集合的概念与表示
【教学分析】
集合知识是整个高中学习的基础，本节主要让学生理解集合的含义，了解常用数集，掌握集合与集合中元素的相关概念，集合的元素特征，及集合的表示方法等。通过学习集合知识，可以使学生更好的理解数学中的集合语言，可以使学生逐步运用集合的观点和思想分析数学问题。
【教学目标】
理解集合定义，了解元素特性及元素与集合的关系，熟记不同数集的符号，掌握集合的表示方法。
【核心素养】
数学抽象：集合含义。
逻辑推理：选择集合不同语言形式描述具体问题。
数学运算：根据集合与元素之间的关系求值。
直观想象：在理解集合含义及特征的过程中，运用元素分析集合问题，提高学生分析问题和解决的能力。
数学建模：从实例理解集合的含义过程中，提高语言转换和抽象概括能力，树立用集合语言表示数学内容的意识。
【教学重点】
集合的含义与表示方法。
【教学难点】
运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单集合。
【课前准备】
PPT
【教学过程】
一、新课引入
军训前学校通知：9月1日8点，高一年级在操场集合进行军训，试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体。
二、创设问题
我们高一5班一共60人，其中体育委员王肖，现有以下问题：
1．我班的60人能否组成一个整体？
2．王肖和60人所组成的班集体是什么关系？
3．假设刘鹏飞是相邻班的学生，问他与我班是什么关系？
4．学生活动：学生回答：
（1）60个人能成为一个集体。
（2）王肖属于这个班集体。
（3）刘鹏飞不属于这个班集体。
三、集合的有关概念
1．集合的概念：一般地，我们把指定对象的全体称为集合，通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母,,,…表示．
2．集合与元素的关系
（1）如果是集合A的元素，就说属于A，记作：；
（2）如果不是集合A的元素，就说不属于A，记作：，
【课堂练习】
用符号“”或“”填空：
（1）______，0.5______，3______；
（2）1.5______，______，3______；
（3）______，______，7.21______；
（4）1．5______，______，______
3．元素的特征
探究1．指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
（1）我班全体学生；
（2）我国的直辖市；
（3）我们班高个子男生；
（4）大于200的数。
4．学生活动：学生回答：
（1）可以，全体学生
（2）可以构成集合，元素是直辖市；
（3）有的说可以，有的说不可以；
（4）可以，大于200的数。
5．教师总结
（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．
（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关．
四、集合的分类
由有限个元素组成的集合叫做有限集．由无限个元素组成的集合叫做无限集．
由数组成的集合叫做数集．所有自然数组成的集合叫做自然数集，记作．
所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+或N
．
所有整数组成的集合叫做整数集，记作．
所有有理数组成的集合叫做有理数集，记作．
所有实数组成的集合叫做实数集，记作．
不含任何元素的集合叫做空集，记作
五、集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法
（1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来，一般可将集合表示为
例如：20以内的所有素数组成的集合C用列举法可表示为
注：用列举法表示集合时，元素排列的顺序可以不同，例如：,这些都是同一集合
例1：用列举法表示下列集合
（1）由大于3且小于10的所有整数组成的集合
（2）方程的所有实数解组成的集合
答案：（1）
（2）
课堂练习
1．用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程的所有实数根组成的集合；
（3）由1～20以内的所有质数组成的集合。
解答：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么．
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举法．例如：。
（2）设方程的所有实数根组成的集合为B，那么．
（3）设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么。
（2）描述法：通过描述元素满足的条件表示集合的方法称为描述法。具体方法是：{及的范围|满足的条件}
例2：用描述法表示下列集合
（1）小于10的所有有理数组成集合A
（2）所有奇数组成集合B
（3）平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成集合C
答案：
课堂练习
2．用描述法表示下列集合：
①；②
答案：①②
六、集合与区间的关系
【教学反思】
“问题是数学的心脏”。一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象，感性到理性的过程。本节教案通过一个现实生活中的具体实例引入集合，进而又通过若干集合进一步加以诱导剖析，最终形成概念。
集合的表示法教学中的难点，为此，我们以实例出发引起学生的注意。再由特殊到一般，由师生一起讨论出如何更适当的表示出集合。着重培养学生的思维能力，学习数学概念和数学性质的方法和能力，提高学生学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，形成积极进取、勇于探索、不断创新的品格，提高学生的综合素质。让学生亲身经历这两个过程是教师主导作用的体现，也是实现上述设计意图的根本保证。于是，本课的教学方法主要以探索发现法为主，教师努力创造平等、民主、热烈、务实、高效的氛围，实现教学目标。
4/5集合的概念与表示
【学习目标】
1．理解集合的含义，知道常用数集及其记法．
2．了解“属于”关系的意义．理解集合相等的含义．
3．了解有限集、无限集，空集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合．
【学习重点】
集合的含义与表示方法；
【学习难点】
运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单集合。
【学习过程】
一、自主学习
1．集合的概念：
2．集合与元素的关系
3．集合中元素的特征
4．常用数集的符号
5．集合的表示方法
二、例题探究
例1：用列举法表示下列集合
（1）由大于3且小于10的所有整数组成的集合
（2）方程的所有实数解组成的集合
例2：用描述法表示下列集合
（1）小于10的所有有理数组成集合A
（2）所有奇数组成集合B
（3）平面内，到定点O的距离等于定长r的所有点组成集合C
答案：例1（1）
（2）
例2（1）
（2）
（3）
习题练习：用列举法把下列集合表示出来：
①
②
③；
④；
⑤
答案：①由可知，取，1，2，3，4，5，6，7，8验证，则，6，8时，
，3，9也是自然数，
②由①知，．
③，而，，
，1，2时，，5，2符合题意．
．
④点满足条件，，，则有
．
⑤由，，得
又，
【课后巩固】
1．设集合A只含有一个元素，则下列各式正确的是( )
A．
B．
C．
D．
答案：C
2．设，且，则的值可能是( )
A．0
B．1
C．
D．0或1
答案：B
3．下面四个关系式：，，，，其中正确的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
答案：A
4．集合的另一种表示方法是( )
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
答案：C
5．集合，是( )
A．第一象限内的点集
B．第三象限内的点集
C．第四象限内的点集
D．第二、四象限内的点集
答案：D
6．已知集合中的三个元素可构成某一三角形的三边长，那么此三角形一定不是( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
答案：D
7．点和集合之间的关系是____________．
答案：
8．用列举法表示集合为____________．
答案：{(0,3)，(1,2)，(2,1)}
9．若，，用列举法表示集合____________．
答案：{4,9,16}
10．“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，小女三日一归，问三女何时相会”．(选自《孙子算经》)，请将三女前三次相会的天数用集合表示出来．
答案：女相会的日数，即为5,4,3的公倍数，它们的最小公倍数为60，因此三女前三次相会的天数用集合表示为{60,120,180}．
4/4集合的基本关系
【教材分析】
集合的基本关系是继上一节集合的基本概念之后的又一个基本知识，集合之间的关系是包含与被包含的包含关系，元素与集合是属于与不属于的从属关系，在言语表达和符号书写时，要求要准确、简洁，它是高中数学的基本符号语言，为下一节集合的运算奠定基础，同时对于学生养成简洁、准确的数学语言，良好的思维习惯和规范的书写习惯等都非常重要。
【教学目标】
1．知识目标：
掌握子集、真子集的含义及其符号表示，准确使用“包含”“包含于”等语言表述和“、、、、”等符号表示；掌握集合相等的含义；能使用图表示集合间的包含关系，熟练写出一个集合的子集和真子集。
2．核心素养目标：
灵活运用集合的符号语言表示有关数学对象，读懂、会用抽象的数学符号（数学语言）进行数学表达，提升学生的数学抽象能力和概括能力，同时培养学生良好的思维习惯和规范的书写习惯。
【教学重难点】
1．集合与集合的关系，子集、真子集的概念；
2．熟练使用“、、、、”等符号表示集合间的关系，以及用图表示集合间的关系；掌握空集是任何集合的子集，熟练写出一个集合的所有子集，了解一个集合的子集个数的计算；
3．数学语言和符号表示的规范性和准确性。
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、知识的引入
1．思考讨论：
问题1：某学校高一（1）班全体35位同学组成集合，其中女同学组成集合：
若，则与集合是什么关系？
问题2：用表示所有矩形组成的集合，表示所有平行四边形组成的集合:
若，则与集合是什么关系？
问题3：所有有理数都是实数，则有：
若，则
试问以上问题所涉及到的两个集合之间有什么关系？
二、新知识
1．子集的概念
一般地，对于两个集合与，如果集合中的任何一个元素都属于集合，即若，则，那么称集合是集合的子集。
符号表示：（或）
读作：集合包含于集合（或集合包含集合）
如上面问题1“女生集合包含于班级集合”，记作。
注意：①概念中的关键词“任何一个元素”，相当于“所有元素”；
②元素与集合的关系是“属于”或“不属于”的从属关系，集合与集合的关系是“包含”或“不包含”的包含关系；
③符号“”的开口方向的集合要“大”一些。
2．子集的相关结论
（1）任何一个集合都是它本身的子集，即；
（2）空集是任何集合的子集，即；
（3）集合是集合的子集，即，可以用图表示，如图：
3．集合的相等
对于两个集合与，如果集合是集合的子集，并且集合是集合的子集，那么称集合与集合相等。
记作：
注意：①两个集合、，如果，且，则，
类比:两个实数、，如果，且，则；
②两个集合相等，则两个集合所含的元素完全相同。
4．真子集的概念
对于两个集合与，如果，并且，那么称集合是集合的真子集。记作：（或）
读作：集合真包含于集合（或集合真包含集合）
注意：①集合是集合的真子集，说明集合中的元素都属于，但集合中存在元素不属于集合；
②空集是任何非空集合的真子集；
③任何一个集合至少有两个子集：空集和它本身。如：
，
常见的几个数集
例3：某造纸厂生产练习本用纸，在纸的密度和厚度都合格时，该产品才合格，若用表示练习本用纸合格的产品组成的集合，表示纸的密度合格的产品组成的集合，表示纸的厚度合格的产品组成的集合，则下列包含关系哪些成立？
，，，
试用Venn图表示这三个集合的关系。
解：由题意知，，成立，它们的关系可用Venn图表示如下：
例4：写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。
解：由子集的定义知，集合的子集的元素个数最少为0个，最多为3个，由少到多依次写出它的子集，得
，，，，，，，
上述8个子集，其中除了以外，其余7个都是它的真子集。
如果集合含有个元素，那么它的子集个数为个。
思考讨论：
（1）你能说出集合与集合的关系吗？
（2）集合，非空集合满足：，并且任意都有，这样的集合有多少个，请写出来？
提示：（1）
（2）满足条件的非空集合有7个，依次为、、、、、、。
三、课题练习
教材P7，练习1、2、3、4。
四、作业布置
教材P12，习题1-1，5。
补充作业：已知集合满足：，写出所有满足条件的集合。
解析：集合至少含有元素0和1，另外不能同时含有元素，所以满足条件的集合依次为、、、、、、、共7个。
【教学反思】
本节课内容不多，难度也不大，教学中务必提高学生数学语言的准确性和书写的规范性要求，比如元素与集合之间在叙述时只能是“属于”或“不属于”，而集合之间只能是“包含”或“不包含”等，同时注意培养思考的周密性和运算的准确性。
5/5集合的基本关系
【学习目标】
1．掌握子集、真子集的含义及其符号表示，准确使用“包含”“包含于”等语言表述和“、、、、”等符号表示；
2．掌握集合相等的含义；
3．能使用图表示集合间的包含关系，熟练写出一个集合的子集和真子集。
【学习重难点】
1．集合与集合的关系，子集、真子集的概念；
2．熟练使用“、、、、”等符号表示集合间的关系，以及用图表示集合间的关系；掌握空集是任何集合的子集，熟练写出一个集合的所有子集，了解一个集合的子集个数的计算；
3．数学语言和符号表示的规范性和准确性。
【学习过程】
思考讨论：
问题1：某学校高一（1）班全体35位同学组成集合，其中女同学组成集合：
若，则与集合是什么关系？
问题2：用表示所有矩形组成的集合，表示所有平行四边形组成的集合:
若，则与集合是什么关系？
问题3：所有有理数都是实数，则有：
若，则_____
试问以上问题所涉及到的两个集合之间有什么关系？
1．子集的概念
一般地，对于两个集合与，如果集合中的都属于集合，即若，则，那么称集合是集合的子集。
符号表示：(或)
读作：集合包含于集合（或集合包含集合）
如上面问题1“女生集合包含于班级集合”，记作。
注意：①概念中的关键词“任何一个元素”，相当于“所有元素”；
②元素与集合的关系是“属于”或“不属于”的从属关系，集合与集合的关系是“包含”或“不包含”的包含关系；
③符号“”的开口方向的集合要“大”一些。
2．子集的相关结论
（1）任何一个集合都是它本身的子集，即；
（2）空集是任何集合的子集，即；
（3）集合是集合的子集，即，可以用Venn图表示，如图：
3．集合的相等
对于两个集合与，如果集合是集合的子集，并且集合是集合的子集，那么称集合与集合相等。
记作：
注意：①两个集合、，如果，且，则，
类比:两个实数、，如果，且，则；
②两个集合相等，则两个集合所含的元素。
4．真子集的概念
对于两个集合与，如果，并且，那么称集合是集合的真子集。
记作：(或)
读作：集合真包含于集合（或集合真包含集合）
注意：①集合是集合的真子集，说明集合中的元素都属于，但集合中存在元素不属于集合；
②空集是任何非空集合的真子集；
③任何一个集合至少有两个子集：空集和它本身。
如：
常见的几个数集
例3：某造纸厂生产练习本用纸，在纸的密度和厚度都合格时，该产品才合格，若用表示练习本用纸合格的产品组成的集合，表示纸的密度合格的产品组成的集合，表示纸的厚度合格的产品组成的集合，则下列包含关系哪些成立？
试用Venn图表示这三个集合的关系。
例4：写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。
如果集合含有个元素，那么它的子集个数为个。
【课后巩固】
（1）你能说出集合与集合的关系吗？
（2）集合，非空集合满足：，并且任意都有，这样的集合有多少个，请写出来？
教材P7，练习1、2、3、4。
教材P12，习题1-1，5。
补充作业：已知集合满足：，写出所有满足条件的集合。
【反思小结】
本节课内容不多，难度也不大，教学中务必提高学生数学语言的准确性和书写的规范性要求，比如元素与集合之间在叙述时只能是“属于”或“不属于”，而集合之间只能是“包含”或“不包含”等，同时注意培养思考的周密性和运算的准确性。
2/3集合的基本运算
【教学分析】
本节内容从学生熟悉的集合出发，结合实例，通过类比的方法，引入集合间交并运算，同时，结合相关内容介绍子集，引入全集，补集等概念．本节内容重点体现了知识间的逻辑思考的方法，如类比等．以及如何利用图形（Venn图）的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用直观图进行求补集的运算．
【教学目标】
1．理解两个集合并集与交集的含义，会求两个简单集合并集与交集．
2．能用Venn图表示集合间的运算，体会直观图对理解抽象概念的作用．
3．理解全集，补集的概念，掌握求某集合补集的方法．
【核心素养】
1．数学抽象：集合交集，并集的概念．
2．逻辑推理：本节内容依照集合前两节的内容，引出本节知识点，不仅体现的数学知识点的连贯性，也体现数学知识的逻辑性．
3．数学运算：会求两集合的交集，并集，补集．
4．直观想象：在理解集合的基本运算过程中，培养学生逻辑思维，以及了解类比方法；通过利用直观图示对理解抽象概念的作用，培养学生数形结合的思想．
5．数学建模：在集合的基本运算的学习过程中，体验数学的类比思想和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．
【教学重难点】
教学重点：让学生掌握求集合间的并集、交集、补集以及利用韦恩图与数轴进行交并的运算．
教学难点：弄清并集、交集，补集的概念，符号之间的区别与联系．
【课前准备】
PPT
【教学过程】
一、关于交集的理解
实例分析：
1．设集合，，，则集合是由集合与集合的所有公共元素组成的．
2．设集合，，，则集合F是由集合D与集合E的所有公共元素组成的(如图1-7)．
图1-7
交集的概念：
一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合与的交集，记作A∩B，读作“A交B”，即
可用Venn图(如图1-8)表示．
根据交集的定义，对于任何集合A，B，有
，，，，
例1求下列每一组中两个集合的交集：
（1），；
（2），D={x|x是直角三角形}．
解：（1）因为是不大于10的正奇数，是12的正因数，所以；
（2）依题意知是等腰三角形是直角三角形是等腰直角三角形．
二、关于并集的理解
实例分析
1．设集合，，，则集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的．
2．设集合，，，则集合F是由所有属于集合D或属于集合E的元素组成的．
并集的概念：
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作AB，读作“A并B”，即
可用Venn图(如图1-9)表示．
根据并集的定义，对于任何集合A，B，有，，，，．
例2已知集合，，求，．
解在数轴上表示出集合A，B(如图1-10)，则
全集与补集概念
在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示．全集包含所要研究的这些集合．
设U是全集，A是U的一个子集（即)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集(或余集)，记作，即，可用Venn图(如图1-11)表示．
图1-11
例如，设全(U为R，则无理数集是有理数(Q的补集，可以表示为．
由补集的定义，对任何集合A，有，，．
例3设全集，，，求，．
解
依题意知，因为，，所以，．
例4设全，，求：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
解：（1）在数轴上表示出集合A，B(如图1-12)，则，所以
（2）由图1-12可知，所以，
（3）在数轴上表示出集合CrA，CrB(如图1-13)，即，，所以
3．知识探讨：判断下列等式是否成立
（1）
（2）
（3）
（4）
4．集合基本运算综合题型
（1）集合基本运算的实际应用
例：经统计知，某村有电话的家庭有35家，有农用三轮车的家庭有65家，既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为 80 ．
解析：解：根据某村有电话的家庭有35家，有农用三轮车的家庭有65家，既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，画出韦恩图，
结合图形知，电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为．
故答案为：80．
总结：本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、集合的包含关系判断及应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．
课堂练习：某学校先后举办了多个学科的课余活动．已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，15名同学同时参加了数学、物理两个学科的活动，则这个班有多少名同学既没有参加数学活动，也没有参加物理活动？
（2）利用集合基本运算求解集合中的参数问题
例：已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
解析：解：（1）时，；
；
（2）；
；
解得；
实数的取值范围为．
课堂练习：已知集合，，若，求实数的取值范围．
【教学反思】
本节内容知识讲解中，主要依照集合前两节的内容，引出本节知识点，在教学知识讲解中，不仅体现的数学知识点的连贯性，也体现数学知识的逻辑性；在整节内容中，运用类比的方法和图像法（Venn图），抽象的概括了交集，并集，补集的概念，从而引导学生更好的理解集合之间的关系。
7/7集合的基本运算
【学习目标】
1．了解交集，并集，补集的概念。
2．掌握交集，并集，补集的基本运算。
【学习重点】
让学生掌握求集合间的并集、交集，补集以及利用韦恩图与数轴进行交并的运算。
【学习难点】
弄清并集、交集，补集的概念，符号之间的区别与联系。
【学习过程】
1．既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的________，记作：______________。
2．所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的____________，记作：____________。
3．某个给定集合的子集，这个______________叫作全集，常用符号U表示．设U是全集，A是U的一个子集（即），则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的______________，记作，______________。
4．判断下列集合的关系
（1）______，______，______，______，______．
（2）______，________，_______，_______，_______．
（3）_______，______，_______．
自主探究
1．利用Venn图分析集合之间的关系
（1）如图中阴影部分表示的集合是（
）
A．
B．
C．
D．
（2）设全集，，，则图中阴影充分表示的集合为．
（3）本题缺图：用集合A、B、C表示图形中的阴影部分．
2．根据集合的基本运算关系，求参数值或范围
（4）已知集合，，分别根据下列条件求实数的取值范围．
（1）；
（2）．
（5）已知集合，，若，求实数的取值范围．
课后巩固
1．设全集U和集合A、B、P满足，，则A与P的关系是（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知全集，，，且，则实数的取值范围是（
）
A．或
B．
C．
D．
3．设集合，集合，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．有关集合的性质：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
其中正确的个数有（
）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
5．如图，阴影部分所表示的集合为________．
6．经统计知，某村有电话的家庭有35家，有农用三轮车的家庭有65家，既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为________．
7．，若，，则的取值范围________．
8．学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？
9．已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
10．已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若集合B是集合A的子集，求实数的取值范围．
【答案与解析】
（1）A
（2）{1，2，3，4，5}
（3））
（4）解：（1），
或
，，，或
，，，或，
．
（2）①，，且，，且，没有解；
②，，且，且，
③时，，即为也成立，
或．
（5）解：，，
由，得，
解得．
实数的取值范围是．
【课后巩固】
（1）B
（2）C
（3）B
（4）D
（5）
（6）80
（7）．
（8）解：根据题意，设参加赛跑项目为集合A，参加跳跃项目为集合B，
可得，，，
所以，
所以两项都参加的有5人．
（9）解：（1）时，；
；
（2）；
解得；
实数的取值范围为．
（10）解：（1）时，；
；
（2）；
①时，；
；
②时，，此不等式组无解；
的取值范围是．
5/5必要条件和充分条件
【教材分析】
常用逻辑用语是逻辑思维的基本语言，是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具．本节的内容包括必要条件、充分条件、充要条件，通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．
【教学目标】
1．理解必要条件，充分条件，充要条件的概念．
2．能够判断命题之间的充分必要关系．
【核心素养】
1．数学抽象：必要条件，充分条件，充要条件概念抽象概括．
2．逻辑推理：本节内容依初中所学的定理，研究条件和结论的关系，引出本节知识点，从而体现数学知识的连贯性和逻辑性．
3．数学运算：判断命题之间的充分必要关系；利用充分必要关系求参数．
直观想象：讲解本节知识，利用初中所学过的定理，分析它们条件与结论的关系，从而引出抽象概述了充分，必要的概念，这种教学方式让学生更能直接的理解一个命题中，条件与结论的关系．
5．数学建模：常用逻辑用语是逻辑思维的基本语言，是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具．培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．
【教学重点】
充分条件、必要条件的概念．
【教学难点】
判断命题的充分条件、必要条件。
【课前准备】
PPT
【教学过程】
一、必要条件与性质定理
（1）知识引入
定理1菱形的对角线互相垂直，即如果四边形为菱形，那么这个四边形的对角线互相垂直．
定理1是菱形的性质定理，即对角线互相垂直是菱形必有的性质．也就是说，如果能确定四边形为菱形，那么一定可以得出这个四边形的对角线互相垂直，而一旦某个四边形的对角线不互相垂直，那么这个四边形一定不是菱形．
思考交流：试用上面的方法分析定理2，定理3
定理2如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
定理3如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等．
（2）必要条件的概述：
一般地，当命题“若，则”是真命题时，称是的必要条件．也就是说，一旦不成立，一定也不成立，即对于的成立是必要的．
例如，在定理1中，“四边形的对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件．
例1：将下面的性质定理写成“若则”的形式，并用必要条件的语言表述：
（1）平面四边形的外角和是；
（2）在平面直角坐标系中，关于（轴对称的两个点的横坐标相同．
解（1）“平面四边形的外角和是”可表述为“若平面多边形为四边形，则它的外角和为”，所以“外角和为”是“平面多边形为四边形”的必要条件；
（2）“在平面直角坐标系中，关于（轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为“若平面直角坐标系中的两个点关于（轴对称，则这两个点的横坐标相同”，所以“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于（轴对称”的必要条件．
二、充分条件与性质判断
（1）知识引入
定理4若，，则．
定理4是说：如果满足了条件，”，一定有结论，但要注意，使得的条件不唯一，例如，由，，也可以判定．实际上，定理4告诉我们：只要有了，这个条件，就可以判定．
思考交流：试用上面的方法分析定理5，定理6
定理5对角线互相平分的四边形是平行四边形．
定理6平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似．
充分条件概述
一般地，当命题“若则”是真命题时，称是的充分条件．
综上，对于真命题“若，则”，即时，称是的必要条件，也称是的充分条件
例2：用充分条件的语言表述下面的命题：
（1）若，则
（2）若点C是线段AB的中点，则
（3）当时，一元二次方程有两个不相等的实数根．
解（1）“”是“”的充分条件；
（4）“点C是线段AB的中点”是“的充分条件；
（5）“”是“一元二次方程有两个不相等的实数根”的充分条件．
三、充要条件
（1）知识引入
勾股定理如果一个三角形为直角三角形，那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方．
勾股定理的逆定理如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（2）在勾股定理中，“两直角边的平方和等于斜边的平方”是“三角形为直角三角形”的必要条件；“三角形为直角三角形”是“两直角边的平方和等于斜边的平方”的充分条件．
（3）在勾股定理的逆定理中，“三角形是直角三角形”是“三角形的两边的平方和等于第三边的平方”的必要条件；“三角形的两边的平方和等于第三边的平方”是“三角形为直角三角形”的充分条件．
充分必要条件概述：
一般地，如果，且．那么称是的充分且必要条件，简称是的充要条件，记作．
当是的充要条件时，也是的充要条件．
是的充要条件也常常说成成立当且仅当成立”，或“与等价”．
例3在下列各题中，试判断是的什么条件．
（1）
（2）
（3）：四边形的对角线相等，：四边形是平行四边形．
解（1）因为命题“若，则，为真命题，并且“若，则，也为真命题，所以是的充要条件；
（2）因为””“”但是“”不能推出“”，例如，“”，而“1不等于”，所以是的充分条件，但不是必要条件；
（3）因为“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”，并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”，所以既不是的充分条件，也不是的必要条件．
四、知识题型讲解
例：判断下列充分必要条件
（1）设，为正数，则“”，是“”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：，为正数且，
，
，
，
，“”，是“”的充分条件；
由得不出，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：B．
（2）已知，，则“或”是“”的（ ）
A．充要条件
B．必要非充分条件
C．充分非必要条件
D．既非充分也非必要条件
解析：解：，，则“或”推导不出“”，
例如，，则，
，，“”“或”，
，，则“或”是“”的必要非充分条件，
故选：B．
（3）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：求解方程可得：方程两根为，
即
“”是小范围，是大范围
“”是的充分不必要条件
故选：A．
根据充分必要条件，求参数值
（1）已知集合，．若是的必要条件，求实数的取值范围．
解析：由已知，得，
因为是的必要条件，所以，
又因为，
所以，解得．
故所求实数的取值范围为：．
（2）已知，．
①是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由；
②是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．
解析：．
（1）要使是的充要条件，则，即此方程组无解，则不存在实数，使是的充要条件；
（2）要使是的必要条件，则，
①当时，，解得；②当时，，解得，要使，则有，解得，所以，
综上可得，当实数时，是的必要条件
【教学反思】
本章节内容主要让学生能够充分掌握和理解充分，必要条件的概念，能了够独立的分析命题之间的关系，从而判断他们之间的充分，必要关系，同理会根据命题的充分必要关系，求解参数范围．
1/7必要条件和充分条件
【学习目标】
1．理解必要条件，充分条件，充要条件的概念．
2．会判断命题之间的必要，充分条件．
3．根据充分必要条件，求解参数问题．
【学习重点】
充分条件、必要条件的概念．
【学习难点】
判断命题的充分条件、必要条件．
【学习过程】
一、自主预习
（1）当命题“若，则”是真命题时，称是的__________条件
（2）当命题“若则”是真命题时，称是的________条件
（3）如果，且．那么称是的_________条件，简称是的_______条件
二、例题探究
1．根据充分必要条件求参数范围
（1）命题“对任意实数，关于的不等式恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（
）
A．
B．
C．
D．
（2）已知集合，，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
【课后巩固】
1．如果，为非0实数，则不等式成立的充要条件是（
）
A．且
B．且
C．，或
D．
2．设，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．使四边形为菱形的充分条件是（
）
A．对角线相等
B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分
D．对角线垂直平分
5．M、N、S是三个集合，条件，条件，则是的（
）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．设命题，，则（
）
A．命题是命题的充分必要条件
B．命题是命题的充分条件但不是必要条件
C．命题是命题的必要条件但不是充分条件
D．命题既不是命题的充分条件也不是命题的必要条件
7．已知，都是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，则是的_______条件，是的_______条件，是的_______条件．
8．用充分、必要条件填空：
①，且是的_______．
②或是的_______．
9．在，，中，使的充分条件是_______．
10．如果、、都是实数，那么，是关于的方程有一正根和一个负根的_______条件．
11．集合，，若，，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【实践研究答案解析】
1．【答案】B
【解析】解：命题“对任意实数，关于的不等式恒成立”“”；故命题“对任意实数，关于的不等式恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是，故选：B．
2．【解析】解：由得得，即，若“”是“”的充分条件，则，即得，即，即实数的取值范围是．
【课后巩固答案解析】
1．D
2．A
3．A
4．A
5．B
6．C
7．是的充要条件，是的充要条件，是的必要条件．
8．既不充分也不必要条件
必要条件
9．，或或
10．充分必要条件
11．【解析】解：由A得得，即，
若是的充分不必要条件，则，则或，即或，即实数的取值范围是或．
2/4全称量词与存在量词
【教材分析】
全称量词、存在量词以及全称量词命题、存在量词命题，是数学命题中重要的一种形式，掌握好含有两类量词的命题及其否定形式的真假性判断，有利于学生逻辑思维能力的提高，是高中数学逻辑推理的基础，对于提高学生数学思维的敏捷性、逻辑推理的准确性、语言表达的精炼性起着非常重要的作用。
【教学目标】
掌握常用的全称量词和存在量词及其含义；掌握全称量词命题和存在量词命题的概念，并能准确判断真假；掌握全称量词命题和存在量词命题的否定形式，掌握原命题与其否定命题的真假性关系。
【核心素养】
提高学生数学表达和数学思维的准确性，培养学生的逻辑推理能力和数学抽象能力。
（1）常用的全称量词和存在量词及其含义；
（2）全称量词命题和存在量词命题的概念，及真假性判断；
（3）全称量词命题和存在量词命题的否定形式，原命题与其否定命题的真假性相反。
【教学准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、知识引入
美国著名作家马克·吐温，在一次记者招待会上直言：“有些国会议员是傻瓜！”记者把他的话原样登在了报纸上，结果招致了国会议员们的强烈抗议，迫于压力，第二天马克·吐温在报纸上登出重要更正：“有些国会议员不是傻瓜！”
重要更正的那句话，是对原话的否定吗？
提示：不是
二、新知识
1．全称量词命题与存在量词命题
思考讨论：
（1）所有正方形都是矩形；
（2）每一个有理数都能写成分数的形式；
（3）对于任意的正实数，的值随值的增大而增大；
（4）空集是任何集合的子集；
（5）一切三角形的内角和都等于．
以上命题中，加点的字是什么意思？
提示：都是在指定范围内，表示全体、整体、全部的含义．
（1）在给定集合中，断言所有元素都具有同一性质的命题叫作全称量词命题．
在命题中的“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词。
用符合“”表示，读作“对任意的”
如：“对于任意实数，都有”就是全称量词命题，可以表示为“，有”。
注意：①有时全称量词可以省略；
如：“正方形是矩形”“实数的平方非负”等等。
②判断全称量词命题的真假，需要所有元素都要满足条件，命题才为真。
如：以上命题都为真命题，又如：“实数的平分大于0”是假命题，因为存在实数0不满足条件．
思考讨论：
①有些三角形是直角三角形；
②在素数中，有一个是偶数；
③存在实数，使得。
以上命题中，加点的字是什么意思？
提示：这些命题，都是对全体中的个体或者一部分的判断，加点的字表示个体或者一部分。
（2）在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题。
在命题中的“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词。
用符合“”表示，读作“存在”
如：“存在实数，使得”可表示为“，使”
例4：判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词，并判断真假：
（1）所有正方形都是平行四边形；
（2）能被5整除的整数末位数字为0。
解：（1）是全称量词命题，全称量词为“所有”，是真命题；
（2）是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”，是假命题。
例5：判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词，并判断真假：
（1）存在一个无理数，使也是无理数；
（2），使。
解：（1）是存在量词命题，存在量词为“存在”，是真命题；
（2）是存在量词命题，存在量词“（存在）”，是假命题。
2．全称量词命题与存在量词命题的否定
思考讨论
（1）对于全称量词命题“，有”，它的否定形式的命题是什么？
（2）一个命题，原命题真假与它的否定命题的真假有什么关系？
提示：（1）否定形式的命题为“，使”；
（2）一个命题与它的否定形式的命题真假性相反。
一般地，要否定一个全称量词命题，只需要在给定集合中找到一个元素，使命题的结论不正确，即全称量词命题不成立；要否定一个存在量词命题，需要判定在给定集合中每一个元素均不能使命题的结论成立，即存在量词命题不成立。
①全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题。
②全称量词命题“，都具有性质”的否定为“，不具有性质”。
③存在量词命题“，具有性质”的否定为“，都不具有性质”。
④常见词语的否定
原词语→所有的→存在→任意的→是→都是→等于→大于
否定→存在有→所有的→某些个→不是→不都是→不等于→不大于
例6：写出下列全称量词命题的否定，并判断真假：
（1）对任意的锐角A，有；
（2）任意一个一元二次函数的图象都与轴相交；
（3），。
解：（1）“存在一个锐角A，使”，假命题；
（2）“存在一个一元二次函数，它的图象与轴不相交”，真命题；
（3）“，使得”，真命题。
例7：写出下列存在量词命题的否定：
（1）某箱产品中至少有一件次品；
（2）方程有一个根为偶数；
（3），使。
解：（1）“某箱产品都是正品”；
（2）“方程的每一个根都不是偶数”，真命题；
（3）“，”，因，所以是真命题。
三、课堂练习
教材P20，练习1、2；P22，练习。
四、课后作业
教材P22，习题1-2，A组第3、4题。
【课后反思】
一般全称量词命题与存在量词命题中的量词都比较明显，而判断命题的真假，要根据命题的具体含义进行准确判断，并注意把握原命题的真假与它的否定命题的真假性一定是相反的，解题时注意灵活运用该性质。
4/4全称量词与存在量词
【学习目标】
1．掌握常用的全称量词和存在量词及其含义；
2．掌握全称量词命题和存在量词命题的概念，并能准确判断真假；
3．掌握全称量词命题和存在量词命题的否定形式，掌握原命题与其否定命题的真假性关系。
【学习重难点】
1．常用的全称量词和存在量词及其含义；
2．全称量词命题和存在量词命题的概念，及真假性判断；
3．全称量词命题和存在量词命题的否定形式，原命题与其否定命题的真假性相反。
【学习过程】
一、知识引入
美国著名作家马克·吐温，在一次记者招待会上直言：“有些国会议员是傻瓜！”记者把他的话原样登在了报纸上，结果招致了国会议员们的强烈抗议，迫于压力，第二天马克·吐温在报纸上登出重要更正：“有些国会议员不是傻瓜！”重要更正的那句话，是对原话的否定吗？
二、新知识
1．全称量词命题与存在量词命题
思考讨论：
（1）所有正方形都是矩形；
（2）每一个有理数都能写成分数的形式；
（3）对于任意的正实数，的值随值的增大而增大；
（4）空集是任何集合的子集；
（5）一切三角形的内角和都等于．
以上命题中，加点的字是什么意思？
1）在给定集合中，断言所有元素都具有同一性质的命题叫作全称量词命题．
在命题中的“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词。
用符合“”表示，读作“_______”
如：“对于任意实数，都有”就是全称量词命题，可以表示为“_______”．
注意：①有时全称量词可以省略；
如：“正方形是矩形”“实数的平方非负”等等。
②判断全称量词命题的真假，需要所有元素都要满足条件，命题才为真。
如：以上命题都为真命题，又如：“实数的平分大于0”是假命题，因为存在实数0不满足条件．
思考讨论：
（1）有些三角形是直角三角形；
（2）在素数中，有一个是偶数；
（3）存在实数，使得．
以上命题中，加点的字是什么意思？
2）在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题．
在命题中的“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词。
用符合“”表示，读作“_______”
如：“存在实数，使得”可表示为“_______，使”．
例4：判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词，并判断真假：
（1）所有正方形都是平行四边形；
（2）能被5整除的整数末位数字为0．
例5：判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词，并判断真假：
（1）存在一个无理数，使也是无理数；
（2），使．
2．全称量词命题与存在量词命题的否定．
思考讨论
（1）对于全称量词命题“，有”，它的否定形式的命题是什么？
（2）一个命题，原命题真假与它的否定命题的真假有什么关系？
①全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题．
②全称量词命题“，都具有性质”的否定为“，不具有性质”存在量词命题“，具有性质”的否定为“，都不具有性质”．
③常见词语的否定
原词语
所有的
存在
任意的
是
都是
等于
大于
否定
存在有
所有的
某些个
不是
不都是
不等于
不大于
例6：写出下列全称量词命题的否定，并判断真假：
（1）对任意的锐角，有；
（2）任意一个一元二次函数的图象都与轴相交；
（3），．
例7：写出下列存在量词命题的否定：
（1）某箱产品中至少有一件次品；
（2）方程有一个根为偶数；
（3），使．
3/3不等式的性质
【教材分析】
本节主要学习了不等式的五个基本性质，重点是不等式的基本性质，难点是不等式性质的探索及运用，要将不等式的基本性质与等式的基本性质加以对比，弄清它们之间的相同点与不同点，这样有助于加深理解不等式的基本性质。对于不等式的基本性质，采用通过学生自己动手实践、观察、归纳猜想结论、验证等环节来突破的。并在理解的基础上加强练习，以期达到学生巩固所学知识的目的．
【教学目标】
1．探索并掌握不等式的基本性质；
2．理解不等式与等式性质的联系与区别．
【核心素养】
1．数学抽象：如何利用不等式表示不等关系
2．逻辑推理：通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力．
3．数学运算：证明不等式关系，会比较代数式的大小关系
4．直观想象：利用数轴的比较任意两数的大小关系，引出实数的大小关系，间接引出实数不等式的5个性质
5．数学建模：通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，学会利用不等式关系表示实际问题
【教学重难点】
1．教学重点：探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用．
2．教学难点：能根据不等式的基本性质进行化简
【教学准备】
PPT
【教学过程】
1．知识引入
在初中数学中，可以利用数轴比较任意两个实数啊，的大小．关于实数，，大小的比较，有以下基本事实：如果是正数，那么如果；如果等于0，那么；如果是负数，那么反过来也成立．
结论总结：
2．不等式基本性质
性质1如果，且，那么．
分析要证，只需证．
证明因为，且，
，
从而，即．
性质2如果，那么．
分析要证，需证．
证明因为，所以，
所以，即．
性质3如果，，那么；如果，，那么
分析：要证，只需证明
证明因为，所以．
又因为，所以即，
请同学完成的情况证明
例1试比较与的大小．
解：因为
所以
例2试证明：若，，则
证明：
因为，所以．又，，故
因此：
性质4如果，，那么．
证明：因为，所以．
又因为：，
由不等式的性质1，得．
性质5：如果，，那么；
如果，，那么．
证明：因为，，所以．
又因：，，所以
由不等式的性质1，得．
请同学们：完成的情况证明
特殊情况：当时，，其中，
例3：（1）已知，，求证
已知，，求证：
证明：（1）因为，所以；
因为，所以有不等式的性质3，得，即
（2）因为，所以．
又因为，所以有不等式性质4，得，即
3．题型归类：比较两数的大小
（1）比较大小：．（填写“”或“”）
（2）与的大小关系为．
（3）．已知，为实数，则．（填写“”或“”或“”）
判断不等关系是否成立
（1）已知，则下列不等式一定正确的是（C）
A．
B．
C．
D．
（2）对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（C）
A．若，则
B．若，c＞d，则
C．若，则
D．若，则
（3）若，，，且，则下列不等式一定成立的是（B）
A．
B．
C．
D．
证明不等关系
1．已知，求证：．
2．比较与的大小．
证明：（1），
，
再由，可得．
故要证的不等式成立；
解：（2）
，
．
（2）已知，，比较与的大小．
解：
，当且仅当时，两式相等
（3）设，比较与的大小．
解析：解：，，，，．
两数作商，
．
【教学反思】
本节内容需要学生掌握不等式的基本性质，会判断两数的不等关系，学会利用不等式关表示实际问题。
5/5不等式的性质
【学习目标】
1．探索并掌握不等式的基本性质；
2．理解不等式与等式性质的联系与区别．
【学习重点】
探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用．
【学习难点】
能根据不等式的基本性质进行化简．
【学习过程】
一、预习导航
性质1如果，且，那么______．
性质2如果，那么______．
性质3如果，，那么_______；如果，，那么______
性质4如果，，那么_______．
性质5如果，，那么_______．；
二、例题探究
1．已知，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜．若，，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．设，比较与的大小．
【课后巩固】
1．设，则下列不等式恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知，则下列不等式一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．若，，为实数且，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．若，，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．若，，，且，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．下列结论不正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则
D．若，则
7．设实数，，则下列不等式一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．设，，则下列不等式中不一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知，比较与的大小．
10．已知：，，求证：．
【答案解析】
1．答案：D
【解析】解：A．当，时，，，，所以A错误．
B．当，时，，所以B错误．
C．当时，所以C错误．
D．因为，，所以D正确．
故选：D．
2．答案：B
【解析】解：若，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，
选项A，C不能说明糖水变得更甜，糖水甜可用浓度体现，而，能体现糖水变甜；选项D等价于，不成立，故选：B．
3．【解析】解：，，，，．
两数作商，
．
【课后巩固】
1．C
2．C
3．C
4．C
5．B
6．D
7．D
8．B
9．【解析】解：
，当且仅当时，两式相等
10．【解析】证明：，
，
又，
．
5/5基本不等式
【教学分析】
本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之-，为后续的学习奠定基础。要进-步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。
【教学目标】
1．通过两个探究实例，引导学生基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；
2．借助基本不等式解决简单的最值问题．
【核心素养】
1．数学抽象：根据实际例子，抽象概括“和定积最大，积定和最小”
2．逻辑推理：本节内容进-步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；
3．数学运算：利用基本不等式求最值
4．直观想象：结合课本的探究图形，引导学生进-步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；
5．数学建模：基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的-个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求面积-定，周长最小；周长-定，面积最大”等实际问题的计算中也经常涉及到。
【教学难点】
1．基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；
2．利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
【教学重点】
应用数形结合的思想证明基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。
【课前准备】
PPT
【教学过程】
1．知识引入
对于任意实数和，总是成立的，即，所以
，当且仅当时，等号成立
若，，取，，则：，当且仅当时，等号成立；这个不等式称为基本不等式，其中称为，的算术平均数，称为，的几何平均数，因此，基本不等式也称为均值不等式。
结论：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值
2．基本不等式的几何解释
如图1-14，是半圆的直径，点在上，且，．过点作的垂线交于点。连接，，．显然；利用三角形相似，可证得相似于，从而，
从图中可以看出，当且仅当点C与圆心0重合时，等号成立，即“半径大于或等于半弦”．
利用基本不等式或类似上述几何图形，还可以推出-些其他的简单不等式．
例4：已知，，，求证:
证明因为，，，所以由基本不等式得，，；三式相加，得
即：
把-段长为的细铁丝弯成形状不同的矩形，试填写表1-3，并思考当矩形的长、宽分别为何值时，面积最大．
表1-3
方案
长/
宽/
面积/
方案1
方案2
方案3
设矩形的长为，宽为，则．此时，由基本不等式
得，即．又因为当时，（即不等式中的等号成立），由此可知，边长为的正方形的面积最大．
思考交流：
类比上面的方法，说明：面积为的所有不同形状的矩形中，边长为的正方形的周长最小．
重点结论：当，均为正数时，下面的命题均成立：
（1）若（为定值）则当且仅当时，取得最大值
（2）若(为定值）则当且仅当时，取得最小值
例5：已知x，y均为整数，试证明：若(为定值），则当且仅当，时，取得最大值
证明：由基本不等式和，得，所以，又因为当时，不等式中的等号成立，所以此时取得最大值
例6：如图1-16，动物园要围成四间相同面积的长方形禽舍，-面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（接头处不计）
（1）现有可围长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？
（2）若使每间禽舍面积为则每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？
解：（1）设每间禽舍的长为，宽为，则
设，，，应用基本不等式，有，即：
当且仅当时，不等式中等号成立，此时，，，；因此，当每间禽舍的长、宽分别设计为和时，可使每间禽舍面积最大，最大面积为．
重点题型
（1）利用基本不等式求求最值
1．下列函数中，最小值是2的是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：C．
2．下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
答案：D
（2）和定积最大，和定积最小的考查
1．若，其中，则的最小值等于（ ）
A．
B．2
C．
D．
答案：C
2．已知，，且，则（ ）
A．有最大值为1
B．有最小值为1
C．有最大值为
D．有最小值为
答案：C
（3）“1”的代换运用
1．若对任意的正数，满足，则的最小值为（ ）
A．6
B．8
C．12
D．24
答案：C
2．若，，则的最小值是．
【教学反思】
一个不等式：若，，则有，当且仅当时，．
两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。
三个注意：基本不等式求函数的最大(小）值是注意：“一正二定三相等”
5/5基本不等式
【学习目标】
1．通过两个探究实例，引导学生基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；
2．借助基本不等式解决简单的最值问题，
【学习难点】
1．基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；
2．利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
【学习重点】
应用数形结合的思想证明基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。
【学习过程】
一、自主预习
1．两个非负实数的算术平均值________它们的几何平均值
2．若，取，，，则：当且仅当时，等号成立这个不等式称为__________
3．当，均为正数时，下面的命题均成立：
（1）若（s为定值）则当且仅当时，取得最大值________
（2）若(p为定值）则当且仅当时，取得最小值_____
二、例题探究
1．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在AB上取一点C，使得，，过点C作交圆周于D，连接OD．作交OD于E．由可以证明的不等式为（
）
A．
B．
C．
D．
2．若，，则的最小值为（
）
A．2
B．
C．
D．
3．若矩形的周长1为定值，则该矩形的面积的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【课后巩固】
1．下列命题中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2．下列函数中，最小值是2的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．函数的最小值为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
4．已知实数，且，则的最小值为（
）
A．9
B．
C．5
D．4
5．已知，则的最小值为（
）
A．4
B．16
C．8
D．10
6．若正数a，b满足，则当ab取最小值时，b的值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知，，则的最小值为（
）
A．9
B．12
C．15
D．
8．已知正实数满足，则最小值为（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
9．（1）设，求函数的最大值；
（2）解关于的不等式．
10．如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，设广告牌的高为．
（1）求广告牌的面积关于的函数；
（2）求广告牌的面积的最小值．
【答案解析】
1．【解析】解：由射影定理可知，即，由得，
故选：A．
2．【解析】解：，，
，
，
，，
，
当且仅当即时取“”，
故选：D．
3．【解析】解：设矩形ABCD的长为，宽为，则其周长为定值，即；
所以该矩形的面积为，
当且仅当时取得最大值是．
故选：C．
4．【解答】解：，，，
，
不等式恒成立，，
整理得，解得，即，
的取值范围为．
故选：B．
【课后巩固答案解析】
1．D
2．C
3．C
4．B
5．C
6．A
7．D
8．B
9．【解析】解：（1）设，函数，故当时，函数取得最大值为．
（2）关于的不等式，即．
当时，不等式即，不等式无解；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
综上可得，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为．
10．【解析】解：（1）依题意广告牌的高为，则，
所以，且，
所以广告牌的面积．
（2）由（1）知，
，
当且仅当，即号成立．
所以，
广告牌的面积的最小值为61.25．
7/7一元二次函数
【教学分析】
一元二次函数是重要的基本函数之一，由于它存在最值，因此，其单调性在实际问题中有广泛的应用，并且它与前面学过的二次方程有密切联系，又是后面学习解一元二次不等式的基础．二次函数在初中学生已学过，主要是定义和解析式，这里，在此基础上，接着学习二次函数的性质与图象，进而使学生对二次函数有一个比较完整的认识．
【教学目标】
1．通过一个例子研究二次函数的图象和性质，得到一般性结论，培养学生归纳、抽象能力．
2．掌握二次函数的概念、表达式、图象与性质，会用配方法解决有关问题，能熟练地求二次函数的最值．
【核心素养】
1．数学抽象：一元二次函数变量的变化趋势．
2．逻辑推理：利用初中所学的二次函数，配成顶点式，让学生对一元二次函数的平移变化，能更好的掌握．
3．数学运算：一元二次函数的平移变化；如何求一元二次函数的最值．
4．直观想象：根据函数图象的变化，让学生更好理解函数之间的关系．
5．数学建模：数学中，通过对同类函数图象之间的变化的研究，让学生能更好的将一元二次函数运用实践中，更好的解决实际中，类似于抛物线的物体，我们都可以通过某些计算，来解决实际问题．
【教学重点】
1．二次函数的平移变化．
2．二次函数和的变化趋势．
【教学难点】
如何将一般二次函数配成顶点式．
【课前准备】
PPT
【教学过程】
1．知识引入
在初中，我们学习了一元二次函数认识这个函数的过程是从（开始的，是由简到繁的过程（如图1-18）．
思考交流
请分析讨论函数的图象可以由函数图象经过怎样的变换得到．
2．知识概括：
（1）二次函数图象的变换规律：
抛物线的图象，可以由得图象移动而得到。
当时，向左平移个单位长度，
当时，向右平个单位长度
的图象
当时，向上平移个单位长度
当时，向下平移个单位长度
的图象，写成一般形式：的图象
（2）一元二次函数有如下性质：
①函数的图象是一条抛物线，顶点坐标是对称轴是直线；
②当时，抛物线开口向上；在区间上，函数值随自变量的增大而减小；在区间上，函数值随自变量的增大而增大；函数在处有最小值，记作．
当时，抛物线开口向下；在区间上，函数值随自变量的增大而增大；在区间上，函数值随自变量的增大而减小；函数在处有最大值，记作：．
例1已知一元二次函数
（1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换而得到；
（2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值．
解（1）配方，得
所以函数的图象可以由函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到．
由（1）可知：该函数的图象开口向上，对称轴为直线；在区间上，函数值随自变量的增大而减小，在区间上，函数值随自变量的增大而增大；函数值在处取得最小值3，即．
【知识扩充】
例2
画出二次函数，的图象，考虑他们的开口方向、对称轴和顶点。
解：如图所示
抛物线的开口向下，对称轴是进过点且与轴垂直的直线，记为，顶点是；抛物线的开口向下，对称轴是，顶点是（1，0）。
例3
画出函数的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点。抛物线经过怎样的变换可以得到抛物线？
解：抛物线的开口方向向下、对称轴是，顶点是。
把抛物线向下平移1个单位，再向左平移2个单位，就得到抛物线。
注意细节：二次函数的图象的画法
因为二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：
（1）先找出顶点坐标，画出对称轴；
（2）找出抛物线上关于对称轴的四个点（如与坐标轴的交点等）；
（3）把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
习题练习：
用配方法求出下列函数图象的对称轴及函数的最值：
（1）
（2）
已知一元二次函数
（1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换而得到；
（2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值．
【教学反思】
本节内容讲述了两个方面的知识点，一是特殊的二次函数的图象随值变化的规律性，二是二次函数的性质与图象．设计恰当，重点突出，即重点讲解二次函数的性质与图象．遵循由特殊到一般、由具体到抽象的原则，使结论便于被学生理解．
5/5一元二次函数
【学习目标】
1．一元二函数图形的平移变换。
2．掌握一元二次函数的对称轴，及会求最大值和最小值的。
【学习重点】
1．二次函数的平移变化。
2．二次函数和的变化趋势。
【学习难点】
如何将一般二次函数配成顶点式。
【学习过程】
一、自主预习
1．一元二次函数的图象是一条抛物线，它可以由的图象经过向左(或向右)平移________个单位长度，再向上(或向下)平移________个单位长度而得到．
2．一元二次函数有如下性质：
(1)函数的图象是一条抛物线，顶点坐标是_________，对称轴是直线__________；
（2）当时，抛物线开口__________；在区间上，函数值随自变量的_________；在区间上，函数值随自变量的__________；函数在处有_________，记作________．
当时，抛物线开口向下；在区间，上，函数值随自变量的________；在区间上，函数值随自变量的________；函数在处有________，记作：__________
二、例题探究
1．抛物线向右平移2个单位，向下平移1个单位，所得函数的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列二次函数的图象通过平移能与二次函数的图象重合的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．二次函数的最大值为（
）
A．3
B．2
C．1
D．11
4．二次函数的最小值为（
）
A．2
B．0
C．
D．1
5．抛物线的顶点坐标是（
）
A．（1，2）
B．（1，1）
C．
D．（2，1）
【课后巩固】
1．要由抛物线得到抛物线，则抛物线必须（
）
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
2．把函数的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数的图象（
）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
3．设，当时，对应值的集合为，
（1）求，的值；
（2）当为何值时，取最小值，并求此最小值．
4．画出函数的图象．
5．已知函数，且．
（1）求不等式的解集；
（2）求在上的最值．
【答案解析】
（1）D
（2）B
（3）D
（4）C
（5）B
【课后巩固】
（1）A
（2）C
（3）解：（1），即，则，为其两根．
由韦达定理知：，所以．
，所以．
（2）由（1）知：，
时，最小为．
4．解：原函数式可化为：，
分段画出函数在和上的图象即得原函数的图象．
5．解：（1），
，
由可得，，
整理可得，，
解可得，
不等式的解集为；
（2）的开口向下，对称轴，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，
故函数有最大值，最小值．
4/4一元二次不等式及其解法
【教材分析】
本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性．一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合、函数等知识的巩固和运用具有重要作用，也与后面的线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法．因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用．
【教学目标】
1．正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一二次不等式的解法．
2．通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力和从“特殊到一般”的归纳能力．
【核心素养】
1．数学抽象：一元二次不等式的概念．
2．逻辑推理：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法．
3．数学运算：解一元二次不等式．
4．直观想象：利用二次函数图像分析一元二次不等式的解集，直观的解释不等式解集的正确性．
5．数学建模：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想．
【教学重难点】
1．教学重点：一元二次不等式的解法
2．教学难点：理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系
【课前准备】
PPT
【教学过程】
1．知识引入
汽车在行驶过程中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，一般称这段距离为“刹车距”．刹车距S（单位：m）与车速弑单位：km/h）之间具有确定的函数关系，不同车型的刹车距函数不同．它是分析交通事故的一个重要依据．
甲、乙两辆汽车相向而行，由于突发情况，两车相撞．交警在现场测得甲车的刹车距接近但未超过，乙车的刹车距刚刚超过．已知这两辆汽车的刹车距函数如下：
，，
车速超过属违章．
试问：哪一辆车违章超速行驶？
由题意，只需分另解出使不等式和成立的的取值范围，再确认两车的行驶速度，就可以判断哪一辆车违章超速行驶．
一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式．通常，它们都可以化为的形式，其中，，均为常数，且．使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．
类比初中数学中用一次函数的图象求解一次不等式，我们可以利用一元二次函数的图象求一元二次不等式的解集．
以不等式为例，画出一元二次函数的图象（如图1一21）并观察，可知它与轴交点的横坐标分别是和3．即当，时．进而，当时，一元二次函数的图象在轴的下方，满足．也就是说，一元二次不等式的解集是．
2．知识总结概括：
当时，解形如或的一元二次不等式，其基本思路是确定时的自变量的取值，借助图象，写出原不等式的解集．
图1-22
3．思考交流
完成以下表格
学生动手：请学生仿照以上方法，画出当时的求解思路
例2：求不等式的解集．
解：因为，所以方程．有两个相等的实数根，解得
画出一元二次函数的图象（如图1-23），可知该函数的图象是开口向上的抛物线，且与轴仅有一个交点
观察图象可得原不等式的解集为
例3求不等式的解集．
解法1因为．，所以方程有两个不相等的实数根，解得，
画出一元二次函数的图象（如图1-24），可知该函数的图象是开口向上的抛物线，且与轴有两个交点和．
观察图象可得原不等式的解集为
解法二：
将原不等式可以转化为：
即：，或
所以不等式的解集：
思考交流：
根据不等式的解集，你能得出不等式的解集吗？
例4求关于的不等式的解集，其中是常数．
解依题意知方程的根为，，且一元二次函数的图象是开口向上的抛物线．
当时，如图1-25，一元二次函数的图象与轴从左至右有两个交点与．所以原不等式的解集为．
当时，如图1-26，一元二次函数的图象与轴只有一个交点．所以原不等式的解集为．
当时，如图1-27，一元二次函数的图象与轴从左至右有两个交点与．所以原不等式的解集为．
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为：
当时，原不等式的解集为
4．知识同步练习：
求不等式的解集．
解：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
5．题型扩充
（1）已知不等式的解为，求，值．
解：方法一：显然，由，
得，变形得，
故，．
方法二：利用韦达定理：与是的两根，故有；解得
（2）已知．
（1）如果对一切，恒成立，求实数的取值范围．
（2）如果对，成立，求实数的取值范围．
解：的图像开口向上．
（1）对一切实数，，则，即，
；
（2）当时，，对称轴可在区间内，也可在区间外，
或或
解得
【教学反思】
1．一元二次不等式这一概念；
2．解一元二次不等式、的步骤是：
（1）化成标准形式，
（2）判定与0的关系，并求出方程的实根：
（3）写出不等式的解集．
3/6一元二次不等式及其解法
【学习目标】
1．理解一元二次不等式概念。
2．掌握一元二次不等式解法。
【学习重点】
一元二次不等式的解法。
【学习难点】
理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系。
【学习过程】
一、自主预习
1．一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作__________．通常，它们都可以化为的形式，其中，，均为常数，且．使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的______．
2．完成下列表格
二、例题探究
1．已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，求实数的值．
2．设
（1）当时，解关于的不等式：
（2）若关于的不等式的解集为，求的值
【课后巩固】
1．二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为、，且，，如图所示，则的取值范围是（ ）
A．或
B．
C．或
D．
2．不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若不等式的解集为实数集，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．不等式的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．不等式的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知关于的不等式，．
（1）若不等式的解集为，求a；
（2）当时，解此不等式．
【实践研究答案解析】
（1）解：（1）不等式，即，可化为，
当时，不等式为，其解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
（2）不等式可化为，
由该不等式的解集为知，
1和4是不等式对应方程的两个实数根，
所以，解得．
（2）解：（1）即，即，
解得或，即解集为；
（2）关于的不等式的解集为，
即为1，2为方程的两根，
可得，，
解得．
【课后巩固答案解析】
（1）B
（2）D
（3）D
（4）A
（5）B
（6）A
（7）B
（8）A
（9）解：（1）关于的不等式的解集为，
所以，解得；
（2）不等式等价于，；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式等价于，
若，则，解得；
若，则，解得；
若，则，解得；
当时，不等式等价于，
且，解得或；
综上，时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为空集；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为．
4/6一元二次不等式的应用
【教学分析】
一元二次不等式在实际生活中有着广泛分应用，通过学习本节的内容，使学生体验从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，初步掌握数学建模的基本过程，培养学生数学抽象能力，为高中数学学习做好学习方法和知识技能等方面的准备。
【教学目标】
掌握一元二次不等式在实际应用问题中的应用；初步掌握解决实际问题的一般步骤；不等式的综合问题。
【核心素养】
利用一元二次不等式的相关知识解决实际应用问题，提高学生数学抽象和数学建模能力。
【教学重难点】
1．一元二次不等式在实际应用问题中的应用；
2．初步掌握解决实际问题的一般步骤。
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、复习引入
上一节“思考讨论”中，关于“刹车距”的问题：
刹车距（单位）与车速（单位）之间有函数关系：
一车的刹车距超过，道路限速，这辆车是否超速？
提示：由题意，列出不等式，解得(舍去)或；所以该车超速。
例5：某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满。该农家院欲提髙档次，并提高租金。经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间。每间客房日租金不得超过130元,要使每天客房的租金总收入不低于1800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？
解：设每间客房日租金提高个10元，即每间客房日租金提高到元，则客房出租数减少间，此时客房的租金总收入为元．
又因为每天客房的租金总收入不低于1800元，
所以
化简：，解得
所以
由题意可知：每间客房日租金不得超过130元，即，所以。
因此，该农家院每间客房日租金提高的空间是20?50元．
例6：为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担。袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：
（1）设袁阳每月获得的利润为(单位：元），写出每月获得的利润与销售单价的函数关系．
（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元，如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？
解：（1）依题意可知每件的销售利润为元，每月的销售量为件．
所以每月获得的利润与销售单价的函数关系
（2）由每月获得的利润不小于3000元，得
化简得，解得
又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以
设政府每个月为他承担的总差价的取值范围是元，则
由，得；
故政府每个月为他承担的总差价的取值范围是．
注意：利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
（1）选取合适的字母表示题中的未知数；
（2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）；
（3）求解所列出的不等式（组）；
（4）结合题目的实际意义确定答案。
二、思考讨论(综合练习)：
当时，一元二次不等式恒成立，求实数的取值范围．
解法1：对于二次函数，抛物线开口向上，当时，一元二次不等式恒成立，则当时函数值，且当时函数值．
得，解得．
解法2：将不等式变形为，设，在区间上不等式恒成立，则，在区间上，函数当时，取得最小值，所以的取值范围是．
三、课堂练习
教材P39，练习1、2．
四、课后作业
教材P40，习题1-4，A组第6题；B组第3题．
【教学反思】
解决应用问题（数学建模）的一般步骤：
（1）审题——读懂题意，找出关键量，用适当的字母表示已知量和未知量；
（2）列式——根据题意列出数量之间的关系（函数、方程、不等式）；
（3）求解——求解相关数学问题；
（4）作答——根据问题的实际意义，检查或验算，写出答案。
4/4(共24张PPT)
一元二次不等式及其解法
一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式.通常，它们都可以化为ax2+bx+c>0
的形式，其中a，b，c均为常数，且a≠0.使一元二次不等式成立的
所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.
一元二次不等式概念概况
如何解一元二次不等式
类比初中数学中用一次函数的图象求解一次不等式，我们可以
利用一元二次函数的图象求一元二次不等式的解集.
以不等式
x2-2x-3<0为例
1.画出一元二次函数y=x2-2x-3
的图象
它与x轴交点的横坐标分别是-1和3.即当x1=1，x2=3时x2-2x-3=0
2.当
-1
满足y<0.也就是说，一元二次不等式x2—2x—3<0的解集是{x|-1当a>0时，解形如ax2
+bx+c>0（a≥0）或ax2
+bx+c<0（a≤0）的一元二次不等式，其基本思路是确定ax2+bx+c=0时的自变量x的取值，借助图象，写出原不等式的解集。
知识总结概括
思考交流：完成以下表格
一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的求解思路
学生动手：请学生仿照以上方法，画出当a<0时的求解思路。
练习：已知一元二次函数
（1）指出它的图象可以由
函数的图象经过怎样的变换而得到；
（2）指出它的图像的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值
例2：求不等式9x2-6x+1>0的解集.
解：因为
所以方程9x2
-6x+1
=0。有两个相等的实数根，解得
画出一元二次函数y
=
9x2-6x+1的图象（如图1-23），可知该函数的图象是开口向上的抛物线，且与x轴仅有一个交点
观察图象可得原不等式的解集为
例3：求不等式3x2+5x-2>0的解集.
解法1：
因为△
=
52—4X3X（
—2）>0。，所以方程3x2+5x—2
=0。有两个不相等的实数根，解得x1
=
—2，x2=
画出一元二次函数y
=
3x2
+5x-2的图象（如图1
-
24），可知该函数的图象是开口向
上的抛物线，且与x轴有两个交点（
-2，0）和
观察图象可得原不等式的解集为
解法2：
将原不等式可以转化为：（x+2）（3x-1）>0
即：
所以不等式的解集：
思考：根据不等式3x2+5x-2>0的解集，你能得出不等式3x2+5x-2≤0的解集吗？
例4：
求关于x的不等式
的解集，其中a是常数.
解：依题意知方程
的根为
x1=
—1
，x2=a，且一元二次函数y
=x2+（1
-a）x-a的图象是开口向上的抛物线.
（1）当a<-1时，如图1-
25，一元二次函数y=x2+（1—a）x-a的图象与x轴从左至右
有两个交点（a，0）与（-1，0）.所以原不等式的解集为（a，—1）.
当a=-1时，如图1-26，一元二次函数y
=x2+（1-a）x-a的图象与x轴只有一
个交点（-1，0）.所以原不等式的解集为
（3）当a>-1时，如图1
-
27，一元二次函数y=x2+（1-a）x-a
的图象与x轴从左至右有两个交点（-1，0）与（a，0）.所以原不等式
的解集为（-1，a）.
综上所述，当a<
-1时，原不等式的解集为（a，—1）；
当a=
—1时，原不等式的解集为
；
当a>-
1时，原不等式的解集为（-1，a）
【知识同步练习】求不等式x2-2x+2m-m2＞0的解集.
答案：
当m＞1时，解集为｛x｜x＜2-m，或x＞m｝；
当m=1时，解集为｛x
R｜x≠1｝；
当m＜1时，解集为｛x｜x＜m，或x＞2-m
.?
题型扩充
解
析
韦达定理：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，则
（2）
已知f（x）=x2+2（a-2）x+4.
（1）如果对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值
范围.
（2）如果对x∈〔-3，1〕，f（x）＞0成立，求实数a的取值范围.
学
科
网
创原家独
本节小结
一元二次不等式这一概念
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0
（a>0）
的步骤是：
（1）化成标准形式
ax2+bx+c>0（a>0）
ax2+bx+c<0（a>0）
（2）判定△与0的关系，并求出方程ax2+bx+c=0
的实根；
（3）写出不等式的解集.
谢
谢(共16张PPT)
一元二次函数
在初中，我们学习了一元二次函数y=
ax2+bx+c，（a≠0）认识这个函数的过程是从
y=x2（开始的，是由简到繁的过程（如图1-19）.
知识引入
思考交流
请分析讨论函数y=a（x-h）2+k的图象可以由函数y=ax2图象经过怎样的变换得到.
结论
1.二次函数图像的
变换规律
2.一元二次函数y-a（x-h）2+k（a≠0）有如下性质：
（1）函数y=a（x-h）2+k的图象是一条抛物线，顶点坐标是（h，k）对称轴是直线x=h；
（2）当a>0时，抛物线开口向上；在区间（
，h]上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间上
，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x=h处有最小值，记
作
ymin=k.当a<0时，抛物线开口向下；在区间（
，h]上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间
上，函数值y随自变量x的增大而减小；函数在处有最大值，记作：ymax=k
例1：已知一元二次函数
（1）指出它的图象可以由函数
的图象经过怎样的变换而得到；
（2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值.
例2：画出二次函数
与
的图象，考虑他们的开口方向、对称轴和顶点。
解：如图所示：
抛物线
的开口向下，对称轴是进过点（-1，0）且与x轴垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1，0）；抛物线
的开口向下，对称轴是x=1，顶点是（1，0）。
例3：画出函数
的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点。抛物线
经过怎样的变换可以得到
抛物线？
解：抛物线
的开口方向向下、对称轴是x=-1，顶点是（-1，-1）。把抛物线
向下平移1个单位，再向左平移2个单位，就得到抛物线
如图：
学
科
网
创原家独
注意细节：
二次函数y＝ax2+bx+c的图像的画法
因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：
（1）先找出顶点坐标，画出对称轴；
（2）找出抛物线上关于对称轴的四个点（如与坐标轴的交点等）；
（3）把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来
1.用配方法求出下列函数图象的对称轴及函数的最值：
（1）
（2）
y=-3x2+12x-8
习题练习
2.已知一元二次函数
（1）指出它的图象可以由
函数的图象经过怎样的变换而得到；
（2）指出它的图像的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值.
本节小结
谢
谢(共19张PPT)
全称量词与存在量词
美国著名作家马克·吐温，在一次记者招待会上直言：“有些国会议员是傻瓜！”记者把他的话原样登在了报纸上，结果招致了国会议员们的强烈抗议，迫于压力，第二天马克·吐温在报纸上登出重要更正：“有些国会议员不是傻瓜！”
重要更正的那句话，是对原话的否定吗？
不是
思考讨论：
（1）所有正方形都是矩形；
（2）每一个有理数都能写成分数的形式；
（3）对于任意的正实数，的值随值的增大而增大；
（4）空集是任何集合的子集；
（5）一切三角形的内角和都等于.
以上命题中，加点的字是什么意思？
提示：都是在指定范围内，表示全体、整体、全部的含义.
（1）在给定集合中，断言所有元素都具有同一性质的命题叫作全称量词命题.
在命题中的“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词。
用符合“”表示，读作“对任意的”
如：“对于任意实数，都有”就是全称量词命题，
可以表示为“，有”.
注意：①有时全称量词可以省略；
如：“正方形是矩形”“实数的平方非负”等等。
②判断全称量词命题的真假，需要所有元素都要满足条件，命题才为真。
如：以上命题都为真命题，又如：“实数的平分大于0”是假命题，因为存在实数0不满足条件.
思考讨论：
（1）：有些三角形是直角三角形；
（2）：在素数中，有一个是偶数；
（3）：存在实数，使得.
以上命题中，加点的字是什么意思？
提示：这些命题，都是对全体中的个体或者一部分的判断，加点的字表示个体或者一部分。
（2）在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.
在命题中的“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词。
用符合“”表示，读作“存在”
如：“存在实数，使得”可表示为“，使”
试一试
例4：判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词，并判断真假：
（1）所有正方形都是平行四边形；
（2）能被5整除的整数末位数字为0.
解：（1）是全称量词命题，全称量词为“所有”，是真命题；
（2）是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”，是假命题.
试一试
例5：判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词，并判断真假：
（1）存在一个无理数，使也是无理数；
（2），使.
解：（1）是存在量词命题，存在量词为“存在”，是真命题；
（2）是存在量词命题，存在量词“（存在）”，是假命题.
2、全称量词命题与存在量词命题的否定
（1）
对于全称量词命题“，有”，它的否定形式的命题是什么？
（2）
一个命题，原命题真假与它的否定命题的真假有什么关系？
提示：（1）
否定形式的命题为“，使”；
（2）一个命题与它的否定形式的命题真假性相反。
一般地，要否定一个全称量词命题，只需要在给定集合中找到一个元素，使命题的结论不正确，即全称量词命题不成立；
要否定一个存在量词命题，需要判定在给定集合中每一个元素均不能使命题的结论成立，即存在量词命题不成立.
①全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题.
②全称量词命题“，都具有性质”的否定为“，不具有性质”
存在量词命题“，具有性质”的否定为“，都不具有性质”
③常见词语的否定
原词语
所有的
存在
任意的
是
都是
等于
大于
否定
存在有
所有的
某些个
不是
不都是
不等于
不大于
试一试
例6：写出下列全称量词命题的否定，并判断真假：
（1）对任意的锐角，有；
（2）任意一个一元二次函数的图象都与轴相交；
（3），.
解：（1）“存在一个锐角，使”，假命题；
（2）“存在一个一元二次函数，它的图象与轴不相交”，真命题；
（3）“，使得”，真命题.
试一试
例7：写出下列存在量词命题的否定：
（1）某箱产品中至少有一件次品；
（2）方程有一个根为偶数；
（3），使.
解：（1）“某箱产品都是正品”；
（2）“方程的每一个根都不是偶数”，真命题；
（3）“，”，因，所以是真命题.
方法点拨：
一般全称量词命题与存在量词命题中的量词都比较明显，而判断命题的真假，要根据命题的具体含义进行准确判断。
注意把握原命题的真假与它的否定命题的真假性一定是相反的，解题时注意灵活运用该性质。
练习
教材P20，练习1、2.
教材P22，练习.
作业
教材P22，习题1—2：
A组第3、4题
谢
谢(共21张PPT)
集合的基本关系
思考讨论：
问题1：某学校高一（1）班全体35位同学组成集合
，其中女同学组成集合
：若
，则
与集合
是什么关系？
思考讨论：
问题2：用
表示所有矩形组成的集合，
表示所有平行四边形组成的集合：若
，则
与集合
是什么关系？
思考讨论：
问题3：所有有理数都是实数，则有：
若
，则
试问以上问题所涉及到的两个集合之间有什么关系？
一个集合包含在另一个集合内
1、子集的概念
一般地，对于两个集合
与
，如果集合
中的任何一个元素都属于集合
，即若
，则
，那么称集合
是集合
的子集。
如问题1：“女生集合
包含于班级集合
”
符合表示：
读作：
包含于
（
包含
）
1.子集定义中“任何一个”、“都”
即
中所有元素都属于
2.符号“
”开口方向的集合要“大”些。
2、几个结论
（1）任何一个集合都是它本身的子集
即：
（2）空集是任何集合的子集
即：
集合
是
的子集
即
，
可以用下面的图形表示（Venn图）
对于两个集合
与
，如果
是
的子集，且
是
的子集，那么称集合
与
相等。
3、集合的相等
如：
记作：
两个集合相等：
所含元素相同
两个集合
、
，如果
，且
则
类比：两个实数
如果
，且
，则
对于两个集合
与
，如果
，且
，
那么称集合
是集合
的真子集。
4、真子集的概念
读作：集合
真包含于
或集合
真包含
记作：
（或
）
真包含符号“
”
下面是个不等号
1.集合
是集合
的真子集，
即：集合
中的元素都属于集合
但集合
中存在元素不属于
。
2.空集
是任何非空集合的真子集。
集合
与集合
在数轴上表示，如图
则
，
写出数集
、
、
、
、的关系：
例3：某造纸厂生产练习本用纸，在纸的密度和厚度都合格时，该产品才合格，若用
表示练习本用纸合格的产品组成的集合，
表示纸的密度合格的产品组成的集合，
表示纸的厚度合格的产品组成的集合，则下列包含关系哪些成立？
试用Venn图表示这三个集合的关系。
试一试
厚度合格
密度合格
练习本合格
解：由题意知，
它们的关系可用Venn图表示如下：
例4：写出集合
的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。
试一试
解：由子集的定义知，集合
的子集的元素
最少0个，最多3个，由少到多子集依次为
上述8个子集，其中除了
其余7个都是真子集。
n元集合(含n个元素的集合)子集的个数为
个
思考讨论：
（1）你能说出集合
与集合
的关系吗？
（2）集合
，非空集合
满足：
，并且任意
都有
，这样的集合
有多少个？请写出来。
解析：（1）集合
是奇数集，逐一写出集合
的元素，可以发现两个集合所含元素完全相同，所以
。
（2）满足条件的非空集合
共有7个，依次为：
（1）你能说出集合
与集合
的关系吗？
（2）集合
，非空集合
满足：
，并且任意
都有
，这样的集合
有多少个？请写出来。
练习
教材P7，练习1、2、3、4.
作业
教材P12，习题1—1：第5题
补充作业：
已知集合A满足：
{0，1，2，3，4}
，写出所有满足条件的集合A。
谢
谢(共27张PPT)
集合的概念与表示
高一新生军训前，操场集合
启发探索：你能解释一下“人以群分，物以类聚”的含义吗？
观察上面的四幅图，我们能从中发现什么共同特征？
每一幅图中的个体有怎样的相似和区别之处？
集合的有关概念
1.集合的概念：
一般地，我们把指定对象的全体称为集合，通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示。
2.集合与元素的关系
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作：a∈A；
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：a?A
【课堂练习】
用符号“∈”或“?”填空：
（1）?3__N，
0.5__N，
3__N；
（2）1.5__Z，
?5__Z，
3__Z；
（3）?0.2__Q，
π__Q，
7.21__Q；
（4）1.5__R，
?1.2__R，
π__R
集合与元素的关系
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的
如：x∈A与x?A必居其一.
（2）互异性：集合的元素必须是互异不相同的.
如：方程
x2－?x＋?＝0的解集为{1}
而非{1，1}.
（3）无序性：集合中的元素是无先后顺序的.
如：{1，2}，{2，1}为同一集合.
确定性
1
互异性
2
集合相等
当且仅当构成这两个集合的元素是完全一样的．
本班高个子的同学。
本班身高超过1.70m的同学。
{1，2
，
3
，
4}
{1，2
，
3
，
3}
{1，2
，
3
，
4}
{4，3
，
2
，
1}
难点突破：元素的三要素
方法：观察分析
比较归纳
无序性
3
深入探究
加深理解
集合的分类
空集：不含任何元素的集合，叫做空集，记作Ф
有限集：含有有限个元素的集合
无限集：含有无限个元素的集合
名称
非负整数集（自然数集）
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
或
N+
Z
Q
R
常用数集及其表示符号
集合的表示方法
列举法
描述法
列举法：
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{
}”括起来，一般可将集合表示为{a，
b，
c，……}。
例1：用列举法表示下列集合
（1）由大于3且小于10的所有整数组成的集合
（2）方程x2-9=0的所有实数解组成的集合
【课堂练习】
用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；
（3）由1～20以内的所有质数组成的集合.
描述法：
通过描述元素满足的条件表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：{x及x的范围|x满足的条件}
例2：用描述法表示下列集合
（1）小于10的所有有理数组成集合A
（2）所有奇数组成集合B
（3）平面
a内，到定点O的距离等于定长r的所有点组成集合C
【课堂练习】
用描述法表示下列集合：
①
{1，4，7，10，13}
；
②
{-2，-4，-6，-8，-10}
集合与区间的关系
课堂小结
1.集合的定义
2.集合元素的性质
3.集合与元素的关系
4.集合的表示
5.集合的分类
谢
谢(共14张PPT)
一元二次不等式的应用
思考讨论：
上一节“思考讨论”中，关于“刹车距”的问题：
刹车距（单位m）与车速（单位km/h）之间有函数关系：
一车的刹车距超过10m，道路限速40km/h，这辆车是否超速？
提示：由题意，列出不等式，
解得（舍去）或
该车超速！
例5：
试一试
某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满。该农家院欲提髙档次，并提高租金。经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间。每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？
解：设每间客房日租金提高个10元，即每间客房日租金提高到元，则客房出租数减少间，此时客房的租金总收入为元.又因为每天客房的租金总收入不低于1800元，所以
化简：，解得所以
由题意可知：每间客房日租金不得超过130元，即，
所以。
因此，该农家院每间客房日租金提高的空间是20?50元.
例6：
试一试
为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担。袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：
（1）设袁阳每月获得的利润为（单位：元），写出每月获得的利润与销售单价的函数关系.
（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元，如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？
解：（1）依题意可知每件的销售利润为元，每月的销售量为件.
所以每月获得的利润与销售单价的函数关系
（2）由每月获得的利润不小于3000元，得
化简得，解得
又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以
设政府每个月为他承担的总差价的取值范围是元，则
由，得；
故政府每个月为他承担的总差价的取值范围是.
注意：
利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
（1）选取合适的字母表示题中的未知数；
（2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）；
（3）求解所列出的不等式（组）；
（4）结合题目的实际意义确定答案。
思考讨论（综合练习）：
当时，一元二次不等式恒成立，求实数的取值范围.
解法1：对于二次函数，抛物线开口向上，当时，一元二次不等式恒成立，则当时函数值，且当时函数值.
得，解得.
解法2：将不等式变形为，
设，在区间上不等式恒成立，
则，在区间上，函数当时，取得最小值
所以的取值范围是.
注意掌握解法2的思想方法哦！
方法小结：
解决应用问题（数学建模）的一般步骤：
（1）审题——读懂题意，找出关键量，用适当的字母表示已知量和未知量；
（2）列式——根据题意列出数量之间的关系（函数、方程、不等式）；
（3）求解——求解相关数学问题；
（4）作答——根据问题的实际意义，检查或验算，写出答案。
练习
教材P39，练习1、2.
作业
教材P40，习题1—4：
A组第6题
B组第3题
谢
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集合的基本运算
下列个集合，你能说出：
集合C与集合A，B的关系？
集合F与集合D，E的关系？
1.设集合A={x|是6的因数}，B={x|是8的因数}，C={x|是6和8的公因数}
2.设集合D={x|-1≤x≤2}，E={x|x≥0}，F={x|0≤x≤2}
思考
交集
一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”，即
A∩B={x|∈A，且x∈B}
集合A，B间重点关系
A∩B=B∩A，A∩B?
A，A∩B?B，A∩A=A，A∩Φ=Φ
例1：求下列每一组中两个集合的交集：
（1）A={x|x是不大于10的正奇数}，
B={x|x是12的正因数};
（2）C={x|x是等腰三角形}，
D={x|x是直角三角形}.
下列个集合，你能说出：
集合C与集合A，B的关系？
集合F与集合D，E的关系？
思
考
1.设集合A={x|x-2=0}，B={x|x+2=0}，
C={x|（x-2）（x+2）=0}，
2.设集合D={x|-1≤x≤2}，E={x|x>0}，F={x|x≥-1}
并集
集合A，B间重点关系
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作AUB，读作“A并B”，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}
可用Venn图（如图1-9）表示.
AUB=BUA
，A?AUB，B?AUB，AUA=A，AUΦ=A.
例2：已知集合A={x|-1≤x<2}，B={x|0≤x≤3}，
求A∩B，AUB.
全集，补集
某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示.
设U是全集，A是U的一个子集（即A?U），则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集（或余集），记作CuA，即
CuA={x|x∈U且x
A}
例3：设全集U={x|x是小于10的正整数}，A={2，4，6，8}，B={2，3，5，7}，求CuA，CuB.
知识探讨
判断下列等式是否成立
（1）（A∩B）∩C=A∩（B∩C）
（2）（A∪B∪C=A∪（B∪C））
（3）Cu（A∩B）=（CuA）∪（CuB）
（4）Cu（A∪B）=（CuA）∩（CuB）
重点题型讲解
例1：
经统计知，某村有电话的家庭有35家，有农用三轮车的家庭有65家，既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为 ．
例2：
已知集合A＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，
B＝{x|x＞5或x＜﹣1}．
（1）若a＝1，求A∩B；
（2）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．
课后练习
【课后练习1】：某学校先后举办了多个学科的课余活动。已知高一（1）班有50名同学，其中30名同学参加了数学活
动，26名同学参加了物理活动，15名同学同时参加了数学、物理两个学科的活动，则这个班有多少名
同学既没有参加数学活动，也没有参加物理活动？
【课后练习2】：已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+2}，B＝{x|3＜x＜5}，若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
本节小结
谢
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不等式的性质
知识引入（1）
在初中数学中，可以利用数轴比较任意两个实数啊a，b的大小.关于实数a，b，大小的比较，有以下基本事实：
如果a-b是正数，那么如果a>b；
如果a-b等于0，那么a
=
b；
如果a-b
是负数，那么a结论
结论总结：
a>b
a-b>0
a=b
a-b=0
aa-b<0
性质1：如果a>b，且b>c，那么a>c.
分析：
要证a>c，只需证a-c>0.
证明因为a>b，且b>c，
a-b>0，b-c>0，
从而a-c=（a-b）+（b-c）>0，即a>c.
不等式基本性质
性质2：如果a>b，那么a+c>b+c.
分析：
要证a+c>b+c，需证（a+c）-（b+c）>0.
证明：因为a>b，所以a-b>0，
所以（a+c）-（b+c）=a-b>0，即a+c>b+c.
性质3：如果a>b，c>0，那么ac>bc；
如果a>b，c<0，那么ac分析：要证ac>bc，只需证明
ac-bc>0
证明：因为a>b，所以a-b>0.
又因为
c>0，所以（a-b）c>0即
ac-bc>0，ac>bc
请同学完成c<0的情况证明
例1：试比较（x+1）（x+5）与（x+3）2的大小.
例2：试证明:若00，则
学
科
网
创原家独
性质4
：如果a>b，c>d，那么a+c>b+d.
证明：因为a>b，所以a+c>b+c.
又因为：c>d，b+c>b+d
由不等式的性质1，得a+c>b+d.
性质5：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；
如果a>b>0，c证明：因为a>b，c>0，所以ac>bc.
又因：c>d，b>0，所以bc>bd
由不等式的性质1，得ac>bd.
请同学们：完成c特殊情况：
当a>b>0时，an>bn
，其中
，n≥2
例3：（1）已知a>b，ab>0，求证
（2）已知a>b，cb-d
1.比较两数的大小．（填“＞”“＜”或“＝”）
（1）比较大小：（x﹣3）2__（x﹣2）（x﹣4）
（2）（x+1）（x+5）___（x+3）2的大小关系为
（3）已知a，b为实数，则（a+3）（a﹣5）____（a+2）（a-4）．
题型归类
2.判断不等关系是否成立
（1）已知a＞b，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．ac2＞bc2
B．a2＞b2
C．a3＞b3
D．＜
（2）对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac＞bc
B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C．若ac2＞bc2，则a＞b
D．若a＞b，则
（3）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a+c≥b﹣c
B．（a﹣b）c2≥0
C．ac＞bc
D．
3.证明不等关系
（1）1.
已知a＞b＞0，c＜0求证：
．
2.比较（a+3）（a﹣5）与（a+2）（a﹣4）的大小
（2）已知a，b∈R，比较a2+b2与ab+a+b﹣1的大小．
（3）设a＞b＞0，比较
与
的大小．
课后小结
1.掌握不等式的性质
2.会比较两个代数式之间的大小关系
3.会利用不等式性质证明不等式
学
科
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谢
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必要条件与充分条件
菱形的定理
菱形的对角线互相垂直，即如果四边形为菱形，那么这个四边形的对角线互相垂直.
知识引入
菱形的性质定理，即对角线互相垂直是菱形必有的性质.也就是说，如果能确
定四边形为菱形，那么一定可以得出这个四边形的对角线互相垂直，而一旦某个四边形的对
角线不互相垂直，那么这个四边形一定不是菱形.
分析菱形定理中的条件和结论之间的关系
定理2：
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
定理3：
如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等.
试用上面的方法分析课本中定理2，定理3
必要条件的概述
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件；
也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的.
例1：将下面的性质定理写成“若p则q”的形式，并用必要条件的语言表述：
（1）平面四边形的外角和是360°；
（2）在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相同.
若a>0，b>0，则ab>0.
知识引入
网
网
如果满足了条件a>0，b>0，一定有结论ab>0，但要注意，使得ab>0
的条件不唯一，例如，由a<0，b<0，也可以判定ab>0.
定理4说：只要有了a>0，b>0这个条件，就可以判定ab>0.
分析a>0，b>0与ab>0成立的关系
定理5：对角线互相平分的四边形是平行四边形
定理6：平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似
试用上面的方法分析课本中定理5，定理6
充分条件的概述
一般地，当命题“若p则q”是真命题时，称p是q的充分条件
综上，对于真命题“若p，则q”，即p
q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件
例2：用充分条件的语言表述下面的命题：
（1）若a=-b，则|a|=|b|
（2）若点C是线段AB的中点，则|AC|=|BC|
（3）当ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c
=
0有两个不相等的实数根.
在勾股定理的逆定理中，“三角形是直角三角形”是“三角形的两直角边的平方和等于斜边
的平方”的必要条件；“三角形的两边的平方和等于第三边的平方”是“三角形为直角三角形”的充分条件.
知识引入
充分必要条件概述
一般地，如果p
q，且q
p.那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件；
记作p
q.
当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件.
p是q的充要条件也常常说成p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”.
例3：在下列各题中，试判断p是q的什么条件.
（1）p：A
B
q：A∩B=A
（2）P：a=b
q：|a|=|b|
（3）p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形.
四、题型讲解
1.
判断下列充分必要条件
（1）设a，b为正数，则“a﹣b＞1”，是“a2﹣b2＞1”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
（2）已知x，y∈R，则”x＞1或y＞1”是“x+y＞2”的（ ）
A．充要条件
B．必要非充分条件
C．充分非必要条件
D．既非充分也非必要条件
（3）“x＝5“是“x2﹣4x﹣5＝0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2.根据充分必要条件，求参数值
（1）已知集合A＝{x|﹣6≤x＜3}，C＝{x|3x+m＜0}．若x∈C是x∈A的必要条件，求实数m的取值范围．
（2）已知P＝{x|x2﹣3x+2≤0}，S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．
①是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由；
②是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．
本节总结
本章节内容主要让学生能够充分掌握和理解充分，必要条件的概念，以及根据命题的充分必要关系，求解参数范围。
谢
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基本不等式
知识引入
对于任意实数x和y，（x-y）2≥0总是成立的，
即x2-2xy+y2≥0，所以
，当且仅当x=y时，等号成立。
若a≥0，b≥0，取
，则
当且仅当a=b时，等号成立。
这个不等式称为基本不等式，其中
称为a，b的算术平均数，
称为a，b的几何平均数，因此，基本不等式也称为均值不等式。
两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值。
结论
学
科
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如图1-14，AB是半圆O的直径，点C在AB上，且AC=a，CB=b.过点C作AB的垂线交于
点D。
连接AD，OD，BD.显然OD=OA=
；利用
三角形相似，可证得，从而
。
基本不等式的几何解释
从图中可以看出OD≥CD，当且仅当点C与圆心0重合时，等号成立，即“半径大于或等于半
弦”.
例4：已知a>0，b>0，c>0，
求证：
当x，y均为正数时，下面的命题均成立：
（1）若x+y=s（s为定值）则当且仅当x=y时，xy取得最大值
（2）若xy=p（p为定值）则当且仅当x=y时，x+y取得最小值
和定积最大，积定和最小
例5：已知x，y均为整数，试证明：若x+y=s（s为定
值），则当且仅当x=y，时，xy取得最大值
证明：由基本不等式
和x+y=s，得
所以：
又因为当x=y=
时，不等式中的等号成立，所以
此时xy取得最大值
.
例6：如图1-16，动物园要围成四间相同面积的长方形禽
舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.（接头处不计）
（1）现有可围36m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各
设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？
（2）若使每间禽舍面积为24m2则每间禽舍的长、宽各设计
为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？
（1）利用基本不等式求最值
1．下列函数中，最小值是2的是（ ）
A．y＝
B．y＝
C．y＝7x+7﹣x
D．y＝x2（x＞0）
2．下列命题中正确的是（ ）
A．若a，b∈R，则
B．若x＞0，则
C．若x＜0，则
D．若x∈R，则
题型归类
（2）和定积最大，和定积最小的考查
1.若mn＝1，其中m＞0，则m+3n的最小值等于（ ）
A．
B．2
C．
D．
2．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy（ ）
A．有最大值为1
B．有最小值为1
C．有最大值为
D．有最小值为
（3）“1”的代换运用
1．若对任意的正数a，b满足a+3b﹣1＝0，则
的最小值为（ ）
A．6
B．8
C．12
D．24
2．若ab＞0，
＝1，则a+b的最小值是_____
课后小结
1.运用基本不等式求最值的三个注意：“一正二定三相等”
2.理解基本不等式的几何意义
谢
谢