青岛版八年级数学下册6.3.3 特殊的平行四边形 菱形 课件(共59张PPT)

(共59张PPT)
一起放飞理想的翅膀
在知识的天空中自由翱翔
6.3特殊的平行四边形(3)
菱
形
情景创设
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么图形?
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,又会得到什么特殊的四边形呢?
想一想
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？
平行四边形
菱形
活动一：
让我们一同走进生活中的菱形
菱形就在我们身边
图片欣赏
菱形是轴对称图形
探究菱形的性质
(2)从图中你能得到哪些结论?并说明理由.
提示:从边、角、对角线、等方面来探讨
(1)观察得到的菱形,
它是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴?
对称轴之间有什么位置关系?
由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，
故：
菱形的性质2：
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四
边形的所有性质.
菱形的性质：
菱形的性质1：
菱形的四条边都相等。
又：
符号语言
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图，
证明：∵四边形ABCD是菱形
在△ABD中，　　
又∵BO=DO
∴AB=AD（菱形的四条边都相等）
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD
同理：
AC平分∠BCD；
BD平分∠ABC和∠ADC
求证：AC⊥BD
；
AC平分∠BAD和∠BCD
；BD平分∠ABC和∠ADC
命题：菱形的对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角；
符号语言
∵四边形ABCD是菱形
∴
AC⊥BD
AC平分∠BAD和∠BCD
；
BD平分∠ABC和∠ADC
菱形的
两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行且相等
边
对角线
角
数学语言
菱形的性质
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角。
∵四边形ABCD是菱形
∴
AB=BC=CD=DA
∴
∠DAC=∠BAC
∠DCA=∠BCA
∠ADB=∠CDB
∠ABD=∠CBD
AC⊥BD
∴
OA=OC;OB=OD
∴
∠DAB=∠DCB
∠ADC=∠ABC
∴
∠DAB+∠ABC=
180°
练一练
3cm
C
【菱形的面积公式】
O
E
S菱形=BC●AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能
计算菱形的面积公式吗?
ABCD=S△ABD+S△BCD=
BD
.OA+
BD.OC
=
AC×BD
S菱形
面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
S菱形
1、菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的面积。
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O
议一议
（2）有哪些特殊的三角形？
（1）图中有哪些线段是相等的？
学以致用
1.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______.
2、菱形的面积为24cm2,一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长为
_____
3、已知菱形的两个邻角的比是1：2，
较短的对角线长是
8cm，则菱形的周长为
。
想一想
我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
根据定义得：
命题：有四条边相等的四边形是菱形。
已知：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形
证明：
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形
四条边都相等的四边形是菱形.
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
判定方法2：
数学语言
探究
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
猜想：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵AC⊥BD;
∴BA=BC
判定方法3：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
∵在□ABCD中，AC⊥BD
∴
□ABCD是菱形
数学语言
菱形常用的判定方法：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
有四条边相等的四边形是菱形。
归纳：
菱形的判定：
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中
AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中
AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
一组邻边相等的平行四边形是菱形
文字语言
图形语言
符号语言
判定法一
判定
法二
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
判定法三
四边相等的四边形是菱形
下列三个图形都是菱形,正确吗?为什么？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
有四条边相等的四边形是菱形。
如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a。
证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正三角形。
A
B
C
D
E
F
例1、已知：AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形。
变式训练：把本例中的“DE//AC交AB于E，
DF
∥AB交AC于F”改成“EF垂直平分AD”，其他条件不变，你能否证明四边形AEDF是菱形？
例题解析：
证明：连结AC
∵四边形ABCD是菱形
∴AD∥BC，
∵∠BAD=120°
∴∠B=60°
在菱形ABCD中，已知∠BAD=120°
，AE
⊥
BC，垂足为E.
求证:E是BC的中点.
∴△ABC为等边三角形
AB=BC
∵AE⊥BC
∴E为BC中点
三、课堂练习（复习巩固）
1、菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形
的周长
，面积
。
2、菱形的面积为24cm2,一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长为
；边长为
。
3、已知菱形的两个邻角的比是1：2，较短的对角线长是
8cm，则菱形的周长为
。
由此可进一步推导得出：对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半。
例1：如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠BAD＝2
∠ABC。对角线AC、BD相交于点O，求这个菱形的对角线长和面积。
变式题（1）：菱形两条对角线长为6和8，菱形
的边长为
，面积为
。
（2）：菱形ABCD的面积为96，对角线
AC长为16
，此菱形的边长为
。
（3）:菱形对角线的平方和等于一边平方
的
（
）
A.
2倍
B.
3倍
C.4倍
D.
5倍
5
4
10
C
例2：菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AB、AD的中点，求证：OE＝OF。
A
B
C
D
E
F
变式题（1）：菱形ABCD
,E、F分别ABCD的中点，求证：CE=CF.
（2）如果上题中还有CE⊥AB,
CF⊥AD,求各内角的度数
例3：如果菱形的一个角是1200，那么这个角的顶点向两条对边所引的两条垂线分别平分两边。
3.
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，
求证：四边形BEDF是菱形．
跟踪训练：
1
2
3
4
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC,OA=OC
∴∠1=∠2
，
∠3=∠4
∴△DEO≌△BFO
∵OB=OD，BD⊥EF
∴四边形BEDF是菱形
∴OE=OF
A
B
C
D
E
F
已知如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD
上的点，且∠B=
∠
EAF=60
,
∠
BAE=18,
求∠
CEF的度数.
思考：已知：菱形中ABCD，∠A=72°,请设计三种不同的分法，将菱形ABCD分成四个三角形，使得每一个三角形都是等腰三角形。
练一练
1.菱形的定义:
是菱形
2.菱形的性质:①菱形的四条边
，
②菱形的对角线
，并且每一条对角线一组
对角.
3.下列说法不正确的有
(填番号)
①菱形的对边平行且相等.②菱形的对角线互相平分
③菱形的对角线相等.④菱形的对角线互相垂直.
⑤菱形的一条对角线平分一组对角.⑥菱形的对角相等.
4.菱形的面积公式:①
②
.
5.菱形既是
图形，又是
图形.
课堂练习
练一练
3cm
C
8、如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，
求证：EB=OA；
7、已知，菱形对角线长分别为12cm和16cm，求菱形的高。
例1变形
菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数比为1：2．
⑴求菱形ABCD的对角线的长；
⑵求菱形ABCD的面积．
补充例题：已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=1。
求（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC、BD的长；
（3）菱形ABCD的面积。
大显身手
例1
如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，
∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m
）
O
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
　　　　　　　　　　　　　　
1.你的收获是什么？你的困惑是什么？
2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识吗？
课堂反思
四、课堂小结：矩形和菱形的性质
矩形
菱形
定义
有一个角是直角的平行四边形
有一组邻边相等的平行四边形
性
质
1、具有平行四边形的一切性质
2、四个角都是直角
3、矩形的对角线相等
1、具有平行四边形的一切性质
2、菱形的四条边都相等
3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
作
业
5、7、10
1、2、
成功就是99%的血汗，加上1%的灵感。
——爱迪生　　　　　　　　　　　　　　
再见！
（1）.下列命题中正确的是（
）
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
C
（2）.对角线互相垂直且平分的四边形是（
）
A.矩形
B.一般的平行四边形
C.菱形
D.以上都不对
C
（3）.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（
）
A.AC⊥BD,AC与BD互相平分
B.AB=BC=CD=DA
C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD
D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
C
1、选择：
当堂达标
2、判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
（
）
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（
）
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等
的四边形是菱形；
（
）
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一
组对角的四边形是菱形．
（
）
3、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC
交AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：四边形AEDF是菱形．
∴
□AEDF是菱形
证明：∵DE∥AC
DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形
∵
DE∥AC
∴∠2=∠3
∵
AD是△ABC的角平分线
∴
∠1=∠2
∴AE=DE
∴
∠1=∠3
4、已知：如图,□
ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．
求证：四边形AFCE是菱形
∵EF垂直平分AC
∴AO=CO,
∠AOE=90°
∴∠FOC=∠AOE=90°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
AD∥BC
∴AE∥FC
∴∠AEO=∠CFO
∴△AEO≌△CFO
证明：
∴OE=OF
又∵AO=CO
∴四边形AFCE是平行四边形
又∵EF⊥AC
∴四边形AFCE是菱形
跟踪训练：
如图,O是矩形ABCD的对角形交点,DE∥AC,CE∥BD.
求证:四边形OCED是菱形.
例题解析：
如图,在□ABCD中,AE平分∠BAD,EF∥AB,交AD于点F.
求证:四边形ABEF是菱形
解：
∵
AE平分∠BAD
∴∠1=∠2
∵
EF∥AB
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴AF=FE
1
2
3
∴四边形ABEF为菱形
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∵AB∥EF
∴四边形ABEF为平行四边形
5、　
已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：EF⊥AD；
大显身手
2．已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.
求证：四边形AEDF是菱形.
跟踪训练：
证明：
∵
AD是△ABC的角平分线
∴∠1=∠2
∵
DE∥AC
∴∠3=∠2
∴∠1=∠3
∴AE=ED
1
2
3
∵
DE∥AC，
DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形
∴四边形AFCE是菱形
6、如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。
7、如下图在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于C，EF⊥BC于F，四边形AEFG是菱形吗?