对数的概念
【教学目标】
1．理解对数的概念。(重点)
2．掌握指数式与对数式的互化。(重点)
3．掌握对数的基本性质。(难点)
【教学重难点】
1．对数的概念。
2．指数式与对数式的互化。
3．对数的基本性质。
【教学过程】
一、基础铺垫
1．对数的定义
(1)对数的有关概念
(2)对数的底数a的取值范围是a>0，且a≠1．
2．对数的基本性质与对数恒等式
对数恒等式
alogaN＝__N__
对数的基本性质
底数的对数等于__1__，即logaa＝__1__
1的对数等于__0__，即loga1＝__0__
零和负数没有对数
3．两种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
以a(a>0，且a≠1)为底的对数
logaN
自然对数
以__e__为底的对数
ln
N
常用对数
以__10__为底的对数
lg
N
二、新知探究
1．指数式与对数式的互化
【例1】
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝；(2)33＝27；(3)10－1＝0.1；
(4)log32＝－5；(5)lg
0.001＝－3；(6)ln
e＝1．
[解]
(1)log2＝－7；(2)log327＝3；(3)log100.1＝－1；(4)－5＝32；(5)10－3＝0.001；(6)e1＝e。
【教师小结】
利用对数与指数间的互化关系时，要注意各字母位置的对应关系，其中两式中的底数是相同的。
【跟踪训练】
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。
①35＝243；②＝5．73；③log16＝－4；
④ln
10＝2．303．
[解]
①log3243＝5；②log5．73＝m；③－4＝16；④e2．303＝10.
2．对数基本性质的应用
【例2】
(1)求下列各式中x的值。
①log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1；
②log2(log3(log4x))＝0.
[解]
(1)①由log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1得
解得x＝－2．
②由log2(log3(log4x))＝0可得
log3(log4x)＝1，故log4x＝3，
所以x＝43＝64．
【教师小结】
（1）对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0(a>0且a≠1)。
（2）使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质。
三、课堂总结
1．从三方面认识对数式
(1)对数式logaN可看作一种记号，只有在a>0，a≠1，N>0时才有意义。
(2)对数式logaN也可以看作一种运算，是在已知ab＝N求b的前提下提出的。
(3)logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写，也不可认为是loga与N的乘积。
2．loga
1与logaa(a>0且a≠1)的应用
loga1＝0与logaa＝1这两个结论常常化“简”为“繁”，把0和1化为对数式的形式，再根据对数的有关性质求解问题。
3．对数恒等式具有的特征
(1)指数中含有对数形式。
(2)它们是同底的。
(3)其值为对数的真数。
四、课堂检测
1．思考辨析
(1)零和负数没有对数。(
)
(2)当a>0，且a≠1时，loga1＝1．(
)
(3)log3(－2)2＝2log3(－2)。(
)
[答案]
(1)√
(2)×
(3)×
2．若log2＝0，则x＝________。
－4
[由log2＝0，得＝1，解得x＝－4．]
-
3
-
/
3对数的概念
【学习目标】
1．理解对数的概念。
2．掌握指数式与对数式的互化。
3．掌握对数的基本性质。
4．通过指数式与对数式的互化及对数的基本性质，培养逻辑推理素养。
【学习重难点】
1．理解对数的概念。
2．掌握指数式与对数式的互化。
3．掌握对数的基本性质。
【学习过程】
一、初试身手
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(
)
A．22＝4与log24＝2
B．4－＝与log4＝－
C．(－2)3＝－8与log(－2)(－8)＝3
D．3－2＝与log3＝－2
2．若lg(ln
x)＝0，则x＝________。
二、合作探究
指数式与对数式的互化
【例1】
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝；(2)33＝27；(3)10－1＝0.1；
(4)log32＝－5；(5)lg
0.001＝－3；(6)ln
e＝1．
[解]
(1)log2＝－7；(2)log327＝3；(3)log100.1＝－1；(4)－5＝32；(5)10－3＝0.001；(6)e1＝e。
【规律方法】
利用对数与指数间的互化关系时，要注意各字母位置的对应关系，其中两式中的底数是相同的。
【跟踪训练】
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。
①35＝243；②＝5．73；③log16＝－4；
④ln
10＝2．303．
[解]
①log3243＝5；②log5．73＝m；③－4＝16；④e2．303＝10.
对数基本性质的应用
【例2】
(1)求下列各式中x的值。
①log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1；
②log2(log3(log4x))＝0.
[解]
(1)①由log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1得
解得x＝－2．
②由log2(log3(log4x))＝0可得
log3(log4x)＝1，故log4x＝3，
所以x＝43＝64．
【学习小结】
1．对数的定义
(1)对数的有关概念
(2)对数的底数a的取值范围是a>0，且a≠1．
2．对数的基本性质与对数恒等式
对数恒等式
alogaN＝__N__
对数的基本性质
底数的对数等于__1__，即logaa＝__1__
1的对数等于__0__，即loga1＝__0__
零和负数没有对数
3．两种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
以a(a>0，且a≠1)为底的对数
logaN
自然对数
以__e__为底的对数
ln
N
常用对数
以__10__为底的对数
lg
N
【精炼反馈】
1．思考辨析
(1)零和负数没有对数。(
)
(2)当a>0，且a≠1时，loga1＝1．(
)
(3)log3(－2)2＝2log3(－2)。(
)
2．若log2＝0，则x＝________。
【答案】
学习过程：
1.解析：[在对数式logaN中，a>0，且a≠1，故选C．]
2.解析：[由已知得ln
x＝100＝1，∴x＝e1＝e。]
精炼反馈：
1.
(1)√
(2)×
(3)×
2.－4
[由log21－2x9＝0，
得1－2x9＝1，解得x＝－4．]
-
2
-
/
3对数的运算性质
【教学目标】
1．掌握对数的运算性质。
2．理解对数的运算性质推导过程。
3．通过推导对数运算性质的过程，提升数学运算素养。
【教学重难点】
1．掌握对数的运算性质。
2．理解对数的运算性质推导过程。
【教学过程】
一、基础铺垫
对数与指数概念之间的联系，决定了对数运算与指数运算之间的密切相关性。
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；
(3)loga＝logaM－logaN。
二、新知探究
1．对数运算性质
【例】求下列算式的值。
2log32－log3＋log38＋3log5。
[解]原式＝log34－log3＋log38－3log55
＝log3－3＝log39－3＝2－3＝－1．
【教师小结】
对数的计算一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值。
2．对数运算性质的应用
[探究问题]
（1）已知a＝2lg
3，b＝3lg
2，则a，b的大小关系是什么？
提示：∵lg
a＝lg
2lg
3＝lg
3lg
2，lg
b＝lg
3lg
2＝lg
2lg
3．
∴lg
a＝lg
b
∴a＝B．
（2）设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m的值是什么？
提示：由2a＝5b＝m，取对数得alg
2＝blg
5＝lg
m，
∴a＝，b＝，又＋＝2，
∴＋＝2，
∴＝2．
∴lg
m＝，
∴m＝10＝。
【例】
已知x，y，z∈(0，＋∞)且3x＝4y＝6z。
求证：＝－。
[思路探究]
令3x＝4y＝6z＝m，通过取对数，把x，y，z表示出来，再求解。
[解]
令3x＝4y＝6z＝m，
则xlg
3＝ylg
4＝zlg
6＝lg
m
∴x＝，y＝，z＝，
∴－＝－＝＝。
【教师小结】
取对数可以把乘方、开方、乘、除运算转化为乘、除、加、减运算，即取对数起到把运算降级的作用，便于运算。
三、课堂检测
1．(lg
2)2＋lg
2lg
50＋lg
25＝________。
2[(lg
2)2＋lg
2lg
50＋lg
25＝lg
2·(lg
2＋lg
50)＋(lg
5)2
＝lg
2·lg
100＋2lg
5
＝2lg
2＋2lg
5
＝2(lg
2＋lg
5)＝2lg
10＝2．]
2．计算：(1)31＋log3；(2)log2(23×45)
[解]
(1)31＋log3＝3×3log3＝3×＝3；
(2)log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2213
＝13log22
＝13×1＝13．
-
3
-
/
3对数的运算性质
【学习目标】
1．掌握对数的运算性质。
2．理解对数的运算性质推导过程。
3．通过推导对数运算性质的过程，提升数学运算素养。
【学习重难点】
1．掌握对数的运算性质。
2．理解对数的运算性质推导过程。
【学习过程】
一、初试身手
1．lg
2＋lg
5＝________。
2．若log2＝1，则x＝________。
二、合作探究
1．对数运算性质
【例】求下列算式的值。
2log32－log3＋log38＋3log5。
【规律方法】
对数的计算一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值。
2．对数运算性质的应用
【例】
已知x，y，z∈(0，＋∞)且3x＝4y＝6z。
求证：＝－。
[思路探究]
令3x＝4y＝6z＝m，通过取对数，把x，y，z表示出来，再求解。
【规律方法】
取对数可以把乘方、开方、乘、除运算转化为乘、除、加、减运算，即取对数起到把运算降级的作用，便于运算。
【跟踪训练】
已知315a＝55b＝153c，则5ab－bc－3ac＝________。
【学习小结】
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；
(3)loga＝logaM－logaN。
【精炼反馈】
1．(lg
2)2＋lg
2lg
50＋lg
25＝________。
2．计算：(1)31＋log3；(2)log2(23×45)
【答案】
[学习过程]
一、1.
1
[lg
2＋lg
5＝lg
10＝1．]
2.
[由＝2?2x＝11?x＝。]
二、1.
[解]原式＝log34－log3＋log38－3log55
＝log3－3＝log39－3＝2－3＝－1．
2.
[解]
令3x＝4y＝6z＝m，
则xlg
3＝ylg
4＝zlg
6＝lg
m
∴x＝，y＝，z＝，
∴－＝－＝＝。
[跟踪训练]
0
[令315a＝55b＝153c＝m，则15alg
3＝5blg
5＝3clg
15＝lg
m
∴a＝，b＝，c＝
∴5ab－bc－3ac＝－－＝
＝＝0]
-
3
-
/
3换底公式
【教学目标】
1．通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养。
2．通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养。
【教学重难点】
1．能推导出对数的换底公式。(重点)
2．会用对数换底公式进行化简与求值。(难点、易混点)
【教学过程】
一、问题引入
换底公式：
logbN＝(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)。特别地，logab·logba＝1，logba＝
思考：换底公式的作用是什么？
[提示]
换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算。
二、新知探究
1．利用换底公式化简求值
【例1】
计算：log1627log8132．
[思路探究]
在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值。
[解]
log1627log8132＝·＝·＝·＝。
【教师小结】
（1）换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底。
（2）换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；
loganbm＝logaB．
2．用已知对数表示其他对数
【例2】
已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645．
[解]
法一：因为log189＝a，所以9＝18a，
又5＝18b，
所以log3645＝log2×18(5×9)
＝log2×1818a＋b
＝(a＋b)·log2×1818．
又因为log2×1818＝
＝＝
＝＝，
所以原式＝。
法二：∵18b＝5，
∴log185＝b，
∴log3645＝＝
＝＝
＝
＝。
法三：∵log189＝a，18b＝5，
∴lg
9＝alg
18，lg
5＝blg
18，
∴log3645＝
＝＝
＝。
【教师小结】
用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：
（1）增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；
（2）巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；
（3）注意一些派生公式的使用。
3．对数的实际应用
[探究问题]
（1）光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后的强度值为y。试写出y关于x的函数关系式。
提示：依题意得y＝a＝a，其中x≥1，x∈N。
（2）探究1中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的以下？(根据需要取用数据lg
3≈0.477
1，lg
2≈0.301
0)
提示：依题意得ax≤a×?x≤
?x(2lg
3－1)≤－lg
2?x≥≈6．572，
∴xmin＝7．
即通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的以下。
【例3】
某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为1．2%，试解答下面的问题。
(1)写出该城市x年后的人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；
(2)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万？(精确到1年)(lg
1．012≈0.005
2，lg
1．2≈0.079
2)
[思路探究]
先利用指数函数知识列出y与x的函数关系式，再利用对数求值。
[解]
(1)由题意y＝100(1＋1．2%)x＝100·1．012x(x∈N＋)。
(2)由100·1．012x＝120，得1．012x＝1．2，
∴x＝log1．0121．2＝≈≈16，
故大约16年以后，该城市人口将达到120万。
【教师小结】
解对数应用题的步骤
三、课堂总结
1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简。
2．运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质。
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用。
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N)。
四、课堂检测
1．思考辨析
(1)logab＝＝。(
)
(2)log52＝。(
)
(3)loga
b·logb
c＝loga
C．(
)
[答案]
(1)√
(2)×
(3)√
2．若lg
3＝a，lg
5＝b，则log53等于(
)
A．
B．
C．ab
D．ba
B
[log5
3＝＝。]
3．log332·log227＝________。
15
[log332·log227＝·＝·＝15．]
4．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半。(结果保留1个有效数字)
[解]
设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，则y与x的关系式为y＝0.84x。依题意得0.84x＝0.5，化为对数式，得log0.840.5＝x，由换底公式知x＝，用科学计算器计算得x≈3．98，即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半。
-
5
-
/
5换底公式
【学习目标】
1．通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养。
2．通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养。
【学习重难点】
1．能推导出对数的换底公式。(重点)
2．会用对数换底公式进行化简与求值。(难点、易混点)
【学习过程】
一、预习提问
思考：换底公式的作用是什么？
[提示]
换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算。
二、合作探究
利用换底公式化简求值
【例1】
计算：log1627log8132．
[思路探究]
在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值。
[解]
log1627log8132＝·＝·＝·＝。
用已知对数表示其他对数
【例2】
已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645．
[解]
法一：因为log189＝a，所以9＝18a，
又5＝18b，
所以log3645＝log2×18(5×9)
＝log2×1818a＋b
＝(a＋b)·log2×1818．
又因为log2×1818＝
＝＝
＝＝，
所以原式＝。
法二：∵18b＝5，
∴log185＝b，
∴log3645＝＝
＝＝
＝
＝。
法三：∵log189＝a，18b＝5，
∴lg
9＝alg
18，lg
5＝blg
18，
∴log3645＝
＝＝
＝。
对数的实际应用
[探究问题]
1．光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后的强度值为y。试写出y关于x的函数关系式。
提示：依题意得y＝a＝a，其中x≥1，x∈N。
2．探究1中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的以下？(根据需要取用数据lg
3≈0.477
1，lg
2≈0.301
0)
提示：依题意得ax≤a×?x≤
?x(2lg
3－1)≤－lg
2?x≥≈6．572，
∴xmin＝7．
即通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的以下。
【例3】
某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为1．2%，试解答下面的问题。
(1)写出该城市x年后的人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；
(2)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万？(精确到1年)(lg
1．012≈0.005
2，lg
1．2≈0.079
2)
[思路探究]
先利用指数函数知识列出y与x的函数关系式，再利用对数求值。
[解]
(1)由题意y＝100(1＋1．2%)x＝100·1．012x(x∈N＋)。
(2)由100·1．012x＝120，得1．012x＝1．2，
∴x＝log1．0121．2＝≈≈16，
故大约16年以后，该城市人口将达到120万。
【学习小结】
换底公式：logbN＝(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)。
特别地，logab·logba＝1，logba＝
【精炼反馈】
1．思考辨析
(1)logab＝＝。(
)
(2)log52＝。(
)
(3)loga
b·logb
c＝loga
C．(
)
2．若lg
3＝a，lg
5＝b，则log53等于(
)
A．
B．
C．ab
D．ba
3．log332·log227＝________。
4．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半。(结果保留1个有效数字)
【答案】
1．思考变形(1)√
(2)×
(3)√
2．B
[log5
3＝＝。]
3．15
[log332·log227＝·＝·＝15．]
4．[解]
设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，则y与x的关系式为y＝0.84x。依题意得0.84x＝0.5，化为对数式，得log0.840.5＝x，由换底公式知x＝，用科学计算器计算得x≈3．98，即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半。
-
1
-对数函数的概念
【教学目标】
通过对数函数的概念及反函数概念的学习，培养数学抽象素养。
【教学重难点】
1．理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系。（重点）
2．了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数。(难点)
【教学过程】
一、基础铺垫
1．对数函数的定义
一般地，我们把函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)，值域是R，a叫作对数函数的底数。
2．两类特殊的对数函数
常用对数函数：y＝lg
x，其底数为10.
自然对数函数：y＝ln
x，其底数为无理数e。
3．反函数
阅读教材P90从“分析理解”～P91“练习”间的部分，完成下列问题。
指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)是对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的反函数；同时，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数，即同底的指数函数与对数函数互为反函数。
二、新知探究
1．对数函数的概念
【例1】
下列函数中，哪些是对数函数？
(1)y＝loga(a>0，且a≠1)；
(2)y＝log2x＋2；
(3)y＝8log2(x＋1)；
(4)y＝logx6(x>0，且x≠1)；
(5)y＝log6x。
[解]
(1)中真数不是自变量x，不是对数函数。
(2)中对数式后加2，所以不是对数函数。
(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数。
(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数。
(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数。
【教师小结】
判断一个函数是对数函数的方法
2．求函数的反函数
【例2】
求下列函数的反函数。
(1)y＝10x；
(2)y＝x；
(3)y＝logx；
(4)y＝log2x。
[解]
(1)由y＝10x，得x＝lg
y，∴其反函数为y＝lg
x；
(2)由y＝x，得x＝logy，∴其反函数为y＝logx；
(3)由y＝logx，得x＝y，∴其反函数为y＝x；
(4)由y＝log2x，得x＝2y，∴其反函数为y＝2x。
【教师小结】反函数的求法：
（1）由y＝ax?或y＝logax?，解得x＝logay?或x＝ay?；
（2）将x＝logay?或x＝ay?中的x与y互换位置，得y＝logax?或y＝ax?；
（3）由y＝ax?或y＝logax?的值域，写出y＝logax?或y＝ax?的定义域。
三、课堂总结
1．解与对数有关的问题，首先要保证在定义域范围内解题，即真数大于零，底数大于零且不等于1，函数定义域的结果一定要写成集合或区间的形式。
2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们定义域与值域相反，图像关于直线y＝x对称。
3．应注意数形结合思想在解题中的应用。
四、课堂检测
1．思考辨析
(1)函数y＝2log2x是对数函数。(
)
(2)函数y＝3x的反函数是y＝x。(
)
(3)
对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数。(
)
[答案]
(1)×
(2)×
(3)√
2．函数f(x)＝lg(2－3x)的定义域是________。
[由2－3x>0，得x<，所以，f(x)的定义域是。]
3．函数y＝logx的反函数是________。
y＝x
[由y＝logx，得x＝y，所以，其反函数为y＝x。]
-
3
-
/
3对数函数的概念
【学习目标】
通过对数函数的概念及反函数概念的学习，培养数学抽象素养。
【学习重难点】
1．理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系。（重点）
2．了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数。(难点)
【学习过程】
一、初试身手
1．函数y＝log2(x－2)的定义域是________。
2．函数y＝log2(x2＋1)的值域是________。
3．对数函数f(x)的图像经过点，则f(3)＝________。
二、合作探究
对数函数的概念
【例1】
下列函数中，哪些是对数函数？
(1)y＝loga(a>0，且a≠1)；
(2)y＝log2x＋2；
(3)y＝8log2(x＋1)；
(4)y＝logx6(x>0，且x≠1)；
(5)y＝log6x。
[解]
(1)中真数不是自变量x，不是对数函数。
(2)中对数式后加2，所以不是对数函数。
(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数。
(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数。
(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数。
求函数的反函数
【例2】
求下列函数的反函数。
(1)y＝10x；
(2)y＝x；
(3)y＝logx；
(4)y＝log2x。
[解]
(1)由y＝10x，得x＝lg
y，∴其反函数为y＝lg
x；
(2)由y＝x，得x＝logy，∴其反函数为y＝logx；
(3)由y＝logx，得x＝y，∴其反函数为y＝x；
(4)由y＝log2x，得x＝2y，∴其反函数为y＝2x。
【学习小结】
1．对数函数的定义
一般地，我们把函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)，值域是R，a叫作对数函数的底数。
2．两类特殊的对数函数
常用对数函数：y＝lg
x，其底数为10.
自然对数函数：y＝ln
x，其底数为无理数e。
3．反函数
阅读教材P90从“分析理解”～P91“练习”间的部分，完成下列问题。
指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)是对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的反函数；同时，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数，即同底的指数函数与对数函数互为反函数。
【精炼反馈】
1．思考辨析
(1)函数y＝2log2x是对数函数。(
)
(2)函数y＝3x的反函数是y＝x。(
)
(3)
对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数。(
)
2．函数f(x)＝lg(2－3x)的定义域是________。
3．函数y＝logx的反函数是________。
【答案】1.
(1)×
(2)×
(3)√
2.
[由2－3x>0，得x<，所以，f(x)的定义域是。]
3.y＝x
[由y＝logx，得x＝y，所以，其反函数为y＝x。]
-
3
-
/
3对数函数的图象和性质
指导思想与理论依据
高中数学课程标准要求教师帮助学生掌握数学的基础知识和基本技能，以及它们所体现的数学思想方法。为未来的进一步学习打好基础。
教师应帮助学生理解和掌握基础知识基本技能，发展能力。对一些核心概念和基本思想要贯穿教学的始终，帮助学生逐步加深理解，在初步运用中逐步理解概念的本质。同时应注重联系，提高学生对数学整体的认识。
教学目标
知识与技能：通过研究对数函数的性质，掌握对数函数的性质，理解反函数的核心概念，能用对数函数的性质解决应用问题。
过程与方法：通过对数函数的研究进一步掌握研究函数的一般方法，理解“换轴”的方法，通过对对数函数与指数函数的关系的研究，感受类比的研究方法。
情感态度与价值观：在问题的研究过程中，感受问题的提出，分析，解决。培养数学运算，逻辑推理，直观想象的数学核心素养。
教学重难点
教学重点：
1．掌握对数函数的性质。
2．体会对数运算对数函数，与指数运算指数函数的关系。
教学难点：理解x，y轴交换的过程，与函数图象的图形变换关系。
教学过程
教学阶段
教师活动
学生活动
设置意图
时间安排
引入课题
我们知道对数概念与对数运算都是建立在指数概念指数运算的基础上的，上节课的学习又使我们认识到对数函数与指数函数的概念也有着密不可分的联系，那么今天我们在前述课程的基础上研究对数函数的图象和性质。
我们的研究需要一个具体的研究对象，选取谁来当研究对象比较好呢？
学生讨论选取适合的研究对象，得出选取适合我们的研究，因为它最简洁，也比较具有代表性。
综述前述课程，引领学生缕清对数函数与指数函数之间的联系。为后面紧密联系指数函数的图象和性质研究对数函数作铺垫。
3分钟
发现问题
提出问题
对函数的性质，
大家有什么样的问题？
提出问题一：
怎样研究对数函数
的性质？
选定有代表性的研究对象，确定研究方法。
2分钟
分析问题解决问题
通常，当我们要研究一个函数的性质时，怎样研究？
答：运用列表描点连线的方法画出函数图象进行研究，也可以考察函数解析式或者所列表格中的数据进行研究。
复习函数的研究方法，引导学生列表描点作图
5分钟
再次发现问题
方法一：指导学生列表
提问：表格中的自变量怎样取值，既科学又方便？
学生经过思考回答：选取
x1248y-2-10123
因为对数运算是定义在指数运算上的，所以取值时可以适当变形为。这样取值很方便的计算出相应的数值。
培养分析问题解决问题的能力，同时进一步加深对数运算与指数运算的联系的认识。
5分钟
分析问题解决问题
根据列表数据画出函数图象
建立平面直角坐标系，画出函数图象，分析对数函数的性质。
培养学生分析问题的能力
5分钟
分析问题解决问题的能力
方法二：既然对数运算与指数运算有诸多联系，而指对函数又是以指对运算为基础的，那么能否借用指数函数的图象研究对数函数的性质呢？引导学生思考如何把指数函转化为。
思考问题的可行性，想办法建立指数函数与对数函数的联系。
用如下步骤进行联系：
y
指数
x
y
x
x
换个写法
x
y
尊重习惯写成自变量为x，函数值为y的形式
y
x
尊重习惯写成x轴为横轴，y轴为纵轴。此时两个图象的关系是关于y=x
轴对称。
指对函数概念是建立在指对运算基础上的，通过指数运算列表描点的过程给了我们启发，通过指数函数图象辅助画出对数函数图象，研究函数性质。其中，理解关于y=x直线对称是本节课的难点，需要花时间让学生体会。
5分钟
总结提升
引导学生总结指数概念与对数概念，指数运算与对数运算，指数函数与对数函数之间的联系。
培养分析问题的能力发展类比的思想。
5分钟
应用练习
例题1：比较下列各题中两个数的大小：
1，2，，。
例题2：求使不等式成立的实数x的集合。
例题3：已知求x的值。
应用对数函数的性质解决问题，进一步体会对数函数的性质。
培养分析问题、解决问题的能力。
发散联想
引导学生总结指数概念与对数概念、指数运算与对数运算、指数函数与对数函数之间的联系。
应用课上讨论总结的对数函数的性质结论解决比大小的问题方法；应用课上研讨的方法研究函数的性质。
培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，培养科学的思考方式。
10分钟
板书设计
对数函数的图象和性质
问题：研究函数的图象和性质。
方法2：由指数函数的图象得到对数函数
其中，??∈(0，+∞)
图象
表示法：列表法，解析式法，图象法
方法1：列表
x1248y-2-10123
取值依据：
易算
y=0
，x=1
y
=1
，x=2
……
总结：对数函数的性质有??∈(0，+∞)
，??∈??
位于y轴右边
在定义域内单调递增
比较下列各题中两个数的大小：
1．，2、，。
例题2：求使不等式成立的实数x的集合。
例题3：已知，求x的值。
6
/
6对数函数y＝log2x的图象和性质
【学习目标】
通过对数函数y＝log2x的图象研究函数的性质，培养直观想象素养。
【学习重难点】
会画具体对数函数的图象。
【学习过程】
一、预习提问
思考：
(1)指数函数y＝2x与对数函数x＝log2y的图象有什么关系？
(2)指数函数y＝2x的图象与对数函数y＝log2x的图象有什么关系？
[提示](1)重合。
(2)关于直线y＝x对称。
二、合作探究
4．函数y＝log2x的图象和性质
完成下列问题。
图象特征
函数性质
过点(1，0)
当x＝1时，y＝0
在y轴的右侧
定义域是(0，＋∞)
向上、向下无限延伸
值域是R
在直线x＝1右侧，图象位于x轴上方；在直线x＝1左侧，图象位于x轴下方
若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0
函数图象从左到右是上升的
在(0，＋∞)上是增函数
1．函数y＝logax的图象如图所示，则a的值可以是(
)
A．
B．2
C．e
D．10
2．函数y＝log2(x－2)的定义域是________。
3．函数y＝log2(x2＋1)的值域是________。
4．对数函数f(x)的图象经过点，则f(3)＝________。
【答案】
1．A
[y＝logax的图象是下降的，故a可以是。故选A．]
2．(2，＋∞)
[由x－2>0，得x>2，所以其定义域是(2，＋∞)。]
3．[0，＋∞)
[由x2＋1≥1，得y≥0，所以，其值域是[0，＋∞)。]
4．－1
[设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
因为对数函数f(x)的图象经过点，
所以f＝loga＝2．所以a2＝。
所以a＝＝＝。
所以f(x)＝logx。所以f(3)＝log3＝log＝－1．]
对数函数的概念
【例1】
下列函数中，哪些是对数函数？
(1)y＝loga(a>0，且a≠1)；
(2)y＝log2x＋2；
(3)y＝8log2(x＋1)；
(4)y＝logx6(x>0，且x≠1)；
(5)y＝log6x。
【答案】
(1)中真数不是自变量x，不是对数函数。
(2)中对数式后加2，所以不是对数函数。
(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数。
(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数。
(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数。
1．若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________。
【答案】1
[由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1．
又底数a＋1>0，且a＋1≠1，所以a＝1．]
求函数的反函数
【例2】
求下列函数的反函数。
(1)y＝10x；
(2)y＝x；
(3)y＝logx；
(4)y＝log2x。
【答案】
(1)由y＝10x，得x＝lg
y，∴其反函数为y＝lg
x；
(2)由y＝x，得x＝logy，∴其反函数为y＝logx；
(3)由y＝logx，得x＝y，∴其反函数为y＝x；
(4)由y＝log2x，得x＝2y，∴其反函数为y＝2x。
2．(1)已知函数y＝g(x)的图象与函数y＝log3x的图象关于直线y＝x对称，则g(2)的值为(
)
A．9
B．
C．
D．log32
(2)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)＝(
)
A．log2x
B．logx
C．2－x
D．x2
【答案】(1)A
(2)B
[(1)y＝g(x)与y＝log3x互为反函数，
故g(x)＝3x，
故g(2)＝32＝9．
(2)由题意知(a，)在y＝ax上，可得aa＝＝a，即a＝。
因为y＝x的反函数为y＝logx，
所以f(x)＝logx。]
函数y＝log2x的图象与性质
[探究问题]
1．求函数y＝log2|x|的定义域，并画出它的图象。
2．画出函数y＝|log2x|的图象，并写出它的单调区间。
【例3】
根据函数f(x)＝log2x的图象和性质求解以下问题：
(1)若f(x－1)>f(1)，求x的取值范围；
(2)求y＝log2(2x－1)在
x∈上的最值。
1．提示：函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}。
函数解析式可化为
y＝其图象如图所示。
(其特征是关于y轴对称)。
2．提示：y＝|log2x|＝其图象如图所示，
增区间为[1，＋∞)，减区间为(0，1)。
例3
[思路探究]
可依据y＝log2x的图象，借助函数的单调性解不等式，求最值。
[解]
作出函数y＝log2x的图象如图。
(1)由图象知y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数。
因为f(x－1)>f(1)，
所以x－1>1，
解得x>2，所以x的取值范围是(2，＋∞)。
(2)∵≤x≤，∴≤2x－1≤4，
∴log2≤log2(2x－1)≤log24，
所以－1≤log2(2x－1)≤2，
故函数y＝log2(2x－1)在x∈上的最小值为－1，最大值为2．
【母体探究】
1．(变结论)将例题中的条件不变，试比较log2与log2的大小。
2．(变结论)将例题中的条件不变，解不等式log2(2－x)>0.
【答案】
1．
[解]
函数f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，
又∵>，∴log2>log2。
2．[解]
log2(2－x)>0，即log2(2－x)>log21，
∵函数y＝log2x为增函数，
∴2－x>1，∴x<1．
∴x的取值范围是(－∞，1)。
【规律方法】
函数f（x）＝log2x是最基本的对数函数，它在（0，＋∞）上是单调递增的，利用单调性可以解不等式，求函数值域，比较对数值的大小。
【课堂小结】
1．解与对数有关的问题，首先要保证在定义域范围内解题，即真数大于零，底数大于零且不等于1，函数定义域的结果一定要写成集合或区间的形式。
2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们定义域与值域相反，图象关于直线y＝x对称。
3．应注意数形结合思想在解题中的应用。
1．思考辨析
(1)函数y＝2log2x是对数函数。(
)
(2)函数y＝3x的反函数是y＝x。(
)
(3)
对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数。(
)
2．函数f(x)＝lg(2－3x)的定义域是________。
3．函数y＝logx的反函数是________。
4．求函数y＝log2(3＋2x－x2)的定义域和值域。
【答案】1．
(1)×
(2)×
(3)√
2．
[由2－3x>0，得x<，所以，f(x)的定义域是。]
3．y＝x
[由y＝logx，得x＝y，所以，其反函数为y＝x。]
4．[解]
由3＋2x－x2>0，得x2－2x－3<0，∴－1
u＝3＋2x－x2＝4－(x－1)2≤4，又y＝log2u是增函数。
∴y≤log24＝2，∴其值域为(－∞，2]。
-
7
-
/
7对数函数y=logax的图象和性质
【教学目标】
1．通过对对数函数图像和性质的应用，体会数学抽象素养。
2．通过数形结合思想的应用，提升直观想象素养。
【教学重难点】
1．掌握对数函数的图像和性质。
2．掌握对数函数的图像和性质的应用。
3．体会数形结合的思想方法。
【教学过程】
一、基础铺垫
对数函数的图像和性质：
二、新知探究
1.利用对数函数比较大小
【例1】
比较大小：
(1)log0.31.8，log0.32.7；
(2)log67，log76；
(3)log3π，log20.8；
(4)log712，log812.
[思路探究](1)底数相同，可利用单调性比较；(2)与1比较；(3)与0比较；(4)可结合图像比较大小。
[解](1)考查对数函数y＝log0.3x，
∵0<0.3<1，
∴它在(0，＋∞)上是减函数，
∴log0.31.8>log0.32.7；
(2)∵log67>log66＝1，log76∴log67>log76；
(3)∵log3π>log31＝0，log20.8∴log3π>log20.8；
(4)法一：在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图像，由底数变化对图像位置的影响知：
log712>log812.
法二：∵log712－log812＝－
＝>0，
∴log712>log812.
【教师小结】比较对数大小的思路：
（1）底数相同，真数不同的，可看作同一对数函数上的几个函数值，用对数函数的单调性比较大小；
（2）底数不同，真数相同的几个数，可通过图像比较大小，也可通过换底公式比较大小；
（3）底数不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来比较大小，常用的特殊值是“0”或“1”。
2．对数函数的图像及应用
【例2】已知函数y＝loga(x＋b)
（c>0，且a≠1）的图像如图所示。
(1)求实数a与b的值；
(2)函数y＝loga(x＋b)与y＝logax的图像有何关系？
[解]
(1)由图像可知，函数的图像过点(－3，0)与点(0，2)，所以得方程0＝loga(－3＋b)与2＝logab，解得a＝2，b＝4．
(2)函数y＝loga(x＋4)的图像可以由y＝logax的图像向左平移4个单位得到。
【教师小结】解决对数函数图像问题的注意事项：
?（1）明确对数函数图像的分布区域。对数函数的图像在第一、四象限。当x趋近于0时，函数图像会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交。
?（2）建立分类讨论的思想。在画对数函数图像之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0?（3）牢记特殊点。对数函数y＝logax?a>0，且a≠1?的图像经过点：?1，0?，?a，1?和
三、课堂总结
比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图像，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较。
四、课堂检测
1．思考辨析
(1)对数函数y＝logax?a>0，且a≠1?在(0，＋∞)上是增函数。(
)
(2)若logπm)
(3)对数函数y＝log2x与y＝logx的图像关于y轴对称。(
)
[答案](1)×
(2)√
(3)×
2．已知loga<1，则a的取值范围是(
)
A．0B．a>
C．D。01
D
[当0当a>1时，loga<1＝logaa，∴a>1．
综上得，01．]
3．函数y＝log2(x2－1)的递增区间是________。
(1，＋∞)
[由x2－1>0，得x>1，或x<－1．
令u＝x2－1，则u在(－∞，－1)上递减，在(1，＋∞)上递增，又y＝log2a是增函数，
则y＝log2(x2－1)的递增区间是(1，＋∞)。]
-
4
-
/
4对数函数y=logax的图象和性质
【学习目标】
1．通过对对数函数图像和性质的应用，体会数学抽象素养。
2．通过数形结合思想的应用，提升直观想象素养。
【学习重难点】
1．掌握对数函数的图像和性质。
2．掌握对数函数的图像和性质的应用。
3．体会数形结合的思想方法。
【学习过程】
一、初试身手
1．如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图像，已知a取，，，，则相应于c1，c2，c3，c4的a值依次为(
)
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
2．函数f(x)＝log2．5x的值域为________。
3．函数y＝log2x2的单调递增区间是________。
4．函数y＝的定义域是________。
【答案】
1．A
[先排c1，c2底的顺序，底都大于1，当x>1时图低的底大，c1，c2对应的a分别为，。然后考虑c3，c4底的顺序，底都小于1，当x<1时底大的图高，c3，c4对应的a分别为，。综合以上分析，可得c1，c2，c3，c4的a值依次为，，，。故选A．]
2．R
3．(0，＋∞)
[由x2>0，得x≠0，令u＝x2，则u在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又y＝log2u在(0，＋∞)上单调递增，则y＝log2x2的单调递增区间是(0，＋∞)。]
4．(0，1]
[由logx≥0，得0二、合作探究
比较大小
【例1】
比较大小：
(1)log0.31．8，log0.32．7；
(2)log67，log76；
(3)log3π，log20.8；
(4)log712，log812．
[思路探究]
(1)底数相同，可利用单调性比较；(2)与1比较；(3)与0比较；(4)可结合图像比较大小。
[解]
(1)考查对数函数y＝log0.3x，
∵0<0.3<1，
∴它在(0，＋∞)上是减函数，
∴log0.31．8>log0.32．7；
(2)∵log67>log66＝1，log76∴log67>log76；
(3)∵log3π>log31＝0，log20.8∴log3π>log20.8；
(4)法一：在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图像，由底数变化对图像位置的影响知：
log712>log812．
法二：∵log712－log812＝－
＝>0，
∴log712>log812．
对数函数的图像及应用
【例2】
已知函数y＝loga(x＋b)
（c>0，且a≠1）的图像如图所示。
(1)求实数a与b的值；
(2)函数y＝loga(x＋b)与y＝logax的图像有何关系？
[解]
(1)由图像可知，函数的图像过点(－3，0)与点(0，2)，所以得方程0＝loga(－3＋b)与2＝logab，解得a＝2，b＝4．
(2)函数y＝loga(x＋4)的图像可以由y＝logax的图像向左平移4个单位得到。
【学习小结】
对数函数的图像和性质：
【精炼反馈】
1．思考辨析
(1)对数函数y＝logax
a>0，且a≠1在(0，＋∞)上是增函数。(
)
(2)若logπm)
(3)对数函数y＝log2x与y＝logx的图像关于y轴对称。(
)
2．已知loga<1，则a的取值范围是(
)
A．0B．a>
C．D．01
3．函数y＝log2(x2－1)的递增区间是________。
【答案】
1．(1)×
(2)√
(3)×
2．D
[当0当a>1时，loga<1＝logaa，∴a>1．
综上得，01．]
3．(1，＋∞)
[由x2－1>0，得x>1，或x<－1．
令u＝x2－1，则u在(－∞，－1)上递减，在(1，＋∞)上递增，又y＝log2a是增函数，
则y＝log2(x2－1)的递增区间是(1，＋∞)。]
-
2
-
/
4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
【教学目标】
1．通过具体实例体会三类函数模型增长的差异，提升数学建模素养。
2．利用三类函数的图像对比研究函数的增长快慢培养直观想象素养。
【教学重难点】
1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性。(重点)
2．会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。(难点)
【教学过程】
一、基础铺垫
(1)三种函数的增长趋势
当a>1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快。
当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快。
当x>0，n>1时，幂函数y＝xn也是增函数，并且当x>1时，n越大，其函数值的增长就越快。
思考1：在指数函数、对数函数、幂函数三类函数中，函数值增长最快的是哪个函数？
[提示]
指数函数
(2)三种函数的增长对比
对数函数y＝logax(a>1)增长最慢，幂函数y＝xn(n>0)，指数函数y＝ax(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有ax>xn>logax。
思考2：在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax[提示]
不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，logax二、新知探究
1．指数、对数、幂函数增长趋势的比较
【例1】
函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示。设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图像，比较f(8)，g(8)，f(2
016)，g(2
016)的大小。
[解]
(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x。
(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1
000，f(10)＝1
024，
∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)。
∴1016．
从图像上知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数。
∴f(2
016)>g(2
016)>g(8)>f(8)。
【教师小结】
（一）指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性
递增
递增
递增
增长的速度
先慢后快
先快后慢
随着n值的不同而不同
图象的变化
随x的增大越来越陡
随x的增大逐渐变缓
随着n值的不同而不同
（二）指数、幂、对数比较大小
(1)常用方法
单调性法、图象法，中间搭桥法、作差(商)法。
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较。
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小。
2．建立函数模型解决实际问题
【例2】
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？
[思路探究]
首先建立不同回报对应的函数模型，结合其图像解决问题。
[解]
设第x天所得回报是y元。
由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；
方案二：y＝10x(x∈N＋)；
方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)。
作出三个函数的图像如图：
由图可以看出，从每天所得回报看，在第1天到第3天，方案一最多，在第4天，方案一、二一样多，方案三最少，在第5天到第8天，方案二最多，第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第30天，所得回报已超过2亿元，
∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三。
通过计算器计算列出三种方案的累积收入表。
∴投资1天到6天，应选方案一，投资7天方案一、二均可，投资8天到10天应选方案二，投资11天及其以上，应选方案三。
【教师小结】
解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题来解决，结合函数图像有助于直观认识函数间在不同范围的大小关系。
三、课堂总结
三种函数模型的表达式及其增长特点的总结
(1)指数函数模型：表达式为f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0)，当b>1时，增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；当0(2)对数函数模型：表达式为f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m>0)，当a>1时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当0(3)幂函数模型：表达式为f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1，α>0)，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型。
四、课堂检测
1．思考辨析
(1)y＝x10比y＝1．1x的增长速度更快些。(
)
(2)对于任意的x>0，都有2x>log2x。(
)
(3)对于任意的x，都有2x>x2．(
)
[答案]
(1)×
(2)√
(3)×
2．三个变量y1，y2，y3随自变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1
715
3
645
6
633
y2
5
29
245
2
189
19
685
177
149
y3
5
6．1
6．61
6．95
7．20
7．40
其中关于x呈对数型函数变化的变量是______________，
呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型函数变化的变量是________。
y3
y2
y1
[由表中数据可知，y1随x的增加成倍增加，属于幂函数型函数变化，y2随x的增加成“几何级数”增加，属于指数型函数变化，y3随x的增加增加越来越慢，属于对数函数变化。]
3．某商场2018年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：
①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；
②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；
③f(x)＝x2＋px＋q。
能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝________。
③，x2－8x＋17
[①②均单调，③先减后增，故能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为③，由f(1)＝10，f(3)＝2，得
，
解得p＝－8，q＝17，
所以，f(x)＝x2－8x＋17．]
4．用模型f(x)＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系。统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y3＝2(亿元)。又定义：当f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的数值最小时为最佳模型。
(1)当b＝时，求相应的a使f(x)＝ax＋b成为最佳模型；
(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值。
[解]
(1)b＝时
，[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2＝142＋，
∴a＝时，f(x)＝x＋为最佳模型。
(2)f(x)＝＋，则y4＝f(4)＝。
-
5
-
/
5指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
【学习目标】
1．通过具体实例体会三类函数模型增长的差异，提升数学建模素养。
2．利用三类函数的图像对比研究函数的增长快慢培养直观想象素养。
【学习重难点】
1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性。(重点)
2．会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。(难点)
【学习过程】
一、初试身手
1．下列函数中，增长速度最快的是(
)
A．y＝2x
B．y＝3x
C．y＝5x
D．y＝10x
2．若x∈(1，2)，则下列结论正确的是(
)
A．2x>x>lg
x
B．2x>lg
x>x
C．x>2x>lg
x
D．x>lg
x>2x
3．如图所示曲线反映的是________函数模型的增长趋势。
4．当x>4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关系是________。
【答案】
1．D
[四个选项中的函数都是指数函数，且底数均大于1，D项中底数10最大，则函数y＝10x的增长速度最快。]
2．A
3．对数
4．[答案]
a>c>b
二、合作探究
指数、对数、幂函数增长趋势的比较
【例1】
函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示。设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图像，比较f(8)，g(8)，f(2
016)，g(2
016)的大小。
[解]
(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x。
(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1
000，f(10)＝1
024，
∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)。
∴1016．
从图像上知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数。
∴f(2
016)>g(2
016)>g(8)>f(8)。
建立函数模型解决实际问题
【例2】
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？
[思路探究]
首先建立不同回报对应的函数模型，结合其图像解决问题。
[解]
设第x天所得回报是y元。
由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；
方案二：y＝10x(x∈N＋)；
方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)。
作出三个函数的图像如图：
由图可以看出，从每天所得回报看，在第1天到第3天，方案一最多，在第4天，方案一、二一样多，方案三最少，在第5天到第8天，方案二最多，第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第30天，所得回报已超过2亿元，
∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三。
通过计算器计算列出三种方案的累积收入表。
∴投资1天到6天，应选方案一，投资7天方案一、二均可，投资8天到10天应选方案二，投资11天及其以上，应选方案三。
【学习小结】
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较：
(1)三种函数的增长趋势
当a>1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快。
当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快。
当x>0，n>1时，幂函数y＝xn也是增函数，并且当x>1时，n越大，其函数值的增长就越快。
(2)三种函数的增长对比
对数函数y＝logax(a>1)增长最慢，幂函数y＝xn(n>0)，指数函数y＝ax(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有ax>xn>logax。
【精炼反馈】
1．思考辨析
(1)y＝x10比y＝1．1x的增长速度更快些。(
)
(2)对于任意的x>0，都有2x>log2x。(
)
(3)对于任意的x，都有2x>x2．(
)
2．三个变量y1，y2，y3随自变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1
715
3
645
6
633
y2
5
29
245
2
189
19
685
177
149
y3
5
6.1
6.61
6.95
7.20
7.40
其中关于x呈对数型函数变化的变量是______________，
呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型函数变化的变量是________。
3．某商场2018年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：
①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；
②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；
③f(x)＝x2＋px＋q。
能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝________。
4．用模型f(x)＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系。统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y3＝2(亿元)。又定义：当f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的数值最小时为最佳模型。
(1)当b＝时，求相应的a使f(x)＝ax＋b成为最佳模型；
(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值。
【答案】
1．(1)×
(2)√
(3)×
2．y3
y2
y1
[由表中数据可知，y1随x的增加成倍增加，属于幂函数型函数变化，y2随x的增加成“几何级数”增加，属于指数型函数变化，y3随x的增加增加越来越慢，属于对数函数变化。]
3．③，x2－8x＋17
[①②均单调，③先减后增，故能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为③，由f(1)＝10，f(3)＝2，得
，
解得p＝－8，q＝17，
所以，f(x)＝x2－8x＋17．]
4．[解]
(1)b＝时
，[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2＝142＋，
∴a＝时，f(x)＝x＋为最佳模型。
(2)f(x)＝＋，则y4＝f(4)＝。
-
5
-
/
5信息技术支持的函数研究
【教学目标】
感受信息技术对函数研究的作用.
【教学重难点】
函数参变量对图像的影响.
【教学过程】
一、问题导入
前面我们研究了对数函数y=logax（a>0，且a≠1）的图象和性质，如果将解析式中的a，x互换位置，底数变为自变量，即形如y=logxN（N>0，且N
≠
1）的函数，那么它的图象和性质是怎样的呢？下面我们借助数学软件GeoGebra做进一步研究.
二、新知探究
问题1：
根据函数y=logxN（N>0，且N≠1）的图象，判断它的单调性.
学生交流探究，教师总结：
一般地，y=logxN（N>0，且N
≠
1）的单调性为：当N>1时，在区间（0，1）和（1，+∞）上单调递减；当0问题2：
当N变化时，函数y=logxN（N>0，且N≠1）的图象有什么规律呢？
学生交流探究，教师总结：
当N>1时，对于同一个自变量x的取值，当x>1时，y=logxN的值随着N值的增大而增大；当0y=logxN
的值随着N值的增大而减小.
学生交流探究，教师总结：
当01时，y=logxN的值随着N值的增大而增大；当0综上，无论是N>1还是01时，对于同一个自变量的取值，函数值随着N值的增大而增大；当0问题3：
观察上两幅图，你还有什么发现？想一想，能否给出较为合理的解释呢？
学生交流探究，教师总结：
函数f(x)=logxa的图象与函数g(x)=logx1/a的图象关于x轴对称.
1
/
2信息技术支持的函数研究
【学习目标】
感受信息技术对函数研究的作用。
【学习重难点】
函数参变量对图像的影响。
【学习过程】
一、问题导学
前面我们研究了对数函数y=logax（a>0，且a≠1）的图象和性质，如果将解析式中的a，x互换位置，底数变为自变量，即形如y=logxN（N>0，且N
≠
1）的函数，那么它的图象和性质是怎样的呢？
二、合作探究
问题1：根据函数y=logxN（N>0，且N≠1）的图象，判断它的单调性.
问题2：当N变化时，函数y=logxN（N>0，且N≠1）的图象有什么规律呢？
当N>1时：
当0综上：
问题3：观察上两幅图，你还有什么发现？想一想，能否给出较为合理的解释呢？
1
/
3
图
中(共34张PPT)
对数函数y=logax的图象和性质
自
主
探
新
知
预
习
合
作
攻
重
难
探
究
比较大小
对数函数的图像及应用
当
堂
固
双
基
达
标
谢
谢
a>1
0图
像
定义域:
值域
图像过定点
质
当x>1时
0
当x>1时,y0
当0当0增区间:(0,+∞)
减区间:(0,+∞)
类型1
类型2(共21张PPT)
对数函数的概念
自
主
探
新
知
预
习
底数
自变量
(0，＋∞)
y＝ax(a＞0，a≠1)
10
e
y＝logax(a＞0，a≠1)
合
作
攻
重
难
探
究
对数函数的概念
求函数的反函数
当
堂
固
双
基
达
标
谢
谢
类型1
类型2(共28张PPT)
换底公式
自
主
探
新
知
预
习
1
合
作
攻
重
难
探
究
利用换底公式化简求值
用已知对数表示其他对数
当
堂
固
双
基
达
标
谢
谢
log
b
类型1
类型2(共22张PPT)
对数函数的图象和性质
自
主
探
新
知
预
习
(0，＋∞)
(1,0)
y＝0
y＜0
y＞0
增
合
作
攻
重
难
探
究
函数y＝log2x的图像与性质
当
堂
固
双
基
达
标
谢
谢
新知初探
y=log
a
【例】根据函数x)=logx的图像和性质求解以下问题:
(1)若fx-1)>八(1),求x的取值范围;
(2)求y=1og2(2x-1)在x∈
42
上的最值(共24张PPT)
对数的运算性质
自
主
探
新
知
预
习
logaM－logaN
logaM＋logaN
nlogaM
合
作
攻
重
难
探
究
对数运算性质
对数运算性质的应用
当
堂
固
双
基
达
标
谢
谢
新知初探
规律方法
跟踪训练(共12张PPT)
信息技术支持的函数研究
【学习目标】
感受信息技术对函数研究的作用。
【重难点】
函数参变量对图像的影响。
前面我们研究了对数函数y=logax（a>0，且a≠1）的图象和性质，如果将解析式中的a，x互换位置，底数变为自变量，即形如y=logxN（N>0，且N
≠
1）的函数，那么它的图象和性质是怎样的呢？下面我们借助数学软件GeoGebra做进一步研究.
问题1
根据函数y=logxN（N>0，且N
≠
1）的图象，判断它的单调性.
一般地，
y=logxN（N>0，且N
≠
1）的单调性为：当N>1时，在区间（0，1）和（1，+∞）上单调递减；当0+∞
）上单调递增。
问题2
当N变化时，函数y=logxN（N>0，且N
≠
1）的图象有什么规律呢？
当N>1时，对于同一个自变量x的取值，当x>1时，y=logxN的值随着N值的增大而增大；当0y=logxN
的值随着N值的增大而减小。
当01时，y=logxN的值随着N值的增大而增大；当0y=logxN
的值随着N值的增大而减小。
综上，无论是N>1还是01时，对于同一个自变量的取值，函数值随着N值的增大而增大；当0问题3
观察上两幅图，你还有什么发现？想一想，能否给出较为合理的解释呢？
解：函数f(x)=logxa的图象与函数g(x)=logx1/a的图象关于x轴对称。
谢
谢(共24张PPT)
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
一、创设情境，提出问题
幂函数、指数函数、对数函数
——“赛跑”
【分析探究】
首先，明确规则：
一看：同一时刻谁跑在前面；
二看：到最后谁跑在前面.
三类函数商量对策，先做组内选拔，再组间PK.
赛跑怎么看输赢？
一是直观看，观众和裁判一目了然；对函数来讲，就是从“形”——图象的角度；
二是从“数”，难分伯仲时，计时或录像慢放，微观定胜负.
因此函数之间的PK，我们同样从数、形两个角度看.
【组内选拔赛】
几何画板探究
方法1：从“数”的角度看
【组间淘汰赛】
第一局：幂函数与对数函数的增长情况的比较：
1.幂函数与对数函数的增长情况的比较：
几何画板探究
几何画板探究
2.指数函数与幂函数的增长情况的比较
方法1：形少数时难入微，从“数”的角度
——两函数对应值表看
几何画板探究
【感悟】只有眼光既远又广的人，才能在人生的道路上扬眉吐气.
几何画板探究
事实上，指数函数的实力“强悍”：即便让幂函数、对数函数“先跑一段”，再去追，也最终能“反超”.
留给同学们下课后验证.
几何画板探究
三、反思交流，形成结论
四、联系实际——感悟数学应用
1.幂指对增长快慢的生活应用
指数增长快：兔子的繁殖、病毒的传播、
“利滚利、一还三”等
四、联系实际——感悟数学应用
1.幂指对增长快慢的生活应用
指数爆炸与对数缓慢增长：
①一个城市的电话号码的位数，大致是城市人口以10为底的对数，上百万人口的城市，要发展到上千万，才需要把电话号码增加一位就够用了；既说明了对数增长的缓慢，反过来也说明了指数爆炸的威力；
②在互联网上，每天的数据以指数爆炸剧增，而我们搜索资料或查找数据，能迅速地从海量数据中找到有关的网页和文件，也是因为，数据经过合理组织，搜索工作量是数据量的对数函数.
四、联系实际——感悟数学应用
1.幂指对增长快慢的生活应用
但要注意，这里讨论的是自变量足够大的情形，实际问题要具体分析.
光线在晨雾中按指数函数快速衰减，所以“晨雾茫茫碍交通”.
铀核裂变时放出的中子数和能量都按指数函数快速增长，引起核爆炸.
由化石的放射性碳含量与化石年龄之间的对数函数关系可以推算出化石的年龄.
将海量数据经过合理编排，可以使搜索资料所需工作量是数据量的对数函数，当数据大量增长时工作量增长很少，因此能做到“文海索句快如风”.
晨雾茫茫碍交通，
蘑菇核云蔽长空.
化石岁月巧推算，
文海索句快如风.
——李尚志
2.指数爆炸中的生活哲理
三天打鱼，两天晒网
积跬步以致千里，
积怠惰以致深渊
只比你努力一点的人，
其实已经甩你很远
2.指数爆炸中的生活哲理
多一份努力，
得千份收成
只多了一点怠惰，
亏空了千份成就
五、自主反思
通过本节课的学习，你
1.
学到哪些知识和方法？
2.
体会到哪些数学思想？
3.
有哪些数学学习的体验？
五、自主反思
?
五、自主反思
在知识的探究过程中，用到了类比、联想、分析、综合等数学方法，体会到从特殊到一般、从具体到抽象及数形结合、等价转化等数学思想，感受到数学在生活中应用的广泛性，这些都体现出数学的价值（科学价值、应用价值、文化价值和审美价值）.
六、发散探究
基础级：
1.仿照本节课的研究方法，比较对数函数、一元一次函数、指数函数的增长.
六、发散探究
基础级：
六、发散探究
提高级：
谢
谢(共26张PPT)
对数的概念
自
主
探
新
知
预
习
a>0，且a≠1
0
N
1
1
0
10
e
合
作
攻
重
难
探
究
指数式与对数式的互化
对数基本性质的应用
当
堂
固
双
基
达
标
谢
谢
loga
N
类型1
类型2