第一章 特殊四边形课时学案(答案)

答案快递
第一章 特殊四边形
1.1 平行四边形及其性质
课时1 平行四边形及其性质(1)
课堂思维碰撞
预习小测
1.分别平行 2.(1)平行 相等；(2)相等
3.第（2）个和第（5）个是平行四边形。 4.B
师生同台
一、平行四边形的两组对边分别相等
例1.老师讲解
解：在ABCD中，AB∥CD，AD=BC， ∴∠3=∠2.
∵BE平分∠CBA，∴∠1=∠3.
∴∠1=∠2，∴EC=BC，∴AD=EC。
创新火花：运用等量代换时准确地寻求第三者是解题的关键。
二、平行四边形的对角相等
例2. 老师讲解
创新火花：原题中如果没有给出图形，我们可以自己画出图形进行解答．
跟踪运用
1.C 2. A 3.3，6 4.130，50
5. 解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD//BC，∠A+∠B=180°，
由∠A：∠B=5：3，
故设∠A=5x，则∠B=3x，
即5x+3x=180°，解得x=22.5°，
因此，∠A=5×22.5°=112.5°，∠B=3×22.5°=67.5°。
根据平行四边形对角相等的性质可得
∠A=∠C=112.5°，∠D=∠B=67.5°。
所以ABCD各内角的度数分别是112.5°，67.5°，112.5°，67.5°。
6.解法一: ∵
∴
又∵
∴
∴∥即得是平行四边形
∴
∴四边形的周长
解法二: 连接
∵
∴
又∵
∴≌
∴
∴四边形的周长
解法三: 连接
∵
∴
又∵
∴
∴∥即是平行四边形
∴
∴四边形的周长
课后创新培养
综合拓展
1. B 2.B
3. 证明：∵四边形是平行四边形，
．
．
又，
．
．
．
探究提高
4. B
5. （或，或）
6. 证明：平行四边形中，，，
．
又，
，
，
课时2 平行四边形及其性质(2)
课堂思维碰撞
预习小测
1.互相平分 2.B 3. 45mm
4. 解：在ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4 ，OD=OB。
∴△BOE≌△DOF.∴OE=OF。
师生同台
一、利用平行四边形的性质求边长和周长
例1.老师讲解
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AD=CB，AO=CO.
∵AB+CD+AD+CB=60，AO+AB+OB-（OB+BC+OC）=8，
∴AB+BC=30，AB-BC=8.
∴AB=CD=19，BC=AD=11.
答：这个平行四边形的各边长分别为19cm,11cm,
19cm,11cm。
创新火花：解答本题要注意方程思想的运用。
二、利用平行四边形的性质证明面积相等
例2. 老师讲解
证明：连结BD交AC与O， ∴BO=DO.
∴.
∵.
∴.
创新火花：本例中利用同底（等底）同高（等高）的两个三角形面积相等证题，这是我们今后常用的等积变换的重要手段。
跟踪运用
1. C 2. B 3. 10＜x＜22 4. 8
5. 解：在ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4 ，OD=OB
∴△BOE≌△DOF.∴OE=OF。
6．解：∵ABCD,∴OA=OC,DF∥EB，∴∠E=∠F，
又∵∠EOA=∠FOC，∴△OAE≌△OCF,∴OE=OF；
课后创新培养
综合拓展
1. D 2. 6
3. 解∵ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC =12，BD=18，
∴ AO=AC=6，
BO=BD=9．
又∵△AOB的周长l=23，∴ AB=l–(AO+BO)=23–(6+9)=8．
探究提高
4.C 5.B
6. 解：填“”
理由：∵四边形是平行四边形
，
，
在和中
．
7. 猜想：，
证明：
证明：如图19－1
四边形是平行四边形．
又
1.2平行四边形的判定
课时1 平行四边形的判定
课堂思维碰撞
预习小测
1. (1)分别相等 (2)对边平行且相等 2.平行四边
3.ABCD，DCFE；一组对边平行且相等，两组对边分别相等；
4.解：由于平行四边形对边平行，AD∥BC，
即AE∥CF，又 AE＝CF
所以四边形AFCE是平行四边形。
师生同台
一、平行四边形的判定定理1
例1.老师讲解
证法1：∵∠1=∠2，∴AB∥CD.
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
证法2：在△ABD和△CD B中，
∵AB=CD，∠1=∠2，BD=DB，
∴△ABD≌△CD B.
∴AD=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
创新火花：证明一个四边形是平行四边形时，若条件中告诉了一边相等，则优先考虑“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”和“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”。
二、平行四边形的判定定理2
证明：∵AD//BC，∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）。
∵∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB。
∴AB=BE（等角对等边）。
同理可得DF=CD。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），
∴BE=DF，
∴AF=EC，又∵AF//EC，
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
创新火花：在判定平行四边形时，若能从边、角、对角线角度来寻找各种判定方法的条件，常可得到不同的解法，这便是“一题多解”。
跟踪运用
1. D
2.答案不唯一，可以是：或等．
3.证法1：∵∠1=∠2，∴AB∥CD.
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形
证法2：在△ABD和△CD B中，
∵AB=CD，∠1=∠2，BD=DB，
∴△ABD≌△CDB.∴AD=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形
4.解：在ABCD中,∵AD∥BC,AD=BC,∴∠1=∠2,
∵∠AND=∠CMB=90°,∴△ADN≌△CBM.∴DN=BM,
∵DN⊥AC,BM⊥AC,∴DN∥BM,
∴四边形BMDN是平行四边形.
5.证明：∵DF//BE，
∴∠AFD=∠BEC。
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD=BC，∠DAF=∠BCE，
∴AD//BC，
即ADBC。
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
课后创新培养
综合拓展
1.
3. 解: ∵
∴
又∵
∴
∴∥即得是平行四边形
∴
∴四边形的周长
探究提高
3.解：在ABCD中，ADBC，
∵E、F分别为AD、BC的中点，
∴AEFC，EDBF，
∴四边形AFCE，EBFD都是平行四边形，
∴AF∥EC，BE∥FD，即GF∥EH，GE∥FH.
∴四边形EGFH为平行四边形。
4.证明：在矩形中，，．
由题意，得，
．
．．
又，四边形是平行四边形．
（2）解法1：在中，，，．
，．
在中，设，则．
根据勾股定理，得，
即．解得，即线段长为．
解法2：，
，
．．
设，则．．
解得，即线段长为．
课时2 平行四边形的判定
课堂思维碰撞
预习小测
1. 互相平分 分别相等
2.C 3.B
师生同台
一、平行四边形的判定定理
例1.老师讲解
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。
又∵E、F分别是AO、OC的中点，
∴OE=OA，OF=OC，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
创新火花：由于题目中出现了平行四边形及对角线，因此要注意利用其特征，对照各种判定方法的条件，显然具备对角线的条件，据此入手，可以解决问题。
二、利用平行四边形的判定证明线段相等
例2. 老师讲解
证明：连接AF、EC，连接AC交BD于点O。
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE//CF。①
又∵
∴AE=FC。②
由①，②知，AECF是平行四边形，∴OE=OF。
又∵ABCD是平行四边形，∴OB=OD，
∴OB-OE=OD-OF。
又∵BE=OB-OE，DF=OD-OF，∴BE=DF。
创新火花：本题利用三角形面积公式得到AE=CF，从而说明四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分，进而解决问题。
跟踪运用
1.C
2.证明：如图．
连结，交于点，连结，．
四边形是平行四边形
，
又
四边形是平行四边形
3. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD。
又∵AE=CF，∴OE=OF。
∴四边形BFDE是平行四边形。
课后创新培养
综合拓展
1.证明：连接AC，设与交于点．
∵四边形是平行四边形，∴，
又∵，∴．
∴四边形是平行四边形．
探究提高
2. 证明：(1)∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF．
∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∵E是AD的中点，∴ AE=DE．
∴△ABE ≌△DFE．
(2)四边形ABDF是平行四边形．
∵△ABE ≌△DFE ∴AE=DE BE=EF．
∴四边形ABDF是平行四边形．
3.
1.3 特殊的平行四边形
课时1 矩形的性质
课堂思维碰撞
预习小测
1.直角
2.（1）平行四边形 （2）直角 （3）对角线（4）斜边
3. C 4.B
师生同台
一、矩形的性质
例1.老师讲解
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
AO=OC=
∴AO=OC=OB=OD，∴∠1=∠2。
∵∠AOD=120°，∴∠1=∠2=30°。
在Rt△ADB中，设AB=xcm，则BD=2xcm，由勾股定理得：
，
∴AB=，BD=2，即AC=2。
友情提醒：
（1）在得“AO=OC=OB=OD”时，必须有前提“AC=BD，AO=OC=”而不可由矩形直接得出。
（2）在列式时，不要漏掉“括号”，否则就算成“”了。
（3）在矩形中，若对角线交点处有120°或60°的角，矩形中会出现两个等边三角形，有利于进一步计算或证明。
二、关于直角三角形的斜边中线问题
例2. 老师讲解
证明：连接ME、MF。
∵BE、CF是高，M是BC的中点，
∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴ME=MF。
又∵N为EF中点，∴MN⊥EF。
创新火花：已知条件中有直角三角形斜边中点时，要考虑运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行解题。
跟踪运用
1.D 2.B 3.A 4.8
5. 解：(1)在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相平分且相等，于是OA=OB.又∠AOB=60°，可知△AOB是等边三角形.
(2)OA=AB=4 cm,DB=CA=2OA=8 cm.
因此，对角线的长为8 cm.
课后创新培养
综合拓展
1. B 2. 60
3. 解：（1）．
（2）∵四边形是矩形，
又∵
探究提高
4. 解：在Rt△AEF和Rt△DEC中， ∵EF⊥CE， ∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠ECD．
又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC
∴Rt△AEF≌Rt△DCE．
AE=CD．
AD=AE+4．
∵矩形ABCD的周长为32 cm，
∴2（AE+AE+4）=32．
解得， AE=6 （cm）．
5. 解：（1）在中，
，
．
（2）矩形，对角线相交于点，
．
四边形是平行四边形，
，
．
又，
，
，
同理，，
第6个平行四边形的面积为．
课时2 矩形的判定
课堂思维碰撞
预习小测
1. （1）直角 （2）相等 （3）直角
2.D
3. 解：（2）平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形；
师生同台
一、矩形的判定
例1.老师讲解
　　
创新火花：判定一个平行四边形是矩形时，就是想法说明这个平行四边形有一个角是直角或两条对角线相等．
二、矩形的判定的应用
例2.教师讲解
解：（1）证明：∵MN//BC，∴∠OEC=∠BCE。
又∵∠OCE=∠BCE，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC。
同理可证OF=OC，∴OE=OF。
（2）解：∵CE、CF分别是∠ACB的内角、外角平分线，
∴∠OCE+∠OCF=，
即∠ECF=90°，所以还需四边形AECF是平行四边形。
又∵OE=OF，∴当O点运动到AC中点时，OA=OC，四边形AECF是矩形。
创新火花：（1）明确互为邻补角的平分线互相垂直；
（2）观察图形，归纳结论，特别是固定结论如本题（1）中的EO=FO，无论O在什么位置，总有EO=FO，这是解决动点问题的关键；
跟踪运用
1.B 2.D 3.①②③④
4. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴。
∵AO=BO，
∴AC=BD，
∴ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
在Rt△ABC中，
∵AB=4cm，AC=2AO= 8cm，
∴BC=，
∴SABCD=AB·BC=4×
5. （1）证明：，
是的中点，．，
．
，
，是的中点．
（2）四边形是矩形，
，是的中点
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形
课后创新培养
综合拓展
1.C
2. （1）解：．
理由如下：
∵，
四边形和四边形都是平行四边形.
∵．
又∵四边形是平行四边形，．
．
．
（2）证明：
∵四边形和四边形都是平行四边形，
．
∵．
又∵四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
探究提高
3. （1）证明：
∵，．
∵是的中点，．
又∵，． ．
∵，．
即是的中点．
（2）解：四边形是矩形，
证明：∵，，四边形是平行四边形．
∵，是的中点，．即．
四边形是矩形．
课时3 菱形
课堂思维碰撞
预习小测
1.(1)相等 (2)①相等 ②互相垂直 平分
(3)①相等 ②互相垂直
2.B 3.C 4.AD∥BC；AB=BC。
师生同台
一、菱形的性质
例1.老师讲解
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=AC，BO=BD。
∵AC=6cm，BD=12cm，
∴AO= 3cm，BO=6cm，
在Rt△ABO中，由勾股定理得
。
∴周长为。
创新火花：菱形的对角线互相垂直，可构成直角三角形，所以计算题往往要用到勾股定理。另外，若有一个内角为60°，则两邻边与较短对角线还可以构成等边三角形。
二、菱形的判定
例2.老师讲解
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE//CF，
∴∠1=∠2。
又∠AOE=∠COF，OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形。
又∵EF⊥AC，
∴AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
创新火花：若所证四边形中有对角线，我们可以利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来分两步即先证四边形不利因素，再证对角线垂直即可。
跟踪运用
1.D 2.A 3.5 4. 5. 60
6. （1）证明：∵MN是AC的垂直平分线
∴OA＝OC ∠AOD＝∠EOC=90°
∵CE∥AB ∴∠DAO＝∠ECO
∴△ADO≌△CEO
∴AD＝CE
（2）四边形ADCE是菱形．
课后创新培养
综合拓展
1.A 2.72
3. （1）在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，AD＝CD，
∵E、F分别为AB、CD的中点
∴AE=CF
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形.
探究提高
4.A 5.17
6. （1）证明：当时，，
又，
四边形为平行四边形．
（2）证明：四边形为平行四边形，
．
（3）四边形可以是菱形．
理由：如图，连接，
由（2）知，得，
与互相平分．
当时，四边形为菱形．
在中，，
，又，，
，
绕点顺时针旋转时，四边形为菱形．
课时4 正方形
课堂思维碰撞
预习小测
1. (1)相等
(2) ①相等 直角 ②互相垂直平分 ③两条对角线
(3) ①有一组邻边相等 对角线 ②直角 相等。
2.C 3. A 4.
师生同台
一、正方形的性质
例1.老师讲解
证明：∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，
∴AC=DC，CF=CB，∠ACD=∠BCF=90°（正方形的四个角都是直角，四条边都相等），
∴∠ACD+∠ACB=∠BCF+∠ACB，即∠ACF=∠DCB，
∴△ACF≌△DCB（SAS），∴AF=BD。
创新火花：正方形是特殊的四边形，可充分利用其四个角都是直角，四条边都相等来解题。
二、正方形的判定
例2. 老师讲解
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA。
又∵AA′=BB′=CC′=DD′，
∴D′A=A′B=B′C=C′D。
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′，
∴D′A′=A′B′=B′C′=C′D′，
∴四边形A′B′C′D′是菱形。
又∵∠2=∠3，∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠3=90°。
∵∠D′A′B′=180°-（∠1+∠3）=90°，
∴四边形A′B′C′D′是正方形。（有一个角是直角的菱形是正方形）
创新火花：（1）证明一个四边形是正方形，可先证此四边形为菱形，再证一个角为直角即可；
（2）本题也可以通过证明四边形A′B′C′D′是矩形，再证有一组邻边相等；
跟踪运用
1.C 2.C
3.正方形（对角线互相垂直的四边形均可） 4.3
5. 证明：因为四边形是正方形
所以
又BE 是公共边
所以
所以
6．（1）四边形BECF是菱形。
证明：EF垂直平分BC，
∴BF=FC,BE=EC,∴∠1＝∠2
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠4=90°
∠3+∠2=90°
∴∠3=∠4
∴EC=AE
∴BE=AE
∵CF=AE
∴BE=EC=CF=BF
∴四边形BECF是菱形
（2）当∠A=45。时，菱形BESF是正方形
证明：
∵∠A=45。, ∠ACB=90。
∴∠1=45。
∴∠EBF=2∠A=90。
∴菱形BECF是正方形
课后创新培养
综合拓展
1. C 2.
3. 证明：连接AC、PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，∴AP=CP。
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°，
∴四边形PECF为矩形，∴PC=EF，∴AP=EF。
探究提高
4.B
5.（1）证明：∵正方形和正方形
在和中，
（2）存在．绕点顺时针旋转得到（或将逆时针旋转得到）
6. 解：（1）cm，
是等边三角形．
又cm，
．
如图②作于点．
cm．
点到的距离为cm．
（2）
四边形是矩形．
又
，
矩形是正方形．
1.4 图形的中心对称
课堂思维碰撞
预习小测
1.180° 对称中心 对称点
2.(1)中心对称 (2)对称中心 对称中心
3.B 4. U，V，W，X，Y； X,Z；
师生同台
一、中心对称图形
例1.老师讲解
解析：可观察四个“风车”的风叶形状，每个“风车”的各风叶完全相同，其中第二个“风车”的风叶有方向，且方向一致，其他“风车”的风叶没有方向，第二、四个“风车”的风叶均有偶数个，且相对的两个风叶在同一直线上，因此旋转180°后能与自身重合。
答案：B。
创新火花：由于中心对称图形上的每一对对称点和对称中心均在同一直线上，且对称点连线被对称中心平分，因此其识别可从以下两个方面入手：
（1）基本图形的个数是偶数；
（2）相对的每两个基本图形均在一条直线上，且每对对称点到对称中心的距离相等。
二、中心对称
例2.老师讲解
解：如图所示，点O即为对称中心。
创新火花：解答本题的关键是确定对称点。
跟踪运用
1. A 2. C 3. D
4.答案不唯一，符合题意即可。
5. (1) △ABE (2) ∠DAF=40°
6．解：如图所示：
课后创新培养
综合拓展
1.A 2.C
3. （1）（2）
（3）写出坐标（0，0）
（4）是轴对称图形
探究提高
4.D 5. 2，18
6.
7. ⑴9﹕11；⑵答案不惟一，如图所示：
1.5 梯形
课堂思维碰撞
预习小测
1.(1) ①平行 不平行 ②平行 较短 较长
③不平行 ④垂直 ⑤相等 ⑥垂直
(2)①同一底上 ②相等 (3)同一底上
2.D 3.A
4.解：
师生同台
一、等腰梯形的性质
例1.老师讲解
解法一：如图，过点A作AE//DC，交BC于点E。
∵AD//BC，AE//DC，
∴四边形AECD是平行四边形，∴AE=DC，AD=EC。
∵AB=DC，∴AB=AE。∵∠BAD=120°，∴∠B=60°，
∵△ABE是等边三角形，∴AB=BE=5—2=3cm。
解法二：如图，作AE⊥BC，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F。
∵AD//BC，∠BAD=120°，∴∠B=60°，∴∠1=30°。
∵等腰梯形ABCD，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE=DF，AB=DC，∠B=∠C，∴△ABE≌△DCF，∴BE=FC，
∴。
在△ABE中，∠1=30°，∴AB=2BE=3cm。
创新火花：学会选择方法，经常跟同学交流可发现很多好方法、好思路，要学会选择，此题的解法一比解法二要简捷一些，提倡用解法一。
二、梯形的判定
例2.老师讲解
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠1=∠2=∠ABC，
∴△EBC≌△DCB（ASA），∴BE=CD，
∴AB—BE=AC—CD，即AE=AD。
∴∠ABC=∠AED=，∴ED//BC。
又∵EB与DC交于点A，即EB与CD不平行，
∴四边形EBCD是梯形，
又BE=CD，∴四边形EBCD是等腰梯形。
创新火花：本题的解题关键是证明ED//BC，EB=DC，易错点是忽视证明EB与CD不平行。
跟踪运用
1.A 2.D 3.17 4.9
5.提示：得
，由DC//AE,AD不平行CE得证
6. 解：（1）如图①，
作DE⊥BC于E，
∵ AD∥BC，∠B=90°，∴ ∠A=90°．又∠DEB=90°，
∴ 四边形ABED是矩形．∴ BE=AD=2， ∴ EC=BC-BE=3．
在Rt△DEC中，DE= EC·tanC ==4．
（2）如图②，作BF⊥CD于F．
方法一：在Rt△DEC中，∵ CD=5，
∴ BC=DC，又∠C=∠C， ∴ Rt△BFC≌Rt△DEC．
∴ BF= DE=4．
方法二：在Rt△DEC中，∵ CD=5， ∴ sinC=．
在Rt△BFC中，BF=BC·sinC==4．
课后创新培养
综合拓展
1.C 2.7
3.证明：(1)∵AD∥BC，AB=DC,∠B=60°
∴∠DCB＝∠B＝60°,∠DAC＝∠ACB
又∵AD=DC∴∠DAC＝∠DCA
∴∠DCA=∠ACB＝∴∠B+∠ACB＝90°
∴AB⊥AC
（2）过点A作AE⊥BC于E
∵∠B＝60° ∴∠BAE＝30°
又∵AB=DC＝6 ∴BE=3
∴
∵∠ACB＝30°，AB⊥AC ∴BC=2AB=12
∴
探究提高
4. （1）证明：．
又四边形是等腰梯形，， ．
．
（2）四边形是平行四边形， ．
．
由（1）可知，，．
所以，是等腰直角三角形，即，
．
四边形是等腰梯形，而，
． ．
5.解：（1）△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE；
① △CDA≌△DCE的理由是：∵AD∥BC， ∴∠CDA=∠DCE．
又∵DA=CE，CD=DC ， ∴△CDA≌△DCE．
或 ②△BAD≌△DCE的理由是：
∵AD∥BC，∴∠CDA=∠DCE．
又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠BAD=∠CDA，
∴∠BAD =∠DCE． 又∵AB=CD，AD=CE，∴△BAD≌△DCE．
（2）当等腰梯形ABCD的高DF=3时，对角线AC与BD互相垂直．
理由是：设AC与BD的交点为点G，
∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=DB．
又∵AD=CE，AD∥BC，∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE，AC∥DE．∴DB=DE． 则BF=FE，
又∵BE=BC+CE=BC+AD=4+2=6，∴BF=FE=3．
∵DF=3，∴∠BDF=∠DBF=45°，∠EDF=∠DEF=45°，
∴∠BDE=∠BDF+∠EDF=90°，
又∵AC∥DE
∴∠BGC=∠BDE=90°，即AC⊥BD．
1.6 中位线定理
课时1 三角形的中位线
课堂思维碰撞
预习小测
1.(1)中点 (2)平行 一半. 2.D
3.解：答案不唯一，如图所示：DE或DE′是中位线，CD是中线；
师生同台
一、三角形中位线定理
例1.老师讲解
解析：结合三角形的中位线的定义可知BC=2DE=2×6=12（cm）。
解：12。
创新火花：本题考查了三角形中位线的性质。
二、学科内综合题
例2.老师讲解
解：(1) CF=DE.理由如下：
∵D,E分别为AB,BC的中点,∴DE∥AC, DE=AC.
又∠ACB=90°, ∴CD=AB=DB,则∠B=∠BCD.
∵∠FEC=∠B,∴∠FEC=∠BCD,EF∥CD.
∴四边形DCFE是平行四边形.∴CF=DE.
(2) ∵AC=6,AB=10,∴BC=.
∴SDCFE=DE CE=
创新火花：本题综合考查了三角形的中位线性质和平行四边形的判定及面积计算公式。
跟踪运用
1.B 2.C 3.4 4.6 5.60
6. 解：四边形BCFD是菱形，理由如下：
∵点D、点E分别是AB、AC的中点
∴DE∥＝ 12BC
又∵△CFE是由△ADE旋转而得
∴DE=EF
∴DF∥＝ BC
∴四边形BCFD是平行四边形
又∵AB=2BC，且点D为AB的中点
∴BD=BC
∴BCFD是菱形
课后创新培养
综合拓展
1.60 2.3 3.18°
探究提高
4. D
5.或或等（任填一个满足题意的均可）；
6. 解：如图，分别连结BG，BH，BD交AC于O ，
∵ E是AB中点，AG=GH ∴ EG是△ABH的一条中位线 ，　
∴ EG//BH，即GD//BH 同理可证BG//DH ，　　
∴ 四边形BHDG是平行四边形。∴ BO=OD，GO=OH。
又∵ AG=HC　 ∴ AG+GO=HC+OH ，　　即AO=OC　
又BO=OD（已证） ∴ 四边形ABCD是平行四边形。
课时2 梯形的中位线
课堂思维碰撞
预习小测
1.(1)两腰 (2)平行 两底和
2.22cm. 3.20cm 4. 8：5
师生同台
一、梯形的中位线定理
例1.老师讲解
解析：连结MN，∵M、N分别是AD和BC的中点，
∴MN是梯形ABCD的中位线，
又∵将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，
∴M和N关于DE对称，即MF=NF
又∵AE=2MF,BE=FN
∴AE：BE=2MF：FN=2FN：FN=2：1.
创新火花：本题抓住M、N是梯形两腰的中点，连结MN构成梯形中位线是解决问题的关键。通过运用梯形中位线定理，发现BE=FN=MF这个结论，从而使问题迎刃而解。
跟踪运用
1.A 2.D 3.A 4.C 5.16
6.解：如图，过点D作DG∥AC，交BC的延长线于点G，则AD=CG，AC=DG
课后创新培养
综合拓展
1.C 2.B
3.（1）证明：∵梯形，，
∴，
∴．
（2） 由（1），
又是的中点，
∴，
∴
又∵，，
∴，得．
∴，
∴．
探究提高
4.B
5.解：连结，且相交于点，
为点到的距离，
∴OO1为直角梯形的中位线 ，
∴；
同理：．
∴．
（2）不一定成立．分别有以下情况：
直线过点时，；
直线过点与点之间时，；
直线过点时，；
直线过点与点之间时，；
直线过点时，；
直线过点与点之间时，；
直线过点时，；
直线过点上方时，．