(共17张PPT)
第3课时
证明与反证法
新课导入
观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，而且人们可以从中猜测发现出一些结论.
推进新课
猜测任何三角形的三个外角之和等于360°.
需要推理加以证明
要证明一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立.证明的每一步都必须要有根据.
证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题.
已知：如图，∠BAF，∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角.
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.
证明:
如图，∵∠BAF=∠2+∠3，
∠CBD=∠1+∠3，
∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的性质).
∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)，
∴
∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.
证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
第一步
画出图形
第二步
写出已知、求证
第三步
写出证明的过程
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线
段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.
求证：AE∥BC.
证明：∵∠DAC
=∠B
+∠C（三角形外角定理），
∠B=∠C（已知），
∴
∠DAC=2∠B（等式的性质）.
又∵AE平分∠DAC（已知），
∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义）.
∴∠DAE=∠B（等量代换）.
∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）.
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
可能出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况.
如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明.
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
证明:
假设∠A，∠B，∠C
中没有一个角大于或等60°，
即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
则∠A+∠B+∠C＜180°.
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，
所以假设不正确.
因此，∠A，
∠B，
∠C中至少有一个角大于或等于60°.
直接证明一个命题为真有困难时
假设命题不成立
利用命题的条件或有关的结论
推理
导出矛盾
假设不成立
即所证明的命题正确
反证法
（间接证明）
用反证法证明：“在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°.”第一步应假设（
）
A.
∠A＝60°
B.
∠A＜60°
C.
∠A
≠
60°
D.
∠A
≤
60°
D
∠A与60°的大小关系有∠A>60°，∠A=60°，∠A<60°三种情况，因而∠A>60°的反面是∠A≤60°.
巩固练习
1.
在括号内填上理由.
已知：如图，∠A+∠B=
180°.
求证：∠C+∠D=
180°.
证明：∵∠A+∠B=
180°（已知），
∴
AD∥BC（
）.
∴
∠C+∠D=
180°（
）.
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
2.
已知：如图，直线AB，CD被直线MN所截，∠1=∠2.
求证：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.
证明：
∵
∠1=∠2，
∴
∠2
=∠3（两直线平行,内错角相等），
∠3+∠4=180°（两直线平行,
同旁内角互补）.
∴
AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
3.
已知：如图，AB与CD
相交于点E.
求证：∠A+∠C=∠B+∠D.
证明：
∵
AB与CD
相交于点E
，
∴
∠AEC=∠BED
（对顶角相等），
又∵∠A+∠C
+∠AEC
=∠B+∠D
+∠BED
=180°
（三角形内角和等于180°），
课后小结
命题的证明
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢！(共18张PPT)
第2课时
真命题、假命题与定理
新课导入
下列命题中，哪些正确，哪些错误？并说一说你的理由.
（1）每一个月都有31天；
（2）如果a是有理数，那么a是整数；
（3）同位角相等；
（4）同角的补角相等.
×
×
×
√
推进新课
真命题：正确的命题称为真命题.
假命题：错误的命题称为假命题.
真、假命题的判断方法：
（1）要判断一个命题是真命题，需通过讲道理，得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题；
（2）要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子（反例），它符合命题的条件，但不满足命题的结论，从而就可判断这个命题为假命题.
这种方法称为“举反例”
判断下列命题为真命题的依据是什么?
（1）如果a是整数，那么a是有理数;
（2）如果△ABC是等边三角形，那么△ABC是等腰三角形.
有理数的定义
等腰（等边）三角形的定义
下列命题为真命题的是（
）
A.
如果a2=b2
，那么a=b
B.
0的平方是0
C.
如果∠A与∠B是内错角，那么∠A=∠B
D.
三角形的一个外角等于它的两个内角之和
那么a=b或a=-b
∠A不一定等于∠B
等于与它不相邻的两个内角的和
B
古希腊数学家欧几里得
基本事实：我们把少数真命题作为基本事实.
两点确定一条直线
两点之间直线最短
定理：我们把经过证明为真的命题叫作定理.
“三角形的内角和等于180°”称为“三角形内角和定理”.
不是所有的真命题都是定理.
推论：由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.
判断其他命题真假的依据
“如果∠
1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2”
“如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是对顶角”
当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.
逆命题
互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.
任何定理都有逆命题，但不一定有逆定理.
“内错角相等，两直线平行”和“两直线平行，内错角相等”是互逆的定理.
判断一个定理是否有逆定理的方法：
先写出这个定理的逆命题，如果逆命题是真命题，那么它就有逆定理，否则就没有逆定理.
1.
“直角三角形的两个锐角互余”是（
）
A.定义
B.假命题
C.基本事实
D.定理
D
2.
下列说法正确的是（
）
A.
所有定理都有逆命题
B.
所有定理的逆命题都是真命题
C.
所有定理都有逆定理
D.
定理也是基本事实
A
巩固练习
1.
下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？请说说你的理由.
（1）绝对值最小的数是0；
（2）相等的角是对顶角；
（3）一个角的补角大于这个角；
（4）在同一平面内，如果直线a⊥l，b⊥l，那么a//b
.
真命题
假命题
假命题
真命题
2.
举反例说明下列命题是假命题:
（1）两个锐角的和是钝角；
（2）如果数a，
b的积ab>0，那么a，b都是正数；
（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.
如∠A=20°，∠B=45°，则∠A+∠B=65°，和是锐角.
如取a=-3，b=-5，则ab=15＞0，但a、b都是负数.
如当被第三条所截的两条直线不平行时，同位角不相等.
3.
试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题，而且都是真命题.
答案不唯一；
如：如果ab=0，那么a=0或b=0；
如果a=0或b=0，那么ab=0.
课后小结
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢！(共22张PPT)
第1课时
定义与命题
2.2
命题与证明
新课导入
不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形；
三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫作三角形的外角.
前面我们学习了许多有关三角形的概念
（如三角形、等腰三角形、等边三角形以及三角形的高线、中线、角平分线等.）
推进新课
像这样，对一个概念的含义加以描述或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.
“把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式”是______的定义；
代数式
“同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线”是________的定义.
平行线
说出下列概念的定义
（1）方程
（2）三角形的角平分线
我们把含有未知数的等式叫做方程.
在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
下列语句中，
属于定义的是（
）
A.
直角都相等
B.
作已知角的平分线
C.
连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离
D.
两点之间线段最短
C
在现实生活中，我们经常要对一件事情作出判断.数学中同样有许多问题需要我们作出判断.
李白和杜甫是好朋友.
下列叙述事情的语句中，哪些是对事情作出了判断？
（1）三角形的内角和等于180°
；
（2）
如果|
a
|=3，那么a=3；
（3）1月份有31天；
（4）作一条线段等于已知线段；
（5）一个锐角与一个钝角互补吗？
√
√
√
×
×
命题：一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.
（1）三角形的内角和等于180°
；
（2）
如果|
a
|=3，那么a=3；
（3）1月份有31天；
（4）作一条线段等于已知线段；
（5）一个锐角与一个钝角互补吗？
√
√
√
×
×
都是命题
不是命题
下列命题的表述形式有什么共同点？
（1）如果a=b且b=c，那么a=c
;
（2）如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角.
下列命题的表述形式有什么共同点？
（1）如果a=b且b=c，那么a=c
;
（2）如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角.
命题通常写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分就是条件，“那么”
引出的部分就是结论.
条件
结论
条件
结论
有时为了叙述的简便，命题也可以省略关联词“如果”、“那么”.
“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”
对顶角相等
“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”
同角的余角相等
（1）指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式：
能被2整除的数
这个数是偶数
两个角有公共顶点
这两个角是对顶角
命题
条件
结论
①
能被2整除的数是偶数.
②有公共顶点的两个角是对顶角.
两直线平行
同位角相等
同位角相等
两直线平行
（1）指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式：
命题
条件
结论
③两直线平行，同位角相等.
④同位角相等，两直线平行.
（2）上述命题③和④的条件和结论之间有什么联系？
两直线平行
同位角相等
同位角相等
两直线平行
命题
条件
结论
③两直线平行，同位角相等.
④同位角相等，两直线平行.
命题③和④的条件与结论互换了位置.
两直线平行
同位角相等
同位角相等
两直线平行
命题
条件
结论
③两直线平行，同位角相等.
④同位角相等，两直线平行.
两直线平行，同位角相等.
同位角相等，两直线平行.
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.
只要将一个命题的条件和结论互换，就可以得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题.
巩固练习
1.
下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？
（1）如果x=3，求
的值；
（2）两点之间线段最短；
（3）任意一个三角形的三条中线都相交于一点吗？
（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
不是
是
不是
是
2.
将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.
（1）两条直线相交，只有一个交点；
（2）个位数字是5的整数一定能被5整除；
（3）互为相反数的两个数之和等于0；
（4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角.
如果两条直线相交，那么这两条直线只有一个交点.
如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数一定能被5整除.
如果两个数互为相反数，那么这两个数之和等于0.
如果一个角是三角形的外角，那么这个角大于三角形的任何一个内角.
3.
写出下列命题的逆命题：
（1）若两数相等，则它们的绝对值也相等；
（2）如果m是整数，那么它也是有理数；
（3）两直线平行，内错角相等；
（4）两边相等的三角形是等腰三角形.
如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
如果m是有理数，那么m也是整数；
内错角相等，两直线平行；
等腰三角形有两条边相等.
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢！
