生活中的变量关系
【教材分析】
现实世界充满着变量，一些变量之间存在着依赖关系，函数是揭示变量间依赖关系的重要的数学概念，它是现代数学最基本的概念，在解决实际问题中发挥着重要作用．本节内容主要学生更好的认识到生活处处有数学，只要做个有心人，我们可以随时随地学习数学
【教学目标与核心素养】
一、教学目标：
1．通过生活中的实际例子，引起学生积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的联系与区别。
2．培养学生类比分析问题的能力，并通过对现实生活中依赖关系的观察、分析归纳和比较来提高学生的实践能力．
二、核心素养
1．数学抽象：初中对函数概念的理解
2．逻辑推理：借助初中所学的变量之间的关系，分析生活中变量的关系，将函数运用于实际生活中，更能体现数学知识无处不在
3．数学运算：根据变量之间的关系，列出相应函数关系式，从而解决实际问题
4．直观想象：通过有些函数图像的画法，了解什么是分段函数。
5．数学建模:利用函数变量的关系，对于生活中，牵扯到有关变量的实际问题，我们都可以构建数学模型，更好的解决一些问题。
【教学重点】
在于让学生领悟生活中处处有变量，变量之间充满了关系
【教学难点】
依赖关系和函数关系的差别
【教学准备】
PPT
【教学过程】
1.知识探究：
例1：图2-1是某高速公路加油站的图片，加油站在地下常用圆柱体储油罐储存汽油等燃料．储油罐的长度d、截面半径r是常量，油面高度h，油面宽度w、储汕量V是变量．
思考：V，h，w之间是否具有关系
结论：
储油量V与油面高度h存在着依赖关系，也与油面宽度w存在着依赖关
对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量V和它对应．但是，取一个油面宽度w的值，却对应着两个储汕量V
例2自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展．截至2017年年底，中国高铁运营里程突破25
000
km．图2-2表示的是中国高铁年运营里程的变化．
思考：高铁运营里程与年份的关系
结论：
观察图2-2，不难看出：
（1）随着时间的变化，高铁运营里程在变化，它与年份存在着依赖关系；
（2）从2008年到2017年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比，2014年增长得最多
同学回顾初中如何定义函数概念：
有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．
函数概念中需注意：
凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”．
同学思考：
例1中，V与h是否具有函数关系；V与w是否具有函数关系
例3弹簧的伸长量x与弹力y满足函数关系，其中k为劲度系数．对于变量“伸长量”的每一个值，变量“弹力”都有唯一确定的值和它对应，弹力y是伸长量x的函数．
例4表2-1记录了几个不同气压下水的沸点：
表2-1
对于变量“气压”的每一个值，变量“沸点”都有唯一确定的值和它对应，沸点是气压的函数．
例5绿化可以改变小环境气候．某市有甲、乙两个气温观测点，观测点甲的绿化优于观测点乙，图2-3是这两个观测点某一天的气温曲线图．为了方便比较，将两条曲线画在了同一直角坐标系中．每一条曲线都表示了一个函数关系，反映的都是对于“时间”的每一个值，都有唯一确定的“气温”值和它对应．
例6国内某快递公司邮寄普通货物限重30
kg，从A城市到B城市的快递资费标准是:质量1
kg及以下收费12元，以后质量每增加1
kg收费增加8元，质量不足1
kg按1
kg计算．请写出邮件的质量
6kg与邮资M元的函数解析式，并画出局部图象．
解依题意知邮件的质量6
kg与邮资M元的函数解析式为
形如上述的函数，一般叫作分段函数．
生活中存在着许许多多的函数关系．正是函数概念中的关键词“每一个”“唯一”“对应”恰当地反映了事物特征．
【课堂探讨】
1．举出生活中具有函数关系的一些实例
2．找出一个生活实例，说明两个变量之间存在依赖关系，但不是函数关系
【教学反思】
1．判断量与量之间的关系：是函数关系还是依赖关系
2．函数关系理解：每一个自变量有惟一确定因变量的值
5/5生活中的变量关系
【学习目标】
1．区分变量之间是函数关系还是依赖关系
2．掌握函数的概念
【学习重点】
领悟生活中处处有变量，变量之间充满了关系
【学习难点】
依赖关系和函数关系的差别
【学习过程】
一、课前诊断
1．对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，才称它们之间有__________。
2．构成函数关系的两个变量，必须是对于自变量的每一个值，因变量都有_________值与之对应。
3．确定变量的依赖关系，需分清谁是自变量，谁是因变量，如果一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么这个变量是_______，另一个变量是_______。
二、实践研究
1．在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定、在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值．
所挂物体质量x/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧长度y/cm
18
20
22
24
26
28
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系，_________是自变量，_________是因变量．
（2）弹簧长度y与所挂物体质量x之间的关系可以用式子表示为：_________．
2．一支原长为20
cm的蜡烛，点燃后，其剩余长度y（cm）与燃烧时间x（min）之前的关系如表：
燃烧时间x（min）
10
20
30
40
50
…
剩余长度y（cm）
19
18
17
16
15
…
（1）表中反映的自变量是什么？因变量是什么？
（2）求出剩余长度y（cm）与燃烧时间x（min）之间的关系式；
【课后巩固】
1．下列过程中变量之间是否存在依赖关系,其中哪些是函数关系:
（1）地球绕太阳公转的过程中,二者的距离与时间的关系;
（2）在空中作斜抛运动的铅球,铅球距地面的高度与时间的关系;
（3）某水文观测点记录的水位与时间的关系;
（4）某十字路口,通过汽车的数量与时间的关系;
2．一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0．08升，如果设油箱内剩油量为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化
（1）在上述变化过程中，自变量是_________；因变量是_________．
（2）用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量．
请将表格补充完整：
行驶路程x（千米）
100
200
300
400
油箱内剩油量y（升）
_________
40
_________
24
（3）试写出y与x的关系式式__________________．
3．弹簧挂上适当的重物后会按一定的规律伸长，已知一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的关系如表
所挂物体的质量x（kg）
0
1
2
3
4
5
6
弹簧的长度y（cm）
15
15.6
16.2
16.8
17.4
18
18.6
（1）如表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？
（2）写出x与y之间的关系式；
4．小芳以200米/分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度15米/分，又匀速跑10分钟．试写出这段时间里她跑步速度y（米/分）随跑步时间x（分）变化的函数关系式，并画出图象．
【答案】
【实践研究】
1．所挂物体的质量，弹簧的长度；
2．（1）表中反映的自变量是燃烧时间，因变量是剩余长度；
（2）由表可知燃烧时间每增加10
min，长度减小1
cm，
；
【课后巩固】
1．（1）依赖关系
（2）函数关系
C
（3）函数关系
（4）函数关系
2．解：（1）在上述变化过程中，自变量是汽车行驶路程；因变量是邮箱内剩油量，
故答案为：汽车行驶路程，邮箱内剩油量；
（2），
（3）y与x的关系式式是，
3．解：（1）反映了弹簧的长度与所挂的物体质量之间的关系，所挂物体的质量是自变量；
（2）；
4．解：前5分钟的速度y=15x+200（0≤x≤5）；
匀速跑步10分钟，y=200+75=275（5＜x≤15），
，
如图：
4/4函数的概念
【教材分析】
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．
【教学目标】
1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
2．会求一些简单函数的定义域和值域；
3．能够正确表示某些函数的定义域；
【核心素养】
1．数学抽象：借助集合语言，抽象的概述函数的概念
2．逻辑推理：根据初中的函数概念，掌握函数变量之间的基本特性，从而引导学生用高中集合的语言对函数的概念重新定义。
3．数学运算：求函数的定义域；会判断两个函数是否为同一函数；求函数值
4．直观想象：对于函数的定义域，可以直观理解为是满足函数有意义的所有自变量组成的集合。
5．数学建模:通过对函数的重新定义，让学生了解到如何借助集合的语言可以抽象的概述出函数的定义，这样不仅让学生学会建立数学知识间的关联，也可以将这种数学思想运用于实践中。
【教学重点】
理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数
【教学难点】
符号“”的含义，函数定义域和值域的区间表示
【课前准备】
PPT
【教学过程】
1．知识引入
初中学习了三个重要的函数类型:一次函数、一元二次函数和
反比例函数，其中k,a,b,c为常数，．对于每一个x的取值，都有唯一确
定的y值和它对应，这是函数的基本特征．
2．函数概念抽象概述：
给定实数集R中的两个非空数A和B,如果存在一个对应关系f使对于A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就把对应关系f叫作定义在A上的一个函数，记作y=f(x)其中集合A叫作函数的定义域,x叫作自变量，与x值对应的y值叫作函数值，集合叫作函数的值域．
【重点强调】
1．函数是建立在数与数之间的对应关系
2．对应关系指对应的结果，而不是对应过程
3．“”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“”
4．函数符号“”中的表示与对应的函数值
【知识扩充】
函数的三要数：定义域，解析式，值域
3．如何判断两个函数是同一函数
方法:1．判断两个函数定义域是否相同;2．判断两个函数解析式是否一样
同时满足以上两个条件，即为同意函数
例1下列各组中的两个函数是否为同一个函数？
，
（2），
（3），
（4），
解（1）因为的定义域是R,的定义域是,两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数；
（2）因为两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数；
（3）因为的定义域是,的定义域是R,两个函数的定义域不同，所不是同一个函数；
（4）和虽然表示自变量的字母不同，但它们的定义域及对应关系都相同，所以是同一个函数．
例2求下列函数的定义域：
(1)
(2)
(3)
解(1)为使函数有意义，只需解析式中分式的分母不为零，所以函数的定义域
为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，且分式的分母不为0,即
，所以的定义域是
为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，即，所以函数的定义域
【题型归类】
题型一：函数概念考核：
1．下列从集合M到集合N的对应关系中，其中y是x的函数的是（ ）
A．，，对应关系，其中
B．，，对应关系，其中
C．，，对应关系，其中
D．，，对应关系，其中
【解析】解：A．中的一些元素，在中没有元素对应，比如，时，，不是的函数；
B．中的任意元素，在中有两个元素与之对应，不满足对应的唯一性，不是的函数；
C．满足在中的任意元素，在集合中都有唯一元素x2与之对应，是的函数；
D．中的元素0，通过在中没有元素对应，不是的函数．
故选：C．
题型二：判断函数是否为同一函数
2．下列各组函数是同一函数的是（ ）
①
②与
③
④与
A．①
B．②
C．③
D．④
【解析】解：①中函数的定义域不相同，故不是同一函数，
②函数的值域不相同，不是同一函数，
③函数的定义域不相同，故不是同一函数
④是同一函数，
故选：D．
题型三：求函数定义域
3．函数的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：要使函数有意义，则，
得，即且，
即函数的定义域为，
故选：C．
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：的定义域为，
，
，
的定义域为，
需满足，解得，
的定义域为．
故选：D．
题型四：关于函数值的问题
5．已知函数，则的值为（ ）
A．5
B．8
C．10
D．16
【解析】解：函数，
．
故选：C．
6．已知函数，记，，则（ ）
A．
B．9
C．10
D．
【解析】解：函数，
，
，，
．
故选：A．
【教学反思】
从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。
3/6函数的概念
【学习目标】
（1）理解函数的概念
（2）掌握函数定义域的求法
【学习重点】
理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
【学习难点】
符号“”的含义，函数定义域和值域的区间表示。
【学习过程】
一、课前诊断
1．给定实数集R中的两个______A和B,如果存在一个对应关系f使对于A中的_______，在集合B中都有________________，那么就把对应关系f叫作定义在A上的一个函数，记作其中集合A叫作函数的________,x叫作自变量，与x值对应的y值叫作_______，集合叫作函数的_______．
2．函数的三要素：_______________
3．判断两个函数是同一个函数的方法：________________
二、实践研究
1．下列从集合M到集合N的对应关系中，其中y是x的函数的是（
）
A．，，对应关系，其中
B．，，对应关系，其中
C．，，对应关系，其中
D．，，对应关系，其中
2．下列四组中的，表示同一个函数的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．已知函数的定义域为（0，1），则函数的定义域是（
）
A．
B．
C．（-1，1）
D．
【课后巩固】
1．对于集合，，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是（
）
A
B
C
D
2．对于函数，以下说法正确的有（
）
①是的函数；
②对于不同的，的值也不同；
③表示当时函数f（x）的值，是一个常量；
④一定可以用一个具体的式子表示出来．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．已知函数的定义域为（0，1），则函数的定义域是（
）
A．
B．
C．（-1，1）
D．
4．已知函数的定义域为[0，3]，则函数的定义域为（
）
A．[-2，-1]∪[1，2]
B．[1.2]
C．[0.3]
D．[-1.8]
5．函数的定义域为（
）
A．（-∞，1]
B．（-∞，0）
C．（-∞，0）∪（0，1]
D．（0，1]
6．下列各组函数中，与相等的是（
）
A．，
B．,
C．,
D．,
7．下列式子中是的函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．设，，则_________．
9．下列对应为函数的是_________．（填相应序号）
①；
②，其中；
③；④，其中，，．
10．若一系列函数的解析式和值域相同，但是定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，为“同族函数”．下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是_________．（填序号）
①；②；③；④．
【答案】
实践研究：1．C
2．D
3．
D
【课后巩固】
1．D
2．B
3．D
4．D
5．C
6．D
7．B
8．7
9．①②③
10①②④
4/5函数的表示法
【教材分析】
根据函数的定义，函数有三种最常用的表示法：解析法、列表法、图象法，这三种表示法在体现函数性质方面各有优势，根据不同情况采用适当的函数表示形式，有助于深入理解相关函数的性质，养成运用函数知识解决实际问题的习惯。掌握函数三种形式的相互转换，为进今后学习新的函数（指数函数、对数函数等）的性质做好知识和方法准备。
【教学目标与核心素养】
1．知识目标：掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法；灵活运用函数的三种表示法研究函数的性质；熟练作出部分常见函数（分段函数、取整函数、绝对值函数等）的图象；掌握函数的相关运算、函数解析式的求解方法等。
2．核心素养目标：熟练掌握函数的三种表示法，利用函数图象研究函数性质，提高学生的数学运算能力和直观想象能力。
【教学重难点】
1．函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法；
2．准确作出部分常见函数（分段函数、取整函数、绝对值函数等）的图象；
3．函数的相关运算、函数解析式的求解方法等。
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、知识引入
提到“函数”，同学们立刻想到的是什么？
可能是初中学过的形如“、、”，这些正比例函数、一次函数、二次函数等等。这些都是解析式形式的函数。
思考讨论：
如图，是我国最大的水库——三峡水库上游某个地区年降雨量的统计图，图中表示了年号与降雨量之间的对应关系，那么它们是不是函数关系呢？能不能用精确的解析式表示呢？
提示：是函数关系，但没有精确的函数解析式。
二、新知识
函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法
将变量的函数关系用代数式表示，是函数表示方法的解析法；用表格给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的列表法；用图形给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的图象法。
上图分别是用列表法、图象法表示的列车时刻表和成绩变化图。
注意：①函数的三种表示法各有优势．
解析法：变量之间的关系明确，便于精确计算，但不够直观，某些函数无法用解析式表示；
列表法：变量之间的对应关系直观、明了，不需计算，但数据量有限；
图象法：直观地显示出变量的关系、变化规律和函数的性质，使抽象的函数具体化，但无法进行精确运算，如求函数定义域、求精确的函数值等。
②灵活运用函数的三种表示法，可以清楚、全面的了解函数的性质．
“描点法”作函数图象的一般步骤：解析式（得到函数定义域等），列表（算出一些对应值），描点连线（光滑曲线连接）。
③并非所有函数都有解析式，也并非所有函数都能画出图象，如狄利克雷函数：
．
例3．画出函数的图象．
解：函数的定义域为，由绝对值的定义，，画出图象，其图象为第一、二象限的角平分线。
例4．设是任一实数，表示不超过的最大整数，如、、、等等，我们把函数叫作取整函数（高斯函数）。试画出取整函数的局部图象．
解：根据题意，函数的定义域为，值域为．
．
思考讨论（综合练习）
（1）根据条件，求函数解析式．
①；
②；
③
④已知是一元二次函数，且满足；．
（2）若函数的定义域为，值域为，求实数的取值范围．
提示：（1）①设，则，得
所以；
②设，则，得，
则
所以；
③由均值不等式，，，
所以；
④设，由，则，即
又，即
得
则，解得
所以．
（2）作出一元二次函数的图象．
抛物线对称轴，函数的最小值，如图
所以实数的取值范围．
三、课堂练习
教材P55，练习1、2、3、4、5．
四、课后作业
教材P56，习题2-2，A组第3题，B组第2、3、4题．
【教学反思】
函数的图象法表示，是函数表示中非常重要的一种表示方法，它直观、具体地反映了函数的性质，弥补了数、式的枯燥与抽象，是“数形结合”思想方法的主要内容之一，不仅在研究函数中经常使用，在日常生活中用途也非常广泛。
5/5函数的表示法
【学习目标】
（1）掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法；
（2）灵活运用函数的三种表示法研究函数的性质；
（3）熟练作出部分常见函数（分段函数、取整函数、绝对值函数等）的图象；
（4）掌握函数的相关运算、函数解析式的求解方法等。
【学习重难点】
（1）函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法；
（2）准确作出部分常见函数（分段函数、取整函数、绝对值函数等）的图象；
（3）函数的相关运算、函数解析式的求解方法等。
【学习过程】
一、知识引入
提到“函数”，同学们立刻想到的是什么？
可能是初中学过的形如“”，这些正比例函数、一次函数、二次函数等等。这些都是解析式形式的函数。
思考讨论：
如图，是我国最大的水库——三峡水库上游某个地区年降雨量的统计图，图中表示了年号与降雨量之间的对应关系，那么它们是不是函数关系呢？能不能用精确的解析式表示呢？
二、新知识
函数的三种表示法：
解析法、列表法、图象法
将变量的函数关系用代数式表示，是函数表示方法的解析法；用表格给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的列表法；用图形给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的图象法。
注意：
①函数的三种表示法各有优势.
解析法：变量之间的关系明确，便于精确计算，但不够直观，某些函数无法用解析式表示；
列表法：变量之间的对应关系直观、明了，不需计算，但数据量有限；
图象法：直观地显示出变量的关系、变化规律和函数的性质，使抽象的函数具体化，但无法进行精确运算，如求函数定义域、求精确的函数值等。
②灵活运用函数的三种表示法，可以清楚、全面的了解函数的性质.
“描点法”作函数图象的一般步骤：_______________________________________。
③并非所有函数都有解析式，也并非所有函数都能画出图象，如狄利克雷函数：
.
例3.画出函数的图象.
例4.设是任一实数，表示不超过的最大整数，如、、、等等，我们把函数叫作取整函数（高斯函数）。试画出取整函数的局部图象.
思考讨论（综合练习）
（1）根据条件，求函数解析式.
①；
②；
③；
④已知是一元二次函数，且满足；.
（2）若函数的定义域为，值域为，求实数的取值范围.
三、课堂练习
教材P55，练习1、2、3、4、5.
四、课后作业
教材P56，习题2-2，A组第3题，B组第2、3、4题.
2/3函数的单调性和最值
【第一课时】
【教材分析】
函数的单调性和最值的第一课时，主要学习用数学语言刻画函数的变化趋势（单调性的定义）及简单的应用，是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，对于分析函数性质、求函数最值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及其他函数综合问题等，都有重要的应用，掌握函数单调性的定义和应用，为学习幂函数、指数函数、对数函数，包括导函数等做好准备。
【教学目标与核心素养】
1．知识目标：利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间；掌握函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性，及作差结果符号的判断方法；熟悉常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。
2．核心素养目标：通过函数单调性的概念的学习和简单的应用，体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。
【教学重难点】
（1）利用函数的图象判断单调性、寻找函数单调区间；
（2）函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性的方法，及作差结果符号的判断方法；
（3）常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、知识引入
初中学习了一次函数的图象和性质，当时，直线是向右上，即函数值随的增大而增大，当时，直线向右下，即函数值随的增大而减小。同样二次函数、反比例函数等，也有类似的性质。
思考讨论：
（1）如图，是某位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？
提示：高一时成绩在下降，高一下期期末降到最低名次32名，以后各次考试成绩逐步提高，到高三上期时已经进入前五名。
（2）如图，是函数的图象，说出在各个区间函数值随的值的变化情况。
提示：在区间上，函数值都是随的值的增大而增大；
在区间上，函数值都是随的值的增大而减小。
二、新知识
一般地，在函数定义域内的一个区间上。
如果对于任意的，当时，都有，那么就称函数在区间上是增函数或递增的；
如果对于任意的，当时，都有，那么就称函数在区间上是减函数或递减的。
注意：
①函数在区间上是增函数（减函数），那么就称函数在区间上是单调函数，或称在区间上具有单调性，区间称为函数单调区间。
如：一元二次函数在区间上是单调增函数（单调递增），区间是函数的单调增区间；
②增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的；
③“函数在区间上单增”与“函数的单增区间是”两种叙述含义是不同的。
如：函数的单调递增区间为，则对称轴；
函数在区间上单调递增，则对称轴。
④函数的定义域为，由函数图象可知，在两个区间上函数都是单调递减的，但不能说成“函数在定义域内递减”或“函数的单调递减区间是”，而只能说“函数在区间和区间上都是递减的”。
例1．设，画出函数的图象，并通过图象直观判断它的单调性。
解：函数，其图象是函数的图象向左平移3个单位得到，如图，该函数在区间上单调递减。
例2．根据函数图象直观判断的单调性。
解：函数，画出该函数的图象，如图，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数。
例3．判断函数的单调性，并给出证明．
解：画出函数的图象，如图，可以看出函数在上是减函数．
下面用定义证明这一单调性．
任取，且，则
，即
所以函数在上是减函数．
思考讨论（综合练习）
（1）二次函数在区间上单调，则实数的取值范围；
（2）设函数，证明：当时，函数在区间上是减函数；
（3）已知，函数是区间上的单调函数，求实数的取值范围；
（4）设实数，函数在区间上的最小值是，求并画出的图象。
提示：（1）二次函数，图象抛物线开口向上，对称轴
函数在区间上单调，则或，所以的取值范围为或．
（2）设，且
．
因为，所以
，，，所以．
．
即
函数在区间上是减函数
（3）任取，且
．
，得
根据题意，的符号恒正或恒负，故
所以实数的取值范围是．
（4）画出函数的图象，如图，抛物线对称轴为
当时，函数在区间上单调递减，；
当时，函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上单调递增，．
综上，，画出函数图象如图：
三、课堂练习
教材P60，练习1、2、3。
四、课后作业
教材P62，习题2-3：A组第1、2、3、4题。
【教学反思】
函数的单调性是函数的重要性质之一，它反映了函数的变化趋势，通过函数图象，可以直观、定性地进行初步判断，要精确地判断函数的单调性，还是要根据定义证明，今后还要学习其他方法（导数等）判断函数的单调性。
在函数的很多问题中（求值域、求极值等）都要用到函数的单调性。
【第二课时】
【教学分析】
上一节，同学们已经可以利用函数图象判断函数的单调性，学习了函数单调性的定义以及用定义证明函数的单调性、找出函数单调区间，本节课在此基础上继续学习复杂函数（双曲函数、分式函数、复合函数等）单调性的分析和证明，达到熟练运用函数单调性，解决有关函数性质的综合问题。
【教学目标与核心素养】
（1）知识目标：
利用函数的单调性定义证明函数的单调性；复杂函数（双曲函数、分式函数、复合函数等）单调性的分析和证明；熟练利用函数的单调性解决函数、不等式等函数综合问题。
（2）核心素养目标：
通过函数单调性的应用，体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。
【教学重难点】
1．利用定义证明函数的单调性；
2．复杂函数（双曲函数、分式函数、复合函数等）单调性的分析和证明；
3．利用函数的单调性解决函数、不等式等函数综合问题。
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
思考讨论：
（1）增函数和减函数的定义是什么？
提示：在函数定义域内的一个区间上，如果对于任意的，当时,都有，就称函数在区间上是增函数；如果都有，就称函数在区间上是减函数。
（2）如果有两个函数和，在同一个区间上都是单增（单减）函数，那么函数的具有怎样的单调性？能不能判断函数的单调性呢？
提示：函数也是单增（单减）函数，函数的单调性不确定。
例4．判断函数的单调性，并给出证明．
解：画出函数的图象，可以看出，函数在定义域内是增函数．
下面给出证明：
设，且，则
，∵，∴
即，所以函数在定义域上是增函数．
例5．试用定义证明：函数在区间上是减函数，在区间上是增函数．
解：设，且,则
，
∵，∴，，又
，即函数在区间上是减函数．
同理可证，函数在区间上是增函数．
注意：
①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数．
在区间上，由函数的单调性或由均值不等式，可得当时，函数取得最小值，同理也可以得到时函数的单调性。画出该函数的图象，如图，该函数又叫双曲函数．
形如的函数，在区间上也具有类似的性质，根据均值不等式，可得当时，函数取得最小值，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数；
②设是的函数，是的函数，其中函数的值域是函数的定义域或子集，则函数称为函数与函数的复合函数。
复合函数单调性常采用分层分析的方法：
如：函数，令，则
当时，，所以函数在时单减，
当时，，所以函数在时单增，
其中“”代表增大，“”代表减小．
③有些函数问题中（如求值域、求最值等），如果要用到函数的单调性，而又不需证明，可以通过分析的方法，得到函数的单调性．
如：求函数在区间上的最值．
，
当时，随着，，所以函数，即函数单增．
所以，．
思考讨论（综合练习）
（1）如果函数，对任意实数都有，试比较、、的大小；
（2）函数在上单调递增，求实数的取值范围
（3）求函数的单调区间；
（4）已知定义在区间上的函数，满足：i）对任意，都有；ii）当时，．
①判断并证明单调性；
②解关于的不等式．
提示：（1）根据题意，对任意实数都有，则二次函数图象的对称轴为，抛物线开口向上，所以离对称轴距离越远的自变量，对应的函数值越大，所以．
（2）函数在上单调递增，则在时单增，且在分界点处，右侧函数值不小于左侧函数值，即且，得，所以实数的取值范围为．
（3）函数有意义，则，得，所以函数定义域为
设，函数对称轴为，
当时，，函数的递增区间为；
当时，，函数的递减区间为．
所以，函数的递增区间为；递减区间为．
（4）①：设，且
．
因，故，得
，函数在区间上单减．
②不等式即
由函数的定义域和单调递减，得，解得．
三、课堂练习
教材P62，练习1、2、3．
四、课后作业
教材P62，习题2-3：A组第5题，B组第1、2、3、4题．
【教学反思】
函数的单调性是函数的一个重要性质，有关函数的很多问题中，均以函数的单调性为基础，比如求函数的值域、求函数的极值等等，大家在掌握定义法证明函数单调性同时，也要掌握分析函数单调性的方法。
11/11函数的单调性和最值
【第一课时】
【学习目标】
（1）利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间；
（2）掌握函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性，及作差结果符号的判断方法；
（3）熟悉常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。
【学习重难点】
（1）利用函数的图象判断单调性、寻找函数单调区间；
（2）函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性的方法，及作差结果符号的判断方法；
（3）常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。
【学习过程】
一、知识引入
初中学习了一次函数的图象和性质.
当时，直线是向右上，即函数值随的增大而__________，
当时，直线向右下，即函数值随的增大而__________。
思考讨论：
（1）如图，是某位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？
（2）如图，是函数的图象，说出在各个区间函数值随的值的变化情况.
二、新知识
一般地，在函数定义域内的一个区间上.
如果对于任意的，当时，都有___________，那么就称函数在区间上是增函数或递增的；
如果对于任意的，当时，都有____________，那么就称函数在区间上是减函数或递减的。
注意：
①函数在区间上是增函数（减函数），那么就称函数在区间上是单调函数，或称在区间上具有单调性，区间称为函数的单调区间。
如：一元二次函数在区间上是__________（单调递增），区间是函数的__________区间；
②增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的；
③“函数在区间上单增”与“函数的单增区间是”两种叙述含义是不同的.
如：函数的单调递增区间为，则对称轴__________；
函数在区间上单调递增，则对称轴__________.
④函数的定义域为，由函数图象可知，在两个区间上函数都是单调递减的，但不能说成“函数在定义域内递减”或“函数的单调递减区间是”，而只能说“函数在区间和区间上都是递减的”.
例1.设，画出函数的图象，并通过图象直观判断它的单调性.
例2.根据函数图象直观判断的单调性.
例3.判断函数的单调性，并给出证明.
思考讨论（综合练习）
（1）二次函数在区间上单调，则实数的取值范围；
（2）设函数，证明：当时，函数在区间上是减函数；
（3）已知，函数是区间上的单调函数，求实数的取值范围；
（4）设实数,函数在区间上的最小值是，求并画出的图象.
【第二课时】
【学习目标】
（1）利用函数的单调性定义证明函数的单调性；
（2）复杂函数（双曲函数、分式函数、复合函数等）单调性的分析和证明；
（3）熟练利用函数的单调性解决函数、不等式等问题。
【学习重难点】
（1）利用定义证明函数的单调性；
（2）复杂函数（双曲函数、分式函数、复合函数等）单调性的分析和证明；
（3）利用函数的单调性解决函数、不等式等问题。
【学习过程】
思考讨论：
（1）增函数和减函数的定义是什么？
（2）如果有两个函数和，在同一个区间上都是单增（单减）函数，那么函数的具有怎样的单调性？能不能判断函数的单调性呢？
例4.判断函数的单调性，并给出证明.
例5.试用定义证明：函数在区间上是减函数，在区间上是增函数.
注意：
①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数.
时，由函数的单调性或由均值不等式，可得当时，函数取得最小值，同理也可以得到时函数的单调性。画出该函数的图象，如图，该函数又叫双曲函数.
形如的函数，在区间上也具有类似的性质，根据均值不等式，可得当__________时，函数取得最小值__________，函数在区间上是__________，在区间上是__________；
②设是的函数，是的函数，其中函数的值域是函数的定义域或子集，则函数称为函数与函数的复合函数。
复合函数单调性常采用分层分析的方法：
如：函数，令，则
当时，，所以函数在时单减，
当时，，所以函数在时单增，
其中“”代表增大，“”代表减小.
③有些函数问题中（如求值域、求最值等），如果要用到函数的单调性，而又不需证明，可以通过分析的方法，得到函数的单调性.
如：求函数在区间上的最值.
____________________________________，
当时，随着，，所以函数，即函数单增.
所以____________________，____________________。
思考讨论（综合练习）
（1）如果函数，对任意实数都有，试比较、、的大小；
（2）函数在上单调递增，求实数的取值范围
（3）求函数的单调区间；
（4）已知定义在区间上的函数，满足：i）对任意，都有；ii）当时，.
①判断并证明单调性；
②解关于的不等式.
5/5函数的奇偶性
【教材分析】
函数奇偶性是函数的又一个重要性质，是函数概念的拓展和深化，奇偶性充分体现了函数图象在研究函数性质的重要性，渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法。奇偶性的教学在知识和能力方面对学生的教育起着非常重要的作用，是后续学习幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的基础。因此，在函数的学习中，本节课起着承上启下的重要作用。
【教学目标与核心素养】
1．知识目标：理解、掌握函数奇偶性的概念、图象特征和性质；能够根据定义和图象判断简单函数的奇偶性；能够应用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。
2．核心素养目标：通过函数奇偶性概念的学习和简单的应用，体会数形结合、归纳转化等基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。
【教学重难点】
1．函数奇偶性的概念、图象特征和性质；
2．根据定义和图象判断简单函数的奇偶性；
3．用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、知识引入
在日常生活中，我们经常会看到一些具有对称性的图片，如美丽的蝴蝶、精彩的剪纸等等。
思考讨论：
（1）上列各图，分别是怎样的对称图形？
提示：第1、2图为轴对称图形，第3、4图为中心对称图形．
（2）在我们学习的函数中，有些函数的图象也具有对称性，请举出几个这样的函数；
提示：一元二次函数图象（轴对称）、反比例函数图象（中心对称）等等．
例1．画出函数的图象，并观察它的对称性．
解：先列表，然后描点、连线，得到函数图象如图
（3）上例函数的图象是关于原点中心对称的，你能说出函数解析式是怎样体现这个性质的吗？
提示：对于定义域中任一个自变量的取值，都有函数值．
二、新知识
一般地，设函数定义域为．
如果当时,有，且，那么就称函数为奇函数；
如果当时,有，且，那么就称函数为偶函数。
如：函数、等等
注意：
①当函数是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性。
奇函数图象关于原点中心对称，反之亦然；
偶函数图象关于轴对称,反之亦然。
②函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称；
③若奇函数是在处有定义，则有；
④如果已知了一个函数的奇偶性，那么在研究它的性质时，可以先研究其在非负区间上的性质，然后利用对称性可得在轴另一侧函数的性质．
例2．根据定义，判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解：（1）函数定义域为，对任意，有
，．
得，所以函数为奇函数．
（2）函数定义域为，对任意，有
，得，
所以函数为偶函数．
（3）函数定义域为，对任意，有
，得，
所以函数为偶函数．
（4）函数定义域为，定义域不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数．
思考讨论（综合练习）
（1）根据定义，判断下列函数的奇偶性：
①
②
③
④
（2）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
①求函数的解析式；
②若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
提示：（1）①函数有意义，则，即定义域为，有，
此时既有，又有
所以函数既是奇函数又是偶函数．
②函数定义域为，
若，则，
有，，有
若，则，
有，，仍有
所以函数为奇函数．
③函数有意义，则，即定义域为，函数即为
易得
所以函数为奇函数．
④函数定义域为，对任意，有
即
所以函数为奇函数．
（2）①函数是定义在上的奇函数，设，则
．
又函数为奇函数，，上式即为
得
所以函数
②函数在上单调递增，画出函数图象，如图
则，解得
所以实数的取值范围为．
注意：
①奇偶性的定义是判断函数奇偶性的基本方法，某些函数，如果不易直接看出的关系，可以通过验证或来判断函数的奇偶性；
②奇函数如果在处有定义，必有；
③函数在定义域内，如果满足，则函数图象关于直线对称；如果满足，则函数图象关于直线对称．
三、课堂练习
教材P66，练习1、2、3．
四、课后作业
教材P67，习题2-4：A组第1、2、3题．
【教学反思】
分析函数的性质，一般首先考察函数的定义域，然后考察函数的奇偶性等，如果可能，再画出函数的图象，这样函数的其他性质，比如单调性、值域、最值等等，就很容易得到了。所以奇偶性是函数最基本的性质之一，如果函数具备奇偶性，在考察其性质或图象时，就可以只考虑轴一侧的情况，从而事半而功倍。
5/5函数的奇偶性
【学习目标】
（1）理解、掌握函数奇偶性的概念、图象特征和性质；
（2）能够根据定义和图像判断简单函数的奇偶性；
（3）能够应用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。
【学习重难点】
（1）函数奇偶性的概念、图象特征和性质；
（2）根据定义和图像判断简单函数的奇偶性；
（3）用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。
【学习过程】
一、知识引入
在日常生活中，我们经常会看到一些具有对称性的图片，如美丽的蝴蝶、精彩的剪纸等等。
思考讨论：
（1）上列各图，分别是怎样的对称图形？
（2）在我们学习的函数中，有些函数的图象也具有对称性，请举出几个这样的函数；
例1.画出函数的图象，并观察它的对称性.
（3）上例函数的图象是关于原点中心对称的，你能说出函数解析式是怎样体现这个性质的吗？
二、新知识
一般地，设函数定义域为.
如果当时,有，且，那么就称函数为奇函数；
如果当时,有，且，那么就称函数为偶函数。
如：函数、等等
注意：
①当函数是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性。
奇函数图象关于原点中心对称，反之亦然；
偶函数图象关于轴对称,反之亦然。
②函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称；
③若奇函数是在处有定义，则有；
④如果已知了一个函数的奇偶性，那么在研究它的性质时，可以先研究其在非负区间上的性质，然后利用对称性可得在轴另一侧函数的性质.
例2.根据定义，判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
思考讨论（综合练习）
（1）根据定义，判断下列函数的奇偶性：
①
②
③
④
（2）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
①求函数的解析式；
②若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
注意：
①奇偶性的定义是判断函数奇偶性的基本方法，某些函数，如果不易直接看出的关系，可以通过验证或来判断函数的奇偶性；
②奇函数如果在处有定义，必有；
③函数在定义域内，如果满足，则函数图象关于直线对称；如果满足，则函数图象关于直线对称.
2/3简单幂函数的图象和性质
【教材分析】
传统教材中，幂函数内容是放在指数函数、对数函数之后学习，而新教材将其提前，在学习了函数基本概念和性质后，学习的第一个具体函数，这一安排有其合理性，一方面，幂函数是初中学习的正比例、反比例、一元二次函数的推广，有一定的知识基础，另一方面，将前面刚刚学习的函数知识，应用到具体函数中，使学生深刻体会探究函数性质的方法与步骤，为学习指数函数、对数函数做好准备。
【教学目标与核心素养】
1．知识目标：掌握幂函数的概念和定义；学会使用函数的知识自主分析、研究幂函数的图象和性质；对于指数的不同情况，学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手分析幂函数的性质，掌握探究函数性质的一般方法和步骤。
2．核心素养目标：通过自主探究幂函数的图象和性质，培养学生知识的应用能力，提高学生的数学运算和逻辑推理的核心素养。
【教学重难点】
1．幂函数的概念和定义；
2．使用函数的知识自主分析、研究幂函数的图象和性质；
3．对于指数的不同情况，学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手，分析幂函数的性质，掌握探究函数性质的一般方法和步骤。
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、知识引入
初中学习了函数、反比例函数、二次函数等，对它们的图象和性质已经很熟悉了。后面将学习“”可以记作“”、“”可以记作“”，形如“”的函数，在实际生活中经常会遇到。
思考讨论：
（1）写出边长为的正方体体积的函数；
提示：．
（2）写出面积为的正方形的边长的函数．
提示：即．
二、新知识
一般地，形如（为常数）的函数，称为幂函数．
如：函数、等等
注意：
①幂函数的指数是常数，底数是自变量，且指数式前面的系数是1；
②幂函数的图象和性质，根据不同的指数，视其情况具体分析，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、经过的特殊点等方面入手，分析画出其图象．
思考讨论
（1）将函数的图象画在同一个坐标系中，并完成下表：
定义域
值域
单调性
奇偶性
奇
奇
偶
非奇非偶
奇
（2）下列各图，只画出了函数在轴一侧的图象，请画出轴另一侧的图象，并说出画法的依据．
提示：前三个函数为奇函数，所以图象关于原点中心对称，后两个函数为偶函数，图象关于轴对称．
思考讨论（综合练习）
（1）若幂函数在上为减函数，求实数的值；
（2）已知函数、、在第一象限的函数图象如图，试比较的大小；
（3）试利用函数的性质，比较的大小：
．
（4）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上为减函数，解关于的不等式．
提示：（1）函数为幂函数，则，得或，
函数为或，又函数在上为减函数，所以．
（2）由的图象，函数单减，则，再取特殊值，则，则
所以．
（3）由幂函数，即的性质，，即
再由幂函数的图象，可得，即
所以．
（4）函数在上为减函数，
则，即，，故或．
又图象关于轴对称，函数为偶函数，则为偶数，所以
不等式即为，再由幂函数的图象
得或或
所以不等式的解集为．
注意：
①幂函数的图象和性质，因不同的指数，差异是比较大的，一般通过分析函数的定义域、奇偶性、单调性和经过的特殊点等等得出图象和性质；
②在区间上，幂函数的图象均过定点，当时，幂函数单调递增，当时，单调递减，当时，幂函数为,即；
③特殊值法在幂函数问题中常常用到，这样可以省去很多不必要的分析过程．
三、课堂练习
教材P66，练习3．
四、课后作业
教材P67，习题2-4：B组第1题．
【教学反思】
分析函数的图象和性质，一般步骤是：首先考虑函数的定义域，然后考察函数的奇偶性，如果可能，再画出函数的图象，这样函数的其他性质，比如单调性、值域、最值等等，就很容易得到了。幂函数指数的情况较多，其图象和性质差异也较大，但只需按照上述步骤去分析，就可以得出函数的性质。
1/5简单幂函数的图象和性质
【学习目标】
（1）
掌握幂函数的概念和定义；
（2）
学会使用函数的知识自主分析、研究幂函数的图象和性质；
（3）
对于指数的不同情况，学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手分析幂函数的性质，掌握探究函数性质的一般方法和步骤。
【学习重难点】
（1）幂函数的概念和定义；
（2）使用函数的知识自主分析、研究幂函数的图象和性质；
（3）对于指数的不同情况，学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手，分析幂函数的性质，掌握探究函数性质的一般方法和步骤。
【学习过程】
一、知识引入
初中学习了函数、反比例函数、二次函数等，对它们的图象和性质已经很熟悉了。后面将学习“”可以记作“”、“”可以记作“”，形如“”的函数，在实际生活中经常会遇到。
思考讨论：
（1）写出边长为的正方体体积的函数；
（2）写出面积为的正方形的边长的函数.
二、新知识
一般地，形如（为常数）的函数，称为幂函数.
如：函数、等等
注意：
①幂函数的指数是常数，底数是自变量，且指数式前面的系数是1；
②幂函数的图象和性质，根据不同的指数，视其情况具体分析，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、经过的特殊点等方面入手，分析画出其图象.
思考讨论
（1）将函数的图象画在同一个坐标系中，并完成下表：
定义域
值域
单调性
奇偶性
（2）下列各图，只画出了函数在轴一侧的图象，请画出轴另一侧的图象，并说出画法的依据.
考讨论（综合练习）
（1）若幂函数在上为减函数，求实数的值；
（2）已知函数、、在第一象限的函数图象如图，试比较的大小；
（3）试利用函数的性质，比较的大小：
.
（4）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上为减函数，解关于的不等式.
注意：
①幂函数的图象和性质，因不同的指数，差异是比较大的，一般通过分析函数的定义域、奇偶性、单调性和经过的特殊点等等得出图象和性质；
②在区间上，幂函数的图象均过定点，当时，幂函数单调递增，当时，单调递减，当时，幂函数为,即；
③特殊值法在幂函数问题中常常用到，这样可以省去很多不必要的分析过程.
3/3(共16张PPT)
生活中的变量关系
例1：图2-1是某高速公路加油站的图片，加油站在地下常用圆柱体储油罐储存汽油等燃料。储油罐的长度d、截面半径r是常量，油面高度h，油面宽度w、储汕量V是变量。
知识探究1
思考交流
V，h，w之间是否具有某种关系
结
论
储油量V与油面高度h存在着依赖关系，也与油面宽度w存在着依赖关系。
对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量V和它对应。但是，取一个油面宽度w的值，却对应着两个储汕量V。
例2：自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展。截至2017年年底，中国高铁运营里程突破25
000
km。图2-2表示的是中国高铁年运营里程的变化。
知识探究2
思考交流
高铁运营里程与年份的关系
结
论
观察图2-2，不难看出：
（1）随着时间的变化，高铁运营里程在变化，它与年份存在着依赖关系；
（2）从2008年到2017年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比，2014年增长得最多。
有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
函数概念中需注意：
凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都唯一确定的值和它对应”。
回顾初中如何定义函数概念
同学思考：例1中，V与h是否具有函数关系；V与w是否具有函数关系。
思考：1、弹簧的伸长量x与弹力y的关系
2、表2-1记录了几个不同气压下水的沸点
变量“气压”的每一个值，变量“沸点”的关系
气压/(105
Pa)
0.5
1.0
2.
0
5.
0
10
沸点/0C
82
100
121
152
180
分析：
1.弹簧的伸长量x与弹力y满足函数关系y=kx，其中k为劲度系数。对于变量“伸长量”的每一个值，变量“弹力”都有唯一确定的值和它对应，弹力y是伸长量x的函数。
2.对于变量“气压”的每一个值，变量“沸点”都有唯一确定的值和它对应，沸点是气压的函数。
例3：绿化可以改变小环境气候。某市有甲、乙两个气温观测点，观测点甲的绿化优于观测点乙，图2-3是这两个观测点某一天的气温曲线图。为了方便比较，将两条曲线画在了同一直角坐标系中。
问题：分析每一条曲线是否表示了一个函数关系
分析：
每一条曲线都表示了一个函数关系，反映的都是对于“时间”的每一个值，都有唯一确定的“气温”值和它对应。
例4：
国内某快递公司邮寄普通货物限重30
kg，从A城市到B城市的快递资费标准是:质量1
kg及以下收费12元，以后质量每增加1
kg收费增加8元，质量不足1kg按1kg
计算。请写出邮件的质量6
kg与邮资M元的函数解析式，并画出局部图象。
分析：
总结：形如上述的函数，一般叫作分段函数。
生活中存在着许许多多的函数关系。正是函数概念中的关键词”每一个”
“唯一”“对应”恰当地反映了事物特征。
本节小结
判断量与量之间的关系：是函数关系还是依赖关系
函数关系理解：每一个自变量有惟一确定因变量的值
谢
谢(共16张PPT)
简单幂函数的图像和性质
初中学习了函数、反比例函数、二次函数等，对它们的图象和性质已经很熟悉了
后面将学习“”可以记作“”、“”可以记作“”
以上都是形如“”的函数，在实际生活中经常会遇到
(1)写出边长为的正方体体积的函数；
提示：.
(2)写出面积为的正方形的边长的函数.
提示：即
思考讨论
一般地，形如（为常数）的函数，称为幂函数.
如：函数、等等
注意：
①幂函数的指数是常数，底数是自变量，且指数式前面的系数是1；
②幂函数的图象和性质，根据不同的指数，视其情况具体分析，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、经过的特殊点等方面入手，分析画出其图象.
思考讨论
(1)将函数的图象画在同一个坐标系中，并完成下表：
思考讨论
(1)将函数的图象画在同一个坐标系中
可以看出：
幂函数图象
过定点（1，1）
思考讨论
(2)下列各图，只画出了函数在轴一侧的图象，请画出轴另一侧的图象，并说出画法的依据.
前三个函数为奇函数，所以图象关于原点中心对称，
后两个函数为偶函数，图象关于轴对称.
思考讨论（综合练习）：
(1)若幂函数在上为减函数，求实数的值；
(2)已知函数、、在第一象限的函数图象如图，试比较的大小；
(3)试利用函数的性质，比较的大小：
.
(4)已知幂函数的图象关于轴对称，且在上为减函数，解关于的不等式.
思考讨论（综合练习）：
(1)若幂函数在上为减函数，求实数的值；
(2)已知函数、、在第一象限的函数图象如图，试比较的大小；
提示：(1)函数为幂函数，则，得或，
函数为或，又函数在上为减函数，
所以.
(2)由的图象，函数单减，则，再取特殊值，则，则所以.
思考讨论（综合练习）：
(3)试利用函数的性质，比较的大小：
.
提示：
(3)由幂函数，即的性质，，即
再由幂函数的图象，可得，
即
所以.
思考讨论（综合练习）：
(4)已知幂函数的图象关于轴对称，且在上为减函数，解关于的不等式.
提示：
(4)
函数在上为减函数，
则，即，，故或.
又图象关于轴对称，函数为偶函数，则为偶数，所以
不等式即为，再由幂函数的图象
得或或
所以不等式的解集为.
方法小结：
①幂函数的图象和性质，因不同的指数，差异是比较大的，一般通过分析函数的定义域、奇偶性、单调性和经过的特殊点等等得出图象和性质；
②在区间上，幂函数的图象均过定点，当时，幂函数单调递增，当时，单调递减，当时，幂函数为
,即；
③特殊值法在幂函数问题中常常用到，这样可以省去很多不必要的分析过程.
练习
教材P66，
练习3.
作业
教材P67，习题2—4：
B
组第1题
谢
谢(共20张PPT)
函数的奇偶性
在日常生活中，我们经常会看到一些具有对称性的图片，如美丽的蝴蝶、精彩的剪纸等等
上列各图，分别是怎样的对称图形？
第1、2图为轴对称图形，
第3、4图为中心对称图形.
思考讨论：
在我们学习的函数中，有些函数的图象也具有对称性，请举出几个这样的函数；
例1.
画出函数的图象，
并观察它的对称性.
解：先列表
-2
-1
0
1
2
描点、连线，得函数图象
-8
-1
1
8
0
思考讨论：
上例函数的图象是关于原点中心对称的，
你能说出函数解析式是怎样体现这个性质的吗？
提示：对于定义域中任一个自变量的取值，都有函数值.
一般地，设函数定义域为.
如果当时,有，且，那么就称函数为奇函数；
如果当时,有，且，那么就称函数为偶函数。
如：函数、等等
注意：
①当函数是奇函数或偶函数时，称函数
具有奇偶性。
奇函数图象关于原点中心对称，反之亦然；
偶函数图象关于轴对称,
反之亦然。
②函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称；
注意：
③若奇函数是在处有定义，则有；
④如果已知了一个函数的奇偶性，那么在研究它的性质时，可以先研究其在非负区间上的性质，然后利用对称性可得在轴另一侧函数的性质.
试一试
例2.
根据定义，判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：(1)函数定义域为，对任意，有
，
.
得，所以函数为奇函数.
(2)函数定义域为，对任意，有
，
得，
所以函数为偶函数.
试一试
例2.
根据定义，判断下列函数的奇偶性：
（3）；
（4）.
解：
(3)函数定义域为，
对任意，有，
得，
所以函数为偶函数.
(4)函数定义域为，定义域不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数.
思考讨论（综合练习）：
(1)根据定义，判断下列函数的奇偶性：
①
②
③
④
(2)已知函数是定义在上的奇函数，且当时，
.
①求函数的解析式；
②若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
思考讨论（综合练习）：
(1)根据定义，判断下列函数的奇偶性：①
②
提示：(1)
①函数有意义，则，即定义域为，有，
此时既有，又有，所以函数既是奇函数又是偶函数.
②函数定义域为，
若，则，
有，，有
若，则，
有，，仍有
所以函数为奇函数．
思考讨论（综合练习）：
(1)根据定义，判断下列函数的奇偶性：③
④
提示：③函数有意义，则，即定义域为，
函数即为，易得，所以函数为奇函数．
④函数定义域为，对任意，有
.
即，所以函数为奇函数．
思考讨论（综合练习）：
(2)已知函数是定义在上的奇函数，且当时，
.
①求函数的解析式；
②若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
提示：
(2)
①函数是定义在上的奇函数，设，则
.
又函数为奇函数，，上式即为
得，所以函数
思考讨论（综合练习）：
(2)已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
①求函数的解析式；
②若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
提示：
(2)
②函数在上单调递增，画出函数图象，如图
则，解得
所以实数的取值范围为.
注意：
①奇偶性的定义是判断函数奇偶性的基本方法，某些函数，如果不易直接看出的关系，可以通过验证或来判断函数的奇偶性；
②奇函数如果在处有定义，必有；
③函数在定义域内，如果满足，则函数图象关于直线对称；如果满足，则函数图象关于直线对称.
方法点拨：
分析函数的性质，一般首先考察函数的定义域，然后考察函数的奇偶性等，如果可能，再画出函数的图象，这样函数的其他性质，比如单调性、值域、最值等等，就很容易得到了。所以奇偶性是函数最基本的性质之一，如果函数具备奇偶性，在考察其性质或图象时，就可以只考虑轴一侧的情况，从而事半而功倍。
练习
教材P66，
练习1、2、3.
作业
教材P67，习题2—4：
A组第1、2、3题
谢
谢(共19张PPT)
函数的表示法
提到“函数”，同学们立刻想到的是什么？
初中学过的形如“
”，这些正比例函数、一次函数、二次函数等等。这些都是解析式形式的函数。
长江三峡工程1994年开始修建，2009年全部竣工，是当今世界上最大水利枢纽工程。
思考讨论：
如图，是我国最大的水库——三峡水库上游某个地区年降雨量的统计图，图中表示了年号与降雨量之间的对应关系，那么它们是不是函数关系呢？能不能用精确的解析式表示呢？
提示：是函数关系，但没有精确的函数解析式。
函数的三种表示法：
解析法、列表法、图象法
将变量的函数关系用代数式表示，是函数表示方法的解析法；用表格给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的列表法；用图形给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的图象法。
列表法
表示的列车时刻表
图象法
表示的某同学成绩变化图
注意：
①函数的三种表示法各有优势.
解析法：变量之间的关系明确，便于精确计算，但不够
直观，某些函数无法用解析式表示；
列表法：变量之间的对应关系直观、明了，不需计算，但数据量有限；
图象法：直观地显示出变量的关系、变化规律和函数的性质，使抽象的函数具体化，但无法进行精确运算，如求函数定义域、求精确的函数值等。
注意：
②灵活运用函数的三种表示法，可以清楚、全面的了解函数的性质.
“描点法”作函数图象的一般步骤：解析式（得到函数定义域等），列表（算出一些对应值），描点连线（光滑曲线连接）。
③并非所有函数都有解析式，也并非所有函数都能画出图象，如狄利克雷函数：
.
试一试
例3.画出函数的图象.
解：函数的定义域为，由绝对值的定义，
，画出图象，
其图象为第一、二象限的角平分线。
试一试
例4.设是任一实数，表示不超过的最大整数，如、、、等等，我们把函数叫作取整函数（高斯函数）。试画出取整函数的局部图象.
解：根据题意，函数的定义域为，值域为.
.
思考讨论（综合练习）：
(1)根据条件，求函数解析式.
①；
②；
③；
④
已知是一元二次函数，且满足；
.
(2)若函数的定义域为，值域为，求实数的取值范围.
(1)根据条件，求函数解析式.
①；
②；
提示：(1)
①设，则，
得
所以；
②设，则，得，
则
所以；
这两道题的方法叫换元法
（注意定义域）
③；
解：由均值不等式，，
，
所以；
这道题的方法叫拼凑法
④
已知是一元二次函数，且满足；.
解：设，由，则，即
又，即
得
则，解得
所以.
这道题的方法叫待定系数法
(2)若函数的定义域为，值域为，求实数的取值范围.
解：作出一元二次函数
的图象.
抛物线对称轴，函数的最小值，如图
所以实数的取值范围.
方法点拨：
函数的图象法表示，是函数表示中非常重要的一种表示方法，它直观、具体地反映了函数的性质，弥补了数、式的枯燥与抽象，是“数形结合”思想方法的主要内容之一，不仅在研究函数中经常使用，在日常生活中用途也非常广泛。
练习
教材P55，
练习1、2、3、4、5.
作业
教材P56，习题2—2：
A组第3题
A组第2、3、4题
谢
谢(共38张PPT)
函数的单调性和最值
函数的单调性和最值
第一课时
初中学习了一次函数的图象和性质
当时，直线向右上，即函数值随的增大而
当时，直线向右下，即函数值随的增大而
增大
减小
思考讨论：
(1)如图，是某位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？
提示：高一时成绩在下降，高一下期期末降到最低名次32名，以后各次考试成绩逐步提高，到高三上期时已经进入前五名
思考讨论：
如图，是函数的图象，说出在各个区间函数值随的值的变化情况.
在区间上，函数值都是随的值的增大而增大；
在区间上，函数值都是随的值的增大而减小.
一般地，在函数定义域内的一个区间上，如果对于任意的，当时，都有，那么就称函数在区间上是增函数或递增的；
如果对于任意的，当时，都有，那么就称函数在区间上是减函数或递减的。
注意：
①函数在区间上是增函数（减函数），那么就称函数在区间上是单调函数，或称在区间上具有单调性，区间称为函数的单调区间。
如：一元二次函数在区间上是单调增函数（单调递增），区间是函数的单调增区间
注意：
②增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的；
③“函数在区间上单增”与“函数的单增区间是”两种叙述含义是不同的.
如：函数的单调递增区间为，则对称轴；
函数在区间上单调递增，则对称轴.
注意：
④函数的定义域为，由函数图象可知，在两个区间上函数都是单调递减的，但不能说成“函数在定义域内递减”或“函数的单调递减区间是”，而只能说“函数在区间和区间上都是递减的”.
试一试
例1.
设，画出函数的图象，并通过图象直观判断它的单调性.
解：函数，其图象是函数的图象向左平移3个单位得到，如图，该函数在区间上单调递减。
试一试
例2.根据函数图象直观判断的单调性
解：函数，画出该函数的图象，
如图，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数.
试一试
例3.判断函数的单调性，并给出证明.
解：画出函数的图象，如图，可以看出函数在上是减函数.
下面用定义证明这一单调性.
任取，且，则
，即
所以函数在上是减函数.
思考讨论（综合练习）：
(1)
二次函数在区间上单调，则实数的取值范围；
(2)
设函数，证明：当时，函数在区间上是减函数；
(3)
已知，函数是区间上的单调函数，求实数的取值范围；
(4)
设实数，函数在区间上的最小值是，求并画出的图象.
(1)
二次函数在区间上单调，则实数的取值范围；
提示：二次函数，图象抛物线开口向上，对称轴
函数在区间上单调，则或，所以的取值范围为或.
(2)
设函数，证明：当时，函数在区间上是减函数；
提示：
设，且
.
因为，所以，，，
，所以.
.
即，函数在区间上是减函数.
(3)
已知，函数是区间上的单调函数，求实数的取值范围；
提示：任取，且
.
，得
根据题意，的符号恒正或恒负，故
所以实数的取值范围是.
(4)
设实数，函数在区间上的最小值是，求并画出的图象.
提示：
画出函数的图象，如图，抛物线对称轴为
当时（），函数在区间上单调递减，；
当时（），函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上单调递增，.
综上，，
，画出函数图象如图：
方法点拨：
函数的单调性是函数的重要性质之一，它反映了函数的变化趋势，通过函数图象，可以直观、定性地进行初步判断，要精确地判断函数的单调性，还是要根据定义证明，今后还要学习其他方法（导数等）判断函数的单调性。
在函数的很多问题中（求值域、求极值等）都要用到函数的单调性。
练习
教材P60，
练习1、2、3.
作业
教材P62，习题2—3：
A组第1、2、3、4题
函数的单调性和最值
第二课时
思考讨论：
(1)增函数和减函数的定义是什么？
(2)如果有两个函数和，在同一个区间上都是单增（单减）函数，那么函数的具有怎样的单调性？能不能判断函数的单调性呢？
在函数定义域内的一个区间上，如果对于任意的，当时，都有，就称函数在区间上是增函数；如果都有，就称函数在区间上是减函数。
函数也是单增（单减）函数，
函数的单调性不确定。
试一试
例4.
判断函数的单调性，并给出证明.
解：画出函数的图象，可以看出，函数在定义域内是增函数.
下面给出证明：
设，且，则
，
∵，∴
即，
所以函数在定义域上
是增函数.
试一试
例5.
试用定义证明：函数在区间上是减函数，在区间上是增函数.
解：设，且，则
，
∵，∴，，又
，即函数在区间上是减函数.
同理可证，函数在区间上是增函数.
注意：
①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数.
时，由函数的单调性或由均值不等式，
可得当时，函数取得最小值，
同理也可以得到时函数的单调性。
画出该函数的图象，
如图，该函数又叫双曲函数.
注意：
形如的函数，在区间上也具有类似的性质，根据均值不等式，可得当时，函数取得最小值，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数；
注意：
②设是的函数，是的函数，其中函数的值域是函数的定义域或子集，则函数称为函数与函数的复合函数。
如：函数，令，则
注意：
复合函数单调性常采用分层分析的方法：
如：函数，令，则
当时，，
所以函数在时单减，
当时，，
所以函数在时单增，
（其中“”代表增大，“”代表减小）.
注意：
③有些函数问题中（如求值域、求最值等），如果要用到函数的单调性，而又不需证明，可以通过分析的方法，得到函数的单调性.
如：求函数在区间上的最值.
，
当时，随着，，所以函数，即函数单增.
所以，.
此题的变形方法叫分离常数法
解决分式型函数的常用方法
思考讨论（综合练习）：
(1)
如果函数，对任意实数都有，试比较、、的大小；
(2)
函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(3)
求函数的单调区间；
(4)
已知定义在区间上的函数，满足：i)对任意，都有；ii）当时，.
①判断并证明单调性；
②解关于的不等式.
(1)如果函数，对任意实数都有，试比较、、的大小；
(2)
函数在上单调递增，求实数的取值范围；
提示：(1)根据题意，对任意实数都有，则二次函数图象的对称轴为，抛物线开口向上，所以离对称轴距离越远的自变量，对应的函数值越大，所以.
(2)函数在上单调递增，则在时单增，且在分界点处，右侧函数值不小于左侧函数值，即且，得，所以实数的取值范围为.
(3)求函数的单调区间；
提示：函数有意义，则，得，所以函数定义域为
设，函数对称轴为，
当时，，函数单调递增区间为；
当时，，函数单调递减区间为
所以，函数单调递增区间为；单调递减区间为.
(4)已知定义在区间上的函数，满足：i)对任意，都有；ii）当时，.
①判断并证明单调性；
②解关于的不等式.
提示：
①：设，且
.
因，故，得，函数在区间上单减.
②不等式即
由函数的定义域和单调递减，得
，解得.
方法点拨：
函数的单调性是函数的一个重要性质，有关函数的很多问题中，均以函数的单调性为基础，比如求函数的值域、求函数的极值等等，大家在掌握定义法证明函数单调性同时，也要掌握分析函数单调性的方法。
练习
教材P62，
练习1、2、3.
作业
教材P62，习题2—3：
A组第5题
B
组第1、2、3、4题
谢
谢(共18张PPT)
函数的概念
给定实数集R中的两个非空数A和B，如果存在一个对应关系f使对于A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就把对应关系f叫作定义在
A上的一个函数，记作y=
f(x)其中集合A叫作函数的定义域，x叫作自变量，与x值对应的y值叫作函数值，集合
叫作函数的值域.
函数概念抽象概述
重点强调
1.函数是建立在数与数之间的对应关系
2.对应关系指对应的结果，而不是对应过程
3.“y=f(x)”是函数符号，可以用任意
的字母表示，如“y=g(x)”
4.函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值
知识点了解：函数的三要数：
定义域，解析式，值域
如何
判断
两个
函数
是同
一函数
方法:
1.判断两个函数定义域是否相同;
2.判断两个函数解析式是否一样同时满足以上两个条件，即为同意函数
例1下列各组中的两个函数是否为同一个函数？
（1）
（2）
（3）
（4）
(1)因为f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是
，两个函数的定义域不同，
所以不是同一个函数；
(2)因为两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数；
(3)因为f(x)的定义域是
，g(x)的定义域是R，两个函数的定义域不同，所不是同一个函数；
(4)
f(x)和g(t)虽然表示自变量的字母不同，但它们的定义域及对应关系都相同，所以是同
一个函数.
解
析
例2：求下列函数的定义域：
（1）
（2）
（3）
（1）为使函数有意义，只需解析式中分式的分母不为零，所以函数
的定义域
（2）为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，且分式的分母不为0，即
，所以
的定义域是
（3）为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，即
，所以函数
的定义域
分
析
题型一：函数概念考核：
1．下列从集合M到集合N的对应关系中，其中y是x的函数的是（ ）
A．M＝{x|x∈Z}，N＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y，其中
B．M＝{x|x＞0，x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y，其中y＝±2x
C．M＝{x|x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y，其中y＝x2
D．M＝{x|x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y，其中
题型归类
分析：
A．M中的一些元素，在N中没有元素对应，比如，x＝3时，
?N，∴y不是x的函数；
B．M中的任意元素x，在N中有两个元素±2x与之对应，不满足对应的唯一性，∴y不是x的函数；
C．满足在M中的任意元素x，在集合N中都有唯一元素x2与之对应，∴y是x的函数；
D．M中的元素0，通过
在N中没有元素对应，∴y不是x的函数．
故选：C．
题型二：判断函数是否为同一函数
2．下列各组函数是同一函数的是（ ）
①f（x）＝x﹣1与
②f（x）＝x与
③f（x）＝x0与g（x）＝1
④f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（t）＝t2﹣2t﹣1
A．①
B．②
C．③
D．④
分析：
①中函数的定义域不相同，故不是同一函数，
②函数的值域不相同，不是同一函数，
③函数的定义域不相同，故不是同一函数
④是同一函数，
故选：D．
题型三：求函数定义域
3．函数f（x）=
的定义域为（ ）
A．（﹣∞，1]
B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，0）∪（0，1]
D．（0，1]
4．已知函数f（2x﹣1）的定义域为（0，1），则函数
f（1﹣3x）的定义域是（ ）
A．
B．
C．（﹣1，1）
D．
分析：
3.解：要使函数有意义，则
，得
，
即x≤1且x≠0，
即函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1]，
故选：C．
4.解：∵f（2x﹣1）的定义域为（0，1），
∴0＜x＜1，
∴﹣1＜2x﹣1＜1，
∴f（x）的定义域为（﹣1，1），
∴f（1﹣3x）需满足﹣1＜1﹣3x＜1，解得，
∴f（1﹣3x）的定义域为
，故选：D．
题型四：关于函数值的问题
5．已知函数f（2x
﹣
4）＝x2+1，则f（2）的值为（ ）
A．5
B．8
C．10
D．16
6．已知函数，记f（2）+f（3）+f（4）+…+f（10）＝m，
，
则m+n＝（ ）
A．﹣9
B．9
C．10
D．﹣10
分析：
5.解：∵函数f（2x﹣4）＝x2+1，
∴f（2）＝f（2×3﹣4）＝32+1＝10．
故选：C．
6.解：∵函数
，
∴
∵f（2）+f（3）+f（4）+…+f（10）＝m，
∴m+n＝9×（﹣1）＝﹣9．
故选：A．
本节小结
理解函数的概念
判断两个函数是否是同一函数
掌握求函数的定义域的方法
谢
谢
