利用函数性质判定方程解的存在性
【教学目标】
1．学习函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，提升直观想象素养。
2．通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养。
【教学重难点】
1．了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系。(易混点)
2．掌握函数零点存在的判定方法。(重点)
3．能结合图像求解零点问题。(难点)
【教学过程】
一、基础铺垫
1．函数的零点：
①定义：函数f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。
②方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系。
2．函数零点的判定定理：
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解。
思考：(1)函数的零点是点吗？
(2)若f(a)·f(b)>0，则y＝f(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？
[提示]
(1)不是点，是数。
(2)不一定，如y＝x2－1，在区间(－2，2)上有两个零点。
二、新知探究
1．求函数的零点
【例1】
判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝2x－3；
(4)f(x)＝1－log3x。
[解]
(1)令＝0，解得x＝－3，
所以函数f(x)＝的零点是－3．
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无解，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点。
(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，
所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23．
(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，
所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3．
【教师小结】
函数零点的求法，求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令y＝f(x)＝0，根据解方程y＝f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝y＝f(x)的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点。
2．判断零点所在的区间
【例2】
(1)已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
15
10
－7
6
－4
－5
则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(
)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
(2)函数f(x)＝ln
x－的零点所在的大致区间是(
)
A．(1，2)
B．(2，3)
C．和(3，4)
D．(e，＋∞)
(1)B
(2)B
[(1)由已知数表可知f(2)·f(3)＝10×(－7)＜0，
f(3)·f(4)＝(－7)×6＜0，f(4)×f(5)＝6×(－4)<0，
故函数f(x)在(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别存在零点，故至少有3个零点。
(2)∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln
2－1＜0，
∴在(1，2)内f(x)无零点，A错；
又f(3)＝ln
3－＞0，∴f(2)·f(3)＜0，
∴f(x)在(2，3)内有零点。]
【母题探究】
1．(变条件)已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在区间是(
)
A．(3，4)
B．(2，3)
C．(1，2)
D．(0，1)
C
[因为f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，
所以f(1)·f(2)<0，
所以f(x)在区间(1，2)内至少有一个零点，
又f(x)仅有一个正零点，故选C．]
2．(变结论)探究1中，函数y＝f(x)有负零点吗？
[解]
当x≤－1时，f(x)＝x3－x－1＝x(x2－1)－1<－1，当－1因此，f(x)没有负零点。
【教师小结】
（1）确定函数零点、方程解所在的区间，通常利用函数零点的存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反。
（2）若要判断零点(或根)的个数，还需结合函数的其他性质，如单调性。
3．函数零点个数的判定
【例3】
(1)函数f(x)＝的零点个数为(
)
A．3
B．2
C．1
D．0
(2)函数f(x)＝ln
x＋x2－3的零点的个数是________。
(1)B
(2)1
[(1)当x≤0时，令x2＋2x＋3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋ln
x＝0，解得x＝e2，所以已知函数有两个零点，故选B．
(2)因为f(1)＝－2，f(2)＝ln
2＋1>0；
所以f(1)·f(2)<0.
又f(x)＝ln
x＋x2－3的图像在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点。
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，
所以零点只有1个。]
【教师小结】
判断函数零点个数的三种方法
?（1）方程法：若方程y＝f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数。
?（2）图像法：由y＝f(x)＝y＝g(x)-h(x)＝0，得g(x)=h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数。
?（3）定理法：函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)<0即可判断函数y＝y＝f(x)在区间?a，b?内至少有一个零点。若函数y＝f(x)在区间?a，b?上是单调函数，则函数y＝f(x)在区间?a，b?内只有一个零点。
三、课堂总结
1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数图像在区间[a，b]上是连续的；(2)定理不可逆；(3)在区间(a，b)内，函数至少存在一个零点。
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图像与x轴交点的横坐标。
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础。
四、课堂检测
1．思考辨析
(1)零点即函数y＝f(x)的图像与x轴的交点。(
)
(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)有两个零点。(
)
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.(
)
[答案]
(1)×
(2)√
(3)×
2．y＝x＋1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是(
)
A．－1，(－1，0)
B．(－1，0)，0
C．(－1，0)，－1
D．－1，－1
C
[由y＝x＋1＝0，得x＝－1，
故交点坐标为(－1，0)，零点是－1．]
3．若函数f(x)唯一的零点在区间(1，3)或(1，4)或(1，5)内，则
①函数f(x)的零点在(1，2)或(2，3)内；
②函数f(x)在(3，5)内无零点；
③函数f(x)在(2，5)内有零点；
④函数f(x)在(2，4)内不一定有零点；
⑤函数f(x)的零点必在(1，5)内。
以上说法错误的是________(将序号填在横线上)。
①②③
[由于三个区间是包含关系，而(1，5)范围最大，零点位置可能在区间(1，5)的任何一个子区间内，①②③错误。]
4．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。
(1)y＝；(2)y＝x2－2x＋4；(3)y＝1－log5x。
[解]
(1)令y＝0，得＝0，无解。故函数不存在零点。
(2)令y＝0，得x2－2x＋4＝0，Δ＝4－4×4＝－12<0.故函数不存在零点。
(3)令y＝0，得1－log5x＝0，log5x＝1，解得x＝5．故函数的零点为5．
-
5
-
/
5利用函数性质判定方程解的存在性
【学习目标】
1．学习函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，提升直观想象素养。
2．通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养。
【学习重难点】
1．了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系。(易混点)
2．掌握函数零点存在的判定方法。(重点)
3．能结合图像求解零点问题。(难点)
【学习过程】
一、预习提问
思考：(1)函数的零点是点吗？
(2)若f(a)·f(b)>0，则y＝f(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？
[提示]
(1)不是点，是数。
(2)不一定，如y＝x2－1，在区间(－2，2)上有两个零点。
二、合作探究
求函数的零点
【例1】
判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝2x－3；
(4)f(x)＝1－log3x。
【答案】
(1)令＝0，解得x＝－3，
所以函数f(x)＝的零点是－3．
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无解，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点。
(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，
所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23．
(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，
所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3．
判断零点所在的区间
【例2】
(1)已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
15
10
－7
6
－4
－5
则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(
)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
(2)函数f(x)＝ln
x－的零点所在的大致区间是(
)
A．(1，2)
B．(2，3)
C．和(3，4)
D．(e，＋∞)
【答案】
(1)B
(2)B
[(1)由已知数表可知f(2)·f(3)＝10×(－7)＜0，
f(3)·f(4)＝(－7)×6＜0，f(4)×f(5)＝6×(－4)<0，
故函数f(x)在(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别存在零点，故至少有3个零点。
(2)∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln
2－1＜0，
∴在(1，2)内f(x)无零点，A错；
又f(3)＝ln
3－＞0，∴f(2)·f(3)＜0，
∴f(x)在(2，3)内有零点。]
【母题探究】
1．(变条件)已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在区间是(
)
A．(3，4)
B．(2，3)
C．(1，2)
D．(0，1)
2．(变结论)探究1中，函数y＝f(x)有负零点吗？
【答案】1．C
[因为f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，
所以f(1)·f(2)<0，
所以f(x)在区间(1，2)内至少有一个零点，
又f(x)仅有一个正零点，故选C．]
2．[解]
当x≤－1时，f(x)＝x3－x－1＝x(x2－1)－1<－1，当－1因此，f(x)没有负零点。
函数零点个数的判定
【例3】
(1)函数f(x)＝的零点个数为(
)
A．3
B．2
C．1
D．0
(2)函数f(x)＝ln
x＋x2－3的零点的个数是________。
【答案】(1)B
(2)1
[(1)当x≤0时，令x2＋2x＋3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋ln
x＝0，解得x＝e2，所以已知函数有两个零点，故选B．
(2)因为f(1)＝－2，f(2)＝ln
2＋1>0；
所以f(1)·f(2)<0.
又f(x)＝ln
x＋x2－3的图像在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点。
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，
所以零点只有1个。]
【学习小结】
(1)函数的零点：
①定义：函数f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。
②方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系。
(2)函数零点的判定定理：
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解。
【精炼反馈】
1．思考辨析
(1)零点即函数y＝f(x)的图像与x轴的交点。(
)
(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)有两个零点。(
)
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.(
)
2．y＝x＋1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是(
)
A．－1，(－1，0)
B．(－1，0)，0
C．(－1，0)，－1
D．－1，－1
3．若函数f(x)唯一的零点在区间(1，3)或(1，4)或(1，5)内，则
①函数f(x)的零点在(1，2)或(2，3)内；
②函数f(x)在(3，5)内无零点；
③函数f(x)在(2，5)内有零点；
④函数f(x)在(2，4)内不一定有零点；
⑤函数f(x)的零点必在(1，5)内。
以上说法错误的是________(将序号填在横线上)。
4．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。
(1)y＝；(2)y＝x2－2x＋4；(3)y＝1－log5x。
【答案】
1．(1)×
(2)√
(3)×
2．C
[由y＝x＋1＝0，得x＝－1，
故交点坐标为(－1，0)，零点是－1．]
3．①②③
[由于三个区间是包含关系，而(1，5)范围最大，零点位置可能在区间(1，5)的任何一个子区间内，①②③错误。]
4．[解]
(1)令y＝0，得＝0，无解。故函数不存在零点。
(2)令y＝0，得x2－2x＋4＝0，Δ＝4－4×4＝－12<0.故函数不存在零点。
(3)令y＝0，得1－log5x＝0，log5x＝1，解得x＝5．故函数的零点为5．
-
1
-
/
5利用二分法求方程的近似解
【教学目标】
1．通过具体函数图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解，培养数学运算素养。
2．通过学习利用二分法求方程近似解的过程和方法，提升直观想像、逻辑推理素养。
【教学重难点】
1．根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解。(重点)
2．学习利用二分法求方程近似解的过程和方法。(难点)
【教学过程】
一、基础铺垫
1．二分法的概念
对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法。
2．用二分法求方程的近似解的过程
在图中：
“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；
“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；
“N”的含义是：方程解满足要求的精度；
“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解。
思考：用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？
[提示]
(1)f(x)在区间[a，b]上的图像连续；
(2)在区间[a，b]端点的函数值f(a)·f(b)<0.
二、新知探究
1．二分法概念的理解
【例1】
下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(
)
A
B
C
D
[思路探究]
→
A
[按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点。故结合各图像可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图像经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解。故选A．]
【教师小结】
（1）准确理解“二分法”的含义。二分就是平均分成两部分。二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点。
（2）“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图像在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点。
2．利用二分法求方程的近似解
【例2】
求方程lg
x＝x－1的近似解(精度为0.1)。
[解]
如图所示，由函数y＝lg
x与y＝x－1的图像可知，方程lg
x＝x－1有唯一实数解，且在区间[0，1]内。
设f(x)＝lg
x－x＋1，f(1)＝>0，用计算器计算，列表如下：
取值区间
中点值
中点函数近似值
区间长度
(0，1)
0.5
－0.008
1
1
(0.5，1)
0.75
0.280
5
0.5
(0.5，0.75)
0.625
0.147
5
0.25
(0.5，0.625)
0.562
5
0.073
0
0.125
由于区间(0.5，0.625)的长度为0.125<0.2，此时该区间中点0.562
5与真正零点的误差不超过0.1，所以函数f(x)的零点近似值为0.562
5，即方程lg
x＝x－1的近似解为x≈0.562
5．
【教师小结】用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精度，及时检验所得区间端点的近似值是否达到要求?达到给定的精度?，以决定是停止计算还是继续计算。
三、课堂总结
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点。
2．并非所有函数都可以用二分法求出其零点，只有满足：
(1)函数图像在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)<0.
上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值。
四、课堂检测
1．思考辨析
(1)任何函数的零点都可以用二分法求得。(
)
(2)用二分法求出的方程的根都是近似解。(
)
(3)当方程的有解区间[a，b]的区间长度b－a≤ε(精度)时，区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解。(
)
[答案]
(1)×
(2)×
(3)√
2．用二分法求函数f(x)＝3x－7的零点时，初始区间可选为(
)
A．(－1，0)
B．(0，1)
C．(1，2)
D．(2，3)
C
[f(－1)＝3－1－7＝－7＝－＜0，
f(0)＝30－7＝1－7＝1－7＝－6＜0，
f(1)＝31－7＝－4<0，
f(2)＝32－7＝9－7＝2＞0，
故函数f(x)的零点在区间(1，2)上，故初始区间可选为(1，2)。]
3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437
5)
＝0.162
f(1.406
25)
＝－0.054
那么函数零点的一个近似解(精度为0.1)为(
)
A．1.25
B．1.375
C．1.406
25
D．1.5
C
[根据题意知函数的零点在1.406
25至1.437
5之间，又|1.437
5－1.406
25|＝0.031
25<0.1，故方程的一个近似解为1.406
25，故选C．]
4．用二分法求2x＋x＝4在区间[1，2]内的近似解(精度为0.2)。参考数据：
x
1.125
1.25
1.375
1.5
1.625
1.75
1.875
2x
2.18
2.38
2.59
2.83
3.08
3.36
3.67
[解]
令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0.
区间
区间中点值xn
f(xn)的值及符号
(1，2)
x1＝1.5
f(x1)＝0.33>0
(1，1.5)
x2＝1.25
f(x2)＝－0.37<0
(1.25，1.5)
x3＝1.375
f(x3)＝－0.031<0
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375．
-
2
-
/
4利用二分法求方程的近似解
【学习目标】
1．通过具体函数图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解，培养数学运算素养。
2．通过学习利用二分法求方程近似解的过程和方法，提升直观想像、逻辑推理素养。
【学习重难点】
1．根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解。(重点)
2．学习利用二分法求方程近似解的过程和方法。(难点)
【学习过程】
一、初试身手
1．下列函数图像与x轴均有交点，其中能用二分法求零点的是(
)
2．在用二分法求函数f(x)的一个零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，若精确度为0.1，则函数f(x)的零点近似值可为(
)
A．0.64
B．0.65
C．0.70
D．0.73
3．在下面给出的四个函数中，需要用二分法求其零点的是________。
①y＝x＋π；②y＝3x－1；③y＝ln
x；④y＝x－x。
4．用“二分法”求2x＋log2x－4＝0在区间(1，3)内的根。如果取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________。
【答案】
1．C
[C中函数的零点是变号零点，故选C．]
2．C
[∵f(0.72)>0，f(0.68)<0，∴f(x)在(0.68，0.72)内至少有一个零点，又|0.72－0.68|<0.1，故其零点的近似值可为0.70.]
3．④
[①②③可直接解出来，不需要用二分法去求，而④无法直接解出来，故应填④。]
4．(1，2)
[令f(x)＝2x＋log2x－4，则f(1)＝－2<0，f(2)＝1>0，
由零点存在性定理知，f(x)在区间(1，2)内至少存在一个零点。
所以，下一个有根的区间是(1，2)。]
二、合作探究
二分法概念的理解
【例1】
下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(
)
A
B
C
D
[思路探究]
→
A
[按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点。故结合各图像可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图像经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解。故选A．]
利用二分法求方程的近似解
【例2】
求方程lg
x＝x－1的近似解(精度为0.1)。
[解]
如图所示，由函数y＝lg
x与y＝x－1的图像可知，方程lg
x＝x－1有唯一实数解，且在区间[0，1]内。
设f(x)＝lg
x－x＋1，f(1)＝>0，用计算器计算，列表如下：
取值区间
中点值
中点函数近似值
区间长度
(0，1)
0.5
－0.008
1
1
(0.5，1)
0.75
0.280
5
0.5
(0.5，0.75)
0.625
0.147
5
0.25
(0.5，0.625)
0.562
5
0.073
0
0.125
由于区间(0.5，0.625)的长度为0.125<0.2，此时该区间中点0.562
5与真正零点的误差不超过0.1，所以函数f(x)的零点近似值为0.562
5，即方程lg
x＝x－1的近似解为x≈0.562
5．
【学习小结】
(1)二分法的概念
对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法。
(2)用二分法求方程的近似解的过程
【精炼反馈】
1．思考辨析
(1)任何函数的零点都可以用二分法求得。(
)
(2)用二分法求出的方程的根都是近似解。(
)
(3)当方程的有解区间[a，b]的区间长度b－a≤ε(精度)时，区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解。(
)
2．用二分法求函数f(x)＝3x－7的零点时，初始区间可选为(
)
A．(－1，0)
B．(0，1)
C．(1，2)
D．(2，3)
3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437
5)
＝0.162
f(1.406
25)
＝－0.054
那么函数零点的一个近似解(精度为0.1)为(
)
A．1.25
B．1.375
C．1.406
25
D．1.5
4．用二分法求2x＋x＝4在区间[1，2]内的近似解(精度为0.2)。参考数据：
x
1.125
1.25
1.375
1.5
1.625
1.75
1.875
2x
2.18
2.38
2.59
2.83
3.08
3.36
3.67
【答案】
1．[答案]
(1)×
(2)×
(3)√
2．C
[f(－1)＝3－1－7＝－7＝－＜0，
f(0)＝30－7＝1－7＝1－7＝－6＜0，
f(1)＝31－7＝－4<0，
f(2)＝32－7＝9－7＝2＞0，
故函数f(x)的零点在区间(1，2)上，故初始区间可选为(1，2)。]
3．C
[根据题意知函数的零点在1.406
25至1.437
5之间，又|1.437
5－1.406
25|＝0.031
25<0.1，故方程的一个近似解为1.406
25，故选C．]
4．[解]
令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0.
区间
区间中点值xn
f(xn)的值及符号
(1，2)
x1＝1．5
f(x1)＝0.33>0
(1，1．5)
x2＝1．25
f(x2)＝－0.37<0
(1．25，1．5)
x3＝1．375
f(x3)＝－0.031<0
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375．
-
2
-
/
4实际问题的函数刻画
【教学目标】
1．尝试用函数刻画实际问题，感受函数与现实世界的联系，会用数学知识有意识地解决实际问题，能够找出简单实际问题中的函数关系式。
2．会用数学知识有意识地解决实际问题，会用数学知识进行实际问题的转化，并用数学知识解读实际问题。
3．培养学生用数学眼光看待问题的意识与能力。
【教学重点】
知道怎样用数学知识刻画实际问题。
【教学难点】
1．用数学知识解读实际问题。
2．引用数学符号建立数学模型，用数学语言表示实际问题。
【教学过程】
一、阅读交流
问题1：
某公司投入了15万元，用于研发设计一种新型几何模板。经测算，每件产品的直接成本是130元，市场的合适售价是190元。显然，这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品，另一方面又要争取获得好的收益。当这种新型几何模板畅销时，怎样计算总收益呢？
提示：（1）该问题中反映的信息中有哪些量？
（2）这几个量之间存在怎样的依赖关系？
（3）数据提供的信息是什么（揭示了怎样的规律）？
（4）上述规律有什么现实指导意义？
解：设产量为x，总收益为y。
（1）。
（2）实际中企业关注的是成本与利润之间的关系，需要对它们进行比较。
（3）数学知识诠释：
①从利润关系式可见，希望有较大利润应增加产量。若x<2500，则要亏损；若x=2500
，则利润为零；若x>2500，则可赢利。
②单位成本P与产量x的关系可见，为了降低成本，应增加产量，以形成规模效应。
问题2：
网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表，第一行是脚长（新鞋码，单位：mm），第二行是我们习惯称呼的“鞋号（旧鞋码，单位：号）”。
脚长/mm
220
225
230
235
240
245
250
255
260
鞋号/号
34
35
36
37
38
39
40
41
42
（1）脚长和鞋号有什么关系呢？
（2）如果看到一款“30号”的女童鞋，你知道对应的脚长估计是多少吗？
（3）一名脚长为262mm的女运动员，又该穿多大号的鞋呢？
解：
（1）在这个实际问题中出现了两个变量：一个是脚长；一个是鞋号。从题目看出，表中的数据已经给出了几个脚长对应的鞋码；
（2）从题目看出，对于每一个脚长都有唯一的鞋号与之对应，所以题目给出是一个函数关系；
（3）为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对数值在平面直角坐标系中表示出来。
（4）可以看出，这些点都在一条直线上，不妨设这条直线为y=kx+B．利用表中任意两组数，得到k=0.2，b=－10.所以y=0.2x－10这就是鞋号关于脚长的函数模型。
当y=30时，x=200.能穿30号鞋的女童的脚长估计是200mm。
当x=262时，y=42.4．脚长为262mm的女运动员应穿43号的鞋。
二、课堂练习
如图，在一条弯曲的河道上，设置了6个水文监测站，现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通信电缆，怎样刻画专用通信电缆的总长度？
交流：（1）本题目要解决的问题是什么？
（2）题中是否存在函数关系？
（3）怎样求题目中的函数关系？
三、课堂小结
1．本节课主要研究实际问题的数学刻画如何刻画。
（1）认真读题，慎密审题。
（2）引进数学符号，建立数学模型。
（3）会把数学结果转化为实际问题的结果进行诠释实际问题。
2．应用问题解答的关键是：用数学的眼光看实际问题，用数学语言表示实际问题。
1
/
3实际问题的函数刻画
【学习目标】
1．知道什么叫数学模型，知道数学建模的意义。
2．会用函数刻画现实世界中变量间的依赖关系。
3．知道函数的一些模型。如正反比例函数、一次函数。
【学习重难点】
用函数观点刻画实际问题。（重点）
准确理解题意，理解变量间的关系。（难点）
【学习过程】
问题1：
某公司投入了15万元，用于研发设计一种新型几何模板。经测算，每件产品的直接成本是130元，市场的合适售价是190元。显然，这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品，另一方面又要争取获得好的收益。当这种新型几何模板畅销时，怎样计算总收益呢？
提示：（1）该问题中反映的信息中有哪些量？
（2）这几个量之间存在怎样的依赖关系？
（3）数据提供的信息是什么（揭示了怎样的规律）？
（4）上述规律有什么现实指导意义？
问题2：
网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表，第一行是脚长（新鞋码，单位：mm），第二行是我们习惯称呼的“鞋号（旧鞋码，单位：号）”。
脚长/mm
220
225
230
235
240
245
250
255
260
鞋号/号
34
35
36
37
38
39
40
41
42
（1）脚长和鞋号有什么关系呢？
（2）如果看到一款“30号”的女童鞋，你知道对应的脚长估计是多少吗？
（3）一名脚长为262mm的女运动员，又该穿多大号的鞋呢？
【学习小结】
实际问题的数学刻画：
（1）认真读题，慎密审题。
（2）引进数学符号，建立数学模型。
（3）把数学结果转化为实际问题的结果进行诠释实际问题。
【达标检测】
类型一：数学模型为正比例、反比例函数的问题
1．一个圆柱形容器的底面直径为d
cm，高度为h
cm，现以每秒S的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液高度y与时间t（秒）的函数关系式及定义域。
2．有m部同样的机器一起工作，需要m小时完成一项任务。
设由x部机器（x为不大于m的正整数）完成同一任务，求所需时间y（小时）与机器的部数x的函数关系式。
画出所求函数当m=4时的图像。
类型二：数学模型为一次函数
3．某家报刊销售店从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社。在一个月（30天）里，有20天每天都可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同，则应该每天从报社买进多少份才能使每月所获利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚的多少元？
4．某人开汽车以60的速度从A地到150km远处的B处，在B地停留1h后，再以50的速度返回A地。把汽车离开A地的距离x（km）表示为时间t（h）（从A地出发开始）的函数，并画出函数的图像；再把车速v（）表示为时间t（h）的函数，并画出函数的图像。
1
/
3用函数模型解决实际问题
【教学目标】
1．通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养。
2．通过建立数学模型解决实际问题，培养数据分析、数学运算素养。
【教学重难点】
1．会利用已知函数模型解决实际问题。(重点)
2．能建立函数模型解决实际问题。(重、难点)
【教学过程】
一、基础铺垫
常用的函数模型：
二、新知探究
1．表格信息类建模问题
【例1】
某国2015年至2018年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
年份
2015
2016
2017
2018
x(年)
0
1
2
3
生产总值(万亿元)
8.206
7
8.944
2
9.593
3
10.239
8
(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
(3)利用关系式预测2019年该国的国内生产总值。
[解]
(1)根据表中数据画出函数图形，如图所示。从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为y＝kx＋B．
把直线通过的两点(0，8.206
7)和(3，10.239
8)代入上式，解方程组，可得k＝0.677
7，b＝8.206
7．
所以它的一个函数关系式为y＝0.677
7x＋8.206
7．
(2)由(1)中得到的关系式为f(x)＝0.677
7x＋8.206
7，计算出2016年和2017年的国内生产总值分别为
f(1)＝0.677
7×1＋8.206
7＝8.884
4，
f(2)＝0.677
7×2＋8.206
7＝9.562
1．
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元。
(3)2019年，即x＝4，由上述关系式，得y＝f(4)＝0.677
7×4＋8.206
7＝10.917
5，即预测2019年该国的国内生产总值约为10.917
5万亿元。
【教师小结】
(1)根据表格信息，画出图像；
(2)根据图像特征，选定函数模型；
(3)用待定系数法求出函数解析式；
(4)检验模型。
2．图像信息解读问题
【例2】
如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图像。
图1
图2
图3
(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示。你能根据图像，说明这两种建议的意义吗？
(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？
(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？
[解]
(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示盈利。
(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价。
(3)斜率表示票价。
(4)图1、2中的票价是2元，图3中的票价是4元。
【教师小结】
（1）这类问题应结合图像的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，并把它转化为数学特征(单调性、最值、解析式等)即可解决。
（2）挖掘图像中的信息是关键。
三、课堂总结
1．函数模型的应用实例主要包括2个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求。
3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化。
四、课堂检测
1．思考辨析
(1)在建立实际问题的函数模型时，除了要考虑变量的数学意义，还要考虑变量的实际意义。(
)
(2)由函数模型得到的解就是实际问题的解。(
)
[答案]
(1)√
(2)×
2．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a
km，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b
km(b＜a)，当他想起诗句“不到长城非好汉”时，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图像大致为(
)
A
B
C
D
C
[由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图像特征是直线上升。由于中间休息了一段时间，该段时间的图像应是平行于横轴的一条线段。然后原路返回，图像下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升。故选C．]
3．国内快递1
000
g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离x(km)
0＜x≤500
500＜x≤1
000
1
000＜x≤1
500
…
邮资y(元)
5.00
6.00
7.00
…
如果某人在西安要快递800
g的包裹到距西安1
200
km的某地，那么他应付的邮资是(
)
A．5.00元
B．6.00元
C．7.00元
D．8.00元
C
[由题意可知，当x＝1200时，y＝7.00元，故选C．]
4．要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户，如图所示，窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积S最大，窗户应具有怎样的尺寸？
[解]
由题意得窗框总长l＝x＋x＋2y，
∴y＝，∴S＝x2＋xy
＝x2＋x·
＝－2＋。
由得x∈，
当x＝时，Smax＝，
此时y＝＝，
所以，当矩形的高等于半圆的半径时，窗户透光面积最大。
-
4
-
/
5用函数模型解决实际问题
【学习目标】
1．通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养。
2．通过建立数学模型解决实际问题，培养数据分析、数学运算素养。
【学习重难点】
1．会利用已知函数模型解决实际问题。(重点)
2．能建立函数模型解决实际问题。(重、难点)
【学习过程】
一、初试身手
1．下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为(
)
x
－2
－1
0
1
2
3
y
1
4
16
64
A．一次函数模型
B．二次函数模型
C．对数函数模型
D．指数函数模型
2．一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型为(
)
A．分段函数
B．二次函数
C．指数函数
D．对数函数
3．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点。用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是(
)
4．用一根长为12
m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则铁框架的最大面积是________m2．
【答案】
1．D
2．A
[由图像知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数。]
3．B
[乌龟距离起点的距离始终在增加，符合一次函数的增长模型，兔子距离起点的距离先增加，再停止增加一段时间后又更快的增加，总之乌龟与兔子行进的路程是一样的，乌龟用的时间少，兔子用的时间长，综合以上分析，故选B．]
4．9
[设铁框架的一边长为x
m，则其面积S＝＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9．
由，得0所以，当x＝3时，S取最大值9．]
二、合作探究
表格信息类建模问题
【例1】
某国2015年至2018年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
年份
2015
2016
2017
2018
x(年)
0
1
2
3
生产总值(万亿元)
8.206
7
8.944
2
9.593
3
10.239
8
(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
(3)利用关系式预测2019年该国的国内生产总值。
[解]
(1)根据表中数据画出函数图形，如图所示。从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为y＝kx＋B．
把直线通过的两点(0，8.206
7)和(3，10.239
8)代入上式，解方程组，可得k＝0.677
7，b＝8.206
7.
所以它的一个函数关系式为y＝0.677
7x＋8.206
7.
(2)由(1)中得到的关系式为f(x)＝0.677
7x＋8.206
7，计算出2016年和2017年的国内生产总值分别为
f(1)＝0.677
7×1＋8.206
7＝8.884
4，
f(2)＝0.677
7×2＋8.206
7＝9.562
1.
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元。
(3)2019年，即x＝4，由上述关系式，得y＝f(4)＝0.677
7×4＋8.206
7＝10.917
5，
即预测2019年该国的国内生产总值约为10.917
5万亿元。
图像信息解读问题
【例2】
如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图像。
图1
图2
图3
(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示。你能根据图像，说明这两种建议的意义吗？
(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？
(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？
[解]
(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示盈利。
(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价。
(3)斜率表示票价。
(4)图1、2中的票价是2元，图3中的票价是4元。
【学习小结】
常用的函数模型：
【精炼反馈】
1．思考辨析
(1)在建立实际问题的函数模型时，除了要考虑变量的数学意义，还要考虑变量的实际意义。(
)
(2)由函数模型得到的解就是实际问题的解。(
)
2．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a
km，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b
km(b＜a)，当他想起诗句“不到长城非好汉”时，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图像大致为(
)
A
B
C
D
3．国内快递1
000
g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离x(km)
0＜x≤500
500＜x≤1
000
1
000＜x≤1
500
…
邮资y(元)
5.00
6.00
7.00
…
如果某人在西安要快递800
g的包裹到距西安1
200
km的某地，那么他应付的邮资是(
)
A．5.00元
B．6.00元
C．7.00元
D．8.00元
4．要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户，如图所示，窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积S最大，窗户应具有怎样的尺寸？
【答案】
1．(1)√
(2)×
2．C
[由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图像特征是直线上升。由于中间休息了一段时间，该段时间的图像应是平行于横轴的一条线段。然后原路返回，图像下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升。故选C．]
3．C
[由题意可知，当x＝1200时，y＝7.00元，故选C．]
4．[解]
由题意得窗框总长l＝x＋x＋2y，
∴y＝，∴S＝x2＋xy
＝x2＋x·
＝－2＋。
由得x∈，
当x＝时，Smax＝，
此时y＝＝，
所以，当矩形的高等于半圆的半径时，窗户透光面积最大。
-
6
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6(共43张PPT)
利用函数性质判定方程解的存在性
自
主
探
新
知
预
习
横坐标
一个
连续
相反
f(a)·f(b)
合
作
攻
重
难
探
究
求函数的零点
判断零点所在的区间
函数零点个数的判定
当
堂
固
双
基
达
标
谢
谢
函数y=fx)有零点
函数y=(x)的图像
方程有实数根
与有交点
类型1
类型2
类型3(共36张PPT)
利用二分法求方程的近似解
自
主
探
新
知
预
习
中点
合
作
攻
重
难
探
究
二分法概念的理解
利用二分法求方程的近似解
当
堂
固
双
基
达
标
谢
谢
类型1
类型2(共46张PPT)
用函数模型解决实际问题
自
主
探
新
知
预
习
常用的函数模型
合
作
攻
重
难
探
究
表格信息类建模问题
图像信息解读问题
当
堂
固
双
基
达
标
谢
谢
新知初探
名称
解析式
条件
一次函数
模型
反比例函数
模型
一般式:y
二次函数顶点式:y
a≠0
模型
指数函数
且
模型
对数函数
模型
幂函数
模型
类型1
类型2(共14张PPT)
实际问题的函数刻画
（1）在这个实际问题中出现了两个变量：一个是脚长；一个是鞋号．从题目看出，表中的数据已经给出了几个脚长对应的鞋码.
（2）从题目看出，对于每一个脚长都有唯一的鞋号与之对应，所以题目给出是一个函数关系．
（3）为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对数值在平面直角坐标系中表示出来.
（4）可以看出，这些点都在一条直线上，不妨设这条直线为y=kx+b.利用表中任意两组数，
得k=0.2,b=－10.
所以y=0.2x－10.
这就是鞋号关于脚长的函数模型.
课堂练习：
如图，在一条弯曲的河道上，设置A,B,C,D,
E,F，共计6个水文监测站，现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通信电缆，怎样刻画专用通信电缆的总长度？
1.要解决的问题是什么？
2.题中是否存在函数关系？
3.怎样求题目中的函数关系？
课堂练习：
不妨设点A为原点AB=b,AC=c,AD=d,
AE=e,AF=f.
如图，在一条弯曲的河道上，设置A,B,C,D,
E,F，共计6个水文监测站，现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通信电缆，怎样刻画专用通信电缆的总长度？
实际问题的数学刻画
（1）认真读题，慎密审题.
（2）引进数学符号，建立数学模型.
（3）会用数学结果诠释实际问题，
用数学的眼光看待实际问题.
课堂小结：
谢
谢
