人教版八年级数学上册15.2分式的运算 教案（4课时）

人教版八年级数学上册第十五章
15.2　分式的运算
导学案
15．2.1　分式的乘除
第1课时　分式的乘除
教学目标
1.理解分式乘除法的法则．
2.会进行分式乘除运算．
预习反馈
阅读教材P135～137，完成下面练习题：
1.复习回顾：(1)×＝＝.
(2)×＝＝.
(3)÷＝×＝＝＝.
(4)÷＝×＝＝.
分数的乘除运算法则：
1．两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母．
2．两个分数相除，把除数的分子、分母颠倒位置后，再与被除数相乘．
3．类比分数的乘除运算法则，总结出分式的乘除运算法则：
(1)乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；
(2)除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
用式子表达：·＝；÷＝·＝.
例题讲解
知识点1　分式的乘除运算
例1　计算：
(1)·；　(2)÷.
解：(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝·＝－＝－.
【点拨】　运算结果应化为最简分式．
【跟踪训练1】　计算：
(1)·；　(2)÷8x2y；　(3)－3xy÷.
解：(1)原式＝＝.
(2)原式＝·＝＝.
(3)原式＝－3xy·＝－＝－.
【点拨】　整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的分式．注意变换过程中的符号．
例2　计算：
(1)·；
(2)÷.
解：(1)原式＝·
＝
＝.
(2)原式＝·
＝·
＝
＝－.
【跟踪训练2】　计算：÷.
解：原式＝·
＝·
＝
＝.
知识点2　分式的乘除的实际应用
例3　如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a
m(a>1)的正方形去掉一个边长为1
m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a－1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500
kg.
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
解：(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2－1)m2，单位面积产量是
kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是(a－1)2m2，单位面积产量是
kg/m2.
∵a>1.∴(a－1)2>0，a2－1>0.
由图可得(a－1)2∴<.
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高．
(2)÷＝·＝＝.
所以，“丰收2号”小麦的试验田面积是(a－1)2m2，单位面积产量是
kg/m2.
∵a>1.∴(a－1)2>0，a2－1>0.
由图可得(a－1)2∴<.
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高．
【跟踪训练3】　写出教材P135第15.2.1节中问题1和问题2的计算结果．
解：问题1：·＝.
问题2：÷＝·＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
巩固训练
1．下列计算对吗？若不对，要怎样改正？
(1)·＝1；(2)÷a＝b；
(3)·＝；(4)÷＝.
解：(1)对．(2)错．正确的是.(3)错．正确的是－.
(4)错．正确的是.
2．计算：÷(x＋3)·.
解：原式＝··
＝··
＝－.
【点拨】　分式的乘除要严格按照法则运算，除法必须先换算成乘法，如果分式的分子或分母是多项式，那么就把分子或分母分解因式，然后约分，化成最简分式．运算过程一定要注意符号．
3．先化简，再求值：·，其中x＝6.
解：原式＝·＝.
当x＝6时，原式＝.
课堂小结
1．分式的乘除运算法则．
2．分式的乘除法法则的运用．
第2课时　分式的乘方及乘除混合运算
教学目标
1．理解分式乘方的运算法则．
2．熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算．
预习反馈
阅读教材P138～139例5，完成下面的练习题：
1．回顾幂的运算法则：
(1)am·an＝am＋n；　(2)am÷an＝am－n；
(3)(am)n＝amn；　(4)(ab)n＝anbn．
2．计算：()2；()3；()10.
解：()2＝·＝＝.
同理()3＝；()10＝.
3．类比上面的例题归纳：()n＝·…·＝＝．
分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．
4．判断下列各式是否成立，并将错误的改正．
(1)()2＝；(2)()2＝；
(3)()3＝；(4)()2＝.
解：(1)错．正解：()2＝＝.
(2)错．正解：()2＝＝.
(3)错．正解：()3＝＝－.
(4)错．正解：()2＝＝.
【点拨】　做乘方运算要先确定符号并正确运用幂的运算法则．
例题讲解
知识点1　分式的乘除混合运算
例1　计算：÷·.
解：原式＝··＝.
【点拨】　乘除混合运算可以统一为乘法运算．
【跟踪训练1】　计算：
(1)·÷；(2)÷·.
解：(1)原式＝··＝.
(2)原式＝··＝－.
知识点2　分式的乘方
例2　(教材P139例5)计算：
(1)()2；　(2)()3÷·()2.
解：(1)原式＝＝.
(2)原式＝··＝··＝－.
【点拨】　分式的混合运算的顺序与数的混合运算一样，先乘方，再乘除．
【跟踪训练2】　计算：()2÷(a－1)·.
解：原式＝··＝.
【点拨】　复杂的分式混合运算，要注意：①能分解因式的就先分解因式；②化除法为乘法；③分式的乘方；④约分化简成最简分式．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
巩固训练
1．计算：
(1)()3；
(2)÷()2；
(3)()2÷·()3.
解：(1)原式＝＝－.
(2)原式＝·＝.
(3)原式＝··＝－.
2．化简求值：÷·[]2，其中a＝－2，b＝3.
解：原式＝；求值结果：－.
3．化简求值：÷()2·，其中a＝，b＝－3.
解：原式＝ab；求值结果：－.
课堂小结
1．分式乘方的运算．
2．分式乘除法及乘方的运算方法．
15．2.2　分式的加减
第1课时　分式的加减　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教学目标
1．熟练地进行同分母的分式加减法的运算．
2．会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减．
预习反馈
阅读教材P139～140，完成下面的练习题：
1．观察思考：
(1)＋＝；(2)－＝－；
(3)＋＝＋＝；(4)－＝－＝.
同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减．
异分母分数相加减，先通分，再把分子相加减．
2．类比分数的加减，分式的加减法则如下：
(1)同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．
用字母表示为：＋＝；－＝．
(2)异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
用字母表示为：＋＝；—＝．
3．(1)＋＝；
(2)－＝；
(3)＋＝；
(4)－＝．
例题讲解
例1　(1)课本问题3中的＋＝．
(2)课本问题4中的－＝．
例2　计算：
(1)－；
(2)＋.
解：(1)原式＝＝＝＝.
(2)原式＝＋＝＝.
【点拨】　1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；2.注意：过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式．
【跟踪训练】　计算：(1)＋－；
(2)＋；
(3)－.
解：(1)原式＝＝0.
(2)原式＝＋＝.
(3)原式＝－＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
巩固训练
1．计算：(1)－；(2)－.
解：(1)原式＝＝1.
(2)原式＝－＝.
2．阅读下面题目的运算过程：
－＝－……①
＝x－3－2(x＋1)……②
＝x－3－2x＋2……③
＝－x－1……④
上述计算过程，从哪一步出现错误，写出该步代号②；
(1)错误的原因是漏掉了分母；
(2)请写出正确的计算过程．
解：原式＝－
＝
＝－.
课堂小结
1．分式加减运算的方法思路：
2．分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误．
3．分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式)．
第2课时　分式的混合运算
教学目标
1．灵活应用分式的加减法法则．
2．会进行分式加减乘除混合运算．
预习反馈
阅读教材P141“例7、例8”，完成下面的练习题：
1．分数的混合运算顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减．
类比分数的混合运算法则你能猜想出分式的混合运算顺序吗？试一试．
分式的混合运算顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减．
2．计算：
(1)1－÷·；
(2)1＋－；
(3)()2÷(＋)．
解：(1)原式＝1－··＝1－＝.
(2)原式＝1＋－＝＋－＝＝＝.
(3)原式＝÷＝·＝.
【点拨】　严格按照计算顺序计算，在计算过程中，分式前面是“－”号时，计算时一定要注意符号变化．
例题讲解
例1　计算：()2·－÷.
解：()2·－÷＝·－·＝－＝－＝＝＝.
例2　(教材P141例8)计算：
(1)(m＋2＋)·；
(2)(－)÷.
解：(1)原式＝·
＝·
＝·
＝－2(m＋3)
＝－2m－6.
(2)原式＝[－]·
＝·
＝
＝.
【跟踪训练】　计算：
(1)()2·－÷；
(2)·()2－(－)．
解：(1)原式＝·－·
＝－
＝－
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
＝.
(2)原式＝·－[－]
＝－
＝－
＝.
巩固训练
1．计算：
(1)(1＋)·；
(2)÷(1－)；
(3)x＋y＋.
解：(1)原式＝·＝.
(2)原式＝÷＝·＝.
(3)原式＝＋
＝
＝.
2．先化简，再求值：÷－2，其中x＝2.25，y＝－2.
解：原式＝÷－2
＝·－2
＝－
＝－.
当x＝2.25，y＝－2时，原式＝－＝－9.
【点拨】　在运算过程中，要注意：
(1)分式乘方不要漏乘；
(2)加减计算要注意符号；
(3)和整数或整式相加减时注意把整式或整数看成分母是1的整式或整数，通分后再计算；
(4)化简求值，一定要换成最简分式再求值．
课堂小结
1．“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减．在这里要注意分数线的作用．
2．注意分式和分数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减．
3．运算结果，能约分的要约分，要化成最简分式．