(共23张PPT)
第1课时
等腰（边）三角形的性质
2.3
等腰三角形
新课导入
A
B
C
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
等腰三角形还具有哪些特殊的性质呢？
等腰三角形的相关概念你还记得吗？
推进新课
任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，如图，作△ABC关于顶角平分线AD所在直线的轴反射，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：
射线AB的像是射线AC，射线AC的像是射线_____；
线段AB的像是线段AC，线段AC的像是线段_____；
点B的像是点C，点C的像是点____；
线段BC的像是线段CB.
从而等腰三角形ABC关于直线____对称.
推进新课
AB
AB
B
AD
由于点D的像是点D，因此线段DB的像是线段____，从而AD是底边BC上的_____.
推进新课
由于射线DB的像是射线DC，射线DA的像是射线____，因此∠BDA____∠CDA=____°，从而AD是底边BC上的_____.
DC
中线
DA
=
90
高
由于射线BA的像是射线CA，射线BC的像是射线_____，因此∠B____∠C.
推进新课
CB
=
由此得到等腰三角形的性质定理：
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
对腰上的高、中线、底角平分线一般不成立.
等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）.
符合语言：
如图，在△ABC中，AB=AC.
（1）若∠BAD=∠CAD，则AD⊥BC，
BD=CD；
（2）若AD⊥BC，则∠BAD=∠CAD，BD=CD；
（3）若BD=CD，则AD⊥BC，∠BAD=∠CAD.
等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）.
必须是在同一个三角形中
符合语言：
如图，在△ABC中，
若AB=AC，则∠B=∠C.
1.
如图，在△ABC
中，AB=AC，D为BC的中点，DE⊥AC，垂足为E.
若∠BAC=
50°，求∠ADE的度数.
AB=AC
D为BC的中点
AD平分∠BAC
∠BAC=
50°
∠DAE=
25°
DE⊥AC
∠ADE的度数
三线合一
1.
如图，在△ABC
中，AB=AC，D为BC的中点，DE⊥AC，垂足为E.
若∠BAC=
50°，求∠ADE的度数.
解:
∵
AB=AC，D为BC的中点，
∴
∠BAD=∠CAD.
∵∠BAC=
50°，∴∠DAC=25°.
∵
DE⊥AC，∴∠ADE
=
90°－
25°=
65°.
2.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC内一点，且BD=DC.求证：∠ABD=∠ACD.
AB=AC
BD=DC
等边对等角
∠ABC
=∠ACB
∠DBC
=∠DCB
角的和差
∠ABD=∠ACD
2.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC内一点，且BD=DC.求证：∠ABD=∠ACD.
证明:
∵
AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
∵
BD=CD，∴∠DBC=∠DCB.
∴
∠ABC-∠DBC=∠ACB-∠DCB
即∠ABD=∠ACD.
如图，△ABC
是等边三角形，那么∠A，∠B，
∠C的大小之间有什么关系呢？
如图，因为△ABC是等边三角形，
所以AB=
BC=AC，
从而∠C=∠A=∠B.
由三角形内角和定理可得：
∠A=∠B=∠C=
60°.
由此得到等边三角形的如下性质：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且AD=AE.
求证：BD=
CE.
我们可以在原来的图形上添加一些辅助我们解决问题的辅助线，辅助线通常画成虚线.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且AD=AE.
求证：BD=
CE.
证明
作AF⊥BC，垂足为点F，则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线.
∴
BF=
CF，
DF=
EF，
∴
BF－
DF=CF－
EF，
即BD=
CE.
F
如图的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅垂线上.
（1）AD与BC是否垂直，试说明理由；
（2）这时BC处于水平位置，为什么？
（1）AD⊥BC.理由：因为AB=AC，AD是底边BC的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质可知，AD也是底边BC的高，所以AD⊥BC.
（2）因为重锤自然下垂，即AD处于竖直的位置，又AD⊥BC，所以BC处于水平位置.
巩固练习
1.
如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAC=49°，
BC=4，求∠BAD的度数及DC的长.
解：∵AB=AC，AD⊥BC（已知）
又∵∠BAC=49°，BC=4（已知）
2.
如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且∠APD=80°，AD=AP，求∠DPC的度数.
解：∵AD=AP，∠APD=80°（已知）
∴∠ADP=∠APD=80°（等边对等角）.
又∵△ABC为等边三角形（已知），
∴∠C=60°（等边三角形的性质）.
又∵∠ADP=∠C+∠DPC，
∴∠DPC=∠ADP－∠C=80°－60°=20°.
课后小结
等腰（边）三角形的性质
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢！(共18张PPT)
第2课时
等腰（边）三角形的判定
新课导入
等腰三角形有哪些性质？
①等腰三角形是轴对称图形.
②等腰三角形的两个底角相等.
(简写成“等边对等角”)
③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合.
(简称“三线合一”).
新课导入
我们知道，等腰三角形的两底角相等.反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
推进新课
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗?
如图，在△ABC中，∠B=∠C.
沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平分线AD交BC于点D.
D
1
2
由三角形内角和的性质得∠ADB=∠ADC.
射线DB与射线DC重合，射线AB与射线AC重合.
点B与点C重合，于是AB=AC.
由此得到等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形
（简称“等角对等边”）.
三个角都是60°的三角形是等边三角形.
结合三角形内角和定理，可得等边三角形的判定定理：
下列条件能判定△ABC为等腰三角形的是（
）
A.
∠A=40°，∠B=
50°
B.
∠A=40°，∠B=
60°
C.
∠A=40°，∠B=
70°
D.
∠A=40°，∠B=
80°
C
求证：△ADE为等腰三角形.
证明：
∵
AB=AC，
∴
∠B=∠C.
又∵
DE//
BC，
∴
∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴
∠ADE=
∠AED.
于是△ADE为等腰三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC.
由三角形内角和定理得∠A
+∠B+∠C=
180°.
如果顶角∠A
=60°，
则∠B+∠C=
180°－
60°=
120°.
又
AB=AC，
∴
∠B=∠C.
∴
∠B=∠C=∠A
=60°.
∴
△ABC是等边三角形.
由此得到另一条等边三角形的判定定理:
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵
△ABC
是等边三角形，
∴
∠BAC=∠B=∠C=60°.
∵
∠EAD=∠BAC=60°，
又
AD=AE，
∴
△ADE是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形）.
巩固练习
1.
已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O.求证：△OBC为等腰三角形.
证明：如图所示，在△ABC中，
∵
AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）.
又∵
BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB（已知），
∴
∠DBC=∠ECB，
∴
OB=OC（等角对等边），
即△OBC为等腰三角形.
2.
已知：如图，CD平分∠ACB，AE//DC，AE交BC的延长线于点E，且∠ACE=60°.求证：△ACE是等边三角形.
证明：∵
CD平分∠ACB（已知），
∴∠ACD=∠BCD.
又∵
DC∥AE（已知），
∴
∠E=∠BCD（两直线平行，同位角相等），
∠CAE=∠ACD（两直线平行，内错角相等），
∴∠E=∠CAE（等量代换），
∴CA=CE（等角对等边）.
又∵
∠ACE=60°（已知），
∴△ACE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.
3.
已知：如图，AB=BC，∠CDE=
120°，DF//
BA，且DF平分∠CDE.求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵
∠CDE=120°，DF平分∠CDE（已知），
又∵DF∥BA（已知），
∴∠ABC=∠CDF=60°（两直线平行，同位角相等）.
又∵AB=BC（已知），
∴
△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.
课后小结
等腰（边）三角形的判定
1.
定义法：有两条边相等的三角形；
2.
判定定理：
有两个角相等的三角形.
只限于在同一个三角形中.
1.
定义法：三边都相等的三角形；
2.
判定定理：
（1）三个角都是60°的三角形.
（2）有一个角是60°的等腰三角形.
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢！
