第一章 特殊四边形课时学案(文)

第一章 特殊四边形
1.1 平行四边形及其性质
课时1 平行四边形及其性质(1)
课堂思维碰撞
预习小测
1.两组对边__________的四边形叫做平行四边形.
2.平行四边形的性质定理
(1) 平行四边形的对边_____且______；
(2) 平行四边形的对角____________。
3. 你能从下面的图形中找出平行四边形吗？
4.在ABCD中，若∠A=60°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
师生同台
一、平行四边形的两组对边分别相等
结合平行四边形的定义可知其对边平行，故平行四边形的两组对边分别平行且相等；
例1.如图1-1-1，在ABCD中，BE平分∠CBA交DC于E，EC与AD相等吗？请说明理由。
图1-1-1
分析：由于AD与EC互不相关，就需要“第三者”的介入，进行等量代换，显然，根据“平行四边形的两组对边分别相等”可知AD=BC，若能说明EC=BC即可，也就是说明∠1=∠2。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
二、平行四边形的对角相等
应用时要注意结合多边形的内角和定理来综合解决。
例3、 在ABCD 中，∠A=30°，求其他各角的度数．
分析：先作如图所示图形，然后利用平行四边形的性质及其概念可求；
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
跟踪运用
1.如图1-1-2所示，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中平行四边形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
图1-1-2 图1-1-3
2. 在ABCD中，∠A-∠B=20°，则∠B的度数为（ ）
A．80° B．60° C．100° D．120°
3. ABCD中，AB：BC=1：2，周长为18cm，则AB=
cm，AD= cm.
4.如图1-1-3所示，在ABCD中，∠A=50°，则∠B=________，∠C=________．
5.如图1-1-4，ABCD中，已知∠A：∠B=5：3，求这个平行四边形各内角的度数。
图1-1-4
6.(2009广西柳州)如图1-1-4，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，，
图1-1-4
求四边形ABCD的周长．
创新培养
综合拓展-----努力使自己的计算比电脑还要准确
1．（2008贵州）如图1-1-5，在平行四边形中，是延长线上的一点，若，则的度数为（ ）
A．120o B．60o C．45o D．30o
图1-1-5 图1-1-6
2.(2009甘肃庆阳)如图1-1-6，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3.(2009陕西)如图1-1-7，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点F．
图1-1-7
求证：．
探究提高------数学的天空你是哪颗星？
4.如图1-1-8，在ABCD中，已知AD＝5cm，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）．
图1-1-8
A、1cm B、2cm C、3cm D、4cm
5.如图1-1-9，为平行四边形的边延长线上一点，连结，交边于点．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形： ．
图1-1-9
6. (2009湖南长沙)如图1-1-10，是平行四边形对角线上两点，，
图1-1-10
求证：．
【快乐新天地】
四色猜想
1852年，刚从伦敦大学毕业的哥斯尼在给他的兄弟弗雷赘克的一封信中提出了这样的猜想：在一幅正规地图中。凡是有共同边界结的国家，都可以最多只用四种颜色着色,就能把这些国家区别开来。
　　弗雷赘克读了这封信后，就企图用数学品质方法来加证明。但是，他花了许多时间，仍是毫无头绪，他只好去请教他的教师摩尔根。但摩尔根也无法证明这个问题。同时也无法推翻，就把它交给了英国著名的数学家哈密顿。从此，这个问题在一些人中间传来似去，直到1865年哈密顿逝世为止，这个问题还没有得到解决。
　　于是这个问题便以"四色猜想"的名字留在了近代数学史上。1878年，著名的英国数学家凯来把"四色猜想"通报给伦敦的数学学会会员，征求解答。
　　数学界顿时活跃起来，很多人挥戈上阵，企图试一试自己的能力。
　　1879年，肯普首先宣布证明了四色定理，接着在1880年，泰特也宣布证明四色定理的问题已经解决，从此就很少有人过问它了。
　　然而还有一个数学家赫伍德，并没有放弃对四色问题的研究，他从表少年时代一直到成为白发苍苍的老者，花费了毕生的精力致力于四色研究，前后整整60年。终于在1890年，也就是肯普宣布证明了四色定理的11年之后，赫伍德发表文章，指出了肯普证明中的错误，不过，赫伍德却成功地运用肯普的方法证明了五色定理，即一张地图一公平能用和种颜色正确地染色。
　　五色定理被证明了。但四色定理却又回到未被证明的四色猜想的地位了，这不仅由于赫伍德推翻了肯普的证明，而且离开泰特发表论文66年后的1946年，加拿大数学家托特又举出反例，否定了泰特的证明。
　　肯普的证明，虽然在11年后被推翻了，但是，人们认为他的证明思路有很多可取的地方。因此，数学家，有不少人一直在沿着他的思路，推进着四色问题的证明工作，并且有了新的进展。然而，这些成就所提供的检验办法太复杂了，人们难以实现。就拿1970年有些人的方案来说，用当时的计算机来算也需要连续不断地工作10万小时（即11年以上），才能得出结论，这显然是不可能的。
　　1970年以后，人们千方百计地改进了证明四色猜想的方案，而且计算机的其使用方法，也不了飞快地进步。
　　1976年6月，美国数学家阿佩尔与哈肯，在美国伊利诺侵入大学的3台不同的电子计算机上，用了1200小时，终于完成了"四色猜想"的证明，从面使"四色猜想"成为了四色定理。
　　"四色定理"本身没有什么突出的理论价值和衫价值。因此美国数学家的贡献，主要是用电子计算机解决了延续124年之久的纯理论问题。人与机器的合作完全有可能解决那些悬而未决的问题，我们期待着那一日的到来。
课时2 平行四边形及其性质(2)
课堂思维碰撞
预习小测
1. 平行四边形的性质定理(3)
平行四边形的对角线_______________。
2.下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．平行四边形的对角线的交点到一组对边的距离相等
C．四边形具有平行四边形的性质
D．沿平行四边形的一条对角线对折，这条对角线两旁的图形能互相重合
3.如图1-1-11，已知O是ABCD的对角线交点，AC=38mm，BD=24mm，AD=14mm，那么△OBC的周长等于 。
图1-1-11
4.如图1-1-12，已知ABCD的对角线相交于点O，过O作直线交AB于E，交CD于F，可得OE=OF，为什么？
图1-1-12
师生同台
利用平行四边形的性质求边长和周长
若知一个四边形是平行四边形就要联想到其对边相等且互相平行、对角相等、对角线互相平分等性质。
例1. 如图，已知ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，求这个平行四边形的各边长。
分析：由平行四边形的对边相等知AB+BC=平行四边形周长的一半=30，又由△AOB的周长比△BOC的周长多8可知AB-BC=8，由此两式，可解得各边长。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
利用平行四边形的性质证明面积相等
在求一些图形的面积时，充分思考其面积的公式，并结合图形的特点来完成。
例2.如图1-1-13，点E是ABCD的对角线AC上任意一点，求证：。
图1-1-13
解析：连结BD交AC于O，利用平行四边形对角线互相平分得BO=DO，则，
结论得证。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
跟踪运用
1. 平行四边形的两邻边分别为3、4，那么其对角线必（ ）
A.大于1 B.小于7
C.大于1且小于7 D.小于7或大于1
2.如图1-1-14所示，在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中一定成立的是 ( B)
A．AC⊥BD B．OA=0C C．AC=BD D．A0=OD
图1-1-14 图1-1-15
3. 如果该平行四边形的一条边长是8，一条对角线长为6，那么它的另一条对角线长m的取值范围是________.
4.(2009年山西)如图1-1-15,的对角线、相交于点，点是的中点，的周长为16cm，则的周长是 cm．
5.如图1-1-15，已知ABCD的对角线相交于点O，过O作直线交AB于E，交CD于F，可得OE=OF，为什么？
图1-1-16
6.如图1-1-17，已知ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，试说明：OE=OF.
图1-1-17
创新培养
综合拓展-----努力使自己的计算比电脑还要准确
1.如图1-1-18，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　）
(A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm
图1-1-18 图1-1-19
2.(2009年辽宁本溪)如图1-1-19所示，在中，对角线相交于点，过点的直线分别交于点，若的面积为2，的面积为4，则的面积为 ．
3.(2009年四川资阳)如图1-1-20，已知ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC =12，BD=18，且△AOB的周长l=23，求AB的长．
图1-1-20
探究提高------数学的天空你是哪颗星？
4. 已知平行四边形的对角线长为一边长为，则可能是下列各组中的（ ）.
A.8cm和14cm B. 10cm和14cm
C. 18cm和20cm D. 10cm和38cm
5.如图1-1-21，ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为（ ）
图1-1-21
A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.6
6.如图1-1-22，的对角线相交于点，过点任引直线交于，交于，则 （填“”“”“”），说明理由．
图1-1-22
7.如图1-1-23，是平行四边形的对角线上的点，． 请你猜想：与有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．
图1-1-23
猜想：
证明：
1.2平行四边形的判定
课时1 平行四边形的判定
课堂思维碰撞
预习小测
1.平行四边形的判定定理
(1)两组对边___________的四边形是平行四边形；
(2)一组_______________的四边形是平行四边形。
2.如图1-2-1，E,F分别是平行四边形ABCD的边AD与BC的三分之一点,则四边形AECF是___________形
图1-2-1 图1-2-2
3.如图1-2-2，ABDC=EF=10, DE=CF=8,则图中的平行四边形有______、______,理由分别是____________、
__________________.
4.如图1-2-3，在ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE＝CF，连结CE和AF，试说明四边形AFCE是平行四边形。
图1-2-3
师生同台
一、平行四边形的判定定理1
本判定中是指两组对边分别相等，如果两组邻边分别相等则不能判断是平行四边形。
例1.如图1-2-4， 已知在四边形ABCD中，AB=CD，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形。
图1-2-4
分析：此题的条件既有边又有角，恰好满足内错角相等的条件，因此比较容易想到用平行线，即由∠1=∠2可得AB∥CD，在加上AB=CD，正好符合“一组对边平行且相等”的判定方法。其实此题也可以去说明AD=BC，用“两组对边分别相等”的判定方法，甚至还可以拓展开用其他判别方法。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
二、平行四边形的判定定理2
（1）这是判定平行四边形的一个重要方法，也是常用的一种方法，这种方法只需要用一组对边即可，这组对边满足两个条件：一是平行，二是相等。
（2）注意对这一判定方法的理解：判定条件“平行且相等”指的是同一组对边，不是一组对边相等，另一组对边平行；“平行且相等”用表示。
例2.如图1-2-5，在ABCD中，已知AE、CF分别是
∠DAB、∠BCD的角平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形。
图1-2-5
分析：由于四边形AFCE已具备AF//CE这一条件，因此可通过说明AFEC来证明四边形AFCE是平行四边形。
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
跟踪运用
1.(2009年山东威海)如图1-2-6，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，．添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（　　）
图1-2-6
A． B．
C． D．
2.如图1-2-7，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是
（添加一个条件即可）．
图1-2-7
3.如图1-2-8，在四边形ABCD中，AB=CD，∠1=∠2，
试说明：四边形ABCD是平行四边形。
图1-2-8
4.如图1-2-9,在ABCD中,BM⊥AC于M,DN⊥AC于N.试说明：四边形BMDN是平行四边形.
图1-2-9
5.如图1-2-10，E、F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF//BE。
图1-2-10
求证：四边形ABCD是平行四边形。
创新培养
综合拓展-----努力使自己的计算比电脑还要准确
1.(2009湖南郴州)如图1-2-11，在四边形中，已知，再添加一个条件___________（写出一个即可），则四边形是平行四边形．(图形中不再添加辅助线)
图1-2-11
2.(2009广西柳州)如图1-2-12，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，，
图1-2-12
求四边形ABCD的周长．
探究提高------数学的天空你是哪颗星？
3.如图1-2-13所示，已知ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AF与EB交于点G，CE与DF交于点H，试说明：四边形EGFH是平行四边形。
图1-2-13
4.如图1-2-14，是矩形纸片，翻折，，使，恰好落在上．设，分别是落在上的两点，分别是折痕，与，的交点．
图1-2-14
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，求线段的长．
课时2 平行四边形的判定
课堂思维碰撞
预习小测
1. 平行四边形的判定定理
对角线_________________的四边形是平行四边形；
两组对角_______________的四边形是平行四边形。
2. 能判定四边形是平行四边形的是( )
A.对角线互相垂直 B.对角线相等
C.对角线互相垂直且相等 D.对角线互相平分
3. 在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下六个说法中，正确的说法有（　）
（1）如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
（2）如果再加上条件“AB=CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
（3）如果再加上条件“∠DAB=∠DCB”那么四边形ABCD一定是平行四边形；
（4）如果再加上“BC=AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
（5）如果再加上条件“AO=CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
（6）如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
师生同台
一、平行四边形的判定定理
定理中的关键词表达一定要准确，如“对角线互相平分”不能说成“对角线平分”。
例1.如图1-2-15，在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别是AO、OC的中点，
求证：四边形BFDE是平行四边形。
图1-2-15
分析：题目当中出现了对角线，因此可首先利用平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，再由E、F分别是AO、OC的中点，用对角线互相平分判定平行四边形。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
二、利用平行四边形的判定证明线段相等
例2.如图1-2-16，ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，求证：BE=DF。
图1-2-16
分析：由平行四边形的性质可知OB=OD，因此，要证BE=DF，只需证明OE=OF即可。而证明线段相等的方法有许多种，在本题当中因为涉及到平行四边形，所以我们可以考虑平行四边形的性质，如果连接AC、AF、CE，能够证明四边形AECF是平行四边形，那么问题就解决了。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
跟踪运用
1. 已知四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“CD”，那么可以判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
①再加上条件“BC＝AD”，则四边形ABCD一定是平行四边形。
②再加上条件“”，则四边形ABCD一定是平行四边形。
③再加上条件“AO＝CO”，则四边形ABCD一定是平行四边形。
④再加上条件“”，则四边形ABCD一定是平行四边形。
A、①和②　B、①③和④　C、②和③　D、②③和④
2.如图1-2-17，是平行四边形的对角线上的点，．请你猜想：与有怎样的位置关系和数量关系？
图1-2-17
并对你的猜想加以证明：
猜想：
证明：
3.如图1-2-18，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF,试说明：四边形BFDE是平行四边形.
图1-2-18
创新培养
综合拓展-----努力使自己的计算比电脑还要准确
1.（2009新疆乌鲁木齐）如图1-2-19，将的对角线向两个方向延长至点和点，使，
图1-2-19
求证：四边形是平行四边形．
探究提高------数学的天空你是哪颗星？
2.如图1-2-20，在中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F ，
图1-2-20
(1)求证：△ABE≌△DFE；
(2)试连结BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．
3.
图1-2-21
1.3 特殊的平行四边形
课时1 矩形的性质
课堂思维碰撞
预习小测
1.矩形的定义
有一个角是__________的平行四边形是矩形。
2.矩形的性质
（1）矩形具有________________的所有性质；
（2）矩形的四个角都是__________；
（3）矩形的________________相等；
（4）直角三角形斜边上的中线等于_________的一半。
3. 观察下列图形，其中矩形的个数为（）
A、4 B、3 C、 2 D、1
4.如果矩形的两条对角线所成的钝角是120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为（ ）
A．3：2 B．2：1 C．1.5：1 D．1：1
师生同台
一、矩形的性质
运用矩形的性质可以求线段的长度、角的度数，判断两线段是否相等、判断两角是否相等等。
例1.已知：如图1-3-1，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AD=3cm，求AB、AC的长度分别为多少？
图1-3-1
分析：由矩形的对角线“互相平分且相等”可得出AO=OC=OB=OD。进而得到∠1=∠2=30°，∠3=60°，在Rt△ADB中应用勾股定理计算即可。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
二、关于直角三角形的斜边中线问题
这一性质的得出充分利用了“矩形的对角线互相平分且相等”的性质，同时得到的是对角线相交后的四条小线段相等，四个等腰三角形。
例2.如图1-3-2，锐角△ABC中，BE、CF是高，点M、N分另为BC、EF的中点。求证：MN⊥EF。
图1-3-2
分析：由已知和结论可知：MN既是EF边上的中线，又是EF边上的高，故只需证△MEF为等腰三角形，由于Rt△BFC和Rt△BEC有公共的斜边，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可证得：ME=MF。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
跟踪运用
1.（2009年山东济南）如图1-3-3，矩形中，过对角线交点作交于则的长是（ ）
A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.4
图1-3-3 图1-3-4
2.(2009年广西崇左)如图1-3-4，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
3.(2009甘肃庆阳)如图1-3-5，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（　　）
图1-3-5 图1-3-6
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
4.如图1-3-6，在矩形中，对角线相交于点，若，cm，则的长为 cm．
5.如图1-3-7，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4 cm.
图1-3-7
(1)判定△AOB的形状； (2)求对角线的长.
创新培养
综合拓展-----努力使自己的计算比电脑还要准确
1.(2009年湖南长沙)如图1-3-8，矩形的两条对角线相交于点，，则矩形的对角线的长是（ ）
图1-3-8
A．2 B．4 C． D．
2. 如图1-3-9，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD = 2AB，
若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B=______________度.
图1-3-9
3. 如图1-3-10，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F.
图1-3-10
（1）猜想：AD与CF的大小关系；
（2）请证明上面的结论.
探究提高------数学的天空你是哪颗星？
4.如图1-3-11，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．
图1-3-11
5.(2009广东中山)如图1-3-12所示，在矩形中，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点，再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推．
图1-3-12
（1）求矩形的面积；
（2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积．
【快乐新天地】
黄金矩形
看一看雅典帕德嫩神庙的造型，甚至现在这还是世界最美丽的建筑之一，这神庙建筑于古希腊数字繁荣的年代，并且它的美丽就是建立在严格的数学法则上的。如果我们在帕德嫩神庙周围描一个矩形，那么发现，它的长大约是宽的1.6倍，这种矩形称为黄金矩形。
你看到过具有黄金矩形形状的物体吗？
按照下图给出的指示，用圆规与三角板画一个黄金矩形。
课时2 矩形的判定
课堂思维碰撞
预习小测
1.矩形的判定定理
（1）定义：有一个角是________的平行四边形是矩形；
（2）定理1：对角线__________的平行四边形是矩形；
（3）定理2：有三个角是___________的四边形是矩形。
2. 下列说法中正确的是（ ）
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.两条对角线相等的四边形是矩形
C.两条对角线垂直的四边形是矩形
D.四个角都是直角的四边形是矩形
3.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图1-3-13①），使AB＝CD，EF＝GH；
⑵ 摆放成如图1-3-13②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是： ；
⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图1-3-13③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图1-3-13④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： ；
图1-3-13
师生同台
矩形的判定
首先要说明四边形是平行四边形，再说明平行四边形的一个内角为直角或对角线相等即可。
例1.如图1-3-14，在ABCD中，AC 与 BD 相交于 O点，∠1 =∠2 ，
图1-3-14
求证：平行四边形ABCD是矩形．
分析：解本题时应抓住平行四边形和∠1 =∠2这两个条件．把图中有关的位置关系，数量关系转化为∠1 =∠3，得OA=OB，由“对角线相等的平行四边形是矩形”来判定．
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
矩形的判定的应用
由探讨图形四边形的判定，知有一个角是直角的平行四边形是矩形，可以找出解题思路，故易得出结论。
例2.如图1-3-15，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。
图1-3-15
分析：这是一道结论存在型探索题，综合性较强，对于第（1）小题，可以从CE平分∠BCA和平行线的性质定理证EO=CO，同理FO=CO，从而EO=FO；
对于第（2）小题，由EC、FC是∠BCA的内、外角平分线知∠ECF=90°，若四边形AECF为平行四边形，则问题得到解决。由（1）知动点O在AC边上不管怎样运动，总有EO=FO，因此，让动点取在AC的中点上，则有OA=OC。这样根据矩形的判定可知四边形AECF是矩形。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
跟踪运用
1.能判定一个四边形是矩形的条件是（ ）
A.对角线相等
B. 对角线互相平分且相等
C.一组对边平行且对角线相等
D. 一组对边相等且有一个角是直角
2.如图1-3-16，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
图1-3-16
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
3.从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为 ． （只填写拼图板的代码）
4.已知：如图1-3-17，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，
求这个平行四边形的面积。
图1-3-17
5.如图1-3-18，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连结．
图1-3-18
（1）求证：是的中点．
（2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
创新培养
综合拓展-----努力使自己的计算比电脑还要准确
1.(2009福建漳州)如图1-3-19，要使成为矩形，需添加的条件是（ ）
图1-3-19
A． B．
C． D．
2.（2009年江苏）如图1-3-20，在梯形中，两点在边上，且四边形是平行四边形．
图1-3-20
（1）与有何等量关系？请说明理由；
（2）当时，求证：是矩形．
探究提高------数学的天空你是哪颗星？
3.如图1-3-21，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．
图1-3-21
（1）求证：是的中点；
（2）如果，试猜测四边形的形状，并证明你的结论．
课时3 菱形
课堂思维碰撞
预习小测
1.(1)菱形的定义
一组邻边____________的平行四边形叫做菱形。
(2)菱形的性质定理
①菱形的四条边都____________；
②菱形的两条对角线___________，每一条对角线_____一组对角；
(3)菱形的判定定理
①四条边都___________的四边形是菱形。
②对角线_____________的平行四边形是菱形。
2.如图1-3-22，菱形ABCD中，E、F、G、H分别是菱形四边的中点，连接EG与FH交于点O，则图中的菱形共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
图1-3-22 图1-3-23
3.如图1-3-23，在菱形ABCD中，不一定成立的（　　）
A、四边形ABCD是平行四边形 B、AC⊥BD
C、△ABD是等边三角形 D、∠CAB＝∠CAD
4.在四边形ABCD中，已知AB∥CD，请补充条件___________（写出一个即可），使得四边形ABCD是平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件___________（写出一个即可），使得四边形ABCD是菱形；
师生同台
菱形的性质
由于菱形的对角线互相垂直平分，许多涉及到菱形的问题都会在直角三角形中得以解决。
例1.如图1-3-24，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=12cm，AC=6cm，则菱形的周长是多少？
图1-3-24
分析：由于菱形的四条边都相等，所以要求周长就要先求出边长，由菱形性质可知对角线互相垂直，因此想到在直角三角形中利用勾股定理进行计算。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
二、菱形的判定
识别一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分。
例2.已知：如图1-3-25,ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F两点。
图1-3-25
求证：四边形AFCE是菱形。
分析：欲证四边形AFCE是菱形，已知其对角线AC⊥EF，故只需证明四边形AFCE是平行四边形即可，为此需证OE=OF。由已知易证△AOE≌△COF，得到OE=OF。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
跟踪运用
1.下列命题正确的是（ ）
A．邻角相等的四边形是菱形　　　　　　　
B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形　　　　
D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
2.(2009年重庆江津)如图1-3-26，在菱形ABCD中，AC＝6, BD＝8,则菱形的边长为（ ）
A. 5 B. 10 C. 6 D.8
图1-3-26 图1-3-27
3.(2009海南)如图1-3-27，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=5，则AC= .
4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图1-3-28），则重叠四边形的面积为_______
图1-3-28 图1-3-29
5. (2009年山东枣庄)如图1-3-29，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，DE=6cm，，则菱形ABCD的面积是_____．
6.(2009年广西梧州)如图1-3-30，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．
图1-3-30
（1）求证：AD＝CE；
（2）填空：四边形ADCE的形状是_____________．
创新培养
综合拓展-----努力使自己的计算比电脑还要准确
1.(2009广西南宁)如图1-3-31，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）
A． B． C．D．
图1-3-31 图1-3-32
2. (2009山东临沂)如图1-3-32，在菱形ABCD中，，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则________度．
3.如图1-3-33，在ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．
图1-3-33
（1）求证：．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
探究提高------数学的天空你是哪颗星？
4.(2009年湖南衡阳)如图1-3-34，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，，则下列结论中正确的个数为（ ）
①DE=3cm；②EB=1cm；③．
图1-3-34
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5.(200年9山东烟台)如图1-3-35，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ．
图1-3-35
6.如图1-3-36，平行四边形中，，，．对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点．
图1-3-36
（1）证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数．
课时4 正方形
课堂思维碰撞
预习小测
1.(1)正方形的定义
有一组邻边_______________的矩形叫做正方形。
(2) 正方形的性质
①正方形的四条边________，四个角都是____________；
②正方形的对角线相等，且_______________________；每条对角线平分一组对角；
③正方形是轴对称图形，它的对称轴是________所在直线，以及过每一组对边中点的直线。
(3)正方形的判定
①先证它是矩形，再证有____________或__________互相垂直；
②先证它是菱形，再证它有一个角是___________或对角线_______________。
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直
C.对角线相等 D. 对角线平分一组对角
3.ABCD 是正方形需增加的条件是（）
A、 对角线互相垂直且相等 B对角线相等
C、一组邻边相等 D、对角互补
4.若正方形的对角线长为2cm，则正方形的面积为_____________。
师生同台
一、正方形的性质
（1）正方形具有菱形和矩形的一切性质；
（2）正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形。
（3）若正方形的边长为a，则对角线长为，面积为；
（4）正方形是轴对称图形，它有四条对称轴。
（5）正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等。
例1.如图1-3-37，以ΔABC的边AC、BC分别向外作正方形ACDE和正方形BCFG。
求证：BD=AF。
图1-3-37
分析：欲证BD=AF，可证△ACF≌△DCB，由正方形ACDE和正方形BCFG可知AC=DC，CF=CB，∠ACD=∠BCF=90°，故易证结论成立。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
二、正方形的判定
判定一个四边形是正方形主要是根据定义，先判定它是矩形，再判定它是菱形，或先判定它是菱形，再判定它是矩形。
例2．已知：如图1-3-38，点A′、B′、C′、D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=
DD′。
图1-3-38
求证：四边形A′B′C′D′是正方形。
分析：由已知条件可先证四个小直角三角形全等，从而得到A′B′=B′C′=C′D′=D′A′，即四边形A′B′
C′D′是菱形，再证明四边形A′B′C′D′有一角是直角即可。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
跟踪运用
1.在下列命题中，正确的是（　　）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形　
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ）
A．AC=BD，ABCD B．AD//BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
3.（2009天津）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个四边形的中点四边形是一个矩形，则四边形可以是 ．
4.如图1-3-39，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若，，，则GF的长为 ．
图1-3-39 图1-3-40
5. (2009湖南郴州)如图1-3-40，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE=CE．
6.如图1-3-41,已知:在四边形ABFC中，=90的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE
图1-3-41
试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形;
当的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形 请回答并证明你的结论.
(特别提醒:表示角最好用数字)
创新培养
综合拓展-----努力使自己的计算比电脑还要准确
1．(2009年湖北孝感)如图1-3-42，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN = EF，则MN⊥EF；小亮认为: 若MN⊥EF，则MN = EF．你认为( )
A．仅小明对B．仅小亮对C．两人都对 D．两人都不对
图1-3-42 图1-3-43
2.(2009年山东潍坊)如图1-3-43，正方形的边长为10，点E在CB的延长线上，，点P在边CD上运动（C、D两点除外），EP与AB相交于点F，若，四边形的面积为，则关于的函数关系式是 ．
3.如图1-3-44，已知过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥BC于点E，作PF⊥CD于点F。
图1-3-44
求证：AP=EF。
探究提高------数学的天空你是哪颗星？
4. (2009年广西桂林)如图1-3-45,正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（ ）．
图1-3-45
A．2 B． C． D．
5.(2009呼和浩特)如图1-3-46，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．
图1-3-46
(1)求证：BE＝DG；
(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．
6.(2009吉林)两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线上（如图1-3-47①），=2cm，将长方形绕着点顺时针旋转角，将长方形绕着点逆时针旋转相同的角度．
图1-3-47
（1）当旋转到顶点、重合时，连接（如图1-3-47②），求点到的距离；
（2）当时（如图1-3-47③），求证：四边形为正方形．
1.4 图形的中心对称
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预习小测
1.中心对称图形
在平面内，一个图形绕着某个点旋转_______，能与原来的图形互相重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫___________，旋转前后图形上能够重合的点叫做_____________。
2.中心对称
(1)在平面内，一个图形绕着某一定点旋转180°，它能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于这个点成____________，这个点叫做对称中心，旋转后两个图形上能够重合的点叫做关于对称中心的对称点。
(2)连结两个成中心对称的图形上的对称点的线段，经过____________，且被_____________平分。
3.下列图形中，中心对称图形的是（　　）
4. 在U，V，W，X，Y，Z这六个大写英文字母中，是轴对称图形的是 ，是中心对称图形的是 ．
师生同台
一、中心对称图形
轴对称图形与中心对称图形的区别与联系：
例1.如图1-3-48，观察下列“风车”的平面图案，其中是中心对称图形的有（ ）
图1-3-48
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
二、中心对称
确定其中心，只要将其对称点相连，其中点即为对称中心或将两对称点分别相连，其交点即为对称中心；
例2.如图1-3-49所示的两个图形成中心对称，你能找到对称中心吗？
图1-3-49
分析：要确定对称中心，可先确定两组对称点，然后分别连接，其交点就是其对称中心。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
跟踪运用
1.(2009浙江湖州)下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
2.如下所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
3.下列四张扑克牌的牌面，不是中心对称图形的是（ ）
4. 写出两个既是中心对称，又是轴对称的汉字 ．
5.如图1-3-50，梯形ABCD中，AD∥BC，点F在CD上，点E在BC的延长线上，△CEF与△DAF关于点F对称.
图1-3-50
⑴四边形ABCD的面积与图中哪个三角形的面积相等？
⑵若AE=AD＋BC，∠B=70°，试求∠DAF的度数？
6.请你在图1-3-51的3个网格（两相邻格点的距离均为1个单位长度）内，分别设计1个图案，要求:在(1)中所设计的图案是面积等于的轴对称图形；在（2）中所设计的图案是面积等于2的中心对称图形；在（3）中所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，并且面积等于3．将你设计的图案用铅笔涂黑．
图1-3-51
创新培养
综合拓展-----努力使自己的计算比电脑还要准确
1.(2009福建龙岩)下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2.6张大小、厚度、颜色相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、直角梯形、正方形、正五边形、圆． 在看不见图形的条件下任意摸出1张，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
3.（2009年黑龙江齐齐哈尔）如图1-3-52，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为、、．
图1-3-52
（1）若将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的；
（2）画出绕原点旋转后得到的；
（3）与是中心对称图形，请写出对称中心的坐标：___________；
（4）顺次连结，所得到的图形是轴对称图形吗？
探究提高------数学的天空你是哪颗星？
4.在图中的交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
5.如图1-3-53，点是的重心，的延长线交于，，，，将绕点旋转得到，则 cm，的面积
cm2．
图1-3-53 图1-3-54
6.如图1-3-54，方格纸中有三个点，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
（注：图甲、图乙、图丙在答题纸上）
7. 已知，如图1-3-55⑴、⑵分别是6×6正方形网格上两个轴对称图形(阴影部分)，其面积分别为SA与SB(网格中最小正方形面积为一个平方单位)，请观察图形并解答下列问题。
图1-3-55
⑴填空：SA：SB的值为____________；
⑵请在图1-3-55⑶的网格上画出一个面积为8个平方单位的中心对称图形。
1.5 梯形
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预习小测
1.(1)梯形及相关概念
①一组对边_______而另一组对边___________的四边形叫做梯形；
②梯形的底：梯形中___________的两边叫做梯形的底，其中_______的底叫做上底，__________的底叫做下底；
③梯形的腰：梯形中__________的两边叫做梯形的腰；
④梯形的高：夹在两底之间、与底________的直线叫做梯形的高，一般是由梯形的顶点来作高；
⑤两腰___________的梯形叫做等腰梯形；
⑥一腰与底___________的梯形叫做直角梯形。
(2)等腰梯形的性质
①等腰梯形在______________的两个内角相等；
②等腰梯形的两条对角线___________。
(3)等腰梯形的判定
_______________的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
2.如图1-3-56，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD,对角线AC=BC+AD,且∠DBC的度数是（ ）
图1-3-56
A.30° B.45° C.90° D.60°
3. 下列命题中，真命题是（ ）
A.有一组对边平行，另一组对边相等的梯形是等腰梯形
B.有一组对角互补的梯形是等腰梯形
C.有一组邻角相等的四边形是等腰梯形
D.有两组邻角分别相等的四边形是等腰梯形
4. 我们学习了四边形和一些特殊的四边形，下图表示了在某种条件下它们之间的关系．如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行．那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件．
师生同台
一、等腰梯形的性质
“同一底上的两个角相等”与“两底角相等”是有区别的，后者有可能是一个上底上的角，一个下底上的角。
例1.在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠BAD=
120°，AD=2cm，BC=5cm，求腰长AB。
分析：在梯形中∠A与∠B互补，∠B=60°，这一特殊角度易想到等边三角形或直角三角形，因此想到添加辅助线，构造直角三角形或等边三角形。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
二、等腰梯形的判定
⑴等腰梯形的判定，一般是先判定一个四边形是梯形，然后再由“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”或“对角线相等”来判定它是等腰梯形。
⑵判定一个四边形是梯形时，判定一组对边不平行常常有困难，所以可用判定平行的两边不相等的方法来解决。
例2.如图1-3-57，△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，求证：四边形EBCD是等腰梯形。
图1-3-57
分析：欲证四边形EBCD是等腰梯形，解题思路是证ED//BC，BE=CD。由已知条件易证△BCD≌△CBE得到EB=DC，从而AE=AD，运用等腰三角形的性质可证ED//BC。
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我的答案： 老师讲解： 创新火花：
跟踪运用
1.(2009年四川遂宁)如图1-3-58，在梯形ABCD中，AB//DC，∠D=90o，AD=DC=4，AB=1，F为AD的中点，则点F到BC的距离是( )
A.2 B.4 C.8 D.1
图1-3-58 图1-3-59
2.（2009年达州）如图1-3-59，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，以下四个结论：
① ，②OA=OD ，③ ( http: / / www. / )，④S=S，
其中正确的是( )
A. ①② B.①④ C.②③④ D.①②④
3.（2009四川南充）如图1-3-60，等腰梯形ABCD中，，，则梯形ABCD的周长是 ．
图1-3-60 图1-3-61
4.（2009四川泸州）如图1-3-61，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=3，BC=4，则梯形ABCD的面积是_____________.
5.（2008年广州）如图1-3-62，在菱形ABCD中，∠DAB=
60°，过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E，
图1-3-62
求证：四边形AECD是等腰梯形
6.如图1-3-63，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，tanC=．
图1-3-63
（1）求点D到BC边的距离；
（2）求点B到CD边的距离．
创新培养
综合拓展-----努力使自己的计算比电脑还要准确
1.(2009年湖北荆门)等腰梯形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点，则四边形EFGH的形状是( )
A.平行四边形． B.矩形． C.菱形． D.正方形．
2.(2009年山东济宁)在等腰梯形中，，则下底BC的长为 ．
3.(2009重庆江津)如图1-3-64，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB＝AD＝DC,∠B＝60 .
图1-3-64
(1)求证：AB⊥AC；
(2)若DC＝6,求梯形ABCD的面积 .
探究提高------数学的天空你是哪颗星？
4.(2009广西崇左)如图1-3-65，在等腰梯形中，已知，
延长到，使．
图1-3-65
（1）证明：；
（2）如果，求等腰梯形的高的值．
5.如图1-3-66，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AD=2，BC=4，延长BC到E，使CE=AD．
图1-3-66
（1）写出图中所有与△DCE全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；
（2）探究当等腰梯形ABCD的高DF是多少时，对角线AC与BD互相垂直？请回答并说明理由．
1.6 中位线定理
课时1 三角形的中位线
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1.(1)三角形的中位线定义
连结三角形两边________的线段，叫做三角形的中位线
(2)三角形中位线定理
三角形的中位线________于第三边,并且等于第三边的__________.
2.如图1-3-67，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，如果EF=2，那么ABCD的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
图1-3-67 图1-3-68
3.如图1-3-68，已知ΔABC，D是AB边的中点；试过点D画出ΔABC的一条中位线和一条中线。
师生同台
一、三角形中位线定理
三角形中位线定理的作用:①位置关系:可以证明两条直线平行;②可以证明线段的相等或倍分.
例1.如图1-3-69，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=6cm，则BC=______cm.
图1-3-69
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
二、学科内综合题
例2、如图1-3-70所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别为AB,BC的中点,点F在AC的延长线上,∠FEC=∠B.
CF=DE吗 请说明理由;
若AC=6,AB=10,求四边形DCFE的面积.
图1-3-70
解析：因为DE为ABC的中位线,所以DE∥AC,且DE=AC,再证DC∥EF,则边形DCFE为平行四边形,易求出其面积.
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
跟踪运用
1.(2009海南)如图1-3-71，DE是△ABC关的中位线，若BC的长为3cm，则DE的长是( )
A．2cm B．1.5cm C．1.2cm D．1cm
图1-3-71 图1-3-72
2.如图1-3-72，在菱形中，对角线相交于点为的中点，且，则菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
3.(2009福建漳州)如图1-3-73，在菱形中，，、分别是、的中点，若，则菱形的边长是_____________．
图1-3-73 图1-3-74
4.(2009福建龙岩)如图1-3-74，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若△ABC的周长为12cm，则△DEF的周长是 cm.
5.如图1-3-75，要测量A、B两点间距离，在O点打桩，取OA的中点 C，OB的中点D，测得CD=30米，则AB=______米．
图1-3-75 图1-3-76
6.（2009四川达州）如图1-3-76，在△ABC中，AB＝2BC，点D、点E分别为AB、AC的中点，连结DE，将△ADE绕点E旋转180得到△CFE.试判断四边形BCFD的形状，并说明理由.
创新培养
综合拓展-----努力使自己的计算比电脑还要准确
1.如图1-3-77，在ΔABC中，M、N分别是AB、AC的中点，且∠A +∠B=120°，则∠AN M= °；　　
图1-3-77 图1-3-78
2. (2009辽宁本溪)如图1-3-78所示，菱形中，对角线相交于点，为边中点，菱形 的周长为24，则的长等于 ．
3.如图1-3-79，在四边形中，是对角线的中点，分别是的中点，，则的度数是 ．
图1-3-79
探究提高------数学的天空你是哪颗星？
4.（2009年辽宁抚顺）如图1-3-80所示，已知点分别是中边的中点，相交于点，，则的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
图1-3-80图1-3-81
5.如图1-3-81，四边形中，分别是边的中点．请你添加一个条件，使四边形为菱形，应添加的条件是 ．
6.已知：如图1-3-82，△ABC中，E、F分别是AB、CB的中点，G、H为AC上两点，且AG=GH=HC，延长EG、FH交于点D，
图1-3-82
试说明四边形ABCD是平行四边形。
课时2 梯形的中位线
课堂思维碰撞
预习小测
1.(1) 梯形中位线定义
连结___________中点的线段，叫做梯形的中位线。
(2)梯形的中位线定理
梯形的中位线_______于两底，且等于________的一半。
2.等腰梯形的腰长是6cm，中位线是5cm，则梯形的周长是 。
3.已知梯形中位线长是5cm，高是4cm，则梯形的面积是 。
4.梯形上底与中位线之比是2：5，则梯形下底与中位线之比是 。
师生同台
一、梯形的中位线定理
关键是看题目的中点是否为两腰的中点。
例1.如图1-3-83，设分别是直角梯形两腰的中点，于点，将沿翻折，与恰好重合，则等于（　　）
图1-3-83
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
思维大碰撞
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跟踪运用
1.已知梯形的中位线长为24厘米,上、下底的比为1:3,则梯形的上、下底之差是（ ）
A.24厘米 B.12厘米; C.36厘米 D.48厘米
2.如图1-3-84，在梯形ABCD中，AB//CD，中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点，若EF＝18cm，MN＝8cm，则AB的长等于（ ）
A、10cm B、13cm C、20cm D、26cm
图1-3-84 图1-3-85
3.斜拉桥是利用一组组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧的高塔上的桥梁，它不须建造桥墩，如图1-3-85中，A1B1，A2B2，…，A5B5是斜拉桥上5条互相平行的钢索，并且B1、B2、B3、B4、B5被均匀地固定在桥上，如果最长的钢索A1B1＝80 m，最短的钢索A5B5＝20 m，那么钢索A3B3、A2B2的长分别为（　　）
A．50m，65m B．50m，35m
C．50m，57.5m D．40m，42.5m
4.(2009山东淄博)如图1-3-86，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF=3，则梯形ABCD的周长为( )
(A)9 (B)10.5 (C)12 (D)15
图1-3-86 图1-3-87
5.（2009江苏）如图1-3-87，已知是梯形的中位线，的面积为，则梯形的面积为 cm2．
6.如图1-3-88，等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F，MN是梯形ABCD的中位线
试说明：DF=MN
图1-3-88
创新培养
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1.在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，且，BD=12c m，则梯形中位线的长等于（ ）
A. 7.5cm B. 7cm C. 6.5cm D. 6cm
2.如图1-3-89，梯形ABCD中，AD//BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FO－EO=3，则BC－AD等于（ ）
图1-3-89
A．4 B．6 C．8 D．10
3.(2009年广东梅州)如图1-3-90，梯形ABCD中，，点在上，连与的延长线交于点G．
图1-3-90
（1）求证：；
（2）当点F是BC的中点时，过F作交于点，若，求的长．
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4.(2009重庆江津)在△ABC中，BC=10，B1 、C1分别是图1-3-91图①中AB、AC的中点，在图1-3-91图②中，分别是AB,AC的三等分点，在图1-3-91图③中分别是AB、AC的10等分点，则的值是 （ ）
图1-3-91
A. 30 B. 45 C.55 D.60
5.如图1-3-92，已知平行四边形及四边形外一直线，四个顶点到直线的距离分别为．
图1-3-92
（1）观察图形，猜想得出满足怎样的关系式？证明你的结论．
（2）现将向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论．