
3．用二分法研究函数f（x）＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f（0）<0，f（0．5）>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（
）
A．（0，0.5），f（0.125）
B．（0.5，1），f（0.875）
C．（0.5，1），f（0.75）
D．（0，0.5），f（0.25）
解析：∵f（x）＝x5＋8x3－1，f（0）<0，f（0．5）>0，
∴f（0）·f（0．5）<0，
∴其中一个零点所在的区间为（0，0．5），
第二次应计算的函数值应为f（0．25），故选D．
答案：D
4．已知函数f（x）＝|x|＋1，g（x）＝k（x＋2）．若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（
）
A．
B．
C．（1，2）
D．（2，＋∞）
解析：作出f（x），g（x）图像，如图．
因为A（0，1），B（－2，0），kAB＝＝，
要使方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则函数f（x）与g（x）的图像有两个不同的交点，由图可知，＜k＜1．
答案：B
（二）填空题
5．函数f（x）＝x2－3x－18在区间[1，8]上________（填“存在”或“不存在”）零点．
解析：方法一：∵f（1）＝12－3×1－18＝－20＜0，
f（8）＝82－3×8－18＝22＞0，∴f（1）·f（8）＜0，
又f（x）＝x2－3x－18在区间[1，8]上的图像是连续的，
故f（x）＝x2－3x－18在区间[1，8]上存在零点．
方法二：令f（x）＝0，得x2－3x－18＝0，
∴（x－6）（x＋3）＝0．
∵x＝6∈[1，8]，x＝－3?[1，8]，
∴f（x）＝x2－3x－18在区间[1，8]上存在零点．
答案：存在
6．函数f（x）＝的零点为________．
解析：f（x）＝0，∴或，
∴x＝1，x＝－1，x＝2（舍）
答案：1，－1
7．已知函数f（x）＝x2＋x＋a（a＜0）在区间（0，1）上有零点，则a的取值范围为________．
解析：由题意函数f（x）＝x2＋x＋a在区间（0，1）上单调递增，函数f（x）在（0，1）上有零点，可得：f（1）·f（0）＜0．
∴a（2＋a）＜0．∴－2＜a＜0．
答案：（－2，0）
（三）解答题
8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
（1）f（x）＝；
（2）f（x）＝x2＋2x＋4．
解析：（1）令＝0，解得x＝－3，
所以函数f（x）＝的零点是－3．
（2）令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f（x）＝x2＋2x＋4不存在零点．
9．已知函数f（x）＝x2＋3（m＋1）x＋n的零点是1和2，求函数y＝nx2＋mx＋3的零点个数．
解析：由题可知，f（x）＝x2＋3（m＋1）x＋n的两个零点为1和2．
则1和2是方程x2＋3（m＋1）x＋n＝0的两根．
可得解得
∴y＝2x2－2x＋3
∵Δ＝4－4×2×3＝－20<0
∴无零点．
尖子生题库：
10．已知二次函数f（x）＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围．
（1）零点均大于1；
（2）一个零点大于1，一个零点小于1；
（3）一个零点在（0，1）内，另一个零点在（6，8）内．
解析：（1）因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得
解得2≤a＜．
即a的取值范围为．
（2）因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f（1）＝5－2a＜0，解得a＞．
即a的取值范围为．
（3）因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在（0，1）内，另一个根在（6，8）内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得
解得＜a＜．
即a的取值范围为．
10
/
10函数的单调性
【学习目标】
借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
【学习重难点】
函数的单调性．
【学习过程】
一、自主学习
知识点一：定义域为A的函数f（x）的单调性
定义中的x1，x2有以下3个特征
（1）任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
（2）有大小，通常规定x1（3）属于同一个单调区间．
知识点二：单调性与单调区间
如果函数y＝f（x）在区间M上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间M叫做y＝f（x）的单调区间．
一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．如函数y＝在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减，却不能表述为：函数y＝在（－∞，0）∪（0，＋∞）上单调递减．
知识点三：函数的最值
一般地，设函数f（x）的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f（x）≤f（x0），则称f（x）的最大值为f（x0）（记作f（x）max＝f（x0）），而x0称为f（x）的最大值点；如果对任意x∈D，都有f（x）≥f（x0），则称f（x）的最小值为f（x0）（记作f（x）min＝f（x0）），而x0称为f（x）的最小值点．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．
最大（小）值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－x2（x∈R）的最大值是0，有f（0）＝0．
基础自测：
1．下列说法中正确的有（
）
①若x1，x2∈I，当x1②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数；
④y＝的单调递减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：由于①中的x1，x2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确．
答案：A
2．函数y＝（2m－1）x＋b在R上是减函数，则（
）
A．m>
B．m<
C．m>－
D．m<－
解析：使y＝（2m－1）x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<．
答案：B
3．函数f（x）＝在[1，＋∞）上（
）
A．有最大值无最小值
B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值
D．无最大值也无最小值
解析：函数f（x）＝是反比例函数，当x∈（0，＋∞）时，函数图像下降，所以在[1，＋∞）上f（x）为减函数，f（1）为f（x）在[1，＋∞）上的最大值，函数在[1，＋∞）上没有最小值．故选A．
答案：A
4．若f（x）在R上是增函数，且f（x1）>f（x2），则x1，x2的大小关系为________．
解析：∵f（x）在R上是增函数，且f（x1）>f（x2），∴x1>x2．
答案：x1>x2
二、素养提升
题型一：利用函数图像求单调区间
例1：已知函数y＝f（x）的图像如图所示，则该函数的减区间为（
）
A．（－3，1）∪（1，4）
B．（－5，－3）∪（－1，1）
C．（－3，－1），（1，4）
D．（－5，－3），（－1，1）
解析：在某个区间上，若函数y＝f（x）的图像是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为（－3，－1），（1，4）．
答案：C
观察图像，若图像呈上升（下降）趋势时为增（减）函数，对应的区间是增（减）区间．
跟踪训练1：函数f（x）的图像如图所示，则（
）
A．函数f（x）在[－1，2]上是增函数
B．函数f（x）在[－1，2]上是减函数
C．函数f（x）在[－1，4]上是减函数
D．函数f（x）在[2，4]上是增函数
解析：函数单调性反映在函数图像上就是图像上升对应增函数，图像下降对应减函数，故选A．
答案：A
图像上升或下降趋势判断．
题型二：函数的单调性判断与证明
例2：求证：函数f（x）＝－2x在R上是减函数．
证明：任取x1，x2∈R且x10，从而f（x1）>f（x2）．
因此，函数f（x）＝－2x在R上是减函数．
先根据单调性的定义任取x1，x2∈（－∞，＋∞），且x1三、教材反思
利用定义证明函数单调性的步骤
注：作差变形是解题关键．
跟踪训练2：利用单调性的定义，证明函数y＝在（－1，＋∞）上是减函数．
证明：设x1，x2是区间（－1，＋∞）上任意两个实数且x1∵－10，x1＋1>0，x2＋1>0．
∴>0．即f（x1）－f（x2）>0，f（x1）>f（x2）．
∴y＝在（－1，＋∞）上是减函数．
利用四步证明函数的单调性．
题型三：利用函数的单调性求最值[经典例题]
例3：已知函数f（x）＝，x∈[3，5]．
（1）判断函数在区间[3，5]上的单调性，并给出证明；
（2）求该函数的最大值和最小值．
解析：（1）函数f（x）在[3，5]上是单调递增的，
证明：设任意x1，x2，满足3≤x1因为f（x1）－f（x2）＝－
＝
＝，
因为3≤x10，x2＋1>0，x1－x2<0．
所以f（x1）－f（x2）<0，
即f（x1）所以f（x）＝在[3，5]上是单调递增的．
（2）f（x）min＝f（3）＝＝，
f（x）max＝f（5）＝＝．
方法归纳：
1．利用单调性求函数的最大（小）值的一般步骤
（1）判断函数的单调性．
（2）利用单调性求出最大（小）值．
2．函数的最大（小）值与单调性的关系
（1）若函数f（x）在区间[a，b]上是增（减）函数，则f（x）在区间[a，b]上的最小（大）值是f（a），最大（小）值是f（b）．
（2）若函数f（x）在区间[a，b]上是增（减）函数，在区间[b，c]上是减（增）函数，则f（x）在区间[a，c]上的最大（小）值是f（b），最小（大）值是f（a）与f（c）中较小（大）的一个．
跟踪训练3：已知函数f（x）＝，求函数f（x）在[1，5]上的最值．
解析：先证明函数f（x）＝的单调性，设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>，
f（x1）－f（x2）＝－＝．
由于x2>x1>，所以x2－x1>0，且（2x1－1）·（2x2－1）>0，所以f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），所以函数f（x）＝在区间上是单调递减的，所以函数f（x）在[1，5]上是单调递减的，因此，函数f（x）＝在区间[1，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f（1）＝3，最小值为f（5）＝．
?1．判断函数的单调性．2．利用单调性求出最大小值．
题型四：由函数的单调性求参数的取值范围
例4：已知函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在区间（－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．
解析：∵f（x）＝x2－2（1－a）x＋2＝[x－（1－a）]2＋2－（1－a）2，
∴f（x）的减区间是（－∞，1－a]．
∵f（x）在（－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
∴1－a≥4，解得a≤－3．
故a的取值范围为（－∞，－3]．
首先求出f（x）的单调减区间，求出f（x）的对称轴为x＝1－a，利用对称轴应在直线x＝4的右侧或与其重合求解．
方法归纳：
“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别
单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
跟踪训练4：例4中，若将“函数在区间（－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为（－∞，4]”，则a为何值？
解析：由例4知函数f（x）的单调递减区间为（－∞，1－a]，
∴1－a＝4，a＝－3．
求出函数的减区间，用端点值相等求出a．
四、课时作业
（一）选择题
1．定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等的实数a，b，总有>0，则必有（
）
A．函数f（x）先增后减
B．f（x）是R上的增函数
C．函数f（x）先减后增
D．函数f（x）是R上的减函数
解析：由>0知，当a>b时，f（a）>f（b）；当a答案：B
2．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（
）
A．y＝－3x＋2
B．y＝
C．y＝x2－4x＋5
D．y＝3x2＋8x－10
解析：显然A、B两项在（0，2）上为减函数，排除；对C项，函数在（－∞，2）上为减函数，也不符合题意；对D项，函数在上为增函数，所以在（0，2）上也为增函数，故选D．
答案：D
3．函数f（x）在[－2，2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（
）
A．f（－2），0
B．0，2
C．f（－2），2
D．f（2），2
解析：由图像知点（1，2）是最高点，故ymax＝2．点（－2，f（－2））是最低点，故ymin＝f（－2）．
答案：C
4．函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）>f（－m＋9），则实数m的取值范围是（
）
A．（－∞，－3）
B．（0，＋∞）
C．（3，＋∞）
D．（－∞，－3）∪（3，＋∞）
解析：因为函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）>f（－m＋9），所以2m>－m＋9，即m>3．
答案：C
（二）填空题
5．如图所示为函数y＝f（x），x∈[－4，7]的图像，则函数f（x）的单调递增区间是____________．
解析：由图像知单调递增区间为[－1．5，3]和[5，6]．
答案：[－1．5，3]和[5，6]
6．函数y＝x＋的最小值为________．
解析：令＝t，t≥0，则x＝t2＋1，
所以y＝t2＋t＋1＝2＋，
当t≥0时，由二次函数的性质可知，当t＝0时，ymin＝1．
答案：1
7．函数y＝|x2－4x|的单调减区间为________．
解析：画出函数y＝|x2－4x|的图像，由图像得单调减区间为：（－∞，0]，[2，4]．
答案：（－∞，0]，[2，4]
（三）解答题
8．判断并证明函数f（x）＝－＋1在（0，＋∞）上的单调性．
解析：函数f（x）＝－＋1在（0，＋∞）上是增函数．证明如下：
设x1，x2是（0，＋∞）上的任意两个实数，且x1f（x1）－f（x2）＝－＝，
由x1，x2∈（0，＋∞），得x1x2>0，
又由x1于是f（x1）－f（x2）<0，
即f（x1）∴f（x）＝－＋1在（0，＋∞）上是增函数．
9．作出函数f（x）＝的图像，并指出函数的单调区间．
解析：f（x）＝的图像如图所示．
由图像可知：函数的单调减区间为（－∞，1]和（1，2]；单调递增区间为（2，＋∞）．
尖子生题库：
10．已知函数f（x）＝|x|（x＋1），试画出函数f（x）的图像，并根据图像解决下列两个问题．
（1）写出函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值．
解析：f（x）＝|x|（x＋1）＝的图像如图所示．
（1）f（x）在和[0，＋∞）上是增函数，
在上是减函数，
因此f（x）的单调递增区间为，[0，＋∞）；
单调递减区间为．
（2）因为f＝，f（）＝，
所以f（x）在区间上的最大值为．
10
/
10(共24张PPT)
函数的应用(一)
谢
谢(共71张PPT)
函数及其表示方法
第1课时 函数的概念
第2课时 函数的表示方法
谢
谢
①
O函数及其表示方法
【学习目标】
在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．
【学习重难点】
函数的概念。
【学习过程】
【第1课时】
一、自主学习
知识点一：函数的概念
1．函数的概念
一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，按照对应关系f，在集合B（集合B一般默认为实数集R，因此常常略去不写．）中都有唯一确定的实数y＝f（x）与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f（x），x∈A．
2．函数的定义域和值域
函数y＝f（x）中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围（即数集A）称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f（x），x∈A}称为函数的值域．
对函数概念的3点说明
（1）当A，B为非空实数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．
（2）集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．
（3）符号“f”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．
知识点二：同一函数
一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等），则称这两个函数就是同一个函数．
基础自测：
1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是（
）
A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方
B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积
解析：对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A．
答案：A
2．函数f（x）＝的定义域为（
）
A．（1，＋∞）
B．[1，＋∞）
C．[1，2）
D．[1，2）∪（2，＋∞）
解析：使函数f（x）＝有意义，
则即x≥1，且x≠2．
所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选D．
答案：D
3．下列各组函数表示同一函数的是（
）
A．y＝与y＝x＋3
B．y＝－1与y＝x－1
C．y＝x0（x≠0）与y＝1（x≠0）
D．y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z
解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．
答案：C
4．若函数f（x）＝＋，求f（4）＝________．
解析：f（4）＝＋＝2＋2＝4．
答案：4
二、素养提升
题型一：函数的定义[经典例题]
例1：根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：
（1）A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f（1）＝f（2）＝7，f（3）＝8；
（2）A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如图所示；
（3）A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|；
（4）A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f（n）＝－1，n为偶数时，f（n）＝1．
解析：对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此（1）（4）中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．
（2）集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素（5和6）与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．
（3）A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．
1．从本题（1）可以看出函数f（x）的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．
2．判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．
方法归纳：
（1）判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．
注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．
（2）函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．
跟踪训练1：（1）设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
（2）下列对应是否是函数？
①x→，x≠0，x∈R；
②x→y，其中y2＝x，x∈R，y∈R．
解析：（1）
图号
正误
原因
①
×
x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性
②
√
同时满足任意性与唯一性
③
×
x＝2时，对应元素y＝3?N，不满足任意性
④
×
x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性
（2）①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的与之对应，符合函数定义．
②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念．
答案：（1）B；（2）①是函数②不是函数
?（1）?①x∈[0，1]取不到[1，2]．③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围．④可取一个x值，y有2个对应，不符合题意．
（2）关键是否符合函数定义．
题型二：求函数的定义域
例2：求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝；（2）g（x）＝＋．
解析：（1）因为函数有意义当且仅当
解得x>－1，所以函数的定义域为（－1，＋∞）．
（2）因为函数有意义当且仅当
解得x≠0且x≠－2，因此函数的定义域为（－∞，－2）∪（－2，0）∪（0，＋∞）．
三、教材反思
求函数的定义域
（1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0．
（2）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
（3）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
跟踪训练2：求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝；
（2）f（x）＝；
（3）f（x）＝－＋．
解析：（1）要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，
即x≠1且x≠2，
故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．
（2）要使函数有意义，则
解得x<0且x≠－1．
所以定义域为（－∞，－1）∪（－1，0）．
（3）要使函数有意义，则
解得－≤x<2，且x≠0．
故定义域为∪（0，2）．
（1）分母不为0
（2）
（3）
题型三：同一函数
例3：下面各组函数中为相同函数的是（
）
A．f（x）＝，g（x）＝x－1
B．f（x）＝，g（x）＝·
C．f（x）＝x，g（x）＝
D．f（x）＝x0与g（x）＝
解析：函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A，f（x）＝|x－1|与g（x）对应关系不同，故排除选项A，选项B、C中两函数的定义域不同，排除选项B、C，故选D．
答案：D
方法归纳：
判断同一函数的三个步骤和两个注意点
（1）判断同一函数的三个步骤
（2）两个注意点：
①在化简解析式时，必须是等价变形；
②与用哪个字母表示无关．
跟踪训练3：试判断下列函数是否为同一函数．
（1）f（x）＝，g（x）＝x－1；
（2）f（x）＝，g（x）＝；
（3）f（x）＝x2，g（x）＝（x＋1）2；
（4）f（x）＝|x|，g（x）＝．
解析：
序号
是否相同
原因
（1）
不同
定义域不同，f（x）的定义域为{x|x≠0}，g（x）的定义域为R
（2）
不同
对应关系不同，f（x）＝，g（x）＝
（3）
不同
定义域相同，对应关系不同
（4）
相同
定义域和对应关系相同
判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．
题型四：求函数的值域
例4：求下列函数的值域．
（1）y＝3－4x，x∈（－1，3]．
（2）y＝．
（3）y＝x2－4x＋5，x∈{1，2，3}．
（4）y＝x2－4x＋5．
解析：（1）因为－1所以函数y＝3－4x，x∈（－1，3]的值域是[－9，7）．
（2）因为y＝＝＝2－≠2，
所以函数y＝的值域为{y|y∈R且y≠2}．
（3）函数的定义域为{1，2，3}，
当x＝1时，y＝12－4×1＋5＝2，
当x＝2时，y＝22－4×2＋5＝1，
当x＝3时，y＝32－4×3＋5＝2，
所以这个函数的值域为{1，2}，
（4）因为y＝x2－4x＋5＝（x－2）2＋1，x∈R时，（x－2）2＋1≥1，
所以这个函数的值域为[1，＋∞）．
（1）用不等式的性质先由x∈（－1，3]求－4x的取值范围，再求3－4x的取值范围即为所求．
（2）先分离常数将函数解析式变形，再求值域．
（3）将自变量x＝1，2，3代入解析式求值，即可得值域．
（4）先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域．
方法归纳：
求函数值域的常用方法
（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．
（2）配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．
（3）换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f（x）＝ax＋b＋（其中a，b，c，d为常数，且ac≠0）型的函数常用换元法．
（4）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
跟踪训练4：求下列函数的值域：
（1）y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；
（2）y＝＋1；
（3）y＝；
（4）y＝－x2－2x＋3（－5≤x≤－2）．
解析：（1）将x＝1，2，3，4，5分别代入y＝2x＋1，计算得函数的值域为{3，5，7，9，11}．
（2）因为≥0，所以＋1≥1，
即所求函数的值域为[1，＋∞）．
（3）因为y＝＝－1＋，
所以函数的定义域为R，
因为x2＋1≥1，所以0<≤2．
所以y∈（－1，1]．所以所求函数的值域为（－1，1]．
（4）y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4．
因为－5≤x≤－2，
所以－4≤x＋1≤－1．
所以1≤（x＋1）2≤16．
所以－12≤4－（x＋1）2≤3．
所以所求函数的值域为[－12，3]．
（3）先分离再求值域
（4）配方法求值域
四、课时作业
（一）选择题
1．下列各个图形中，不可能是函数y＝f（x）的图像的是（
）
解析：对于1个x有无数个y与其对应，故不是y的函数．
答案：A
2．函数f（x）＝＋的定义域是（
）
A．
B．∪
C．
D．
解析：由题意得解得－3≤x<且x≠－，故选B．
答案：B
3．已知函数f（x）＝－1，则f（2）的值为（
）
A．－2
B．－1
C．0
D．不确定
解析：因为函数f（x）＝－1，所以不论x取何值其函数值都等于－1，故f（2）＝－1．故选B．
答案：B
4．下列各组函数表示相等函数的是（
）
A．f（x）＝x－2，g（x）＝
B．f（x）＝，g（x）＝1
C．f（x）＝x2－2x－1，g（t）＝t2－2t－1
D．f（x）＝，g（x）＝
解析：选项A中f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠－2}，故定义域不同，因此不是相等函数；选项B中f（x）的定义域为{x|x≠0}，g（x）的定义域为R，故定义域不同，因此不是相等函数；选项D中f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠1}，定义域不同，因此不是相等函数；而C只是表示变量的字母不一样，表示的函数是相等的．
答案：C
（二）填空题
5．已知函数f（x）＝，求f（2）＝________．
解析：f（2）＝＝2．
答案：2
6．函数f（x）的图像如图所示，则f（x）的定义域为________，值域为________．
解析：由f（x）的图像可知－5≤x≤5，－2≤y≤3．
答案：[－5，5]；[－2，3]
7．若A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝________．
解析：由A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，
得A＝[－1，＋∞），B＝[1，＋∞），
∴A∩B＝[1，＋∞）．
答案：[1，＋∞）
（三）解答题
8．（1）求下列函数的定义域：
①y＝；
②y＝；
③y＝＋－；
（2）将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．
解析：（1）①4－x≥0，即x≤4，故函数的定义域为{x|x≤4}．
②分母|x|－x≠0，即|x|≠x，所以x<0．
故函数的定义域为{x|x<0}．
③解不等式组得
故函数的定义域是{x|1≤x≤5，且x≠3}．
（2）设矩形一边长为x，则另一边长为（a－2x），
所以y＝x·（a－2x）＝－x2＋ax，函数的定义域为?09．求下列各函数的值域：
（1）y＝x＋1，x∈{2，3，4，5，6}；
（2）y＝x2－4x＋6；
（3）y＝x＋．
解析：（1）因为当x分别取2，3，4，5，6时，y＝x＋1分别取3，4，5，6，7，
所以函数的值域为{3，4，5，6，7}．
（2）函数的定义域为R．
因为y＝x2－4x＋6＝（x－2）2＋2≥2，
所以该函数的值域为[2，＋∞）．
（3）设t＝，则x＝，且t≥0．
问题转化为求y＝＋t（t≥0）的值域．
因为y＝＋t＝（t＋1）2（t≥0），
所以y的取值范围为．
故该函数的值域为．
尖子生题库：
10．（1）已知函数f（x）的定义域为[－1，5]，求函数f（x－5）的定义域；
（2）已知函数f（x－1）的定义域是[0，3]，求函数f（x）的定义域．
解析：（1）由－1≤x－5≤5，得4≤x≤10，所以函数f（x－5）的定义域是[4，10]．
（2）由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以函数f（x）的定义域是[－1，2]．
【第2课时】
一、自主学习
知识点一：函数的表示方法
1．解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．
2．由列表法和图像法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y．
知识点二：分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．
1．分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
2．分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝其“段”是不等长的．
基础自测：
1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成x（x∈{1，2，3，4}）的函数为（
）
A．y＝2x
B．y＝2x（x∈R）
C．y＝2x（x∈{1，2，3，…}）
D．y＝2x（x∈{1，2，3，4}）
解析：题中已给出自变量的取值范围，x∈{1，2，3，4}，故选D．
答案：D
2．已知函数f（x）＝则f（2）等于（
）
A．0
B．
C．1
D．2
解析：f（2）＝＝1．
答案：C
3．已知函数f（2x＋1）＝6x＋5，则f（x）的解析式是（
）
A．3x＋2
B．3x＋1
C．3x－1
D．3x＋4
解析：方法一：令2x＋1＝t，则x＝．
∴f（t）＝6×＋5＝3t＋2．
∴f（x）＝3x＋2．
方法二：∵f（2x＋1）＝3（2x＋1）＋2．
∴f（x）＝3x＋2．
答案：A
4．已知函数f（x），g（x）分别由下表给出．
x
1
2
3
f（x）
2
1
1
x
1
2
3
g（x）
3
2
1
则f（g（1））的值为________．
当g（f（x））＝2时，x＝________．
解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g（1）＝3，
∴f（g（1））＝f（3）＝1．由于g（2）＝2，∴f（x）＝2，∴x＝1．
答案：1；1
二、素养提升
题型一：函数的表示方法
例1：（1）某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是（
）
（2）已知函数f（x）按下表给出，满足f（f（x））>f（3）的x的值为________．
x
1
2
3
f（x）
2
3
1
解析：（1）由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0．
由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律．
答案：（1）D
（2）由表格可知f（3）＝1，故f（f（x））>f（3）即为f（f（x））>1．
∴f（x）＝1或f（x）＝2，∴x＝3或1．
观察表格，先求出f（1）、f（2）、f（3），进而求出f（f（x））的值，再与f（3）比较．
答案：（2）3或1
方法归纳：
理解函数的表示法应关注三点
（1）列表法、图像法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
（2）判断所给图像、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．
（3）函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
跟踪训练1：某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x（x为正整数）与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．
解析：（1）列表法：
x/台
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y/元
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
（2）图像法：如图所示．
（3）解析法：y＝3000x，x∈{1，2，3，…，10}．
本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图像是一些点，而不是直线．另外，函数的解析式应注明定义域．
题型二：求函数的解析式
例2：根据下列条件，求函数的解析式：
（1）已知f＝，求f（x）；
（2）f（x）是二次函数，且f（2）＝－3，f（－2）＝－7，f（0）＝－3，求f（x）．
解析：（1）设t＝，则x＝（t≠0），代入f＝，得f（t）＝＝，
故f（x）＝（x≠0且x≠±1）．
（2）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．
因为f（2）＝－3，f（－2）＝－7，f（0）＝－3．
所以解得
所以f（x）＝－x2＋x－3．
（1）换元法：设＝t，注意新元的范围．
（2）待定系数法：设二次函数的一般式f（x）＝ax2＋bx＋c．
跟踪训练2：（1）已知f（x2＋2）＝x4＋4x2，则f（x）的解析式为________；
（2）已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝4x－1，则f（x）＝________．
解析：（1）因为f（x2＋2）＝x4＋4x2
＝（x2＋2）2－4，
令t＝x2＋2（t≥2），则f（t）＝t2－4（t≥2），所以f（x）＝x2－4（x≥2）．
（2）因为f（x）是一次函数，设f（x）＝ax＋b（a≠0），
则f（f（x））＝f（ax＋b）＝a（ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b．
又因为f（f（x））＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1．
所以解得或
所以f（x）＝2x－或f（x）＝－2x＋1．
答案：（1）f（x）＝x2－4（x≥2）
（2）2x－或－2x＋1
（1）换元法
设x2＋2＝t．
（2）待定系数法
设f（x）＝ax＋b．
题型三：求分段函数的函数值
例3：（1）设f（x）＝则f＝（
）
A．
B．
C．－
D．
（2）已知f（n）＝则f（8）＝________．
解析：（1）∵f＝－2＝－，
∴f＝f＝＝，故选B．
（2）因为8<10，所以代入f（n）＝f（f（n＋5））中，
即f（8）＝f（f（13））．
因为13>10，所以代入f（n）＝n－3中，得f（13）＝10，
故f（8）＝f（10）＝10－3＝7．
答案：（1）B；（2）7
判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解．
方法归纳：
（1）分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．
（2）像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
（3）已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．
跟踪训练3：已知f（x）＝
求f（－1），f（f（－1）），f（f（f（－1）））．
解析：∵－1<0，∴f（－1）＝0，∴f（f（－1））＝f（0）＝π，
∴f（f（f（－1）））＝f（π）＝π＋1．
根据不同的取值代入不同的解析式．
题型四：函数图像
例4：已知函数y＝，指出这个函数的定义域、值域，并作出这个函数的图像．
解析：函数的定义域为[0，＋∞）．由y＝在y≥0时有解可知，函数的值域为[0，＋∞）．
通过描点作图法，可以作出这个函数的图像如图所示．
函数图像可由列表、描点、连线的方法作图，在列表取值时要注意函数的定义域．
三、教材反思
（1）画一次函数图像时，只需取两点，两点定直线．
（2）画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像时，先用配方法化成y＝a（x－h）2＋k的形式，确定抛物线的开口方向（a>0开口向上，a<0开口向下）、对称轴（x＝h）和顶点坐标（h，k），在对称轴两侧分别取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线．
（3）对于不熟悉的函数，可采用列表、描点、连线的方法画图．
跟踪训练4：作出下列函数的图像：
（1）y＝－x＋1，x∈Z；
（2）y＝2x2－4x－3，0≤x<3；
（3）y＝|1－x|．
解析：（1）函数y＝－x＋1，x∈Z的图像是直线y＝－x＋1上所有横坐标为整数的点，如图（a）所示．
（2）由于0≤x<3，故函数的图像是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的部分，如图（b）．
（3）因为y＝|1－x|＝故其图像是由两条射线组成的折线，如图（c）．
（2）先求对称轴及顶点，再注意x的取值（部分图像）．
（3）关键是根据x的取值去绝对值．
解题思想方法：数形结合利用图像求分段函数的最值
例：求函数y＝|x＋1|＋|x－1|的最小值．
解析：y＝|x＋1|＋|x－1|＝
作出函数图像如图所示：
由图像可知，x∈[－1，1]时，ymin＝2．
反思与感悟：
（1）分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．
（2）求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．
（3）研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图像时，可先将各段的图像分别画出来，从而得到整个函数的图像．
四、课时作业
（一）选择题
1．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图像．由图像可知，下列说法中错误的是（
）
A．这天15时的温度最高
B．这天3时的温度最低
C．这天的最高温度与最低温度相差13℃
D．这天21时的温度是30℃
解析：这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14℃，故C错．
答案：C
2．已知f（x－1）＝，则f（x）的解析式为（
）
A．f（x）＝
B．f（x）＝
C．f（x）＝
D．f（x）＝1＋x
解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f（t）＝＝，
∴f（x）＝．
答案：C
3．函数y＝的图像的大致形状是（
）
解析：因为y＝＝所以函数的图像为选项A．
答案：A
4．已知函数f（x）＝且f（a）＋f（1）＝0，则a等于（
）
A．－3
B．－1
C．1
D．3
解析：当a>0时，f（a）＋f（1）＝2a＋2＝0?a＝－1，与a>0矛盾；当a≤0时，f（a）＋f（1）＝a＋1＋2＝0?a＝－3，符合题意．
答案：A
（二）填空题
5．f（x）＝的定义域为______，值域为______．
解析：函数定义域为[0，1]∪（1，2]＝[0，2]．
当x∈（1，2]时，f（x）∈[0，1），故函数值域为[0，1）∪[0，1]＝[0，1]．
答案：[0，2]；[0，1]
6．已知函数f（2x＋1）＝3x＋2，且f（a）＝4，则a＝________．
解析：因为f（2x＋1）＝（2x＋1）＋，所以f（a）＝a＋．又f（a）＝4，所以a＋＝4，a＝．
答案：
7．若f（x）－f（－x）＝2x（x∈R），则f（2）＝________．
解析：∵f（x）－f（－x）＝2x，
∴
得
相加得f（2）＝4，f（2）＝．
答案：
（三）解答题
8．某同学购买x（x∈{1，2，3，4，5}）张价格为20元的科技馆门票，需要y元．试用函数的三种表示方法将y表示成x的函数．
解析：（1）列表法
x/张
1
2
3
4
5
y/元
20
40
60
80
100
（2）图像法：如下图所示．
（3）解析法：y＝20x，x∈{1，2，3，4，5}．
9．求下列函数解析式：
（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x＋1）－f（x）＝2x＋9，求f（x）；
（2）已知f（x＋1）＝x2＋4x＋1，求f（x）的解析式．
解析：（1）由题意，设函数为f（x）＝ax＋b（a≠0），
∵3f（x＋1）－f（x）＝2x＋9，
∴3a（x＋1）＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
由恒等式性质，得
∴a＝1，b＝3．
∴所求函数解析式为f（x）＝x＋3．
（2）设x＋1＝t，则x＝t－1，
f（t）＝（t－1）2＋4（t－1）＋1，
即f（t）＝t2＋2t－2．
∴所求函数为f（x）＝x2＋2x－2．
尖子生题库：
10．画出下列函数的图像：
（1）f（x）＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）；
（2）f（x）＝|x＋2|．
解析：（1）f（x）＝[x]＝函数图像如图1所示．
图1
图2
（2）f（x）＝|x＋2|＝画出y＝x＋2的图像，取[－2，＋∞）上的一段；画出y＝－x－2的图像，取（－∞，－2）上的一段，如图2所示．
23
/
23函数与方程、不等式之间的关系
【第1课时】
函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
【教学目标】
【核心素养】
1．理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系．（难点）
2．会求函数的零点．（重点）
3．掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集．（重点、难点）
1．借助函数零点概念的理解，培养数学抽象的素养．
2．通过函数与方程、不等式之间的关系的学习，提升逻辑推理的素养．
3．利用零点法求不等式的解集，培养数学运算的素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．函数的零点
（1）函数零点的概念：一般地，如果函数y＝f（x）在实数α处的函数值等于零，即f（α）＝0，则称实数α为函数y＝f（x）的零点．
（2）三者之间的关系：
函数f（x）的零点?函数f（x）的图像与x轴有交点?方程f（x）＝0有实数根．
2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系
（1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点．
（2）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合．
3．图像法解一元二次不等式的步骤
（1）解一元二次不等式对应的一元二次方程；
（2）求出其对应的二次函数的零点；
（3）画出二次函数的图像；
（4）结合图像写出一元二次不等式的解集．
二、初试身手
1．函数y＝1＋的零点是（
）
A．（－1，0）
B．x＝－1
C．x＝1
D．x＝0
答案：B
解析：令1＋＝0解得x＝－1，
故选B．
2．根据表格中的数据，可以断定方程ex－（x＋2）＝0（e≈2．72）的一个根所在的区间是（
）
x
－1
0
1
2
3
ex
0．37
1
2．72
7．40
20．12
x＋2
1
2
3
4
5
A．（－1，0）
B．（0，1）
C．（1，2）
D．（2，3）
答案：C
解析：令f（x）＝ex－（x＋2），则f（－1）＝0．37－1<0，f（0）＝1－2<0，f（1）＝2．72－3<0，f（2）＝7．40－4＝3．40>0．由于f（1）·f（2）<0，∴方程ex－（x＋2）＝0的一个根在（1，2）内．
3．若f（x）＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是（
）
A．m＜－2或m＞2
B．－2＜m＜2
C．m≠±2
D．1＜m＜3
答案：A
解析：∵f（x）＝－x2＋mx－1有正值，
∴Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2．
4．不等式≥0的解集为________．
答案：[－1，1）
解析：原不等式等价于（x＋1）（x－1）≤0，且x－1≠0，∴－1≤x＜1．
三、合作探究
类型1：函数的零点及求法
例1：求函数f（x）＝x3－7x＋6的零点．
解：令f（x）＝0，即x3－7x＋6＝0，
∴（x3－x）－（6x－6）＝0，
∴x（x－1）（x＋1）－6（x－1）＝（x－1）·（x2＋x－6）＝（x－1）（x－2）（x＋3）＝0，
解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，
∴函数f（x）＝x3－7x＋6的零点是1，2，－3．
规律方法
求函数y＝f（x）的零点通常有两种方法：一是令y＝0，根据解方程f（x）＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y＝f（x）的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
跟踪训练
1．如图所示是一个二次函数y＝f（x）的图像．
（1）写出这个二次函数的零点；
（2）试比较f（－4）·f（－1），f（0）·f（2）与0的大小关系．
解：（1）由图像可知，函数f（x）的两个零点分别是－3，1．
（2）根据图像可知，f（－4）·f（－1）＜0，f（0）·f（2）＜0．
类型2：二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系
例2：利用函数求下列不等式的解集：
（1）x2－5x－6＞0；（2）（2－x）（x＋3）＜0；
（3）4（2x2－2x＋1）＞x（4－x）．
解：（1）方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6．
结合二次函数y＝x2－5x－6的图像知，
原不等式的解集为（－∞，－1）∪（6，＋∞）．
（2）原不等式可化为（x－2）（x＋3）＞0．
方程（x－2）（x＋3）＝0的两根为x1＝2，x2＝－3．
结合二次函数y＝（x－2）（x＋3）的图像知，
原不等式的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）．
（3）由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2，
即9x2－12x＋4＞0．
解方程9x2－12x＋4＝0，解得x1＝x2＝．
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图像知，
原不等式的解集为∪．
规律方法
利用函数求不等式解集的基本步骤
1．把一元二次不等式化成一般形式，并把a的符号化为正；
2．计算其对应一元二次方程的根的判别式Δ；
3．求其对应一元二次方程的根；
4．写出解集?大于取两边，小于取中间．
跟踪训练
2．利用函数求下列不等式的解集：
（1）2x2＋7x＋3＞0；
（2）－x2＋8x－3＞0；
（3）x2－4x－5＜0；
（4）－4x2＋18x－＞0．
解：（1）对于方程2x2＋7x＋3＝0，因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不相等的实数根，x1＝－3，x2＝－．
又因为二次函数y＝2x2＋7x＋3的图像开口向上，
所以原不等式的解集为（－∞，－3）∪．
（2）对于方程－x2＋8x－3＝0，因为Δ＝82－4×（－1）×（－3）＝52＞0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实数根，x1＝4－，x2＝4＋．
又因为二次函数y＝－x2＋8x－3的图像开口向下，
所以原不等式的解集为（4－，4＋）．
（3）原不等式可化为（x－5）（x＋1）＜0，
所以原不等式的解集为（－1，5）．
（4）原不等式可化为2＜0，
所以原不等式的解集为?．
类型3：用函数零点法求一元高次不等式的解集
例3：求函数f（x）＝（x－1）（x－2）（x＋3）的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f（x）≥0和f（x）＜0的解集．
解：函数的零点为－3，1，2．
函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．
x
（－∞，－3）
（－3，1）
（1，2）
（2，＋∞）
f（x）
－
＋
－
＋
由此可以画出此函数的示意图如图．
由图可知，f（x）≥0的解集为[－3，1]∪[2，＋∞），f（x）＜0的解集为（－∞，－3）∪（1，2）．
规律方法
解题步骤：1．求出零点；2．拆分定义域；3．判断符号；4．写出解集．注意判断符号的方法，将最高项的系数化为正数，最右边的区间内为正，然后往左依次负正相间．
跟踪训练
3．求函数f（x）＝（1－x）（x－2）（x＋2）的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f（x）≥0和f（x）＜0的解集．
解：函数的零点为－2，1，2．
函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．
x
（－∞，－2）
（－2，1）
（1，2）
（2，＋∞）
f（x）
＋
－
＋
－
由此可以画出此函数的示意图如图．
由图可知，f（x）≥0的解集为（－∞，－2]∪[1，2]，f（x）＜0的解集为（－2，1）∪（2，＋∞）．
四、课堂小结
1．方程f（x）＝g（x）的根是函数f（x）与g（x）的图像交点的横坐标，也是函数y＝f（x）－g（x）的图像与x轴交点的横坐标．
2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系
（1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点．
（2）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集是f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合．
3．图像法解一元二次不等式的步骤
（1）解一元二次不等式对应的一元二次方程；
（2）求出其对应的二次函数的零点；
（3）画出二次函数的图像；
（4）结合图像写出一元二次不等式的解集．
五、当堂达标
1．下列图像表示的函数中没有零点的是（
）
答案：A
解析：B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点．
2．方程5x2－7x－1＝0的根所在的区间是（
）
A．（－1，0）
B．（1，2）
C．一个根在（－1，0）上，另一个根在（1，2）上
D．一个根在（0，1）上，另一个根在（－2，－1）上
答案：C
解析：∵f（－1）·f（0）＜0，f（1）·f（2）＜0，∴选C．
3．函数f（x）＝x－零点的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：C
解析：令x－＝0，即x2－1＝0，∴x＝±1．∴f（x）＝x－的零点有两个．
4．函数f（x）＝（x2－1）（x＋2）2（x2－2x－3）的零点个数是________．
答案：4
解析：f（x）＝（x＋1）（x－1）（x＋2）2（x－3）（x＋1）
＝（x＋1）2（x－1）（x＋2）2（x－3）．
可知零点为±1，－2，3，共4个．
【第2课时】
零点的存在性及其近似值的求法
【教学目标】
【核心素养】
1．掌握函数零点的存在性定理，并会判断函数零点的个数．（重点）
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法是求函数零点近似解的步骤．（难点）
3．理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题．（重点、难点）
1．通过存在性定理的学习，培养逻辑推理的素养．
2．通过二分法的学习，提升数据分析，数学建模的学科素养．
3．理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象的学科素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f（a）f（b）＜0（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数y＝f（x）在区间[a，b]中至少有一个零点，即?x0∈[a，b]，f（x0）＝0．
2．二分法的定义
（1）二分法的条件：函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续不断且f（a）f（b）＜0．
（2）二分法的过程：通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法，称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，也可以用二分法求方程的近似解．
3．用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f（x）在[a，b]上的零点近似值的步骤是：
第一步：检查|b－a|＜2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步．
第二步：计算区间[a，b]的中点对应的函数值，若f＝0，取x1＝，计算结束；若f≠0，转到第三步．
第三步 若f（a）f＜0，将的值赋给b，回到第一步；若ff（b）＜0，将的值赋给a，回到第一步．
二、初试身手
1．下列函数不宜用二分法求零点的是（
）
A．f（x）＝x3－1
B．f（x）＝lnx＋3
C．f（x）＝x2＋2x＋2
D．f（x）＝－x2＋4x－1
答案：C
解析：因为f（x）＝x2＋2x＋2＝（x＋）2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．
2．若函数f（x）在区间[a，b]上为单调函数，且图像是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是（
）
A．函数f（x）在区间[a，b]上不可能有零点
B．函数f（x）在区间[a，b]上一定有零点
C．若函数f（x）在区间[a，b]上有零点，则必有f（a）·f（b）＜0
D．若函数f（x）在区间[a，b]上没有零点，则必有f（a）·f（b）＞0
答案：D
解析：函数f（x）在区间[a，b]上为单调函数，如果f（a）·f（b）＜0，可知函数在（a，b）上有一个零点，
如果f（a）·f（b）＞0，可知函数在[a，b]上没有零点，
所以函数f（x）在区间[a，b]上可能没有零点，也可能有零点，所以A不正确；
函数f（x）在区间[a，b]上可能有零点，也可能没有零点；所以B不正确；
若函数f（x）在区间[a，b]上有零点，则可能f（a）·f（b）＜0，也可能f（a）·f（b）＝0所以C不正确；
若函数f（x）在区间[a，b]上没有零点，则必有f（a）·f（b）＞0，正确；故选D．]
3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是（
）
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
答案：B
解析：依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．
4．若函数f（x）的图像是连续不断的，且f（0）>0，f（1）·f（2）·f（4）<0，则下列命题正确的是________．
①函数f（x）在区间（0，1）内有零点；
②函数f（x）在区间（1，2）内有零点；
③函数f（x）在区间（0，2）内有零点；
④函数f（x）在区间（0，4）内有零点．
答案：④
解析：∵f（0）>0，而由f（1）·f（2）·f（4）<0，知f（1），f（2），f（4）中至少有一个小于0．∴（0，4）上有零点．
三、合作探究
类型1：判断函数零点所在的区间
例1：求证：方程x4－4x－2＝0在区间[－1，2]内至少有两个实数解．
证明：设f（x）＝x4－4x－2，其图像是连续曲线．
因为f（－1）＝3＞0，f（0）＝－2＜0，f（2）＝6＞0，
所以方程在（－1，0），（0，2）内都有实数解．
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．
规律方法
一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．
跟踪训练
1．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（
）
A．若f（a）f（b）＞0，则不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0
B．若f（a）f（b）＜0，则存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）＝0
C．若f（a）f（b）＞0，则有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0
D．若f（a）f（b）＜0，则有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0
答案：C
解析：对于A选项，可能存在，如y＝x2；对于B选项，必存在但不一定唯一，选项D一定存在．
类型2：对二分法概念的理解
例2：下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是（
）
答案：B
解析：利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
规律方法
二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是：函数零点的存在性．对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可．
跟踪训练
2．如图是函数f（x）的图像，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f（x）的零点近似值的是（
）
A．（－2．1，－1）
B．（1．9，2．3）
C．（4．1，5）
D．（5，6．1）
答案：B
解析：只有B中的区间所含零点是不变号零点．
类型3：用二分法求函数零点
例3：求函数f（x）＝x2－5的负零点．（精确度为0．1）
解：由于f（－2）＝－1<0，f（－3）＝4>0，
故取区间（－3，－2）作为计算的初始区间，
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
（－3，－2）
－2．5
1．25
（－2．5，－2）
－2．25
0．0625
（－2．25，－2）
－2．125
－0．4844
（－2．25，－2．125）
－2．1875
－0．2148
（－2．25，－2．1875）
－2．21875
－0．0771
由于|－2．25－（－2．1875）|＝0．0625<0．1，
所以函数的一个近似负零点可取－2．25．
规律方法
利用二分法求函数零点应关注三点
1．要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．
2．用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．
3．根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．
跟踪训练
3．证明函数f（x）＝2x＋3x－6在区间[1，2]内有唯一零点，并求出这个零点（精确度为0．1）．
解：由于f（1）＝－1<0，f（2）＝4>0，又函数f（x）在[1，2]内是增函数，所以函数在区间[1，2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1，2]．下面用二分法求解．
（a，b）
（a，b）的中点
f（a）
f（b）
f
（1，2）
1．5
f（1）<0
f（2）>0
f（1．5）>0
（1，1．5）
1．25
f（1）<0
f（1．5）>0
f（1．25）>0
（1，1．25）
1．125
f（1）<0
f（1．25）>0
f（1．125）<0
（1．125，1．25）
1．1875
f（1．125）<0
f（1．25）>0
f（1．1875）<0
因为|1．1875－1．25|＝0．0625<0．1，所以函数f（x）＝2x＋3x－6的精确度为0．1的近似零点可取为1．25．
类型4：用二分法求方程的近似解
例4：用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解（精确度为0．1）．
解：令f（x）＝2x3＋3x－3，
经计算，f（0）＝－3<0，f（1）＝2>0，f（0）·f（1）<0，
所以函数f（x）在（0，1）内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在（0，1）内有解．
取（0，1）的中点0．5，经计算f（0．5）<0，又f（1）>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在（0．5，1）内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
（a，b）
中点c
f（a）
f（b）
f
（0，1）
0．5
f（0）<0
f（1）>0
f（0．5）<0
（0．5，1）
0．75
f（0．5）<0
f（1）>0
f（0．75）>0
（0．5，0．75）
0．625
f（0．5）<0
f（0．75）>0
f（0．625）<0
（0．625，0．75）
0．6875
f（0．625）<0
f（0．75）>0
f（0．6875）<0
（0．6875，0．75）
|0．6875－0．75|＝0．0625<0．1
由于|0．6875－0．75|＝0．0625<0．1，所以0．75可作为方程的一个正实数近似解．
规律方法
用二分法求方程的近似解应明确两点
（1）根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f（x）＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
（2）对于求形如f（x）＝g（x）的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F（x）＝f（x）－g（x）＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
跟踪训练
4．求方程x2＝2x＋1的一个近似解．（精确度0．1）
解：设f（x）＝x2－2x－1．
∵f（2）＝－1<0，f（3）＝2>0．
∴在区间（2，3）内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0．
取2与3的平均数2．5，
∵f（2．5）＝0．25>0，∴2再取2与2．5的平均数2．25，
∵f（2．25）＝－0．4375<0，
∴2．25如此继续下去，有
f（2．375）<0，f（2．5）>0?x0∈（2．375，2．5）；
f（2．375）<0，f（2．4375）>0?x0∈（2．375，2．4375）．
∵|2．375－2．4375|＝0．0625<0．1，
∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0．1的近似解可取为2．4375．
四、课堂小结
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
（1）在区间[a，b]上连续不断；
（2）f（a）·f（b）<0，
上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．
五、当堂达标
1．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3，5]上（
）
A．没有零点
B．有一个零点
C．有两个零点
D．有无数个零点
答案：B
解析：令－x2＋8x－16＝0，得x＝4，故函数y＝－x2＋8x－16在[3，5]上有一个零点．
2．用二分法求函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个正零点的近似值（精确到0．1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝－2，f（1．5）＝0．625，f（1．25）≈－0．984，f（1．375）≈－0．260，关于下一步的说法正确的是（
）
A．已经达到精确度的要求，可以取1．4作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1．375作为近似
C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1．4375）
D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1．3125）
答案：C
解析：由二分法知，方程x3＋x2－2x－2＝0的根在区间（1．375，1．5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1．4375）．故选C．
3．函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（
）
答案：B
4．用二分法求函数零点，函数的零点总位于区间[an，bn]上，
当|an－bn|＜ε时，函数的近似零点与真正零点的误差不超过
A．ε
B．ε
C．2ε
D．ε
答案：B
解析：根据用“二分法”求函数近似零点的步骤知，当|an－bn|＜ε时，区间[an，bn]的中点xn＝（an＋bn）就是函数的近似零点，这时计算终止，从而函数的近似零点与真正零点的误差不超过ε．故选B．
14
/
14(共30张PPT)
函数与方程、不等式之间的关系
谢
谢(共37张PPT)
函数的奇偶性
谢
谢数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点
【学习目标】
1．会利用所学知识，解决一次函数型、二次函数型及分段函数型的实际问题．
2．掌握求解函数应用题的基本步骤，培养数学应用意识．
【学习重难点】
函数的实际应用问题．
【学习过程】
一、自主学习
知识点：函数模型
（1）一次函数模型
解析式：y＝kx＋b．
（2）二次函数模型
①一般式：y＝ax2＋bx＋c．
②顶点式：y＝a（x－h）2＋k，其中顶点坐标为（h，k）．
（3）分段函数模型
有些实际问题，在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同，此时我们可以选择利用分段函数模型来刻画它，由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题中，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用．
（1）在函数建模中，通常需要先画出函数图像，根据图像来确定两个变量的关系，选择函数类型．
（2）函数模型在实际应用中，函数的自变量x往往具有实际意义，如x表示长度时，x≥0；x表示件数时，x≥0，且x∈Z等．在解答时，必须要考虑这些实际意义．
基础自测：
1．一个等腰三角形的周长是20，则底边长y是关于腰长x的函数，其解析式为（
）
A．y＝20－2x（x≤10）
B．y＝20－2x（x<10）
C．y＝20－2x（5≤x≤10）
D．y＝20－2x（5答案：D
2．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元时，其销售量就会减少20个，为了获得最大的利润，其售价应定为（
）
A．110元/个
B．105元/个
C．100元/个
D．95元/个
解析：设每个商品涨价x元，利润为y元，则销售量为（400－20x）个，根据题意，有y＝（10＋x）（400－20x）＝－20x2＋200x＋4000＝－20（x－5）2＋4500．所以当x＝5时，y取得最大值，且为4500，即当每个涨价5元，也就是售价为95元/个时，可以获得最大利润为4500元．
答案：D
3．某生产厂家的生产总成本y（万元）与产量x（件）之间的关系式为y＝x2－80x，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为（
）
A．52
B．52.5
C．53
D．52或53
解析：因为利润＝收入－成本，当产量为x件时（x∈N），利润f（x）＝25x－（x2－80x），所以f（x）＝105x－x2＝－2＋，所以x＝52或x＝53时，f（x）有最大值．
答案：D
4．某游乐场每天的盈利额y（单位：元）与售出的门票数x（单位：张）之间的函数关系如图所示，试分析图像，要使该游乐场每天的盈利额超过1000元，那么每天至少应售出________张门票．
解析：由题图知，盈利额每天要超过1000元时，x∈（200，300]这一区间，设y＝kx＋b（k≠0），将（200，500），（300，2000）代入得即y＝15x－2500．由15x－2500>1000，得x>，故至少要售出234张门票，才能使游乐场每天的盈利额超过1000元．
答案：234
二、素养提升
题型一：一次函数模型的应用[经典例题]
例1：（1）某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30000．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（
）
A．2000套
B．3000套
C．4000套
D．5000套
（2）商店出售茶壶和茶杯，茶壶定价为每个20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：
①买一个茶壶赠一个茶杯；②按总价的92%付款．
某顾客需要购买茶壶4个，茶杯若干个（不少于4个），若购买茶杯x（个），付款y（元），分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更优惠？
解析：（1）因利润z＝12x－（6x＋30000），所以z＝6x－30000，由z≥0解得x≥5000，故至少日生产文具盒5000套．
（2）由优惠办法①可得函数解析式为y1＝20×4＋5（x－4）＝5x＋60（x≥4，且x∈N）．
由优惠办法②可得y2＝（5x＋20×4）×92%＝4.6x＋73.6（x≥4，且x∈N）．
y1－y2＝0.4x－13.6（x≥4，且x∈N），
令y1－y2＝0，得x＝34．
所以，当购买34个茶杯时，两种办法付款相同；
当4≤x<34时，y1当x>34时，y1>y2，优惠办法②更省钱．
答案：（1）D；（2）见解析
方法归纳：
（1）一次函数模型的实际应用：
一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
（2）一次函数的最值求解：
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0（或≤0），解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图像或其单调性来求最值．
跟踪训练1：若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（h）的函数关系用图像表示为图中的（
）
解析：蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短，根据实际意义不可能是D项，更不可能是A、C两项．故选B项．
答案：B
题型二：二次函数模型的应用
例2：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式；
（3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解析：（1）根据题意，得y＝90－3（x－50），
化简，得y＝－3x＋240（50≤x≤55，x∈N）．
（2）因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
所以w＝（x－40）（－3x＋240）＝－3x2＋360x－9600（50≤x≤55，x∈N）．
（3）因为w＝－3x2＋360x－9600＝－3（x－60）2＋1200，
所以当x<60时，w随x的增大而增大．
又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1125．
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元．
本题中平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）是一个一次函数关系，虽然x∈[50，55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．
方法归纳：
二次函数的实际应用：
（1）在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解答．
（2）对于本题要清楚平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
跟踪训练2：有A，B两城相距100km，在A，B两城之间距A城xkm的D地建一核电站给这两城供电．为保证城市安全，核电站与城市距离不得少于10km．已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25．若A城供电量为20亿度/月，B城供电量为10亿度/月．
（1）把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域；
（2）核电站建在距A城多远时，才能使供电费用最小？
解析：（1）由题意：y＝0.25[20x2＋10（100－x）2]＝7.52＋．
∵x≥10，且100－x≥10，
∴10≤x≤90．
∴函数的定义域为[10，90]．
（2）由二次函数知当x＝时，y最小，
因此当核电站建在距离A城km时，供电费用最小．
题型三：分段函数模型的应用[经典例题]
例3：WAP手机上网每月使用量在500min以下（包括500min），按30元计费；超过500min的部分按0.15元/min计费．假如上网时间过短（小于60min）使用量在1min以下不计费，在1min以上（包括1min）按0.5元/min计费．计费时间均取整数，不足1min的按1min计算．WAP手机上网不收通话费和漫游费．
（1）写出上网时间xmin与所付费用y元之间的函数关系式．
（2）12月份小王WAP上网使用量为20h，要付多少钱？
（3）小王10月份付了90元的WAP上网费，那么他上网的时间是多少？
解析：由于上网时间不同，收费标准不同，因此对所付费用作分段讨论，以确定付费标准，建立函数关系式，解决付费与上网时间的问题．
（1）设上网时间为xmin，用[x]表示不小于x的最小整数，由已知条件知所付费用y关于x的函数关系式为
y＝
（2）当x＝20×60＝1200（min）时，x>500，应付y＝30＋0．15×（1200－500）＝135（元）．
（3）90元已超过30元，所以上网时间超过500min，由解析式可得上网时间为900min．
方法归纳：
分段函数的实际应用：
（1）在刻画实际问题中，变量之间的关系因自变量x取值范围的不同，对应的函数关系不能用同一个解析式表示时，常用分段函数建立函数模型解决问题．
（2）分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数．求解分段函数的最值问题时应注意：分段函数的最大值是各段函数最大值中较大的一个，分解函数的最小值是各段函数最小值中较小的一个．
跟踪训练3：某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台．销售的收入函数为R（x）＝5x－（万元）（0≤x≤5），其中x是产品售出的数量（单位：百台）．
（1）把利润表示为年产量的函数；
（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？
（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？
解析：（1）设利润为L（x），成本为C（x）．当x≤5时，产品能全部售出；当x>5时，只能售出500台，故利润函数为L（x）＝R（x）－C（x）
＝
＝
（2）当0≤x≤5时，L（x）＝4.75x－－0．5，
当x＝4.75时，L（x）max＝10.78125（万元）；
当x>5时，L（x）<12－1.25＝10.75（万元）．
∴生产475台时利润最大．
（3）由或
得5≥x≥4.75－≈0.11或5∴产品年产量在11台到4800台时，工厂不亏本．
本题考查分段函数问题，生产不超过500台时，产量等于销售量；产量超过500台时，销售量为一个常数500台．
四、课时作业
（一）选择题
1．某种生物增长的数量y（个）与时间x（小时）的关系如下表：
x/个
1
2
3
…
y/小时
1
3
8
…
下面函数解析式中，能表达这种关系的是（
）
A．y＝x2－1
B．y＝2x＋1
C．y＝2x－1
D．y＝1.5x2－2.5x＋2
答案：D
2．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率由原来的r%增加到（r＋10）%，则r的值等于（
）
A．12
B．15
C．25
D．50
解析：设原销售价为a，原进价为x，可以列出方程组：
解这个方程组，消去a，x，可得r＝15．
答案：B
3．国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11.2%纳税，已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费（扣税前）为（
）
A．2800元
B．3000元
C．3800元
D．3818元
解析：由题意，知纳税额y（单位：元）与稿费（扣税前）x（单位：元）之间的函数关系式为y＝
由于此人纳税420元，所以8004000时，令0.112x＝420，解得x＝3750（舍去），故这个人应得稿费（扣税前）为3800元．故选C．
答案：C
4．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f（x），另一种是平均价格曲线y＝g（x），如f（2）＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g（2）＝3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图像，实线表示y＝f（x），虚线表示y＝g（x），其中可能正确的是（
）
解析：根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图像可能正确．
答案：C
（二）填空题
5．经市场调查，某商品的日销售量（单位：件）和价格（单位：元/件）均为时间t（单位：天）的函数．日销售量为f（t）＝2t＋100，价格为g（t）＝t＋4，则该种商品的日销售额S（单位：元）与时间t的函数解析式为S（t）＝________．
解析：日销售额＝日销售量×价格，故S＝f（t）×g（t）＝（2t＋100）×（t＋4）＝2t2＋108t＋400，t∈N．
答案：2t2＋108t＋400，t∈N
6．在某种金属材料的耐高温实验中，温度y随时间t的变化情况如图所示，给出下面四种说法：
①前5分钟温度增加的速度越来越快；
②前5分钟温度增加的速度越来越慢；
③5分钟以后的温度保持匀速增加；
④5分钟以后温度保持不变．
其中正确的说法是________．（只填序号）
解析：前5分钟温度增加的速度应越来越慢，因为此段内曲线越来越“缓”，故②正确；5分钟后，对应曲线是水平的，说明温度不变了，故④正确．
答案：②④
7．某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．
解析：设涨价x元，销售的利润为y元，则y＝（50＋x－45）（50－2x）＝－2x2＋40x＋250＝－2（x－10）2＋450，所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．
答案：60
（三）解答题
8．某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按票价的6折（即按全票价的60%收费）优惠．”若全票价为240元．
（1）设学生数为x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙与学生数x之间的解析式；
（2）当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？
（3）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠？
解析：（1）y甲＝120x＋240（x∈N＋），
y乙＝（x＋1）×240×60%＝144（x＋1）（x∈N＋）．
（2）由120x＋240＝144x＋144，解得x＝4，即当学生数为4时，两家旅行社的收费一样．
（3）当x<4时，乙旅行社更优惠；当x>4时，甲旅行社更优惠．
9．某企业实行裁员增效．已知现有员工a人，每人每年可创纯收益（已扣工资等）1万元，据评估，在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗人员每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给每位下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员x人后年纯收益为y万元．
（1）写出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；
（2）当140解析：（1）由题意可得y＝（a－x）×（1＋0.01x）－0.4x＝－x2＋x＋a．
∵a－x≥a，∴x≤a，
即x的取值范围是中的自然数．
（2）∵y＝－2＋2＋a，且140∴当a为偶数时，x＝－70，y取最大值．
当a为奇数时，x＝－70，y取最大值．
因此，当员工人数a为偶数时，裁员人，才能获得最大的经济效益；当员工人数a为奇数时，裁员人，才能获得最大的经济效益．
尖子生题库：
10．为支持福利事业，解决残疾人就业问题，银行决定给某福利企业免息贷款46.8万元，用于经营某种商品．已知该种商品的进价为每件40元，每月销售量q（单位：百件）与销售价p（单位：元/件）之间满足关系式：q＝
该企业职工每人每月工资为1200元，其他经营性费用为每月13200元．
（1）如果暂时不考虑还贷的前提下，当销售价p为52元/件，每月刚好收支平衡，求该企业的职工人数．
（2）若该企业只有20名职工，在保证职工工资及其他经营性支出外，剩余的利润都用来偿还贷款，试问最早几年后还清贷款？
解析：（1）设该企业职工人数为t，依题意当p＝52时，q＝36，则（52－40）×36×100＝1200t＋13200，∴t＝25．
即该企业有25名职工．
（2）设每个月的利润为f（p），则
f（p）＝
∵当p＝55时，[（－2p＋140）（p－40）]max＝450，
当p＝61时，[（－p＋82）（p－40）]max＝441，
∵450>441，
∴当p＝55时，能更早还清贷款，
又（100×450－1200×20－13200）×12＝93600，
＝5，
∴当定价为55元时，最早5年后能还清贷款．
10
/
11函数的应用（一）
【教学目标】
【核心素养】
1．了解函数模型（如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．
2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．（重点、难点）
1．通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养．
2．借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养．
【教学过程】
一、新知初探
常见的几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）
二次函数模型
f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
分段函数模型
f（x）＝
二、初试身手
1．一个矩形的周长是40，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为（
）
A．y＝20－x，0B．y＝20－2x，0C．y＝40－x，0D．y＝40－2x，0答案：A
2．甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点．丁车最后到达终点．若甲、乙两车的图像如图所示，则对于丙、丁两车的图像所在区域，判断正确的是（
）
A．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域
B．丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域
C．丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域
D．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域
答案：A
解析：由图像，可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路程最近，即丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域，故选A．
3．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．
答案：60
解析：设涨价x元，销售的利润为y元，
则y＝（50＋x－45）（50－2x）＝－2x2＋40x＋250
＝－2（x－10）2＋450，
所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值
三、合作探究
类型1：一次函数模型的应用
例1：某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30
000．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（
）
A．2000套
B．3000套
C．4000套
D．5000套
答案：D
解析：因利润z＝12x－（6x＋30000），所以z＝6x－30000，由z≥0解得x≥5000，故至少日生产文具盒5000套．
规律方法
1．一次函数模型的实际应用
一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
2．一次函数的最值求解
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0（或≤0），解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图像或其单调性来求最值．
跟踪训练
1．如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系图像．根据图像填空：
（1）通话2分钟，需要付电话费________元；
（2）通话5分钟，需要付电话费________元；
（3）如果t≥3，则电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系式为________．
答案：（1）3．6
（2）6
（3）y＝1．2t（t≥3）
解析：（1）由图像可知，当t≤3时，电话费都是3．6元．
（2）由图像可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．
（3）易知当t≥3时，图像过点（3，3．6），（5，6），求得y＝1．2t（t≥3）．
类型2：二次函数模型的应用
例2：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式；
（3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
思路点拨：本题中平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）是一个一次函数关系，虽然x∈[50，55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．
解：（1）根据题意，得y＝90－3（x－50），
化简，得y＝－3x＋240（50≤x≤55，x∈N）．
（2）因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
所以w＝（x－40）（－3x＋240）＝－3x2＋360x－9600（50≤x≤55，x∈N）．
（3）因为w＝－3x2＋360x－9600＝－3（x－60）2＋1200，
所以当x<60时，w随x的增大而增大．
又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1125．
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元．
规律方法
二次函数模型的解析式为g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．在函数建模中，它占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解答．
跟踪训练
2．A，B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0．25．若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
（1）把A，B两城月供电总费用y（万元）表示成x（km）的函数，并求定义域；
（2）核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小．
解：（1）由题意设甲城的月供电费用为y1，则y1＝λ×20x2．
设乙城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×（100－x）2，
∴甲、乙两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10×（100－x）2．
∵λ＝0．25，
∴y＝5x2＋（100－x）2（10≤x≤90）．
（2）由y＝5x2＋（100－x）2＝x2－500x＋25
000
＝2＋，
则当x＝时，y最小．
故当核电站建在距A城
km时，才能使供电总费用最小．
类型3：分段函数模型的应用
例3：某公司生产一种产品，每年投入固定成本0．5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0．25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t（单位：百件）时，销售所得的收入约为5t－t2（万元）．
（1）若该公司的年产量为x（单位：百件），试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
（2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
解：（1）当05时，产品只能售出500件．
所以f（x）＝
即f（x）＝
（2）当0f（x）max＝10．781
25（万元）．
当x>5时，f（x）<12－0．25×5＝10．75（万元）．
故当年产量为475件时，当年所得利润最大．
规律方法
1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
跟踪训练
3．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1．80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3．00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨，3x吨．
（1）求y关于x的函数；
（2）若甲、乙两户该月共交水费26．4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
解：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1．8（5x＋3x）＝14．4x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，
即3x≤4，且5x>4时，
y＝4×1．8＋3x×1．8＋3（5x－4）＝20．4x－4．8．
当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，
y＝2×4×1．8＋3×[（3x－4）＋（5x－4）]＝24x－9．6．
所以y＝
（2）由于y＝f（x）在各段区间上均单调递增；
当x∈时，y≤f<26．4；
当x∈时，y≤f<26．4；
当x∈时，令24x－9．6＝26．4，
解得x＝1．5．
所以甲户用水量为5x＝5×1．5＝7．5（吨），
付费S1＝4×1．8＋3．5×3＝17．70（元）；
乙户用水量为3x＝4．5（吨），
付费S2＝4×1．8＋0．5×3＝8．70（元）．
四、课堂小结
1．解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式．求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性．
2．数学建模的过程图示如下：
五、当堂达标
1．思考辨析
甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，判断下列说法的对错．
（1）甲比乙先出发．（
）
（2）乙比甲跑的路程多．（
）
（3）甲、乙两人的速度相同．（
）
（4）甲先到达终点．（
）
答案：（1）×（2）×（3）×（4）√
2．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是（
）
A
B
C
D
答案：B
解析：题图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．
3．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，该函数的解析式是________．
答案：y＝
4．
某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图像解决下列问题：
（1）求y与x的函数解析式；
（2）要使该游乐场每天的盈利额超过1000元，每天至少卖出多少张门票？
解：（1）由图像知，可设y＝kx＋b（k≠0），x∈[0，200]时，过点（0，－1000）和（200，1000），解得k＝10，b＝－1000，从而y＝10x－1000；x∈（200，300]时，过点（200，500）和（300，2000），解得k＝15，b＝－2500，
从而y＝15x－2500，
所以y＝
（2）每天的盈利额超过1000元，则x∈（200，300]，由15x－2500>1000得，x>，故每天至少需要卖出234张门票．
5
/
8函数的奇偶性
【第1课时】
奇偶性的概念
【教学目标】
【核心素养】
1．理解奇函数、偶函数的定义．
2．了解奇函数、偶函数图像的特征．
3．掌握判断函数奇偶性的方法．
1．借助奇（偶）函数的特征，培养直观想象素养．
2．借助函数奇、偶的判断方法，培养逻辑推理素养．
【教学过程】
一、新知初探
函数的奇偶性
奇偶性
偶函数
奇函数
条件
设函数y＝f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D
结论
f（－x）＝f（x）
f（－x）＝－f（x）
图像特点
关于y轴对称
关于原点对称
思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？
提示：定义域关于原点对称．
二、初试身手
1．下列函数是偶函数的是（
）
A．y＝x
B．y＝2x2－3
C．y＝
D．y＝x2，x∈[0，1]
答案：B
解析：选项C、D中函数的定义域不关于原点对称，选项A中的函数是奇函数，故选B．
2．下列图像表示的函数具有奇偶性的是（
）
A
B
C
D
答案：B
解析：B选项的图像关于y轴对称，是偶函数，其余选项中的图像都不具有奇偶性．
3．函数y＝f（x），x∈[－1，a]（a>－1）是奇函数，则a等于（
）
A．－1
B．0
C．1
D．无法确定
答案：C
解析：∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1．
4．若f（x）为R上的偶函数，且f（2）＝3，则f（－2）＝________．
答案：3
解析：∵f（x）为R上的偶函数，∴f（－2）＝f（2）＝3．
三、合作探究
类型1：函数奇偶性的判断
例1：判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x3＋x；
（2）f（x）＝＋；
（3）f（x）＝；
（4）f（x）＝
解：（1）函数的定义域为R，关于原点对称．
又f（－x）＝（－x）3＋（－x）＝－（x3＋x）＝－f（x），
因此函数f（x）是奇函数．
（2）由得x2＝1，即x＝±1．
因此函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f（1）＝f（－1）＝－f（－1）＝0，所以f（x）既是奇函数又是偶函数．
（3）函数f（x）的定义域是（－∞，－1）∪（－1，＋∞），
不关于原点对称，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（4）函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．
f（－x）＝
即f（－x）＝
于是有f（－x）＝－f（x）．所以f（x）为奇函数．
规律方法
判断函数奇偶性的两种方法
（1）定义法：
（2）图像法：
跟踪训练
1．下列函数中，是偶函数的有________．（填序号）
①f（x）＝x3；②f（x）＝|x|＋1；③f（x）＝；
④f（x）＝x＋；⑤f（x）＝x2，x∈[－1，2]．
答案：②③
解析：对于①，f（－x）＝－x3＝－f（x），则为奇函数；
对于②，f（－x）＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数；
对于③，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f（－x）＝＝＝f（x），则为偶函数；
对于④，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f（－x）＝－x－＝－f（x），则为奇函数；
对于⑤，定义域为[－1，2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．
类型2：奇偶函数的图像问题
例2：已知奇函数f（x）的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图像如图所示．
（1）画出在区间[－5，0]上的图像；
（2）写出使f（x）<0的x的取值集合．
解：（1）因为函数f（x）是奇函数，所以y＝f（x）在[－5，5]上的图像关于原点对称．
由y＝f（x）在[0，5]上的图像，可知它在[－5，0]上的图像，如图所示．
（2）由图像知，使函数值y<0的x的取值集合为（－2，0）∪（2，5）．
母题探究
（变条件）将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．
解：（1）如图所示
（2）由（1）可知，使函数值y<0的x的取值集合为（－5，－2）∪（2，5）．
规律方法
巧用奇、偶函数的图像求解问题
1．依据：奇函数?图像关于原点对称，偶函数?图像关于y轴对称．
2．求解：根据奇、偶函数图像的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图像的问题．
跟踪训练
2．如图是函数f（x）＝在区间[0，＋∞）上的图像，请据此在该坐标系中补全函数f（x）在定义域内的图像，并说明你的作图依据．
解：因为f（x）＝，所以f（x）的定义域为R．又对任意x∈R，都有f（－x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数．所以f（x）的图像关于y轴对称，其图像如图所示．
类型3：利用函数的奇偶性求值
探究问题
1．对于定义域内的任意x，若f（－x）＋f（x）＝0，则函数f（x）是否具有奇偶性？若f（－x）－f（x）＝0呢？
提示：由f（－x）＋f（x）＝0得f（－x）＝－f（x），
∴f（x）为奇函数．
由f（－x）－f（x）＝0得f（－x）＝f（x），∴f（x）为偶函数．
2．若f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则f（0）的值可求吗？若f（x）为偶函数呢？
提示：若f（x）为奇函数，则f（0）＝0；若f（x）为偶函数，无法求出f（0）的值．
例3：（1）若函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________；
（2）已知f（x）＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f（－3）＝－3，则f（3）＝________．
思路点拨
答案：（1）；0（2）7
解析：（1）因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝．
又函数f（x）＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图像的特点，易得b＝0．
（2）令g（x）＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g（x）是奇函数，
∴f（－3）＝g（－3）＋2＝－g（3）＋2，又f（－3）＝－3，
∴g（3）＝5．
又f（3）＝g（3）＋2，所以f（3）＝5＋2＝7．
规律方法
利用奇偶性求参数的常见类型及策略
1．定义域含参数：奇、偶函数f（x）的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
2．解析式含参数：根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比较系数即可求解．
跟踪训练
3．若f（x）＝（x＋a）（x－4）为偶函数，则实数a＝________．
答案：4
解析：法一：f（x）＝（x＋a）（x－4）＝x2＋（a－4）x－4a，f（－x）＝（－x＋a）（－x－4）＝x2－（a－4）x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4．
法二：f（x）＝（x＋a）（x－4）＝x2＋（a－4）x－4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4．
法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如f（x）＝ax2＋c的都是偶函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则a＝4．
四、课堂小结
1．奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数f（x）定义域内的每一个值x，都有f（－x）＝－f（x）（或f（－x）＝f（x）），才能说f（x）是奇函数（或偶函数）．
2．函数的奇偶性是其相应图像特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）函数f（x）＝x2，x∈[0，＋∞）是偶函数．（
）
（2）对于函数y＝f（x），若存在x，使f（－x）＝－f（x），则函数y＝f（x）一定是奇函数．（
）
（3）不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．（
）
（4）若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．（
）
答案：（1）×（2）×（3）×（4）×
2．函数f（x）＝|x|＋1是（
）
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案：B
解析：∵f（－x）＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f（x），
∴f（x）为偶函数．
3．已知函数f（x）＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝______．
答案：0
解析：∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＋f（x）＝0，∴2ax2＝0对任意x∈R恒成立，所以a＝0．
4．已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2＋2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图像，如图所示．
（1）请补充完整函数y＝f（x）的图像；
（2）根据图像写出函数y＝f（x）的增区间；
（3）根据图像写出使f（x）<0的x的取值集合．
解：（1）由题意作出函数图像如图：
（2）据图可知，单调增区间为（－1，0），（1，＋∞）．
（3）据图可知，使f（x）<0的x的取值集合为（－2，0）∪（0，2）．
【第2课时】
奇偶性的应用
【教学目标】
【核心素养】
1．会根据函数奇偶性求函数值或解析式．
2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题．
1．利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养．
2．借助奇偶性与单调性的应用，提升逻辑推理、数学运算素养．
【教学过程】
一、合作探究
类型1：用奇偶性求解析式
例1：（1）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝－x＋1，求f（x）的解析式；
（2）设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝，求函数f（x），g（x）的解析式．
思路点拨：（1）
（2）
解：（1）设x<0，则－x>0，
∴f（－x）＝－（－x）＋1＝x＋1，
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（－x）＝－f（x）＝x＋1，
∴当x<0时，f（x）＝－x－1．
又x＝0时，f（0）＝0，
所以f（x）＝
（2）∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x）．
由f（x）＋g（x）＝，
①
用－x代替x得f（－x）＋g（－x）＝，
∴f（x）－g（x）＝，
②
（①＋②）÷2，得f（x）＝；
（①－②）÷2，得g（x）＝．
母题探究
把本例（2）的条件“f（x）是偶函数，g（x）是奇函数”改为“f（x）是奇函数，g（x）是偶函数”，再求f（x），g（x）的解析式．
解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
∴f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），
又f（x）＋g（x）＝，
①
用－x代替上式中的x，得
f（－x）＋g（－x）＝，
即f（x）－g（x）＝
．②
联立①②得
f（x）＝，g（x）＝．
规律方法
利用函数奇偶性求解析式的方法
1．“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
2．要利用已知区间的解析式进行代入．
3．利用f（x）的奇偶性写出－f（x）或f（－x），从而解出f（x）．
提醒：若函数f（x）的定义域内含0且为奇函数，则必有f（0）＝0，但若为偶函数，未必有f（0）＝0．
类型2：函数单调性和奇偶性的综合问题
探究问题
1．如果奇函数f（x）在区间（a，b）上单调递增，那么f（x）在（－b，－a）上的单调性如何？
如果偶函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，那么f（x）在（－b，－a）上的单调性如何？
提示：如果奇函数f（x）在区间（a，b）上单调递增，那么f（x）在（－b，－a）上单调递增；如果偶函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，那么f（x）在（－b，－a）上单调递增．
2．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？
提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．
3．若偶函数f（x）在（－∞，0）上单调递增，那么f（3）和f（－2）的大小关系如何？若f（a）>f（b），你能得到什么结论？
提示：f（－2）>f（3），若f（a）>f（b），则|a|<|b|．
角度一：比较大小问题
例2：函数y＝f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x＋2）是偶函数，则下列结论成立的是（
）
A．f（1）B．fC．fD．f思路点拨：―→
答案：B
解析：∵函数f（x＋2）是偶函数，
∴函数f（x）的图像关于直线x＝2对称，∴f＝f，f＝f，又f（x）在[0，2]上单调递增，
∴f规律方法
比较大小的求解策略
看自变量是否在同一单调区间上．
（1）在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
（2）不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
跟踪训练
1．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（
）
A．f（π）＞f（－3）＞f（－2）
B．f（π）＞f（－2）＞f（－3）
C．f（π）＜f（－3）＜f（－2）
D．f（π）＜f（－2）＜f（－3）
答案：A
由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则x∈（－∞，0）时，f（x）是减函数，故其图像的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f（π）＞f（－3）＞f（－2），故选A．
角度二：解不等式问题
例3：已知定义在[－2，2]上的奇函数f（x）在区间[0，2]上是减函数，若f（1－m）解：因为f（x）在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上是减函数，所以f（x）在[－2，2]上为减函数．
又f（1－m）故实数m的取值范围是．
规律方法
解有关奇函数f（x）的不等式f（a）＋f（b）<0，先将f（a）＋f（b）<0变形为f（a）<－f（b）＝f（－b），再利用f（x）的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式．另外，要特别注意函数的定义域．
由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质f（x）＝f（|x|）＝f（－|x|）将f（g（x））中的g（x）全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解．
跟踪训练
2．函数f（x）是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞）上是增函数，f（3））
A．a>1
B．a<－2
C．a>1或a<－2
D．－1答案：C
解析：因为函数f（x）在实数集上是偶函数，且f（3）1或a<－2．故选C．
二、课堂小结
1．具有奇偶性的函数的单调性的特点
（1）奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
（2）偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
2．利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x），但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x（另一个已知区间上的解析式中的变量），通过适当推导，求得所求区间上的解析式．
3．偶函数的一个重要性质：f（|x|）＝f（x），它能使自变量化归到[0，＋∞）上，避免分类讨论．
三、当堂达标
1．思考辨析
（1）奇函数f（x）＝，当x>0时的解析式与x<0时的解析式相同，所以一般的奇函数在（0，＋∞）上的解析式与（－∞，0）上的解析式也相同．（
）
（2）对于偶函数f（x），恒有f（x）＝f（|x|）．（
）
（3）若存在x0使f（1－x0）＝f（1＋x0），则f（x）关于直线x＝1对称．（
）
（4）若奇函数f（x）在（0，＋∞）上有最小值a，则f（x）在（－∞，0）上有最大值－a．（
）
答案：（1）×（2）√（3）×（4）√
2．已知偶函数在（－∞，0）上单调递增，则（
）
A．f（1）>f（2）
B．f（1）C．f（1）＝f（2）
D．以上都有可能
答案：A
解析：∵f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上单调递增，
∴f（x）在（0，＋∞）上单调递减，∴f（1）>f（2），故选A．
3．定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，若f（a））
A．aB．a>b
C．|a|<|b|
D．0≤ab≥0
答案：C
解析：∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是增函数，
∴由f（a）4．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋x－2，求f（x），g（x）的表达式．
解：f（－x）＋g（－x）＝x2－x－2，由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数得，f（x）－g（x）＝x2－x－2，又f（x）＋g（x）＝x2＋x－2，两式联立得f（x）＝x2－2，g（x）＝x．
10(共29张PPT)
函数的单调性
谢
谢
y
1O1234x函数的单调性
【第1课时】
单调性的定义与证明
【教学目标】
【核心素养】
1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性．（重点）
2．会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间．（重点、难点）
3．理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值．（重点、难点）
1．借助单调性判断与证明，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象素养．
2．利用求单调区间、最值、培养数学运算素养．
3．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．增函数与减函数的定义
条件
一般地，设函数y＝f（x）的定义域为A，且M?A：如果对任意x1，x2∈M，当x1＞x2时
都有f（x1）＞f（x2）
都有f（x1）＜f（x2）
结论
y＝f（x）在M上是增函数（也称在M上单调递增）
y＝f（x）在M上是减函数（也称在M上单调递减）
图示
思考1：增（减）函数定义中的x1，x2有什么特征？
提示：定义中的x1，x2有以下3个特征
（1）任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
（2）有大小，通常规定x1＞x2；
（3）属于同一个单调区间．
2．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f（x）在M上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f（x）在M上具有单调性（当M为区间时，称M为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）．
思考2：函数y＝在定义域上是减函数吗？
提示：不是．y＝在（－∞，0）上递减，在（0，＋∞）上也递减，但不能说y＝在（－∞，0）∪（0，＋∞）上递减．
3．函数的最值
最大值
最小值
条件
一般地，设函数f（x）的定义域为D：且x0∈D，如果对任意x∈D
都有f（x）≤f（x0）
都有f（x）≥f（x0）
结论
称f（x）的最大值为f（x0），记作fmax＝f（x0），而x0称为f（x）的最大值点
称f（x）的最小值为f（x0），记作fmin＝f（x0），而x0称为f（x）的最小值点
统称
最大值和最小值统称为最值
最大值点和最小值点统称为最值点
二、初试身手
1．函数y＝f（x）的图像如图所示，其增区间是（
）
A．[－4，4]
B．[－4，－3]∪[1，4]
C．[－3，1]
D．[－3，4]
答案：C
解析：由题图可知，函数y＝f（x）的单调递增区间为[－3，1]，选C．
2．下列函数中，在区间（0，＋∞）上是减函数的是（
）
A．y＝－
B．y＝x
C．y＝x2
D．y＝1－x
答案：D
解析：函数y＝1－x在区间（0，＋∞）上是减函数，其余函数在（0，＋∞）上均为增函数，故选D．
3．函数y＝f（x）在[－2，2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（
）
A．－1，0
B．0，2
C．－1，2
D．，2
答案：C
解析：由题图可知，f（x）的最大值为f（1）＝2，f（x）的最小值为f（－2）＝－1．
4．函数f（x）＝x2－2x＋3的单调减区间是________．
答案：（－∞，1]
解析：因为f（x）＝x2－2x＋3是图像开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f（x）的单调减区间是（－∞，1]．
三、合作探究
类型1：定义法证明（判断）函数的单调性
例1：证明：函数f（x）＝x＋在（0，1）上是减函数．
思路点拨：―→
证明：设x1，x2是区间（0，1）上的任意两个实数，且x1＞x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝（x1－x2）＋＝（x1－x2）＋＝（x1－x2）＝，
∵0∴x1－x2＞0，0∴＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）＝x＋在（0，1）上是减函数．
规律方法
利用定义证明函数单调性的步骤
1．取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＞x2．
2．作差变形：作差f（x1）－f（x2），并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子．
3．定号：确定f（x1）－f（x2）的符号．
4．结论：根据f（x1）－f（x2）的符号及定义判断单调性．
提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式．
跟踪训练
1．证明：函数y＝在（－1，＋∞）上是增函数．
证明：设x1>x2>－1，则
y1－y2＝－＝．
∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，
∴>0，即y1－y2>0，y1>y2，
∴y＝在（－1，＋∞）上是增函数．
类型2：求函数的单调区间
例2：求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
（1）f（x）＝－；（2）f（x）＝
（3）f（x）＝－x2＋2|x|＋3．
解：（1）函数f（x）＝－的单调区间为（－∞，0），（0，＋∞），其在（－∞，0），（0，＋∞）上都是增函数．
（2）当x≥1时，f（x）是增函数，当x<1时，f（x）是减函数，所以f（x）的单调区间为（－∞，1），[1，＋∞），并且函数f（x）在（－∞，1）上是减函数，在[1，＋∞）上是增函数．
（3）因为f（x）＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数f（x）的单调区间为（－∞，－1]，（－1，0），[0，1），[1，＋∞）．
f（x）在（－∞，－1]，[0，1）上是增函数，在（－1，0），[1，＋∞）上是减函数．
（3）因为f（x）＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数f（x）的单调区间为（－∞，－1]，（－1，0），[0，1），[1，＋∞）．
f（x）在（－∞，－1]，[0，1）上是增函数，在（－1，0），[1，＋∞）上是减函数．
规律方法
求函数单调区间的方法
1．利用已知函数的单调性求函数的单调区间．
2．利用函数图像求函数的单调区间．
提醒：1．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开．
2．理清“单调区间”和“在区间上单调”的区别与联系．
跟踪训练
2．根据如图所示，写出函数在每一单调区间上是增函数还是减函数．
解：函数在[－1，0]，[2，4]上是减函数，在[0，2]，[4，5]上是增函数．
3．写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．
解：先画出
f（x）＝的图像，如图．
所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为（－∞，－1]，[1，3]；单调增区间为[－1，1]，[3，＋∞）．
类型3：函数单调性的应用
探究问题
1．若函数f（x）是其定义域上的增函数，且f（a）>f（b），则a，b满足什么关系．如果函数f（x）是减函数呢？
提示：若函数f（x）是其定义域上的增函数，那么当f（a）>f（b）时，a>b；若函数f（x）是其定义域上的减函数，那么当f（a）>f（b）时，a2．决定二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c单调性的因素有哪些？
提示：开口方向和对称轴的位置，即字母a的符号及－的大小．
例3：（1）若函数f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3在区间（－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．
（2）已知函数y＝f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，且f（2x－3）>f（5x－6），则实数x的取值范围为________．
思路点拨：（1）数形结合，
（2）f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，
答案：（1）（－∞，－4]
（2）（－∞，1）
解析：（1）∵f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3的图像开口向下，要使f（x）在（－∞，3]上是增函数，只需－（a＋1）≥3，即a≤－4．∴实数a的取值范围为（－∞，－4]．
（2）∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，且f（2x－3）>f（5x－6），∴2x－3>5x－6，即x<1．∴实数x的取值范围为（－∞，1）．]
母题探究
1．（变条件）若本例（1）的函数f（x）在（1，2）上是单调函数，求a的取值范围．
解：由题意可知－（a＋1）≤1或－（a＋1）≥2，即a≤－3或a≥－2．
所以a的取值范围为（－∞，－3]∪[－2，＋∞）．
2．（变条件）若本例（2）的函数f（x）是定义在（0，＋∞）上的减函数，求x的取值范围．
解：由题意可知，
解得x>．
∴x的取值范围为．
规律方法
函数单调性的应用
1．函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．
2．若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
类型4：求函数的最值（值域）
例4：已知函数f（x）＝．
（1）判断函数在区间（－1，＋∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．
解：（1）f（x）在（－1，＋∞）上为增函数，证明如下：任取－1则f（x1）－f（x2）＝－＝，
因为－10，x2＋1>0，x1－x2<0，
所以f（x1）－f（x2）<0?f（x1）所以f（x）在（－1，＋∞）上为增函数．
（2）由（1）知f（x）在[2，4]上单调递增，
所以f（x）的最小值为f（2）＝＝，
最大值为f（4）＝＝．
规律方法
1．利用单调性求函数的最大（小）值的一般步骤
（1）判断函数的单调性．
（2）利用单调性求出最大（小）值．
2．函数的最大（小）值与单调性的关系
（1）若函数f（x）在区间[a，b]上是增（减）函数，则f（x）在区间[a，b]上的最小（大）值是f（a），最大（小）值是f（b）．
（2）若函数f（x）在区间[a，b]上是增（减）函数，在区间[b，c]上是减（增）函数，则f（x）在区间[a，c]上的最大（小）值是f（b），最小（大）值是f（a）与f（c）中较小（大）的一个．
提醒：（1）求最值勿忘求定义域．
（2）闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
跟踪训练
4．已知函数f（x）＝求（1）f（x）的最大值、最小值；（2）f（x）的最值点．
解：（1）作出函数f（x）的图像（如图）．
由图像可知，当x＝1时，f（x）取最大值为f（1）＝1．当x＝0时，f（x）取最小值f（0）＝0，
故f（x）的最大值为1，最小值为0．
（2）f（x）的最大值点为x0＝1，最小值点为x0＝0．
四、课堂小结
1．定义单调性时应强调x1，x2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．
2．证明函数的单调性（利用定义）一定要严格遵循设元、作差、变形、定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．
3．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：
（1）图像法，即画出函数的图像，根据图像的最高点或最低点写出最值；
（2）单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；
4．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）若函数y＝f（x）在定义域上有f（1））
（2）若函数y＝f（x）在区间[1，3]上是减函数，则函数y＝f（x）的单调递减区间是[1，3]．（
）
（3）任何函数都有最大（小）值．（
）
（4）函数f（x）在[a，b]上的最值一定是f（a）（或f（b））．（
）
答案：（1）×（2）×（3）×（4）×
2．下列函数中，在（0，2）上是增函数的是（
）
A．y＝
B．y＝2x－1
C．y＝1－2x
D．y＝（2x－1）2
答案：B
解析：对于A，y＝在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减；对于B，y＝2x－1在R上单调递增；对于C，y＝1－2x在R上单调递减；对于D，y＝（2x－1）2在上单调递减，在上单调递增．故选B．
3．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为________．
答案：[－1，3]
解析：∵函数y＝x2－2x＝（x－1）2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3]．
4．试用函数单调性的定义证明：f（x）＝在（1，＋∞）上是减函数．
证明：f（x）＝2＋，
设x1>x2>1，
则f（x1）－f（x2）＝－＝．
因为x1>x2>1，
所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，
所以f（x1）所以f（x）在（1，＋∞）上是减函数．
【第2课时】
函数的平均变化率
【教学目标】
【核心素养】
1．理解斜率的含义及平均变化率的概念．（重点）
2．掌握判断函数单调性的充要条件．（重点、难点）
通过利用函数f（x）的平均变化证明f（x）在I上的单调性，提升数学运算和培养逻辑推理素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．直线的斜率
（1）定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1≠x2时，称为直线AB的斜率；（若记Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1，当Δx≠0时，斜率记为），当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在．
（2）作用：直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度．
2．平均变化率与函数单调性
若I是函数y＝f（x）的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f（x1），y2＝f（x2），＝，则
（1）y＝f（x）在I上是增函数的充要条件是＞0在I上恒成立；
（2）y＝f（x）在I上是减函数的充要条件是＜0在I上恒成立．
当x1≠x2时，称＝为函数y＝f（x）在区间[x1，x2]（x1＜x2时）或[x2，x1]（x1＞x2时）上的平均变化率．通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量．
3．平均变化率的物理意义
（1）把位移s看成时间t的函数s＝s（t），则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均速度，即＝．
（2）把速度v看成时间t的函数v＝v（t），则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均加速度，即＝．
二、初试身手
1．已知点A（1，0），B（－1，1），则直线AB的斜率为（
）
A．－
B．
C．－2
D．2
答案：A
解析：直线AB的斜率＝－．
2．如图，函数y＝f（x）在[1，3]上的平均变化率为（
）
A．1
B．－1
C．2
D．－2
答案：B
解析：＝＝＝－1．
3．一次函数y＝－2x＋3在R上是________函数．（填“增”或“减”）
答案：减
解析：任取x1，x2∈R且x1≠x2．
∴y1＝－2x1＋3，y2＝－2x2＋3，
∴＝＝－2＜0，故y＝－2x＋3在R上是减函数．
4．已知函数f（x）＝2x2＋3x－5，当x1＝4，且Δx＝1时，求Δy的平均变化率．
解：∵f（x）＝2x2＋3x－5，x1＝4，x2＝x1＋Δx，
∴Δy＝f（x2）－f（x1）＝2（x1＋Δx）2＋3（x1＋Δx）－5－（2x＋3x1－5）＝2（Δx）2＋（4x1＋3）Δx．
当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2×12＋（4×4＋3）×1＝21．
则＝＝21．
三、合作探究
类型1：平均变化率的计算
例1：一正方形铁板在0℃时边长为10cm，加热后会膨胀，当温度为t℃时，边长变为10（1＋at）cm，a为常数．试求铁板面积对温度的平均膨胀率．
思路点拨：由正方形的边长与面积关系列出函数表达式，再求面积的平均变化率．
解：设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量
ΔS＝102[1＋a（t＋Δt）]2－102（1＋at）2＝200（a＋a2t）Δt＋100a2（Δt）2，
所以平均膨胀率＝200（a＋a2t）＋100a2Δt．
规律方法
1．关于平均变化率的问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、平均加速度、平均膨胀率等．找准自变量的改变量和因变量的改变量是解题的关键．
2．求平均变化率只需要三个步骤：（1）求出或者设出自变量的改变量；（2）根据自变量的改变量求出函数值的改变量；（3）求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值．
跟踪训练
1．路灯距地面8m，一个身高为1．6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯．
（1）求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；
（2）求人离开路灯10s内身影长度y关于时间t的平均变化率．
解：（1）如图所示，设此人从C点运动到B点的位移为xm，AB为身影长度，AB的长度为ym，由于CD∥BE，则＝，即＝，所以y＝0．25x．
（2）84m/min＝1．4m/s，则y关于t的函数关系式为y＝0．25×1．4t＝0．35t，所以10
s内平均变化率＝＝0．35（m/s），
即此人离开灯10s内身影长度y关于时间t的平均变化率为0．35m/s．
类型2：利用平均变化率证明函数的单调性
例2：若函数y＝f（x）是其定义域的子集I上的增函数且f（x）＞0，求证：g＝在I上为减函数．
思路点拨：由y＝f（x）在I上为增函数的充要条件可得＞0，再证＜0即可．
证明：任取x1，x2∈I且x2＞x1，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f（x2）－f（x1），
∵函数y＝f（x）是其定义域的子集I上的增函数，
∴Δy＞0，＞0，
∴Δg＝g（x2）－g（x2）＝－＝．
又∵f（x）＞0，∴f（x1）f（x2）＞0且f（x1）－f（x2）＜0，
∴Δg＜0，
∴＜0，故g＝在I上为减函数．
规律方法
单调函数的运算性质
若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则：1．f（x）与f（x）＋C（C为常数）具有相同的单调性．
2．f（x）与a·f（x），当a＞0时具有相同的单调性；当a＜0时具有相反的单调性．
3．当f（x）恒为正值或恒为负值时，f（x）与具有相反的单调性．
（4）在f（x），g（x）的公共单调区间上，有如下结论：
f（x）
g（x）
f（x）＋g（x）
f（x）－g（x）
增函数
增函数
增函数
不能确定单调性
增函数
减函数
不能确定单调性
增函数
减函数
减函数
减函数
不能确定单调性
减函数
增函数
不能确定单调性
减函数
跟踪训练
2．已知函数f（x）＝1－，x∈[3，5]，判断函数f（x）的单调性，并证明．
解：由于y＝x＋2在[3，5]上是增函数，且恒大于零，因此，由性质知f（x）＝1－为增函数．
证明过程如下：
任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，即Δx＝x2－x1＞0，
则Δy＝f（x2）－f（x1）＝1－－＝－＝．
∵（x1＋2）（x2＋2）＞0，
∴Δy＞0，∴＞0，故函数f（x）在[3，5]上是增函数．
类型3：二次函数的单调性最值问题
探究问题
1．二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0）的对称轴与区间[m，n]可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？
提示：
2．求二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？
提示：若求二次函数f（x）在[m，n]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x＝－与区间[m，n]的关系．
例3：已知函数f（x）＝x2－ax＋1，求f（x）在[0，1]上的最大值．
思路点拨：
解：因为函数f（x）＝x2－ax＋1的图像开口向上，其对称轴为x＝，
当≤，即a≤1时，f（x）的最大值为f（1）＝2－a；
当>，即a>1时，f（x）的最大值为f（0）＝1．
母题探究
1．在题设条件不变的情况下，求f（x）在[0，1]上的最小值．
解：（1）当≤0，即a≤0时，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）min＝f（0）＝1．
（2）当≥1，即a≥2时，f（x）在[0，1]上单调递减，
∴f（x）min＝f（1）＝2－a．
（3）当0<<1，即02．在本例条件不变的情况下，若a＝1，求f（x）在[t，t＋1]（t∈R）上的最小值．
解：当a＝1时，f（x）＝x2－x＋1，其图像的对称轴为x＝，
①当t≥时，f（x）在其上是增函数，∴f（x）min＝f（t）＝t2－t＋1；
②当t＋1≤，即t≤－时，f（x）在其上是减函数，
∴f（x）min＝f（t＋1）＝2＋＝t2＋t＋1；
③当t<规律方法
二次函数在闭区间上的最值
设f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），则二次函数f（x）在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：
对称轴与区间的关系
－＜m＜n，即－∈（－∞，m）
m＜－＜n，即－∈（m，n）
m＜n＜－，即－∈（n，＋∞）
图像
最值
f（x）max＝f（n），
f（x）min＝f（m）
f（x）max＝max{f（n），f（m）}，f（x）min＝f
f（x）max＝f（m），
f（x）min＝f（n）
四、课堂小结
1．平均变化率中Δx，Δy，的理解
（1）函数f（x）应在x1，x2处有定义；
（2）x2在x1附近，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负；
（3）注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f（x2）－f（x1），而不是Δy＝f（x1）－f（x2）；
（4）平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．
2．判断函数y＝f（x）在I上单调性的充要条件
（1）y＝f（x）在I上单调递增的充要条件是＞0恒成立；
（2）y＝f（x）在I上单调递减的充要条件是＜0恒成立．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）一次函数y＝ax＋b（a≠0）从x1到x2的平均变化率为a．（
）
（2）函数y＝f（x）的平均变化率＝的几何意义是过函数y＝f（x）图像上两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））所在直线的斜率．（
）
（3）在[a，b]上，y＝ax2＋bx＋c（a≠0）任意两点的平均变化率都相等．（
）
答案：（1）√（2）√（3）×
2．函数f（x）＝从1到4的平均变化率为（
）
A．
B．
C．1
D．3
答案：A
解析：Δy＝－＝1，Δx＝4－1＝3，则平均变化率为＝．
3．李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定（即单位时间内倒入的饮料量相同），那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h（t），则函数h（t）的图像可能是（
）
答案：B
解析：由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，往后高度增加得越来越慢，仅有B中的图像符合题意．
4．一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移（单位：m），t表示时间（单位：s）．求该质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度．
解：该质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度为＝＝（－6－3Δt）（m/s）．
1
/
16(共28张PPT)
数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点
谢
谢函数及其表示方法
【第1课时】
函数的概念
【教学目标】
【核心素养】
1．进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．（重点、难点）
2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．（重点）
1．通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．
2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．
3．借助f（x）与f（a）的关系，培养逻辑推理素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．函数的概念
定义
给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，按照对应关系f，在集合B中都有唯一确定的实数y＝f（x）与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作：y＝f（x），x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量
三要素
对应关系
y＝f（x），x∈A
定义域
自变量x的取值的范围（即数集A）
值域
所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f（x），x∈A}
思考：（1）有人认为“y＝f（x）”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？
（2）f（x）与f（a）有何区别与联系？
提示：（1）这种看法不对．
符号y＝f（x）是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，f是对应关系，y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f（x）仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f（x）外，还常用g（x），h（x）等来表示函数．
（2）f（x）与f（a）的区别与联系：f（a）表示当x＝a时，函数f（x）的值，是一个常量，而f（x）是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值，如一次函数f（x）＝3x＋4，当x＝8时，f（8）＝3×8＋4＝28是一个常数．
2．两个函数相同
一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等），则称这两个函数就是同一个函数．
二、初试身手
1．思考辨析
（1）函数y＝f（x）＝x2，x∈A与u＝f（t）＝t2，t∈A表示的是同一个函数．（
）
（2）函数y＝f（x）＝x2，x∈[0，2]与g（x）＝2x，x∈[0，2]表示的是同一个函数．（
）
（3）函数y＝f（x）＝x2，x∈[0，2]与h（x）＝x2，x∈（0，2）表示同一个函数．（
）
提示：（1）两个函数定义域相同，对应关系也相同．
（2）两函数的对应关系不同．
（3）两函数的定义域不同．
答案：（1）√（2）×（3）×
2．函数y＝的定义域是（
）
A．[－1，＋∞）
B．[－1，0）
C．（－1，＋∞）
D．（－1，0）
答案：C
解析：由x＋1>0得x>－1．
所以函数的定义域为（－1，＋∞）．
3．若f（x）＝，则f（3）＝________．
答案：－
解析：f（3）＝＝－．
4．下表表示y是x的函数，则函数的值域是________．
x
x＜2
2≤x≤3
x＞3
y
－1
0
1
答案：{－1，0，1}
解析：函数值只有－1，0，1三个数值，故值域为{－1，0，1}．
三、合作探究
类型1：函数的概念
例1：（1）下列四组函数，表示同一函数的是（
）
A．f（x）＝，g（x）＝x
B．f（x）＝x，g（x）＝
C．f（x）＝，g（x）＝x
D．f（x）＝x2，g（x）＝（）4
（2）判断下列对应f是否为定义在集合A上的函数．
①A＝R，B＝R，对应法则f：y＝；
②A＝{1，2，3}，B＝R，f（1）＝f（2）＝3，f（3）＝4；
③A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应法则如图所示．
（1）C
选项A中，由于f（x）＝＝|x|，g（x）＝x两函数对应法则不同，所以它们不是同一函数；选项B中，由于f（x）＝x的定义域为R，g（x）＝的定义域为{x|x≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数；选项C中，f（x）＝＝x，g（x）＝x的定义域和对应法则完全相同，所以它们是同一函数；选项D中，f（x）＝x2的定义域为R，g（x）＝（）4＝x2的定义域为[0，＋∞），两个函数的定义域不相同，所以它们不是同一函数．
（2）解：①A＝R，B＝R，对于集合A中的元素x＝0，在对应法则f：y＝的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．
②由f（1）＝f（2）＝3，f（3）＝4，知集合A中的每一个元素在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应是定义在A上的函数．
③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素（5和6）与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．
规律方法
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
（1）A，B必须是非空实数集．
（2）A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2．判断函数相等的方法
（1）先看定义域，若定义域不同，则不相等；
（2）若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
跟踪训练
1．判断下列对应关系f是不是定义在集合A上的函数．
（1）A＝N，B＝N
，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；
（2）A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
（3）A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，2，4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
（4）A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．
解：（1）对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．
（2）对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．
（3）对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．
（4）集合A不是数集，故不是函数．
类型2：求函数的定义域
探究问题
1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？
提示：不可以．如f（x）＝．倘若先化简，则f（x）＝，从而定义域与原函数不等价．
2．若函数y＝f（x＋1）的定义域是[1，2]，这里的“[1，2]”是指谁的取值范围？函数y＝f（x）的定义域是什么？
提示：[1，2]是自变量x的取值范围．
函数y＝f（x）的定义域是x＋1的范围[2，3]．
例2：求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝2＋；
（2）f（x）＝（x－1）0＋；
（3）f（x）＝·；
（4）f（x）＝－．
思路点拨：要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．
解：（1）当且仅当x－2≠0，
即x≠2时，
函数f（x）＝2＋有意义，
所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
（2）函数有意义，当且仅当
解得x>－1且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．
（3）函数有意义，当且仅当
解得1≤x≤3，
所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
（4）要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
母题探究
（变结论）在本例（3）条件不变的前提下，求函数y＝f（x＋1）的定义域．
解：由1≤x＋1≤3得0≤x≤2．
所以函数y＝f（x＋1）的定义域为[0，2]．
规律方法
求函数定义域的常用方法
1．若f（x）是分式，则应考虑使分母不为零．
2．若f（x）是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
3．若f（x）是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．
4．若f（x）是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
5．若f（x）是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
跟踪训练
2．下列函数的定义域不是R的是（
）
A．y＝x＋1
B．y＝x2
C．y＝
D．y＝2x
答案：C
解析：A中为一次函数，B中为二次函数，D中为正比例函数，定义域都是R；C中为反比例函数，定义域是{x|x≠0}，不是R．
3．已知函数f（x）＝的定义域为M，g（x）＝的定义域为N，则M∩N＝（
）
A．{x|x≥－2}
B．{x|x＜2}
C．{x|－2＜x＜2}
D．{x|－2≤x＜2}
答案：D
解析：由题意得M＝{x|x＜2}，N＝{x|x≥－2}，所以M∩N＝{x|－2≤x＜2}．
类型3：求函数值（值域）
例3：设f（x）＝2x2＋2，g（x）＝．
（1）求f（2），f（a＋3），g（a）＋g（0）（a≠－2），g（f（2））；
（2）求函数y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4}的值域．
思路点拨：（1）直接把自变量x的取值代入相应函数解析式求值即可；
（2）所有函数值的集合即为值域．
解：（1）因为f（x）＝2x2＋2，
所以f（2）＝2×22＋2＝10，
f（a＋3）＝2（a＋3）2＋2＝2a2＋12a＋20．
因为g（x）＝，
所以g（a）＋g（0）＝＋＝＋（a≠－2）．
g（f（2））＝g（10）＝＝．
（2）当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5；当x＝3时，y＝7；当x＝4时，y＝9．
所以函数y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4}的值域为{3，5，7，9}．
规律方法
1．函数求值的方法
（1）已知f（x）的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f（a）的值．
（2）求f（g（a））的值应遵循由里往外的原则．
2．求函数值域的常用方法
（1）观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域．如：①一次函数f（x）＝kx＋b（k≠0）的值域是R；②反比例函数f（x）＝（k≠0）的值域是{y|y≠0}；③二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），当a＞0时，值域是y；当a＜0时，值域是．
（2）配方法，判别式法是求解二次函数型值域的常用方法．
（3）换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数转化为简单的函数，从而求得函数的值域．
跟踪训练
4．已知f（x）＝x3＋2x＋3，求f（1）和f（f（－1））的值．
解：f（1）＝13＋2×1＋3＝6；
f（f（－1））＝f（（－1）3＋2×（－1）＋3）＝f（0）＝3．
5．求函数y＝1－x2的值域．
解：因为1－x2≤1，所以函数y＝1－x2的值域为（－∞，1]．
四、课堂小结
1．判断两个函数相同
函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．
2．对函数定义的再理解
（1）函数的定义域必须是非空实数集，因此定义域为空集的函数不存在．如y＝＋就不是函数；集合A中的元素是实数，即A≠?且A?R．
（2）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个（任意性）元素x，都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．
（3）函数f（x）的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，而是非空数集B的子集．
例如，对于从集合A＝R到集合B＝R的函数y＝x2，值域是{y|y≥0}，而不是R．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．（
）
（2）函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．（
）
（3）函数的定义域和值域一定是无限集合．（
）
答案：（1）√（2）×（3）×
2．下列函数中，与函数y＝x相等的是（
）
A．y＝（）2
B．y＝
C．y＝|x|
D．y＝
答案：D
解析：函数y＝x的定义域为R；y＝（）2的定义域为[0，＋∞）；y＝＝|x|，对应关系不同；y＝|x|对应关系不同；y＝＝x，且定义域为R．故选D．
3．将函数y＝的定义域为________．
答案：（－∞，0）∪（0，1]
解析：由
解得x≤1且x≠0，
因此函数的定义域为（－∞，0）∪（0，1]．
4．已知函数f（x）＝x＋．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（－1），f（2）的值；
（3）当a≠－1时，求f（a＋1）的值．
解：（1）要使函数f（x）有意义，必须使x≠0，
∴f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞）．
（2）f（－1）＝－1＋＝－2，f（2）＝2＋＝．
（3）当a≠－1时，a＋1≠0，
∴f（a＋1）＝a＋1＋．
【第2课时】
函数的表示方法
【教学目标】
【核心素养】
1．掌握函数的三种表示方法：解析法、图像法、列表法．（重点）
2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．（难点）
3．理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图像．（重点，难点）
4．能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的函数关系，并能解决有关问题．（重点、难点）
1．通过函数表示的图像法培养直观想象素养．
2．通过函数解析式的求法培养运算素养．
3．利用函数解决实际问题，培养数学建模素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．函数的图像
（1）定义：将函数y＝f（x），x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点（x，y）组成的集合F称为函数的图像，即F＝{（x，y）|y＝f（x），x∈A}．
（2）F是函数y＝f（x）的图像，必经满足下列两条
①图像上任意一点的坐标（x，y）都满足函数关系y＝f（x）；
②满足函数关系y＝f（x）的点（x，y）都在函数图像F上．
2．函数的表示法
思考1：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图像法三种形式表示吗？
提示：不一定．
并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图像法也不适用于所有函数，如D（x）＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．
3．分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．
思考2：分段函数是一个函数还是几个函数？
提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．
二、初试身手
1．已知函数f（x）由下表给出，则f（3）等于（
）
x
1≤x<2
2
2f（x）
1
2
3
A．1
B．2
C．3
D．不存在
答案：C
解析：∵当22．二次函数的图像的顶点为（0，－1），对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为（
）
A．y＝－x2＋1
B．y＝x2－1
C．y＝4x2－16
D．y＝－4x2＋16
答案：B
解析：把点（0，－1）代入四个选项可知，只有B正确．
3．下列给出的式子是分段函数的是（
）
①f（x）＝
②f（x）＝
③f（x）＝
④f（x）＝
A．①②
B．①④
C．②④
D．③④
答案：B
解析：结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B．
4．已知函数y＝f（x）的图像如图所示，则其定义域是________．
答案：[－2，3]
解析：由图像可知f（x）的定义域为[－2，3]．
三、合作探究
类型1：函数的三种表示方法
例1：某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．
解：①列表法如下：
x（台）
1
2
3
4
5
y（元）
3000
6000
9000
12000
15000
x（台）
6
7
8
9
10
y（元）
18000
21000
24000
27000
30000
②图像法：如图所示．
③解析法：y＝3000x，x∈{1，2，3，…，10}．
规律方法
列表法、图像法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图像法中要注意是否连线．
跟踪训练
1．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则给出的下列图形表示为定义在A上的函数图像的是（
）
A
B
C
D
（2）由下表给出函数y＝f（x），则f（f（1））等于（
）
x
1
2
3
4
5
y
4
5
3
2
1
A．1
B．2
C．4
D．5
答案：（1）D
（2）B
解析：（1）A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈A，但B中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确．
（2）由题意可知，f（1）＝4，f（4）＝2，∴f（f（1））＝f（4）＝2，故选B．
类型2：函数解析式的求法
例2：（1）已知f（＋1）＝x－2，求f（x）的解析式；
（2）已知函数f（x）是一次函数，若f（f（x））＝4x＋8，求f（x）的解析式；
（3）如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为2cm，当垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式．
思路点拨：（1）用换元法或配凑法求解；（2）用待定系数法求解；（3）可按点E所在的位置分E在线段AB，E在线段AD及E在线段CD三类分别求解．
解：（1）法一（换元法）：令t＝＋1，则t≥1，x＝（t－1）2，代入原式有f（t）＝（t－1）2－2（t－1）＝t2－4t＋3，f（x）＝x2－4x＋3（x≥1）．
法二（配凑法）：f（＋1）＝x＋2＋1－4－4＋3＝（＋1）2－4（＋1）＋3，
因为＋1≥1，
所以f（x）＝x2－4x＋3（x≥1）．
（2）设f（x）＝ax＋b（a≠0），
则f（f（x））＝f（ax＋b）＝a（ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b．
又f（f（x））＝4x＋8，
所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即解得或
所以f（x）＝2x＋或f（x）＝－2x－8．
（3）过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H．
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm，
又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm．
①当点F在BG上，即x∈[0，2]时，y＝x2；
②当点F在GH上，即x∈（2，5]时，y＝×2＝2x－2；
③当点F在HC上，即x∈（5，7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝（7＋3）×2－（7－x）2＝－（x－7）2＋10．
综合①②③，得函数的解析式为
y＝
图像如图所示．
规律方法
求函数解析式的常用方法
1．待定系数法：若已知f（x）的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．
2．换元法：设t＝g（x），解出x，代入f（g（x）），求f（t）的解析式即可．
3．配凑法：对f（g（x））的解析式进行配凑变形，使它能用g（x）表示出来，再用x代替两边所有的“g（x）”即可．
4．方程组法或消元法：当同一个对应关系中的两个元素之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
提醒：1．应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．
2．在实际问题背景下，自变量取值区间不同，对应关系也不同，此时需要用分段函数表示．
跟踪训练
2．已知函数f（x＋1）＝3x＋2，则f（x）的解析式是（
）
A．f（x）＝3x－1
B．f（x）＝3x＋1
C．f（x）＝3x＋2
D．f（x）＝3x＋4
答案：A
解析：令x＋1＝t，则x＝t－1，∴f（t）＝3（t－1）＋2＝3t－1．∴f（x）＝3x－1．
3．已知函数f（x）对于任意的x都有f（x）－2f（－x）＝1＋2x，则f（x）＝________．
答案：x－1
解析：由题意，在f（x）－2f（－x）＝1＋2x中，以－x代替x可得f（－x）－2f（x）＝1－2x，联立可得消去f（－x）可得f（x）＝x－1．]
类型3：函数的图像及应用
例3：（1）作出函数y＝，x∈[2，＋∞）的图像并求出其值域．
（2）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
①5公里以内（含5公里），票价2元；
②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像．
思路点拨：（1）列表→描点→连结；
（2）分段函数的图像需要在同一坐标系中分段画出．
解：（1）列表
x
2
3
4
5
…
y
1
…
当x∈[2，＋∞）时，图像是反比例函数y＝的一部分，观察图像可知其值域为（0，1]．
（2）设票价为y元，里程为x公里，定义域为（0，20]．
由题意得函数的解析式如下：
y＝
函数图像如图所示：
规律方法
描点法作函数图像的三个关注点
1．画函数图像时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
2．图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像．
3．要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
提醒：1．函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
2．分段函数的图像是在同一个直角坐标系内分别作出各段的图像，在作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
跟踪训练
4．已知函数f（x）＝1＋（－2（1）用分段函数的形式表示f（x）；
（2）画出f（x）的图像；
（3）若f（a）＝2，求实数a的值．
解：（1）当0≤x≤2时，f（x）＝1＋＝1，
当－2f（x）＝1＋＝1－x，
∴f（x）＝
（2）函数f（x）的图像如图所示．
（3）∵f（a）＝2由函数图像可知a∈（－2，0），
∴1－a＝2，即a＝－1．
四、课堂小结
1．函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式表示函数，解析式后不注明定义域即可视为该函数的定义域为使此解析式有意义的实数集R或R的子集．
2．作函数图像必须要让作出的图像反映出图像的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图像有无对称性，并标明特殊点．
3．分段函数是一个函数，而不是几个函数．
4．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）任何一个函数都可以用解析法表示．（
）
（2）函数的图像一定是定义区间上一条连续不断的曲线．（
）
（3）分段函数由几个函数构成．（
）
（4）函数f（x）＝是分段函数．（
）
答案：（1）×（2）×（3）×（4）√
2．设函数f（x）＝则f（f（3））＝（
）
A．
B．3
C．
D．
答案：D
解析：∵f（3）＝≤1，
∴f（f（3））＝＋1＝．
3．函数y＝f（x）的图像如图所示，则其解析式为________．
答案：f（x）＝
解析：当0≤x≤1时，设f（x）＝kx，又过点（1，2），故k＝2，∴f（x）＝2x；
当1综上，f（x）＝
4．已知函数f（x）＝x2－2x（－1≤x≤2）．
（1）画出f（x）图像的简图；
（2）根据图像写出f（x）的值域．
解：（1）f（x）图像的简图如图所示．
（2）观察f（x）的图像可知，f（x）图像上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，
即f（x）的值域是[－1，3]．
17
/
17函数的应用（一）
【学习目标】
在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题．
【学习重难点】
函数模型与实际应用问题．
【学习过程】
一、自主学习
知识点一：几类常见函数模型
名称
解析式
条件
一次函数模型
y＝kx＋b
k≠0
反比例函数模型
y＝＋b
k≠0
二次函数模型
一般式：y＝ax2＋bx＋c
顶点式：y＝a2＋
a≠0
知识点二：数学建模
建模示例：1．发现问题，提出问题．
2．分析问题，建立模型．
3．确定参数，计算求解．
4．验证结果，改进模型．
建立函数模型解决实际问题的基本思路
基础自测：
1．某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的关系式为y＝5x＋4
000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（
）
A．200副
B．400副
C．600副
D．800副
解析：利润z＝10x－y＝10x－（5x＋4000）≥0．
解得x≥800．
答案：D
2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图像是（
）
解析：距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C．
答案：C
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（
）
A．45.606万元
B．45.6万元
C．45.56万元
D．45.51万元
解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售（15－x）辆，总利润S＝L1＋L2，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2（15－x）＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15（x－10.2）2＋0.15×10.22＋30（0≤x≤15且x∈N），所以当x＝10时，Smax＝45.6（万元）．
答案：B
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：
y＝
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为________．
解析：令y＝60，
若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1．5x＝60，则x＝40<100，不合题意．
故拟录用人数为25人．
答案：25
二、素养提升
题型一：一次、二次函数模型[经典例题]
例1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值．
解析：设每个提价x元（x≥0，x∈N），利润为y元．
每天销售总额为（10＋x）（100－10x）元，
进货总额＝8（100－10x）元，
显然100－10x>0，即x<10，
则y＝（10＋x）（100－10x）－8（100－10x）
＝（2＋x）（100－10x）
＝－10（x－4）2＋360（0≤x<10，x∈N）．
当x＝4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元．
答：当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元．
可根据实际问题建立二次函数模型解析式．
方法归纳：
1．利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点：
（1）待定系数法是求一次函数解析式的常用方法．
（2）当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数．
2．二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题．
跟踪训练1：某列火车从北京西站开往石家庄，全程277
km．火车出发10
min开出13
km，之后以120
km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求离开北京2
h时火车行驶的路程．
解析：因为火车匀速行驶的总时间为（277－13）÷120＝（h），所以0≤t≤．
因为火车匀速行驶t
h所行驶的路程为120t
km，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为
s＝13＋120t．
离开北京2
h时火车匀速行驶的时间为2－＝（h），此时火车行驶的路程s＝13＋120×＝233（km）．
求出火车匀速行驶的总时间，可得定义域，再建立总路程关于时间的函数模型．
题型二：分段函数[教材P117例1]
例2：为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，上海市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示．
分档
户年用水量/m3
综合用水单价/（元/m3）
第一阶梯
0～220（含）
3.45
第二阶梯
220～300（含）
4.83
第三阶梯
300以上
5.83
记户年用水量为x
m3时应缴纳的水费为f（x）元．
（1）写出f（x）的解析式；
（2）假设居住在上海的张明一家2015年共用水260
m3，则张明一家2015年应缴纳水费多少元？
解析：（1）不难看出，f（x）是一个分段函数，而且：
当0当220f（x）＝220×3.45＋（x－220）×4.83
＝4.83x－303.6；
当x>300时，有
f（x）＝220×3.45＋（300－220）×4.83＋（x－300）×5.83
＝5.83x－603.6．
因此f（x）＝
（2）因为220<260≤300，所以
f（260）＝4.83×260－303.6＝952.2，
因此张明一家2015年应缴纳水费952.2元．
三、教材反思
（1）分段函数是刻画现实问题的重要模型，由自变量变化所遵循规律的不同决定的，函数的分段表示是建模的关键．
（2）若求分段函数值域或最值时，应对分段函数中的每段函数分别求出值域或最值，然后再由各段函数的值域或最值确定本函数的值域或最值．分类讨论思想是本类问题的主要思想方法．
跟踪训练2：为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（日净收入＝一日出租自行车的总收入－管理费用）．
（1）求函数y＝f（x）的解析式及其定义域．
（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多？
解析：（1）当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x>2.3．
因为x∈N
，所以x≥3，所以3≤x≤6，x∈N
．
当x>6时，y＝[50－3（x－6）]x－115．令[50－3（x－6）]x－115>0，得3x2－68x＋115<0．
解得2≤x≤20，又x∈N
，所以6，
故y＝
定义域为{x|3≤x≤20，x∈N
}．
（2）对于y＝50x－115（3≤x≤6，x∈N
），显然当x＝6时，ymax＝185，对于y＝－3x2＋68x－115＝－32＋（6）．当x＝11时，ymax＝270，因为270>185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使日净收入最多．
（1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出分段函数，注意实际问题中自变量的取值范围．
（2）利用一次函数的单调性及二次函数的性质分别求分段函数各段上的最大值，取其最大的即可．
四、课时作业
（一）选择题
1．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f（t）的图像如图所示，则杯子的形状是（
）
解析：从题图中看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，在[0，t1]上升慢，在[t1，t2]上升快，故选A．
答案：A
2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（
）
A．y＝0．3x＋800（0≤x≤2
000，x∈N
）
B．y＝0．3x＋1600（0≤x≤2
000，x∈N
）
C．y＝－0．3x＋800（0≤x≤2
000，x∈N
）
D．y＝－0.3x＋1600（0≤x≤2000，x∈N
）
解析：由题意知，变速车存车数为（2
000－x）辆次，
则总收入y＝0.5x＋（2000－x）×0.8
＝0.5x＋1600－0.8
x
＝－0.3x＋1
600（0≤x≤2000，x∈N
）．
答案：D
3．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
解析：由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为：y＝[8＋2（k－1）][60－3（k－1）]＝－6k2＋108k＋378（1≤k≤10），配方可得y＝－6（k－9）2＋864，∴当k＝9时，获得利润最大．
答案：C
4．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t（时）的函数解析式是（
）
A．x＝60t
B．x＝60t＋50t
C．x＝
D．x＝
解析：显然出发、停留、返回三个过程中行走速度是不同的，故应分三段表示函数，选D．
答案：D
（二）填空题
5．某电脑公司2017年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%．该公司预计2019年经营总收入要达到1690万元，且计划从2017年到2019年，每年经营总收入的年增长率相同，2018年预计经营总收入为________万元．
解析：设年增长率为x，则有×（1＋x）2＝1
690，1＋x＝，因此2018年预计经营总收入为×＝1300（万元）．
答案：1300
6．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝x2＋2x＋20（万元）．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
解析：利润L（x）＝20x－C（x）＝－（x－18）2＋142，当x＝18时，L（x）有最大值．
答案：18
7．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为f（x）＝（A，c为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是____________．
解析：由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60，将c＝60代入＝15得A＝16．
答案：60；16
（三）解答题
8．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图像解决下列问题：
（1）求y与x的函数解析式；
（2）要使该游乐场每天的盈利额超过1000元，每天至少卖出多少张门票？
解析：（1）由图像知，可设y＝kx＋b，x∈[0，200]时，过点（0，－1000）和（200，1000），解得k＝10，b＝－1
000，从而y＝10x－1
000；x∈（200，300]时，过点（200，500）和（300，2
000），解得k＝15，b＝－2
500，从而y＝15x－2
500，
所以y＝
（2）每天的盈利额超过1000元，则x∈（200，300]，由15x－2500>1000得，x>，故每天至少需要卖出234张门票．
9．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
R（x）＝
其中x是仪器的月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数f（x）；
（2）当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？（总收益＝总成本＋利润）
解析：（1）设月产量为x台，则总成本为20
000＋100x，从而
f（x）＝
（2）当0≤x≤400时，
f（x）＝－（x－300）2＋25000．
∴当x＝300时，f（x）的最大值为25000；
当x>400时，
f（x）＝60000－100x是减函数，
f（x）<60000－100×400＝20000<25000．
∴当x＝300时，f（x）的最大值为25000，
即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元．
尖子生题库：
10．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元．
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解析：（1）租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆．
（2）设每辆车的月租金为x元（x≥3
000），租赁公司的月收益为y元，
则y＝x－×50－×150＝－＋162x－21000＝－（x－4050）2＋307050，
当x＝4050时，ymax＝307050．
所以当每辆车的月租金定为4
050元时，租赁公司的月收益最大为307050元．
10
/
10函数的奇偶性
【学习目标】
结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．
【学习重难点】
函数的奇偶性．
【学习过程】
一、自主学习
知识点：偶、奇函数
1．偶函数
一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f（－x）＝f（x），则称y＝f（x）为偶函数．
2．奇函数
一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f（－x）＝－f（x），则称y＝f（x）为奇函数．
3．奇、偶函数的图像特征
（1）奇函数的图像关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
（2）偶函数的图像关于y轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．
基础自测：
1．设f（x）是定义在R上的偶函数，下列结论中正确的是（
）
A．f（－x）＋f（x）＝0
B．f（－x）－f（x）＝0
C．f（x）·f（－x）<0
D．f（0）＝0
解析：由偶函数的定义知f（－x）＝f（x），
所以f（－x）－f（x）＝0，f（－x）＋f（x）＝0不一定成立．
f（－x）·f（x）＝[f（x）]2≥0，
f（0）＝0不一定成立．故选B．
答案：B
2．下列函数为奇函数的是（
）
A．y＝|x|
B．y＝3－x
C．y＝
D．y＝－x2＋14
解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．
答案：C
3．若函数y＝f（x），x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为（
）
A．－2
B．2
C．0
D．不能确定
解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2．
答案：B
4．下列图像表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．（填序号）
解析：（1）（3）关于y轴对称是偶函数，（2）（4）关于原点对称是奇函数．
答案：（2）（4）；（1）（3）
二、素养提升
题型一：函数奇偶性的判断
例1：判断下列函数是否具有奇偶性：
（1）f（x）＝x＋x3＋x5；
（2）f（x）＝x2＋1；
（3）f（x）＝x＋1；
（4）f（x）＝x2，x∈[－1，3]．
解析：（1）因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R．
又因为f（－x）＝（－x）＋（－x）3＋（－x）5＝－（x＋x3＋x5）＝－f（x），
所以函数f（x）＝x＋x3＋x5是奇函数．
（2）因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R．
又因为f（－x）＝（－x）2＋1＝x2＋1＝f（x），
所以函数f（x）＝x2＋1是偶函数．
（3）因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R．
又因为f（－1）＝0，f（1）＝2，所以f（－1）≠f（1）且f（－1）≠－f（1），
因此函数f（－x）＝－x＋1既不是偶函数也不是奇函数．
（4）因为函数的定义域为[－1，3]，而3∈[－1，3]，但－3?[－1，3]，所以函数f（x）＝x2，x∈[－1，3]既不是奇函数也不是偶函数．
三、教材反思
函数奇偶性判断的方法
（1）定义法：
（2）图像法：若函数的图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．
跟踪训练1：判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x2（x2＋2）；
（2）f（x）＝|x＋1|－|x－1|；
（3）f（x）＝；
（4）f（x）＝
解析：（1）∵x∈R，∴－x∈R．
又∵f（－x）＝（－x）2[（－x）2＋2]＝x2（x2＋2）＝f（x），
∴f（x）为偶函数．
（2）∵x∈R，∴－x∈R．
又∵f（－x）＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－（|x＋1|－|x－1|）＝－f（x），
∴f（x）为奇函数．
（3）f（x）的定义域为[－1，0）∪（0，1]．
即有－1≤x≤1且x≠0，
则－1≤－x≤1，且－x≠0，
又∵f（－x）＝＝－＝－f（x），
∴f（x）为奇函数．
（4）f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．
当x>0时，－x<0，f（－x）＝1－（－x）＝1＋x＝f（x）；
当x<0时，－x>0，f（－x）＝1＋（－x）＝1－x＝f（x）．
综上可知，对于x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），都有f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数．
先求函数定义域，再根据函数奇偶性定义判断．
题型二：函数奇偶性的图像特征[经典例题]
例2：设奇函数f（x）的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图像如图，则不等式f（x）<0的解集是________．
解析：由奇函数的性质知，其图像关于原点对称，则f（x）在定义域[－5，5]上的图像如图，由图可知不等式f（x）<0的解集为{x|－2答案：{x|－2根据奇函数的图像关于原点对称作图，再求出f（x）<0的解集．
方法归纳：
根据奇偶函数在原点一侧的图像求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图像的对称性作出函数在定义域另一侧的图像，根据图像特征求解问题．
跟踪训练2：如图，给出了偶函数y＝f（x）的局部图像，试比较f（1）与f（3）的大小．
解析：方法一：因函数f（x）是偶函数，
所以其图像关于y轴对称，补全图如图．
由图像可知f（1）方法二：由图像可知f（－1）又函数y＝f（x）是偶函数，
所以f（－1）＝f（1），f（－3）＝f（3），
故f（1）方法一：是利用偶函数补全图像，再比较f（1）与f（3）的大小；
方法二：f（1）＝f（－1），f（3）＝f（－3），观察图像判断大小．
题型三：利用函数奇偶性求参数
例3：（1）设函数f（x）＝为奇函数，则a＝________；
（2）已知函数f（x）＝是奇函数，则a＝________．
解析：（1）方法一（定义法）：由已知f（－x）＝－f（x），
即＝．
显然x≠0得，x2－（a＋1）x＋a＝x2＋（a＋1）x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1．
方法二（特值法）：由f（x）为奇函数得f（－1）＝－f（1），
即＝，
整理得a＝－1．
（2）（特值法）：由f（x）为奇函数，得f（－1）＝－f（1），
即a×（－1）2＋（－1）＝－（－12＋1），
整理得a－1＝0，解得a＝1．
答案：（1）－1；（2）1
利用定义法求a，也可利用特值法f（－1）＝－f（1）．
方法归纳：
由函数的奇偶性求参数应注意两点
（1）函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．
（2）利用常见函数如一次函数，反比例函数，二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数．
跟踪训练3：（1）若函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2，2a]，则a＝________，b＝________；
（2）已知函数f（x）＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________．
解析：（1）由f（x）为偶函数知，其定义域关于原点对称，
故有a－2＋2a＝0，解得a＝．
又f（x）为偶函数，所以其图像关于y轴对称，
即－＝0，解得b＝0．
（2）由f（x）为奇函数得f（－x）＝－f（x），即f（－x）＋f（x）＝0，
所以a（－x）2＋2（－x）＋ax2＋2x＝0．
即2ax2＝0，所以a＝0．
答案：（1）；0；（2）0
（1）函数具有奇偶性，定义域必须关于（0，0）对称．
（2）f（0）＝0？
题型四：函数的奇偶性和单调性的综合应用[经典例题]
例4：已知奇函数y＝f（x），x∈（－1，1），在（－1，1）上是减函数，解不等式f（1－x）＋f（1－3x）<0．
解析：∵y＝f（x），x∈（－1，1）是奇函数，
∴f（－x）＝－f（x），
∴f（1－x）＋f（1－3x）<0可化为f（1－x）<－f（1－3x），
即f（1－x）又∵y＝f（x）在（－1，1）上是减函数，
∴f（1－x）∴01．由奇函数得f（－x）＝－f（x）．
2．函数单调递减，若f（x1）x2．
3．定义域易忽略．
方法归纳：
1．函数奇偶性和单调性的关系
（1）若f（x）是奇函数，且f（x）在[a，b]上是单调函数，则f（x）在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．
（2）若f（x）是偶函数，且f（x）在[a，b]上是单调函数，则f（x）在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．
2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法
（1）充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f（x1）>f（x2）或f（x1）”求解．
（2）在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．
跟踪训练4：（1）已知函数y＝f（x）在定义域[－1，1]上是奇函数，又是减函数，若f（1－a2）＋f（1－a）<0，求实数a的取值范围．
（2）定义在[－2，2]上的偶函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1－m）解析：（1）由f（1－a2）＋f（1－a）<0，得f（1－a2）<－f（1－a）．
∵y＝f（x）在[－1，1]上是奇函数，∴－f（1－a）＝f（a－1），∴f（1－a2）又f（x）在[－1，1]上单调递减，
∴解得
∴0≤a<1．∴a的取值范围是[0，1）．
（2）∵函数f（x）是偶函数，∴f（x）＝f（|x|）．
∴f（1－m）＝f（|1－m|），f（m）＝f（|m|）．
∴原不等式等价于解得－1≤m<．
∴实数m的取值范围是．
（1）可利用奇偶性把所给的关系式转化为两个函数值的大小关系，再利用单调性转化为自变量的关系．
（2）两个自变量1－m，m不一定属于同一单调区间，可考虑用绝对值表示来处理．
四、课时作业
（一）选择题
1．下列函数是偶函数的是（
）
A．y＝2x2－3
B．y＝x3
C．y＝x2，x∈[0，1]
D．y＝x
解析：对于A，f（－x）＝2（－x）2－3＝2x2－3＝f（x），∴f（x）是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A．
答案：A
2．函数f（x）＝－x的图像（
）
A．关于y轴对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称
D．关于直线y＝－x对称
解析：∵f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，且f（－x）＝－－（－x）＝x－＝－f（x），∴f（x）是奇函数，图像关于原点对称．
答案：C
3．如图，给出奇函数y＝f（x）的局部图像，则f（－2）＋f（－1）的值为（
）
A．－2
B．2
C．1
D．0
解析：由图知f（1）＝，f（2）＝，
又f（x）为奇函数，所以f（－2）＋f（－1）＝－f（2）－f（1）＝－－＝－2．故选A．
答案：A
4．已知f（x）＝ax3＋bx＋1（ab≠0），若f（2019）＝k，则f（－2019）＝（
）
A．k
B．－k
C．1－k
D．2－k
解析：∵f（2019）＝a·20193＋b·2019＋1＝k，∴a·20193＋b·2019＝k－1，则f（－2019）＝a（－2019）3＋b·（－2019）＋1＝－[a·20193＋b·2019]＋1＝2－k．
答案：D
（二）填空题
5．已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．
解析：∵f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，
∴a－1＋2a＝0，∴a＝．又f（－x）＝f（x），
∴b＝0，∴a＋b＝．
答案：
6．已知y＝f（x）是奇函数，当x<0时，f（x）＝x2＋ax，且f（3）＝6，则a的值为________．
解析：因为f（x）是奇函数，所以f（－3）＝－f（3）＝－6，所以（－3）2＋a（－3）＝－6，解得a＝5．
答案：5
7．定义在R上的奇函数y＝f（x）在（0，＋∞）上递增，且f＝0，则满足f（x）>0的x的集合为____________．
解析：由奇函数y＝f（x）在（0，＋∞）上递增，且f＝0，得函数y＝f（x）在（－∞，0）上递增，且f＝0，∴x>或－答案：
（三）解答题
8．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝；
（2）f（x）＝x2－x3；
（3）f（x）＝|x－2|－|x＋2|；
（4）f（x）＝x2＋（x≠0，a∈R）．
解析：（1）∵函数f（x）＝的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
（2）f（x）的定义域为R，是关于原点对称的．
∵f（－x）＝（－x）2－（－x）3＝x2＋x3，又－f（x）＝－x2＋x3，
∴f（－x）既不等于f（x），也不等于－f（x）．
故f（x）＝x2－x3既不是奇函数也不是偶函数．
（3）方法一（定义法）：函数f（x）＝|x－2|－|x＋2|的定义域为R，关于原点对称．
∵f（－x）＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－（|x－2|－|x＋2|）＝－f（x），∴函数f（x）＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．
方法二（根据图像进行判断）：
f（x）＝|x－2|－|x＋2|＝
画出图像如图所示，图像关于原点对称，因此函数f（x）是奇函数．
（4）当a＝0时，f（x）＝x2为偶函数．
当a≠0时，f（x）＝x2＋（x≠0），取x＝±1，得f（－1）＋f（1）＝2≠0，f（－1）－f（1）＝－2a≠0，即f（－1）≠－f（1），f（－1）≠f（1），∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
综上所述，当a∈R且a≠0时，函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，函数f（x）为偶函数．
9．已知函数f（x）＝1－．
（1）若g（x）＝f（x）－a为奇函数，求a的值；
（2）试判断f（x）在（0，＋∞）内的单调性，并用定义证明．
解析：（1）由已知g（x）＝f（x）－a得，
g（x）＝1－a－，
∵g（x）是奇函数，∴g（－x）＝－g（x），
即1－a－＝－，
解得a＝1．
（2）函数f（x）在（0，＋∞）内为增函数．
证明如下：
设0＝1－－＝
∵00，
从而<0，即f（x1）∴函数f（x）在（0，＋∞）内是增函数．
尖子生题库：
10．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝x2－2x．
（1）求出函数f（x）在R上的解析式；
（2）画出函数f（x）的图像．
解析：（1）①由于函数f（x）是定义域为R的奇函数，
则f（0）＝0；
②当x<0时，－x>0，∵f（x）是奇函数，
∴f（－x）＝－f（x），
∴f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）2－2（－x）]＝－x2－2x，
综上，f（x）＝
（2）图像如图：
12
/
12数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点
【教学目标】
【核心素养】
1．理解几种常见函数模型的概念及性质．（难点）
2．会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．（重点、难点）
1．通过几种函数模型的学习，培养数学抽象的素养．
2．理解几种函数模型的应用，培养数学建模的素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题就是数学建模．
2．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题．
二、初试身手
1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是（
）
A．分段函数
B．一次函数
C．二次函数
D．反函数
答案：A
解析：根据图像知，在不同的时间段内，行驶路程关于时间变化的图像不同，故对应函数模型应为分段函数．
2．在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，则x与y的函数关系式为（
）
A．y＝·x
B．y＝·x
C．y＝·x
D．y＝·x
答案：B
解析：据题意有＝c%，
所以＝c，即ax＋by＝cx＋cy，
所以（b－c）y＝（c－a）x，所以y＝·x．
3．某车主每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油的情况：
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（公里）
2017年11月16日
12
32000
2017年11月21日
48
32600
（注：“累计里程”是汽车出厂后行驶的总路程）
则16日－21日这段时间内汽车每百公里的平均油耗为（
）
A．6升
B．8升
C．10升
D．12升
答案：B
解析：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6＝8（升），故选B．
4．某家具的标价为132元，若降价以九折出售
（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是________元．
答案：108
解析：设进货价为a元，由题意知132×（1－10%）－a＝10%·a，解得a＝108
三、合作探究
类型：数学建模—建立函数模型解决实际问题
例：某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
（1）分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；
（2）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
解：（1）设两类产品的收益与投资的函数分别为f（x）＝k1x，g（x）＝k2．
由已知得f（1）＝＝k1，g（1）＝＝k2，
所以f（x）＝x（x≥0），g（x）＝（x≥0）．
（2）设投资债券类产品为x万元，则投资股票类产品为（20－x）万元，依题意得
y＝f（x）＋g（20－x）＝x＋（0≤x≤20）．
令t＝（0≤t≤2），
则y＝＋t＝－（t－2）2＋3，
所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，即投资债券16万元，投资股票4万元时获得最大收益，最大收益为3万元．
规律方法
解决此类问题过程：如下图所示．
跟踪训练
某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现，此商品的销售单价x（元）与日销售量y件之间有如下关系（见下表）：
销售单价x（元）
…
30
40
45
50
…
日销售量y（件）
…
60
30
15
0
…
（1）在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对（x，y）对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f（x）；
（2）设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
解：（1）根据题干中所给表作图，如图，点（30，60）、（40，30）、（45，15）、（50，0）在同一条直线上，设此直线为y＝kx＋b，
∴解得
∴y＝－3x＋150（x∈N）．
经检验，点（30，60）、（40，30）也在此直线上，故所求函数关系式为y＝－3x＋150（x∈N）．
（2）依题意有P＝y（x－30）＝（－3x＋150）（x－30）
＝－3（x－40）2＋300，
∴当x＝40时，P有最大值300．
故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
四、当堂达标
1．某产品的利润y（元）关于产量x（件）的函数关系式为y＝3x＋4，则当产量为4时，利润y等于（
）
A．4元
B．16元
C．85元
D．不确定
答案：B
解析：当x＝4时，y＝12＋4＝16．
2．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t（时）的函数表达式是（
）
A．x＝60t＋50t（0≤t≤6.5）
B．x＝
C．x＝
D．x＝
答案：D
解析：根据题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可．
3．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为
f（x）＝（A，c为常数）．
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________，．
答案：60，16
解析：因为组装第A件产品用时15分钟，
所以＝15，
①
所以必有4＜A，且＝＝30，
②
联立①②解得c＝60，A＝16．
4．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，提供了两个方面的信息，如图．
甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只．
乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息说明：
（1）第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；
（2）第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；
（3）第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？
解：（1）由题图可知，直线y甲＝kx＋b经过（1，1）和（6，2），可求得k＝0．2，b＝0．8．
∴y甲＝0．2（x＋4）．
同理可得y乙＝4．
当x＝2时，y甲＝1．2，y乙＝26，
故第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1．2＝31．2（万只）．
（2）规模缩小了．原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．
（3）设第x年规模最大，即求y甲·y乙＝0．2（x＋4）·4－x＋＝－0．8x2＋3．6x＋27．2的最大值．
函数图像的对称轴为x＝－＝2，
因为x∈N＋，∴当x＝2时，y甲·y乙＝31．2，
即第二年规模最大，为31．2万只．
6
/
6