华东师大版九年级数学上册第23章 图形的相似 同步单元练习题（word版，含答案）
文档属性
| 名称 | 华东师大版九年级数学上册第23章 图形的相似 同步单元练习题（word版，含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 239.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-04 21:47:47 | ||
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文档简介
华东师大版九年级数学上册第23章
图形的相似
同步单元练习题
一、选择题
1．线段a，b，c，d是成比例线段，a＝4，b＝2，c＝2，则d的长为(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
2．已知＝，则下列等式不成立的是(
)
A．4a＝3b
B.＝
C.＝
D.＝
如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则的值为(
)
A.
B．2
C.
D.
4．如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BE，BD，且AE，BD相交于点F，S△DEF∶S△ABF＝4∶25，则DE∶EC＝(
)
A．2∶3
B．2∶5
C．3∶5
D．3∶2
5．在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是(
)
6．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC，BC边分别相交于点E，F，连结EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是(
)
A．一定相似
B．当E是AC中点时相似
C．不一定相似
D．无法判断
7．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50
cm，EF＝30
cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5
m，CD＝20
m，则树高AB为(
)
A．12
m
B．13.5
m
C．15
m
D．16.5
m
8．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为(
)
A．4∶9
B．2∶5
C．2∶3
D.∶
9．如图，在?ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是(
)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA′＝1，则A′D等于(
)
A．2
B．3
C.
D.
如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M.若BC＝7，则MN的长度为(
)
A.
B．2
C.
D．3
12．如图，在一块斜边长为30
cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上．若AF∶AC＝1∶3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为(
)
A．100
cm2
B．150
cm2
C．170
cm2
D．200
cm2
二、填空题
13．如图，已知AD，BC相交于点O，AB∥CD∥EF.如果CE＝2，EB＝4，FD＝1.5，那么AD＝
．
14．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，AE⊥CE，延长AE交BC于点F，D是AB的中点，BC＝20，AC＝14，则DE的长为
．
15．若△ABC与△A′B′C′关于点O位似，相似比为1∶2，OA＝5
cm，则对应点A，A′之间的距离为
cm.
16．若一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3，4及x，则x的值为
．
17.在△ABC中，AB＝6
cm，AC＝5
cm，点D，E分别在AB，AC上．若△ADE与△ABC相似，且S△ADE∶S四边形BCED＝1∶8，则AD＝
cm.
18．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝16，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA方向以每秒3个单位长度的速度向点A运动，其中一点到达终点，则另一点也随之停止运动，当△ABC与以A，P，Q为顶点的三角形相似时，运动时间为
秒．
19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，C(0，0)，以原点O为位似中心，把这个三角形的边长缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是
.
20．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB.若AD＝2，BD＝3，则AC的长为
．
21．如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F.若AD＝8，AB＝6，AE＝4，则△EBF周长的大小为
.
22．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF.其中正确的结论有
个．
23．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)？请你计算KC的长为
步．
解答题
24．已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EAD.
25．如图，在?ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．
26．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(3，1)(每个方格的边长均为1个单位长度)．
(1)将△OAB向右平移1个单位长度后得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1；
(2)请以O为位似中心画出△O1A1B1的位似图形，使它与△O1A1B1的相似比为1∶2；
(3)点P(a，b)为△OAB内一点，请直接写出位似变换后的对应点P′的坐标为
27．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连结DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G.
(1)猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
(2)过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N.若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．
28．【提出问题】
(1)如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN.求证：∠ABC＝∠ACN；
【类比探究】
(2)如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由；
【拓展延伸】
(3)如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC，连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
华东师大版九年级数学上册第23章
图形的相似
同步单元练习题
一、选择题
1．线段a，b，c，d是成比例线段，a＝4，b＝2，c＝2，则d的长为(A)
A．1
B．2
C．3
D．4
2．已知＝，则下列等式不成立的是(C)
A．4a＝3b
B.＝
C.＝
D.＝
3．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则的值为(D)
A.
B．2
C.
D.
4．如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BE，BD，且AE，BD相交于点F，S△DEF∶S△ABF＝4∶25，则DE∶EC＝(A)
A．2∶3
B．2∶5
C．3∶5
D．3∶2
5．在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是(D)
6．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC，BC边分别相交于点E，F，连结EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是(A)
A．一定相似
B．当E是AC中点时相似
C．不一定相似
D．无法判断
7．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50
cm，EF＝30
cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5
m，CD＝20
m，则树高AB为(D)
A．12
m
B．13.5
m
C．15
m
D．16.5
m
8．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为(A)
A．4∶9
B．2∶5
C．2∶3
D.∶
9．如图，在?ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是(D)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
10．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA′＝1，则A′D等于(A)
A．2
B．3
C.
D.
11．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M.若BC＝7，则MN的长度为(C)
A.
B．2
C.
D．3
12．如图，在一块斜边长为30
cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上．若AF∶AC＝1∶3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为(A)
A．100
cm2
B．150
cm2
C．170
cm2
D．200
cm2
二、填空题
13．如图，已知AD，BC相交于点O，AB∥CD∥EF.如果CE＝2，EB＝4，FD＝1.5，那么AD＝4.5．
14．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，AE⊥CE，延长AE交BC于点F，D是AB的中点，BC＝20，AC＝14，则DE的长为3．
15．若△ABC与△A′B′C′关于点O位似，相似比为1∶2，OA＝5
cm，则对应点A，A′之间的距离为5或15cm.
16．若一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3，4及x，则x的值为5或．
17.在△ABC中，AB＝6
cm，AC＝5
cm，点D，E分别在AB，AC上．若△ADE与△ABC相似，且S△ADE∶S四边形BCED＝1∶8，则AD＝或2cm.
18．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝16，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA方向以每秒3个单位长度的速度向点A运动，其中一点到达终点，则另一点也随之停止运动，当△ABC与以A，P，Q为顶点的三角形相似时，运动时间为4或秒．
19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，C(0，0)，以原点O为位似中心，把这个三角形的边长缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是(1，2)．
20．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB.若AD＝2，BD＝3，则AC的长为．
21．如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F.若AD＝8，AB＝6，AE＝4，则△EBF周长的大小为8.
22．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF.其中正确的结论有4个．
23．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)？请你计算KC的长为步．
解答题
24．已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EAD.
证明：∵AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD.
∵∠BDA＝∠1＋∠C＝∠2＋∠ADE，∠1＝∠2，
∴∠C＝∠ADE.
∴△ABC∽△EAD.
25．如图，在?ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
∴∠B＋∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC.
∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C.
∴△ADF∽△DEC.
(2)∵AE⊥BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝90°.
∴在Rt△DAE中，
DE＝＝＝6.
由(1)知△ADF∽△DEC，得＝，
∴AF＝＝＝2.
26．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(3，1)(每个方格的边长均为1个单位长度)．
(1)将△OAB向右平移1个单位长度后得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1；
(2)请以O为位似中心画出△O1A1B1的位似图形，使它与△O1A1B1的相似比为1∶2；
(3)点P(a，b)为△OAB内一点，请直接写出位似变换后的对应点P′的坐标为(2a＋2，2b)或(－2a－2，－2b)．
解：(1)如图，△O1A1B1即为所求作三角形．
(2)如图，△O2A2B2和△O2′A2′B2′即为所求作三角形．
27．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连结DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G.
(1)猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
(2)过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N.若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．
解：(1)结论：CF＝2DG.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝CD＝AB，∠ADC＝∠DCB＝90°.
∵DE＝AE，
∴AD＝CD＝2DE.
∵EG⊥DF，∴∠DHG＝90°.
∴∠CDF＋∠DGE＝90°，∠DGE＋∠DEG＝90°.
∴∠CDF＝∠DEG.∴△DEG∽△CDF.
∴＝＝.∴CF＝2DG.
(2)作点C关于NM的对称点K，连结DK交MN于点P，连结PC，此时△PDC的周长最短．
C△PDC＝CD＋PD＋PC＝CD＋PD＋PK＝CD＋DK.
由题意可得DM＝CN，CD＝AD＝10，ED＝AE＝5，DG＝，EG＝，DH＝＝，
易证△DMH∽△DHE，∴＝.∴DM＝＝1.
∴CK＝2CN＝2DM＝2.
在Rt△DCK中，DK＝＝＝2.
∴△PCD周长的最小值为10＋2.
28．【提出问题】
(1)如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN.求证：∠ABC＝∠ACN；
【类比探究】
(2)如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由；
【拓展延伸】
(3)如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC，连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
解：(1)证明：∵△ABC，△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°.
∴∠BAM＝∠CAN.
在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN(SAS)．
∴∠ABC＝∠ACN.
(2)结论∠ABC＝∠ACN仍成立．理由如下：
∵△ABC，△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°.
∴∠BAM＝∠CAN.
在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN(SAS)．
∴∠ABC＝∠ACN.
(3)∠ABC＝∠ACN.理由如下：
∵BA＝BC，MA＝MN，
∴∠BAC＝∠BCA，∠MAN＝∠MNA.
又∵∠ABC＝∠AMN，
∴∠BAC＝∠MAN.
∴△ABC∽△AMN.
∴＝，即＝.
又∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，
∴∠BAM＝∠CAN.
∴△BAM∽△CAN.
∴∠ABC＝∠ACN.
图形的相似
同步单元练习题
一、选择题
1．线段a，b，c，d是成比例线段，a＝4，b＝2，c＝2，则d的长为(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
2．已知＝，则下列等式不成立的是(
)
A．4a＝3b
B.＝
C.＝
D.＝
如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则的值为(
)
A.
B．2
C.
D.
4．如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BE，BD，且AE，BD相交于点F，S△DEF∶S△ABF＝4∶25，则DE∶EC＝(
)
A．2∶3
B．2∶5
C．3∶5
D．3∶2
5．在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是(
)
6．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC，BC边分别相交于点E，F，连结EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是(
)
A．一定相似
B．当E是AC中点时相似
C．不一定相似
D．无法判断
7．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50
cm，EF＝30
cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5
m，CD＝20
m，则树高AB为(
)
A．12
m
B．13.5
m
C．15
m
D．16.5
m
8．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为(
)
A．4∶9
B．2∶5
C．2∶3
D.∶
9．如图，在?ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是(
)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA′＝1，则A′D等于(
)
A．2
B．3
C.
D.
如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M.若BC＝7，则MN的长度为(
)
A.
B．2
C.
D．3
12．如图，在一块斜边长为30
cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上．若AF∶AC＝1∶3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为(
)
A．100
cm2
B．150
cm2
C．170
cm2
D．200
cm2
二、填空题
13．如图，已知AD，BC相交于点O，AB∥CD∥EF.如果CE＝2，EB＝4，FD＝1.5，那么AD＝
．
14．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，AE⊥CE，延长AE交BC于点F，D是AB的中点，BC＝20，AC＝14，则DE的长为
．
15．若△ABC与△A′B′C′关于点O位似，相似比为1∶2，OA＝5
cm，则对应点A，A′之间的距离为
cm.
16．若一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3，4及x，则x的值为
．
17.在△ABC中，AB＝6
cm，AC＝5
cm，点D，E分别在AB，AC上．若△ADE与△ABC相似，且S△ADE∶S四边形BCED＝1∶8，则AD＝
cm.
18．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝16，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA方向以每秒3个单位长度的速度向点A运动，其中一点到达终点，则另一点也随之停止运动，当△ABC与以A，P，Q为顶点的三角形相似时，运动时间为
秒．
19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，C(0，0)，以原点O为位似中心，把这个三角形的边长缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是
.
20．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB.若AD＝2，BD＝3，则AC的长为
．
21．如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F.若AD＝8，AB＝6，AE＝4，则△EBF周长的大小为
.
22．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF.其中正确的结论有
个．
23．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)？请你计算KC的长为
步．
解答题
24．已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EAD.
25．如图，在?ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．
26．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(3，1)(每个方格的边长均为1个单位长度)．
(1)将△OAB向右平移1个单位长度后得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1；
(2)请以O为位似中心画出△O1A1B1的位似图形，使它与△O1A1B1的相似比为1∶2；
(3)点P(a，b)为△OAB内一点，请直接写出位似变换后的对应点P′的坐标为
27．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连结DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G.
(1)猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
(2)过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N.若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．
28．【提出问题】
(1)如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN.求证：∠ABC＝∠ACN；
【类比探究】
(2)如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由；
【拓展延伸】
(3)如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC，连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
华东师大版九年级数学上册第23章
图形的相似
同步单元练习题
一、选择题
1．线段a，b，c，d是成比例线段，a＝4，b＝2，c＝2，则d的长为(A)
A．1
B．2
C．3
D．4
2．已知＝，则下列等式不成立的是(C)
A．4a＝3b
B.＝
C.＝
D.＝
3．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则的值为(D)
A.
B．2
C.
D.
4．如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BE，BD，且AE，BD相交于点F，S△DEF∶S△ABF＝4∶25，则DE∶EC＝(A)
A．2∶3
B．2∶5
C．3∶5
D．3∶2
5．在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是(D)
6．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC，BC边分别相交于点E，F，连结EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是(A)
A．一定相似
B．当E是AC中点时相似
C．不一定相似
D．无法判断
7．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50
cm，EF＝30
cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5
m，CD＝20
m，则树高AB为(D)
A．12
m
B．13.5
m
C．15
m
D．16.5
m
8．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为(A)
A．4∶9
B．2∶5
C．2∶3
D.∶
9．如图，在?ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是(D)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
10．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA′＝1，则A′D等于(A)
A．2
B．3
C.
D.
11．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M.若BC＝7，则MN的长度为(C)
A.
B．2
C.
D．3
12．如图，在一块斜边长为30
cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上．若AF∶AC＝1∶3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为(A)
A．100
cm2
B．150
cm2
C．170
cm2
D．200
cm2
二、填空题
13．如图，已知AD，BC相交于点O，AB∥CD∥EF.如果CE＝2，EB＝4，FD＝1.5，那么AD＝4.5．
14．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，AE⊥CE，延长AE交BC于点F，D是AB的中点，BC＝20，AC＝14，则DE的长为3．
15．若△ABC与△A′B′C′关于点O位似，相似比为1∶2，OA＝5
cm，则对应点A，A′之间的距离为5或15cm.
16．若一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3，4及x，则x的值为5或．
17.在△ABC中，AB＝6
cm，AC＝5
cm，点D，E分别在AB，AC上．若△ADE与△ABC相似，且S△ADE∶S四边形BCED＝1∶8，则AD＝或2cm.
18．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝16，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA方向以每秒3个单位长度的速度向点A运动，其中一点到达终点，则另一点也随之停止运动，当△ABC与以A，P，Q为顶点的三角形相似时，运动时间为4或秒．
19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，C(0，0)，以原点O为位似中心，把这个三角形的边长缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是(1，2)．
20．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB.若AD＝2，BD＝3，则AC的长为．
21．如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F.若AD＝8，AB＝6，AE＝4，则△EBF周长的大小为8.
22．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF.其中正确的结论有4个．
23．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)？请你计算KC的长为步．
解答题
24．已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EAD.
证明：∵AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD.
∵∠BDA＝∠1＋∠C＝∠2＋∠ADE，∠1＝∠2，
∴∠C＝∠ADE.
∴△ABC∽△EAD.
25．如图，在?ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
∴∠B＋∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC.
∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C.
∴△ADF∽△DEC.
(2)∵AE⊥BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝90°.
∴在Rt△DAE中，
DE＝＝＝6.
由(1)知△ADF∽△DEC，得＝，
∴AF＝＝＝2.
26．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(3，1)(每个方格的边长均为1个单位长度)．
(1)将△OAB向右平移1个单位长度后得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1；
(2)请以O为位似中心画出△O1A1B1的位似图形，使它与△O1A1B1的相似比为1∶2；
(3)点P(a，b)为△OAB内一点，请直接写出位似变换后的对应点P′的坐标为(2a＋2，2b)或(－2a－2，－2b)．
解：(1)如图，△O1A1B1即为所求作三角形．
(2)如图，△O2A2B2和△O2′A2′B2′即为所求作三角形．
27．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连结DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G.
(1)猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
(2)过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N.若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．
解：(1)结论：CF＝2DG.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝CD＝AB，∠ADC＝∠DCB＝90°.
∵DE＝AE，
∴AD＝CD＝2DE.
∵EG⊥DF，∴∠DHG＝90°.
∴∠CDF＋∠DGE＝90°，∠DGE＋∠DEG＝90°.
∴∠CDF＝∠DEG.∴△DEG∽△CDF.
∴＝＝.∴CF＝2DG.
(2)作点C关于NM的对称点K，连结DK交MN于点P，连结PC，此时△PDC的周长最短．
C△PDC＝CD＋PD＋PC＝CD＋PD＋PK＝CD＋DK.
由题意可得DM＝CN，CD＝AD＝10，ED＝AE＝5，DG＝，EG＝，DH＝＝，
易证△DMH∽△DHE，∴＝.∴DM＝＝1.
∴CK＝2CN＝2DM＝2.
在Rt△DCK中，DK＝＝＝2.
∴△PCD周长的最小值为10＋2.
28．【提出问题】
(1)如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN.求证：∠ABC＝∠ACN；
【类比探究】
(2)如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由；
【拓展延伸】
(3)如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC，连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
解：(1)证明：∵△ABC，△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°.
∴∠BAM＝∠CAN.
在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN(SAS)．
∴∠ABC＝∠ACN.
(2)结论∠ABC＝∠ACN仍成立．理由如下：
∵△ABC，△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°.
∴∠BAM＝∠CAN.
在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN(SAS)．
∴∠ABC＝∠ACN.
(3)∠ABC＝∠ACN.理由如下：
∵BA＝BC，MA＝MN，
∴∠BAC＝∠BCA，∠MAN＝∠MNA.
又∵∠ABC＝∠AMN，
∴∠BAC＝∠MAN.
∴△ABC∽△AMN.
∴＝，即＝.
又∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，
∴∠BAM＝∠CAN.
∴△BAM∽△CAN.
∴∠ABC＝∠ACN.