指数幂的拓展
【教材分析】
初中学习了整数指数幂的运算，本节将整数指数扩充到有理数指数和实数指数，着重是有理数指数（分数指数）的运算，完成了指数幂运算的扩充，一方面使指数运算知识更加完整，揭示了开方（根式）运算与乘方（指数式）运算的内在联系，另一方面为学习指数的运算性质和指数函数的性质奠定了基础。
【教学目标】
（1）知识目标：掌握有理数指数幂的含义和运算；掌握根式运算与指数运算的内在联系；正确进行有理数指数幂的运算；理解实数指数幂的含义。
（2）核心素养目标：通过实数指数幂的扩充和相关运算，使学生了解指数运算的发展过程，提高学生数学运算的核心素养。
【教学重难点】
（1）正分数指数幂的含义和运算；
（2）有理数指数幂的运算；
（3）根式与分数指数幂的相互转化。
【教学准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、知识引入
在初中，学习了整数指数幂的运算及性质
，
，
。
思考讨论：
（1）薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积(单位hm2)与年数（年）的关系式为
。
其中为侵害面积的初始值
如果求10年后侵害的面积，则；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算，这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？
提示：指数是分数。
（2）对于分数指数幂，该如何运算呢？如？。
提示：，又，可见。
二、新知识
1、给定正数和正整数(且互素)，若存在唯一的正数，使得，则称为的次幂。
记作，这就是正分数指数幂。
例如：，则；，则
注意：
①当是正整数时，分数指数幂满足：
②与类似，当底数时，，其中读作“次根号下”，也叫根式运算。
例如：，；
③根据分数指数幂的定义，分数指数幂的条件是：底数
虽然，但不能写成
例1．把下列各式中的正数写成正分数指数幂的形式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）
2、类似负整数指数幂的定义，给定，正整数(且互素)，定义
。
至此，指数运算的指数已经扩充到有理数了。
那么，指数是无理数的情况呢？以为例说明如下
因为，所以
上式左边的数称为的不足近似值，右边的数称为的过剩近似值
借助计算器，可算出越来越趋近于同一个数，即
一般的，给定正数，对任意无理数，都是一个确定的实数。
同理
这样，指数运算的指数已经扩充到全体实数了。
注意：
①给定一个正数，对任意实数，指数幂都大于0；
②0的任意正实数幂都等于0；
③0的0指数幂和负实数指数幂都没有意义。
例2．计算：
（1）；
（2）；
（3）。
解：（1）；
（2）；
（3）
思考讨论（综合练习）
（1）计算下列各式：
①；
②。
（2）用分数指数幂表示下列各式（字母均表示正实数）。
①
②
提示：（1）
①
②。
（2）①。
②
【教学反思】
（1）负数的分数指数幂，在某些情况下是没有意义的，如，但却是有意义的，避免情况过于复杂，所以对分数指数幂的底数统一要求为正数，这也是后面指数函数底数要求为正数的原因。
（2）为了便于指数幂的运算，一般都将根式化成分数指数进行运算，这样便于利用指数运算律进行指数幂的运算。
4
/
4指数幂的拓展
【学习目标】
掌握有理数指数幂的含义和运算；掌握根式运算与指数运算的内在联系；正确进行有理数指数幂的运算；理解实数指数幂的含义。
【学习重难点】
（1）正分数指数幂的含义和运算；
（2）有理数指数幂的运算；
（3）根式与分数指数幂的相互转化。
【学习过程】
一、知识引入
在初中，学习了整数指数幂的运算及性质
，
，
。
思考讨论：
（1）薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积(单位hm2)与年数（年）的关系式为：
。
其中为侵害面积的初始值
如果求10年后侵害的面积，则；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算，这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？
（2）对于分数指数幂的运算，该如何运算呢？如？。
二、新知探究
1、给定正数和正整数(且互素)，若存在唯一的正数，使得，则称为的次幂。
记作
，这就是正分数指数幂。
例如：，则；，则
。
注意：
①当是正整数时，分数指数幂满足：
②与类似，当底数时，，其中读作“次根号下”，也叫根式运算。
例如：，；
③根据分数指数幂的定义，分数指数幂的条件是：底数
虽然，但不能写成
例1．把下列各式中的正数写成正分数指数幂的形式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
2、类似负整数指数幂的定义，给定，正整数(且互素)，定义
。
指数运算的指数已经扩充到有理数了。
那么，指数是无理数的情况呢？以为例说明如下
因为，所以
上式左边的数称为的不足近似值，右边的数称为的过剩近似值
借助计算器，可算出越来越趋近于同一个数，即
一般的，给定正数，对任意无理数，都是一个确定的实数。
同理
这样，指数运算的指数已经扩充到全体实数了。
注意：
①给定一个正数，对任意实数，指数幂都大于0；
②0的任意正实数幂都等于0；
③0的0指数幂和负实数指数幂都没有意义。
例2．计算：
（1）；
（2）；
（3）。
思考讨论（综合练习）
（1）计算下列各式：
①；
②。
（2）用分数指数幂表示下列各式（字母均表示正实数）。
①
②
【学习小结】
1、给定正数和正整数(且互素)，若存在唯一的正数，使得，则称为的次幂。
记作，这就是正分数指数幂。
2、类似负整数指数幂的定义，给定，正整数(且互素)，定义
。
【精炼反馈】
1．思考辨析
（1）2表示个2相乘。(
)
（2）a＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)。(
)
（3）＝()n。(
)
[答案]
（1）×
（2）×
（3）×
[答案]
1
/
4指数幂的运算性质
【教材分析】
指数幂的指数由整数扩充到了实数，其指数运算的运算性质照样适用。本节内容是实数指数幂的运算性质及利用性质进行综合运算，使学生能够熟练、准确地进行指数式、根式等的相互转化，能够熟练地利用性质进行数式的化简、求值等综合运算。
【教学目标】
（1）知识目标：
实数指数幂的运算性质及利用性质进行综合运算，使学生能够熟练、准确地进行指数式、根式等的相互转化，能够熟练地利用性质进行数式的化简、求值等综合运算。
（2）核心素养目标：
通过实数指数幂的综合运算，提高学生数学运算的核心素养。
【教学重难点】
（1）实数指数幂的运算性质；
（2）根式、指数式等的化简、求值以及综合运算。
【教学准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、复习引入
，
，
。
。
在初中，学习了整数指数幂的运算性质
。
二、新知识
类似的，当指数是实数时，指数运算性质如下：
为正实数，为实数
。
例1．计算：
（1）；
（2）；
（3）。
解：（1）；
（2）；
（3）。
例2．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）
例3．化简（式中的字母均为正实数）：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
例4．已知，求。
解：；
；
；
。
例5．已知实数，且，求证：。
证明：根据指数幂的定义和运算性质，
。
思考讨论（综合练习）
（1）计算下列各式（式中的字母为正数）：
①；
②。
（2）若，求的值。
提示：（1）
①
②。·
（2）由两边平方，得，再平方，
又
所以。
【教学反思】
在指数幂的运算中，一般都将根式化成分数指数进行运算，这样便于利用指数运算性质进行运算，另外在运算过程中注意运算顺序。
1
/
3指数幂的运算性质
【学习目标】
（1）实数指数幂的运算性质；
（2）根式、指数式等的化简、求值以及综合运算。
【学习重难点】
（1）实数指数幂的运算性质；
（2）根式、指数式等的化简、求值以及综合运算。
【学习过程】
一、复习引入
，
，
。
。
在初中，学习了整数指数幂的运算性质
。
二、新知探究
类似的，当指数是实数时，指数运算性质如下：
为正实数，为实数
、
、
。
例1．计算：
（1）；
（2）；
（3）。
例2．化简（式中的字母均为正实数）：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
例3．已知，求。
思考讨论（综合练习）
(1)计算下列各式（式中的字母为正数）：
①；
②。
(2)若，求的值。
【学习小结】
为正实数，为实数
。
【精炼反馈】
1．（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
2．已知实数，且，求证：。
2
/
2指数函数的概念
【教学目标】
1．理解指数函数的概念；
2．在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题。
【教学重难点】
指数函数概念、性质。
【教学过程】
一、创设情境、提出问题
师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，……，按这样的规律，50号同学该准备多少粒米？
学生：回答粒数
师：如果改成1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？
师：大家能否估计一下50好同学准备的米有多重吗？
教师公布事先估算的数据：51号同学准备的大米约有1．2亿吨
师：1．2亿吨是什么概念？相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！
以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y表示，每位同学的座号数用x表示，y与x之间的关系分别是什么？
学生很容易得出y=2x和y
=（）学生可能漏掉x的范围，教师要引导学生思考具体问题中x的取值范围。
二、新知探究
1．指数函数的定义
思考以下问题①y
=（）和（且x
）这两个解析式有什么共同特征？②他们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？引导学生观察，两个函数中底数是常数，指数是自变量。
师：把这两个函数归为一般形式就是我们今天要学习的函数，我们把它称作指数函数。
2．让学生讨论并给出指数函数的的定义。对底数得分类，可将问题分解为：
①若a<0，会有什么问题？
②若a=0，会有什么问题？
③若a=1，又会怎样？
学生讨论教师适时点拨形成对问题的严谨认识
师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定a>0且a≠1
接下来教师可以让学生写几个指数函数，同时教师在黑板写一些解析式让学生判断，如。
3．典例示范、巩固练习
例1、已知指数函数
=
(
)的图像经过点（3，），求，的值。
解：因为
=
(
)的图像经过点（3，），所以，即解得，于是，所以
三、课堂总结
1．函数y＝ax叫作指数函数，自变量x出现在指数的位置上，底数a是一个大于0且不等于1的常量。
2．函数的定义域是实数集R，函数值大于0.
3．指数函数恒过定点(0，1)。
2
/
2指数函数的概念
【学习目标】
1．理解指数函数的概念能画出具体的指数函数图像.
2．在理解指数函数概念、性质的基础上，能运用所学知识解决简单的数学问题.
【学习重难点】
指数函数概念和性质.
【学习过程】
一、预习内容
1．一般地，函数
叫做指数函数．
2．指数函数的定义域是
，值域
．
3．指数函数的图像必过特殊点
．
二、合作探究
探究一
1．函数是指数函数，则有（
）
A．a＝1或a＝2
B．a＝1
C．a＝2
D．a＞0且
2．关于指数函数和的图像，下列说法不正确的是（
）
A．它们的图像都过（0，1）点，并且都在ｘ轴的上方．
B．它们的图像关于ｙ轴对称，因此它们是偶函数．
C．它们的定义域都是Ｒ，值域都是（0，＋）．
D．自左向右看的图像是上升的，的图像是下降的．
3．函数在R上是减函数，则的取值范围是（
）
A、
B、
C、
D、
4．指数函数ｆ（ｘ）的图像恒过点（－3，），则ｆ（2）＝
．
5．函数的单调递增区间是
。
探究二
例1：指出下列函数那些是指数函数：
（1）
（2）
（3）
（4）（5）
（6）
（7）
（8）
例2：求下列函数的定义域与值域：
（1）
（2）（3）
（4）
例3：将下列各数从小到大排列起来：
【精炼反馈】
1．下列关系式中正确的是（
）
A．＜＜
B．＜＜
C．＜＜
D．＜＜
2．若－1＜ｘ＜0，则下列不等式中正确的是（
）
A．＜＜
B．＜＜
C．＜＜
D．＜＜
3．下列函数中值域是（0，＋）的函数是（
）
A．
B．
C．
D．
4．函数的值域是（
）
A．
B．
C．
D．
3
/
3指数函数的图象和性质
【教材分析】
本节课是北师大版高中数学的内容，是在学生学习了幂函数的基础上，将要学习的另一个具体函数，本节课的学习还为后续对数函数的学习提供了探究的思想方法。因此，它在函数的学习进程中起着承上启下的作用。
【学情分析】
高一学生已经学习了集合、函数的概念和性质及幂函数，具备了基本的作函数图象和研究函数性质的知识储备；同时，数形结合、分类讨论、从特殊到一般的化归思想也为本节课的学习奠定了基础。但是，函数作为高中数学的难点，学生在理解和运用上还不够熟练，需要不断地学习和强化。
【教学目标】
知识与技能：
理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；
过程与方法：在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如从特殊到一般的过程，数形结合的方法等；
情感态度与价值观：使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系。
【教学重难点】
重点：指数函数的概念和性质。
难点：用数形结合的方法探索并概括指数函数的性质。
【教学过程】
（一）创设情境，引入新课
情境1．陶渊明曾说过：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏”。这句话告诉我们什么道理呢？
假定现在获取的知识量是1，学习的知识按照每天1%的速度增长，
一天后知识量是______1.01
两天后知识量是______
三天后知识量是______
一年后知识量是______
那么，若干天后会怎样？两年后，三年后会怎样？怎么计算？
我们用变量来表示天数，那么你获取的知识量y与天数x之间的关系可以用一个什么样的式子来表示呢？________
假设我们的知识的减少量也按每天1%计算，将“辍学如磨刀之石，不见其损日有所亏”翻译成数学的式子，得到什么？________
计算一下，一个月你丢掉了多少？一年后你还剩下多少？
情境2．
《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”你能用一个函数来描述它吗？
问题1：这三个函数有何共同特征？
问题2：根据上面的特征，你能抽象、概括出这类函数的表达式吗？
（二）动手实践
探究新知
1．指数函数的定义：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定是R。
问题3：为何规定？
说明指数函数的特点：（1）定义域：
R
（2）a的范围：（3）前面的系数。
【例1】指出下列函数中哪些是指数函数？
答案：（2），（6）是指数函数。
【引申】若函数是指数函数，则实数_________。
答案：
问题3：如何讨论一个函数的性质，用什么方法？从什么角度？
（用华罗庚的名言“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休”引出数形结合法研究函数的性质）
问题4：指数函数的图象是怎样的？有怎样的性质呢？首先让我们研究一下底数大于1的情形。
学生活动：
探究1．请同学们按照列表、
描点、
连线的步骤在同一坐标系中画出下列函数图像：
（给出部分数据，便于学生进行描点。投影学生所作的图象，增强学生学习的信心）
探究2：当时，指数函数的图象从左向右是怎样的趋势呢？是上升的还是下降的呢？
（用几何画板动态演示，随着的变化图象从左向右趋势的变化情况）
得出结论：当底数
时，指数函数的图象是从左向右上升的。
探究3：你能类比幂函数的性质，写出指数函数的性质吗？小组进行讨论。
学生观察图像得出性质：
的范围
图
象
定义域
（左右无限延伸）
R
值域
(在x轴上方)
过定点
都过定点（0，1）即当x=0时，y=1
单调性
（自左向右下降）在R是减函数
（三）例题讲解
巩固新知
【例2】比较下列各题中两个值的大小
【例3】（1）求使不等式成立的实数的集合。
(2)
已知方程，求实数的值。
（四）知识小结
请同学们谈一谈自己的收获和体会（知识方面，数学思想方法）。
【作业布置】
思考题：探究指数函数的图象和性质。
4
/
4指数函数的图象和性质
【学习目标】
理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点
【学习重难点】
重点：指数函数的概念和性质。
难点：用数形结合的方法探索并概括指数函数的性质。
【学习过程】
一、知识链接：
1．指数函数和图象的相同点是：都位于______，都过______；不同点是：函数的图象是______；函数的图象是______。
2．一般地，指数函数在a＞1和0＜a＜1这两种情况下的图象和性质总结如下：
a>1
0
图
像
y
y=(a>1)
y=(0y
y=1
y=1
(0，1)
(0，1)
0
x
0
x
性
质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）过点（0，1），即x=0时y=
（4）当x>0时，y>1；
（4）当x>0时，0x<0时﹍﹍﹍﹍
x<0时，﹍﹍﹍﹍
（5）是R上的增函数
（5）是R上的减函数
请同学们思考：（1）函数是一种映射，指数函数反映了实数与___________之间的一种一一映射。也就是说单调函数一定是___________映射。
（2）当函数y=与函数y=（即函数y=）的自变量的取值互为相反数时，其函数值是相等的，这两个函数的图象是关于___________轴对称的。
二、合作探究：
1．利用指数函数的性质，比较下列各题中两个数的大小（请写出过程）：
（1）；
（2）。
2．（1）求使不等式成立的x的集合；（2）已知，求数a的取值范围。
【学习小结】
【精炼反馈】
1．利用指数函数的性质比较下列两个数的大小：
；
②。
2．已知-13．设f(x)=，求证：（1）f(x)·f(y)=f(x+y)；（2）f(x)÷f(y)=f(x-y)
3
/
3(共18张PPT)
指数函数的概念
自
主
探
新
知
预
习
不等于1
y＝ax
大于0
合
作
攻
重
难
探
究
指数函数的概念
当
堂
固
双
基
达
标
谢
谢
答案
初试身手(共15张PPT)
指数幂的运算性质
初中，学习了指数幂的运算性质
复习：分数指数幂
.
与初中学习的指数运算性质一样，实数指数幂的运算性质如下：
为正实数，为实数
.
试一试
例1.
计算：
（1）；（2）；（3）.
解：(1)
；
(2)
；
(3)
.
试一试
例2
计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
试一试
例3.
化简（式中的字母均为正实数）：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：(1)
；
(2)
；
试一试
例3.
化简（式中的字母均为正实数）：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：
(3)
；
(4)
.
试一试
例4.
已知，
求
解：；
；
；
.
试一试
例5.
已知实数，且，求证：.
证明：根据指数幂的定义和运算性质，
.
思考讨论（综合练习）：
(1)计算下列各式（式中的字母为正数）：
①；
②.
(2)若，求的值.
①；
提示：(1)
①
.
提示：(1)
②
.
.
．
②
(2)若，求的值.
解析：
(2)
由两边平方，得，
再平方，
又
所以.
方法点拨：
在指数幂的运算中，一般都将根式化成分数指数进行运算，这样便于利用指数运算性质进行运算，另外在运算过程中注意运算顺序。
谢
谢(共17张PPT)
指数幂的拓展
初中，学习了整数指数幂的运算及性质
,
,
思考讨论：
薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积(单位：hm2)与年数（年）的关系式为
.
其中为侵害面积的初始值
如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算，这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？
指数是分数.
思考讨论：
(2)对于分数指数幂，该如何运算呢？如？.
提示：，
又，
可见.
1、给定正数和正整数(且互素)，若存在唯一的正数，使得，则称为的次幂.
记作，这就是正分数指数幂.
例如：，则；，则
注意：
①当是正整数时，分数指数幂满足：
②与类似，
当底数时，，其中读作“次根号下”，也叫根式运算.
例如：，；
注意：
③根据分数指数幂的定义，
分数指数幂的条件是：底数.
虽然，
但不能写成.
分数指数幂的底数必须是正数哦！
试一试
例1
把下列各式中的正数写成正分数指数幂的形式：
（1）；
（2）；
（3）；（4）.
解：(1)；
(2)；
(3)；
(4)
2、类似负整数指数幂的定义，给定，正整数(且互素)，定义
.
至此，指数运算的指数已经扩充到有理数了.
那么，指数是无理数的情况呢？
以为例说明如下
因为，所以
上式左边的数称为的不足近似值，右边的数称为的过剩近似值
借助计算器，可算出越来越趋近于同一个数，即
一般的，给定正数，对任意无理数，都是一个确定的实数.
同理
这样，指数运算的指数已经扩充到全体实数了.
注意：
①给定一个正数，对任意实数，指数幂都大于0；
②0的任意正实数幂都等于0；
③0的0指数幂和负实数指数幂都没有意义。
试一试
例2.
计算：
（1）；
（2）；
（3）.
解：(1)；
(2)；
(3)
思考讨论（综合练习）：
(1)计算下列各式：
①；
②.
(2)用分数指数幂表示下列各式（字母均表示正实数）.
①
②
(1)计算下列各式：
①；
②.
提示：(1)
①
.
②
．
(2)用分数指数幂表示下列各式（字母均表示正实数）.
①
②
提示：
(2)
①
.
②
方法点拨：
（1）负数的分数指数幂，在某些情况下是没有意义的，如，但却是有意义的，避免情况过于复杂，所以对分数指数幂的底数统一要求为正数，这也是后面指数函数底数要求为正数的原因。
（2）为了便于指数幂的运算，一般都将根式化成分数指数进行运算，这样便于利用指数运算律进行指数幂的运算。
谢
谢(共25张PPT)
指数函数的图象和性质
自
主
探
新
知
预
习
合
作
攻
重
难
探
究
指数函数的图像
指数函数的性质
当
堂
固
双
基
达
标
谢
谢
新知初探
定义域:
值域:
性质
过点
即x=时
当x>0时,;
当x>0时
x<0时,
x<0时
是R上的
是R上的