12.2
一次函数
第5课时
一次函数的应用——方案决策
教学目标:
1．能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式．
2．能将简单的实际问题转化为数学问题(建一次函数)，从而解决实际问题．
3．在应用—次函数解决问题的过程中，体会数学的抽象性和应用的广泛性．
重
点:理解正比例函数和一次函数图象的性质.
难
点；培养学生用“数形结合”的思想方法解决数学问题的能力.
一．课前预习与导学：
1已知一次函数y=90x+5,则当x=2时,
y=
，当y
=365时,
x=
。
2.某校办工厂现年产值是30万元，如果每增加1000元，投资一年可增加2500元产值。那么总产值y（万元）与增加的投资额x（万元）之间的函数关系式为
。
3.某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元。
①写出每月电话费y
(元)与通话次数x之间的函数关系式；
②分别求出月通话50次、100次的电话费；
③如果某月的电话费是27.8元，求该月通话的次数。
二、课堂学习与研讨
例1：暑假里，参加英语夏令营的同学乘车去上海，从宝应车站出发，经宝应大道上京沪高速，直达上海。已知从宝应车站至京沪高速这段宝应大道长为5千米，在行车途中小华看了一下汽车的里程表显示已走了225千米；到上海车站的时候小华看了一下时间，车子约在高速上行驶了4小时。
（1）整个过程中，若车子在高速上是匀速行驶的，车速为110千米/时，用x表示在高速上行驶的时间，用y表示行驶的总路程，则y关于x的函数关系式是：
；（2）当小华在途中看里程表时，汽车大约已在高速上行驶了多长时间？（3）你能根据小华所提供的信息得出宝应到上海大约有多少千米吗？
例2：参加英语夏令营的同学参观了一些景点，拍摄了很多照片，用了三卷胶卷。结束后，冲洗三卷胶卷并根据同学们的需要加印照片。已知冲洗胶卷的价格是3元/卷，加印100张以内，0.5元/张；加印超过100张可进行优惠，前100张按0.5元/张收费，超过部分按0.4元/张收费。
(1）.试写出冲印合计的费用y（元）与加印张数x之间的函数关系式；
(2）.如果去的6名同学每人加印10张，则冲印共需多少钱？如果共加印150张，则冲印共需多少钱？
（3）英语夏令营活动结束后老师结余99元，那么冲洗胶卷后还可以加印照片多少张？你能画出本题包含的函数图象吗？
三．随堂练习：
1.某种储蓄的月利率是0.8%，存入100元本金后，本息和y（元）与所存月数x之间的函数关系式是
；
2.按照我国税法规定：个人月收入不超过800元，免缴个人所得税．超过800元
不超过1
300元部分需缴纳5%的个人所得税．试写出月收入在800元到1
300元之间的人应缴纳的税金y（元）和月收入x（元）之间的函数关系式．
3..某市出租车计费标准如下：
行程不超过3千米，收费8元；超过3千米部分，按每千米1.60元计算．求车费元和行驶路程千米之间的函数关系式，并分别求出当路程为2.5千米和7千米时应付的车费．
4.气温随高度的升高而下降.下降的一般规律是从地面到高空11km高处，每升高1km，气温下降6℃；高于11km时，气温几乎不再变化.设某处地面气温20℃，该处高空x
km处气温为y℃.
（1）当0≤x≤11时，求y关于x的函数关系式
（2）画出该处气温随高度（包括高于11km）而变化的图象；
（3）试分别求出该处在离地面4.5km及13km的高空处的气温.
5．（09安徽）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．
（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．
（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．
金额w（元）
O
批发量m（kg）
300
200
100
20
40
60
PAGE12.2
一次函数
第4课时
一次函数的应用--分段函数
定义：一般地，如果有实数a1，a2，a3……k1,k,2k3……b1,b2,b3……且a1≤a2≤a3……函数Y与自变量X之间存在
k1x+b1
x≤a1
y
=
k2x+b2
a1≤x≤a2
①
的函数解析式，则称该函数解析式为X的分段函数。
K3x+b3
a2≤x≤a3
…
…
…
…
应该指出:(一),
函数解析式①这个整体只是一个函数,并非是Y=K1X+b1
Y=K2X+b2……等几个不同函数的简单组合,而k1x+b1,
k2x+b2
……是函数Y的几种不同的表达式.。所以上例中Y=｛
这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说110X和110×80%X是同一函数中的自变量X在两种不同取值范围内的不同表达式。
(二),由于k1,k2,k3……b1,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数,如正比例
函数和常数函数。
(三),由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。
(四),
一次函数的分段函数是简单的分段函数。
分段函数应用题
分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。
收费问题与我们的生活息息相关,如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例.
一、话费中的分段函数
例1
（四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图象如图1所示：
（１）月通话为100分钟时，应交话费 元；
（２）当x100时，求与之间的函数关系式；
（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？
图1
分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的正比例函数,当x100时,
月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的一次函数.
解：（1）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元；
（2）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b
由图上知：x=100时,y=40；x=200时,时，y=60
则有 ,解之得
所求函数关系式为..
（3）把x=280代入关系式,得
即月通话为280分钟时，应交话费76元．
二、水费中的分段函数
例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图2.
(1)
分别写出当0x15和x15时,y与x的函数关系式;
(2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?
分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知,
0x15时y是x的正比例函数;
x≥15时,y是x的一次函数.
解:
(1)当0x15时,设y=kx,把x=15,y=27代入,得27=15k,所以k=,所以y=x;当x15时,设y=ax+b,将x=15,y=27和x=20,y=39.5代入,得
解得a=2.5,b=-10.5
所以y=2.5x-10.5
图2
(2)
当该用户该月用21吨水时,
三、电费中分段函数
例3
(广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：
（1）分别写出当0x100和x100时，y与x的函数关系式；
（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；
（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？
图3
分析:从函数图象上看图象分为两段,当0x100时,电费y是电量x的正比例函数,当x100时,y是x的一次函数,且函数图象经过点(100,65)和(130,89),设出相应的函数关系式,将点的坐标代入即可确定函数关系式,根据函数关系式可解决问题.
解:
(1)设当0x100时,函数关系式为y=kx,将x=100,y=65代入,得k=0.65,所以y=0.65x;
设当x100时,函数关系式为y=ax+b,将x=100,y=65和x=130,y=89代入,得
解得a=0.8,b=-15.所以y=0.8x-15
综上可得
(2)用户月用电量在0度到100度之间时,每度电的收费的标准是0.65元;超出100度时,每度电的收费标准是0.80元.
(3)用户月用电62度时,用户应缴费40.3元,若用户月缴费105元时,该户该月用了150度电.
分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。它是考查分类思想，读取、搜集、处理图像信息等综合能力的综合题。这些分段函数都是直线型。
通常是正比例函数的图像和一次函数的图像构成。下面我们归纳分析如下，供学习时参考。
1、二段型分段函数
1.1正比例函数与一次函数构成的分段函数
解答这类分段函数问题的关键,就是分别确定好正比例函数的解析式和一次函数的解析式。
例1某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元．
（1）完成此房屋装修共需多少天？
（2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？
解析：设正比例函数的解析式为：y=k1x，
因为图象经过点（3，），所以，=
k1×3，所以k1=，所以y=x，0＜x＜3
设一次函数的解析式（合作部分）是y=k2x+b，（是常数）
因为图象经过点（3，），（5，），所以，
由待定系数法得：，解得：．
一次函数的表达式为，所以，当时，，解得
完成此房屋装修共需9天。
方法2
解：由正比例函数解析式可知：甲的效率是，乙工作的效率：
1、
乙合作的天数：（天）
甲先工作了3天，完成此房屋装修共需9天
（2）由正比例函数的解析式：y=x，可知：甲的工作效率是
，
所以，甲9天完成的工作量是：，
甲得到的工资是：（元）
评析：在这里未知数的系数的意义是表示他们的工作效率。
例2、一名考生步行前往考场，
10分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图2所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（
）
A．20分钟
Ｂ．22分钟
Ｃ．24分钟
D．26分钟
解析：步行前往考场，是满足正比例函数关系，
设正比例函数的解析式为：y=k1x，
因为图象经过点（10，），所以，=
k1×10，所以k1=，所以y=x，0＜x＜10
由正比例函数解析式可知：甲的效率是，
所以，步行前往考场需要的时间是：1÷=40（分钟），
乘出租车赶往考场，是满足一次函数关系，
所以，设一次函数的解析式是y=k2x+b，（是常数），
因为图象经过点（10，），（12，），所以，
由待定系数法得：，解得：解得：，
一次函数的表达式为：，所以，乘出租车赶往考场用的时间是：x=÷，解得：x=6分钟，
所以，先步行前往考场，后乘出租车赶往考场共用时间为：10+6=16分钟，
所以，他到达考场所花的时间比一直步行提前了：40-16=24（分钟），
故选C。
评析：在这里未知数的系数的意义是表示他们的行使速度。
例3、某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．
（1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；
（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？
解析：
(1)
由图3可得，
当0≤t≤30时，市场日销售量y与上市时间t的关系是正比例函数，
所以设市场的日销售量：y=kt，
∵
点（30，60）在图象上，
∴
60=30k．
∴
k=2．即
y=2t，
当30≤t≤40时，市场日销售量y与上市时间t的关系是一次函数关系，
所以设市场的日销售量：y=k1t+b，
因为点（30，60）和（40，0）在图象上，
所以
，
解得
k1=－6，b=240．
∴
y=－6t+240．
综上可知，
当0≤t≤30时，市场的日销售量：y=2t，
当30≤t≤40时，市场的日销售量：y=-6t+240。
(2)
由图4可得，
当0≤t≤20时，市场销售利润w与上市时间t的关系是正比例函数，
所以设市场的日销售量：w=kt，
∵
点（20，60）在图象上，
∴
60=20k．
∴
k=3．即
w=3t，
当20≤t≤40时，市场销售利润w与上市时间t的关系是常数函数，
所以，w=60，
∴
当0≤t≤20时，产品的日销售利润：m=3t
×2t
=6t2
；
∵k=6＞0，所以，m随t的增大而增大，
∴
当t=20时，产品的日销售利润m最大值为：2400万元。
当20≤t≤30时，产品的日销售利润：m=60×2t
=120t，
∵k=120＞0，所以，m随t的增大而增大，
∴
当t=30时，产品的日销售利润m最大值为：3600万元；
当30≤t≤40时，产品的日销售利润：m＝60×(-6t+240)=-360t+14400；
∵k=-360＜0，所以，m随t的增大而减小，
∴
当t＝30时，产品的日销售利润mm最大值为：3600万元，
综上可知，当t＝30天时，这家公司市场的日销售利润最大为3600万元．
评析：本题不仅考查同学们对分段函数意义的理解，而且同时还考查了同学们对分类思想的掌握情况，和对一次函数性质的理解和应用。
1.2一次函数与一次函数构成的分段函数
例4、为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图5所示．
（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖
励小强家务劳动的？
（2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？
解：（1）从图象上可知道，小强父母给小强的每月基本生活费为150元
；
当0≤x≤20时，y（元）是x（小时）的一次函数，不妨设y=k1x+150，
同时，图象过点（20，200），所以，200=k1×20+150，
解得：k1=2.5，所以，y=2.5x+150，
当20＜x时，y（元）是x（小时）的一次函数，不妨设y=k2x+b，
同时，图象过点（20，200），（30，240），
所以，，
解得：k2=4，b=120，所以，y=4x+120，
所以，如果小强每月家务劳动时间不超过20小时，每小时获奖励2.5元；
如果小强每月家务劳动时间超过20小时，那么20小时按每小时2.5元奖励，超过部分按每小时4元奖励
（2）从图象上可知道，小强工作20
小时最多收入为200元，而5月份得到的费用为250元，大于200元，所以说明4月小强的工作时间一定超过20小时，所以应选择分段函数中当20＜x时的一段，所以，由题意得，，
解得：x=32.5
答：当小强4月份家务劳动32.5小时，5月份得到的费用为250元．
评析：本题不仅考查同学们对分段函数意义的理解，而且同时还考查了同学们对分类思想的掌握情况，和对分段函数的选择能力。
1.3常数函数与一次函数构成的分段函数
例5、有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示．
（1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是
元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为
元；
（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？
解析：1）从图6，可以看出，这是常数函数与一次函数构成的分段函数，
当0≤t≤100时，话费金额y=20；
当t＞100时，话费金额y是通话时间t的一次函数，不妨设y=kt+b，
且函数经过点（100，20）和（200，40），
所以，,解得：k=0.2，b=0,所以，y=0.2t,
所以,甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是20元；当甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为0.2元；
2)仔细观察表1,可以知道乙公司每月通话收费y=0.15t+2.5,
当0≤t≤100时，甲公司的话费金额y=20；乙公司通话收费y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5,
所以,李女士如果月通话时间不超过100分钟，她选择乙通迅公司更合算；
因为，0.15t+2.5=0.2t，所以，t=500，
所以，当通话时间t=500分钟时，选择甲、乙两家公司哪一家都可以；
因为，0.15t+2.5＞0.2t，所以，t＜500，
所以，当通话时间100＜t＜500分钟时，选择甲公司；
因为，0.15t+2.5＜0.2t，所以，t＞500，
所以，当通话时间t＞500分钟时，选择乙公司；
2、三段型分段函数
例6
如图7，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（
）
解析：
1）、当0≤x≤1，y=×x×2=x；如图8所示；
2）、当1＜x≤3，y=1×2-××2-×（x-1）×1-××（3-x）
=；如图9所示；
3）当3＜x≤3.5，y=×（-x）×2
=-x；如图10所示；
所以C、D两个选项是错误的，又因为函数y=中的k=-＜0，所以直线整体应该是分布在二、一、四象限，所以选项B也是错误的，所以选A。
评析：对于运动型问题，关键是根据题意借助分类的思想用变量x分别出图形的面积。在表示面积时，要注意整体思想的运用。
3、四段型分段函数
例7、星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发2小时到达目的地，游玩3小时后按原路以原速返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图11，是他们离家的路程y(千米)与时间x(时)的函数图像。已知小强骑车的速度为15千米/时，妈妈驾车的速度为60千米/时。
(1)小强家与游玩地的距离是多少？
(2)妈妈出发多长时间与小强相遇？
解析：
1）
当0≤x≤2，路程y(千米)是时间x(时)的正比例函数，且k=15，所以y=15x；
所以，当x=2时，y=2×15=30，所以，小强家与游玩地的距离是30千米。
2）
当2＜x≤5，路程y(千米)是时间x(时)的常数函数，所以y=30；
当5＜x，路程y(千米)是时间x(时)的一次函数，且k=-15，所以，设y=-15x+b，
又图象过点（5，30），所以30=-75+b，所以b=105，所以直线BD的解析式为：y=-15x+105；
仔细观察图象，可知道点C的坐标为（，0），且k=60，所以，设y=60x+b，
所以0=280+b，所以b=-280，所以直线CD的解析式为：y=60x-280；
设妈妈出发t小时出与小强相遇，所以，60
t
-280=-15t+105，
解得，t=，
所以，妈妈出发经过：-=小时与小强相遇。
4、五段型分段函数
例8、小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象.
（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？
（2）求小明出发两个半小时离家多远？
（3）求小明出发多长时间距家12千米？
解：（1）由图象可知小明到达离家最远的地方需3小时；此时，他离家30千米
（2）设直线CD的解析式为y=k1x+b1,由C（2，15）、D（3，30），
代入得：y=15x-15（2≤x≤3）
当x=2.5时，y=22.5（千米）
答：出发两个半小时，小明离家22.5千米.
（3）设过E、F两点的直线解析式为y=k2x+b2，
由E（4，30）、F（6，0），代入得y=-15x+90,(4≤x≤6)，
过A、B两点的直线解析为y=k3x，
∵B（1，15）∴y=15x.(0≤x≤1)
分别令y=12，得x=（小时），x=（小时）
答：小明出发经过小时或小时，离家12千米。
PAGE12.2
一次函数
第2课时
一次函数的图象和性质
【教学目标】
知识与技能：会画一次函数的图象
过程与方法：
利用数形结合的思想，分析一次函数与正比例函数的联系及一次函数的性质
情感态度与价值观：
感受事物之间普通性与特殊性的关系
【教学重难点】：
重
点：一次函数图象的画法
难
点：根据一次函数的图象特征理解一次函数的性质
【教学过程】
一．
复习提问，引入新课
1.什么叫正比例函数、一次函数？他们之间有什么联系？
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫正比例函数
一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数，叫一次函数
当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx，所有说正比例函数是特殊的一次函数
2.正比例函数的图象是
3.正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)中，k的正负对函数图象有什么影响？
y=kx
图
象
性
质
k>0
经过一、三象限，y随
x的增大而增大
k<0
经过二、四象限，y随x的增大而减小
既然正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图象是直线，那么一次函数的图象也是
直线吗？他们图象间有什么联系？一次函数又有什么性质呢？
二．探究新知，合作学习
1．在同一坐标系中画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象，比较两个函数的图象，探究他们
的联系。
列表
描点
连线
X
-2
-1
0
1
2
y=-6x
y=-6x+5
y
y=-6x+5
y=-6x
5
0
1
x
结果：这两个函数的图象形状都是
，并且倾斜程度
，函数y=-6x的图象经
过原点，函数y=-6x+5的图象与y轴交于点
，即它可以看作由直线y=-6x向
平移
个单位长度而得到。
推广：
（1）
所有一次函数y=kx+b的图象都是
;
（2）
直线y=kx+b与直线y=kx
;
（3）
直线y=kx+b可以看作由直线y=kx
得到，
当b>0时，向上平移b个单位长度;
当b<0时，向下平移b个单位长度。
2.用两点法在同一坐标系中画出y=2x-1与y=0.5x+1的图象。
总结：画一次函数的图像时，只要描出合适关系式的两点，再连接两点即可，我们通常选取（0，b）和（-
，0
）这两个点，也就是选取图像与x轴和y轴的交点坐标。
3.一次函数性质：
在同一坐标系中用两点法画出函数
y=x+1，
y=-x+1，
y=2x+1
y=-2x+1的图象
合作探究:观察上面四个一次函数的图象，类比正比例函数y=kx中k的正负对图象的影响,表述一次函数的性质
y
y=2x+1
y=x+1
1
0
x
y=-2x+1
y=-2x
．
当K>0时,图象呈上升趋势，y随x增大而增大
当K<0时,图象呈下降趋势，y随x增大而减小
三．小结
告诉大家本节课你的收获
1.
会画:用两点法画一次函数的图象
2.
会求:一次函数与坐标轴的交点
3.
会用:一次函数的性质
四．作业
教学反思
PAGE12.1
函数
第2课时
函数的表示方法
教学设计思想：
本节课通过对函数关系表示方法的进
一步研究，使学生加深对函数概念的了解，认识到三种表示方法能使数和形统一起来。给学生提供探索的空间，视探索的进程进行适当的引导。
教学目标：
知识与技能
通过实例了解函数的三种表示方法；
从具体问题中了解函数各种表示方法的特点。能选择恰当的方法表示实际问题中函数的关系。
过程与方法
经历动手操作、探究和合作交流的过程，进一步体会各种表示方法的特点。
情感态度价值观
初步体会数形结合的思想方法。
教学重点：
函数关系的三种表示方法。
教学难点：
对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析。
教学方法：
合作探究、小组讨论
教学安排：
1课时。
教具准备：
多媒体
教学过程：
用适当的方法表示函数，能够帮助我们更好地认识函数，并运用函数解决问题。
我们已经看到，用表达式、图形、表格等都可以表示两个变量之间的函数关系．现在，我们对这些表示方法作进一步的研究．
人们发现，声音在空气中传播的速度(简称音速)随气温的变化而变化．某研究者通过实验得到了这样一些关于气温x与音速y对应的数据:
x/°C
－10
－5
0
5
10
15
20
y/(m/s)
325.36
328.36
331.36
334.36
337.36
340.36
343.36
实际上，这就是用表格表示的关于音速y与气温x之间的函数关系．
（一）一起探究
1．你还能用其他方法表示音速y与气温x之间的函数关系吗?
2．这些表示方法有什么特点?
在前面学习函数的基础上，探究把表格表示的函数关系用表达式和图形来表示．
从表格中可以看出，气温x每升高(或降低)5(℃)，音速y就增加(或减少)3(m／s)．也就是说，气温x每升高(或降低)1(℃)，音速
y就增加(或减少)(m／s)．而当x=0时，)y=331.36(m／s)．这样，音速y(m／s)和气温x(℃)之间的函数关系就可以表示为．
这个表达式更加全面、准确地反映了音速y(m／s)和气温x(℃)之间的对应关系．利用它，可以方便地得到与x(℃)值对应的y(m／s)的值．如，当气温x为－4(℃)时，音速y为
(m／s)，当气温x为28(℃)时，音速y为
(m／s)……
音速y(m／s)与气温x(℃)之间的函数关系，还可以借助于图形表示出来，具体可以这样做：
1．画出直角坐标系，用横轴上的点表示气温x(℃)，用纵轴上的点表示音速y(m／s)，如图21—4所示．
2．借助于表格(或表达式)，找出x和y的若干对对应值，如(－5，
328．36)，(0，331．36)，(5，334．36)，
(10，337．36)，(15，340．36)，…．分别以每对值为横、纵坐标，确定出坐标系中相应的点(图21—4)．
3．用平滑的线将这些点连结，就得到音速y(m／s)和气温x(℃)之间用图形表示的函数关系(图21—4)．
把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．
（二）做一做
下表是2003年汛期某水库自8月1日至8月10日的水位记录：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
水位/m
8.3
8.5
8.4
8.6
8.3
7.9
7.6
7.3
6.9
6.4
(1)试用图像表示水位与日期的函数关系．
(2)从哪天起水位开始全面回落?
通过学生的探究和交流，用图像表示函数关系，并从图像中获取更多的信息．
(2)从第4天起水位开始回落．
（三）练习
小明的父母出去散步，从家走了20min到一个离家900m的报亭，母亲随即按原速度返回，父亲看了10min报纸后，用了15min返回家．请根据关于离家的路程y(m)和时间x(min)的函数图像回答：
(1)哪幅图像表示父亲离家的路程y与时间x的关系?
(2)哪幅图像表示母亲离家的路程y与时间x的关系?
(3)针对余下的两幅图像各讲述一段与之相符的故事．
答案
(1)D；(2)BI(3)略．
（四）小结
引导学生总结本节的主要知识点。
（五）板书设计
函数关系的表示法一起探究做一做练习第12章
一次函数
12.1
函数
第1课时
变量与函数
一、素质教育目标
（一）知识教学点：
1．使学生了解函数的意义，会举出函数的实例，并能写出简单的函数关系式；
2．了解常量、变量的意义，能分清实例中出现的常量，变量与自变量和函数．
（二）能力训练点：培养学生观察、分析的能力．
（三）德育渗透点：
1．通过常量、变量、函数概念的学习，培养学生会运用运动、变化的观点思考问题；2．通过例题向学生进行生动具体的知识来源于实践反过来又作用于实践的辩证唯物主义教育；
3．通过函数的教学，使学生体会事物是互相联系和有规律变化着的．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：是在了解函数、常量、变量的基础上，能指出实例中的常量、变量，并能写出简单的函数关系式．因为函数关系式是画函数图象的基础．
2．教学难点：是对函数意义的正确理解．因为它是判断一个式子是否是函数的依据．
3．教学疑点：
①常量中写不写1；
②常量的数值包不包括“-”号；
三、教学步骤
（一）明确目标
在前面我们已经知道本章将学习有关一种量随另一种量变化的一些基本问题，这其实是函数问题．今天这节课我们就来学习数学中的一个重要的基本概念——函数．
（二）整体感知
请同学们先看两个实际问题：（出示幻灯）
问题1：某粮店在某一段时间内出售同一种大米，请大家思考：在整个的售米过程中出现了哪些量？其中哪些量是变化的？这其中有没有不变的量？
由学生讨论回答．
答：共出现了米的千克数、每千克米的价格、总价三个量，其中千克数和总价是随着顾客的需购量的不同而变化的，但每千克米的价钱即单价是不变的．
问题2：我们生活在美丽的海滨城市，我们知道大海的脾气是捉摸不透的，她有时暴躁不安，有时却温柔善良．试想，当海上风平浪静时，若我们将一块石头投入海中，我们将会发现水面上有怎样的变化？
答：水面上出现一圈圈圆形的水波纹，如图13-6．（出示幻灯）
那么，在这一变化过程中，圆的半径r，周长C和面积S是怎样变化的呢？圆的周长和直径2r的比值又是怎样的呢？
第一个问题很简单，学生可直接得到答案，针对第二个问题的回答结果可再提问：你是怎样得到圆的周长和直径2r的比值是不变的呢？这个比值是什么呢？
由上面的两个例子我们可以看到，在某一具体过程中有些量是可以取不同的数值的，如以上两例中的大米的千克数、总价、圆的半径r周长C以及面积S，我们称之为变量；而有些量在整个过程中都保持不变，例如米的单价与圆周率π，我们称之为常量．
但请大家注意：常量和变量并不是绝对的，而是相对的．例如：（出示幻灯）
（1）从大连到北京，如果我们乘坐火车，且火车的速度保持不变，在这一过程中，哪些量是变量，哪些量是常量？
这个问题的答案有很多种，引导学生回答：随着时间的不同，距北京的距离不同；但速度是不变的．
（2）从大连到北京，如果我们一部分人坐火车，一部分人乘飞机，在这一过程中，哪些量是变量，那些量是常量？
引导学生回答：距离不变，但随着两种交通工具速度的不同，到北京的时间也不同．
这两个问题都可由学生讨论、回答．通过这两个问题可以向学生进行对立统一的辩证唯物主义教育．
在日常生活中，工农业生产和科学实验中，常量和变量是普遍存在的，但数学所要研究的是某一变化过程中的两个量之间的关系，即它们是怎样互相制约、互相联系的．例如：大米的千克数与总价，圆的半径与面积之间的关系，这就是我们今天要学习的数学中一个很重要的基本概念——函数．
现在，我们就来研究什么叫函数？
首先，我们来看问题1：在售米的过程中，米的千克数和总价这两个量有什么关系？
给学生一定的时间讨论，由学生回答后加以总结：对于米的千克数，每确定一个值，就有唯一的总价与它相对应．
提问：（1）大家试想，若每千克大米售价2.40元，我们用字母n表示大米的千克数，字母m表示总价，那么n与m之间有怎样的关系式呢？
（2）若买5千克大米，应付多少钱？若买25千克大米呢？
这两问主要是为了让学生从实际问题体会一下对应的关系．
再来看问题2：（1）请大家考虑，若已知圆的半径为r，我们应怎样计算它的面积呢？
（2）半径r与面积S有怎样的关系呢？
总结：对于每一个半径r的值，面积S都有唯一的确定值与它相对应．
类似于这种变量间相互依存的关系还有很多，我们就不再一一例举．由上面两个例子中的共同特点，你能否总结出函数的概念呢？
教师提出问题之后，先由学生讨论，再由一名同学给出他的叙述方式，交由大家讨论，若完全正确，则教师可以加以肯定表扬之后，再强调其中的关键词语，然后板书；若回答的不完善，可由其他同学再接着补充，直到补充正确、完整之后（若学生不能总结完整，教师可适当给以提问性的铺垫）再强调关键词语，然后板书．此处是本节课的重点和难点，一定不能操之过急．
板书：一般地，设在一个变化过程中有两个量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．
例1?
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形面积S（m2）与一边长L（m）之间的关系式，并指出式中的常量与变量，函数与自变量．（出示幻灯）
此题较简单，可由学生独立完成，完成之后，可适当给予几个数值加以计算，强化学生对定义中“唯一的”的理解．
练习：1,
2,
3．口答．
2．补充：（出示幻灯）
下列表达式是函数吗？若是函数，指出自变量与函数，若不是函数，请说明理由：
由学生加以讨论回答．
答：（1）、（2）、（3）是函数，其中x是自变量，y是x的函数；
（4）不是函数．因为对于每一个x的值，y不是有唯一的值与它对应．（注意学生在说明原因时的语言，一定要正确．）
提问：由练习（4）说明了什么问题？
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
函数的概念是本章的一个重点，而函数的概念又是从两个量之间的关系得到的，因此本节课从两个实际问题入手，首先让学生分清什么是常量，什么是变量，接着让学生总结变量之间的关系，从而得出函数的概念，为了使学生能正确地理解函数的概念中的“唯一的”这三个字的含义，可给出数字，让学生代入式子中加以验证，最后又给出一道补充练习题，让学生能更深层次地理解这个概念．
（四）总结、扩展
教师提问，学生思考回答：
1．这节课我们主要学习了哪些知识？
2．你能否举出函数的例子？
这个问题的答案不确定，主要是为了让学生熟悉函数的概念，在学生举例的过程中，若发现问题，应及时加以纠正．
3．这节课我们还学习了常量和变量，请你回答：自变量和函数是什么量？
四、布置作业
?
PAGE12.2
一次函数
第1课时
正比例函数的图象和性质
一、教学目标：
教学目标
知识技能
学习正比例函数及其图象画法、性质和应用
数学思考
培养学生的观察能力、数形结合能力、探索规律能力、解决实际问题能力
解决问题
利用正比例函数及其图象解决实际问题
情感态度
认识数学知识与实际生活相联，体验学习有价值的数学过程
重点
正比例函数及其图象性质
难点
正比例函数的增减性
二．教具准备：方格纸、直尺、多媒体课件
三．教学流程:
1.复习引入
（1）函数（提问）一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是变量，y是x的函数．（2）变化过程（解释）（3）问题：汽车以60/千米时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，请先填下表:
t/时
1
2
3
4
5
6
s/千米
再写出s关于t的函数关系式
.
2.问题展示
【问题】1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；4个月零1周后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它
(一个月按30天计算)
．
（1）这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？
（2）这只燕鸥的行程y（单位：千米）与飞行时间x（单位：天）之间有什么关系？
（3）这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米？
（4）对这个问题你还能提出什么结论．
分析：（1）这只燕鸥大约平均每天飞行的路程不少于25600÷（30×4+7）≈200（km）.
（2）假设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（单位：千米）就是飞行时间x（单位：天）的函数，函数解析式为y=200x(0
x
127).
（3）这只燕鸥飞行1个半月的行程，大约是x=45时的函数y=200x的值，即y=200×45=9000(km).
（4）略．
3.共同思考
下列问题中变量对应规律可用怎样的函数表示？这些函数有什么共同点？
（1）圆的周长l
随半径r的大小变化而变化？
（2）铁的密度为7.8g/cm?,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm?）的大小变化而变化；
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；
（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化．
可以得出上面问题中的函数分别为：
（1）l=2
r?
?（2）m=7.8V
（3）h=0.5m???（4）T=-2t
4.归纳定义
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数（proportional
function）,其中k叫做比例系数．
5.共同参与
请你举出一些实际问题，使问题中的变化规律是正比例函数的形式．
6.例题讲解
为了研究正比例函数的性质，我们是通过研究正比例函数图象性质而达到的，因此例题是画出正比例函数图象．
先给同学们提一个问题：
描点法画函数图象的一般步骤是列表、描点、连线
例1.画出下列正比例函数的图象：（1）y=2x????????（2）y=-2x
解：（1）y=2x①列表：
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
Y
②描点：③连线：
⑵y=-2x
①列表：
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
Y
②描点：③连线：
通过观察例1中两图象可以发现：
两图象都是经过点的线，函数y=2x的图象从左向右
，经过第
象限；函数y=-2x的图象从左向右
，经过第
象限．
7.课堂练习
在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较：
⑴y=
x;???????????????????
⑵y=-
x.
设问：通过例题讲解和课堂练习，你认为画正比例函数的图象时，有没有更简单一点的方法？为什么？
8.本课小结
一般地，正比例函数的y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1,k）的直线，我们称之为直线y=kx，当k>0时，直线y=kx经过三、一象限从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限从左向右下降，即随着x的增大y反而减小．
9.当堂练习：
1）.正比例函数y=kx（k为常数，k<0）的图象依次经过第________象限，函数值随自变量的增大而_________．
2）．若x、y是变量，且函数y=（k+1）xk2是正比例函数，则k=_________．
3）．下列函数中，y是x的正比例函数的是（）
A．y=4x+1
B．y=2x2
C．y=-x
D．y=1/x
4）．已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y=-3x上的两点，且x1>x2，则y1与y2的大小关系是（
）
A．y1>y2
B．y1C．y1=y2
D．以上都有可能
5）．若函数y=（1-m）x+m-3是正比例函数，则m的值是（
）
A．m=-3
B．m=1
C．m=3
D．m>-3
10、教学反思：
练习：
1、下列函数中，那些是正比例函数？______________
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）y=
（6）
y=x
2.关于x的函数是正比例函数，则m__________
3.已知正比例函数，若随的增大而增大，则的取值范围是（
）
A.k<0
B.k>0
C.
D.
4.已知正比例函数的图像过第二、四象限，则（
）
A、y随x的增大而增大
B、y随x的增大而减小
C、当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减少；
D、不论x如何变化，y不变。
5.当时，函数的图像在第（
）象限。
A、一、三
B、二、四
C、二
D、三
6.函数的图像经过点P（-1，3）则k的值为（
）
A、3
B、—3
C、
D、
7.设函数是正比例函数，且图像过一、三象限，则m的值为
。
8.
在函数y=2x的自变量中任意取两个点x,x,若x＜x,则对应的函数值y与y的大小关系是y___y.
9．已知y与x-2成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时x的值
10.已知点A(-2，3),B(5，m)在正比例函数的图象上，求m的值。
PAGE12.2
一次函数
第3课时
用待定系数法求一次函数的解析式
教学目标
1．知识与技能
会用待定系数法求解一次函数的解析式．体会二元一次方程组的实际应用．
了解两个条件确定一个一次函数；一个条件确定一个正比例函数.
2．过程与方法
经历探索求一次函数解析式的过程，感悟数学中的数与形的结合．
3．情感、态度与价值观
培养抽象的数学思维和与人合作的学习习惯，形成良好的学习态度．
重、难点与关键
1．重点：待定系数法求一次函数解析式．
2．难点：灵活运用有关知识解决相关问题.
3．关键：熟练应用二元一次方程组的代入法、加减法解一次函数中的待定系数．
教学方法
采用“问题解决”的方法，让学生在问题解决中感受一次函数的内涵．
教学过程
一、创设情景，提出问题
1.复习：画出函数y=2x,
的图象
2引入新课：在上节课中我们学习了再给定一次函数表达式的前提下，可以说出它的图象的特征及有关性质；反之，如果给你函数的图象，你能不能求出函数的表达式呢？这就是这节课我们要研究的问题。
2．提出问题，形成思路
1.求下图中直线的函数表达式。
分析与思考:(1)题是经过原点的一条直线，因此是正比例函数，可设它的表达式为y=kx
,将点（1,2）代人表达式得2=k,从而确定该函数的表达式为y=2x.
（2）题设直线的表达式为y=kx+b,因为此直线经过点（0,3），（2,0），因此将这两个点的坐标代人，可得关于k、b的二元一次方程组，从而确定了k、b的值，确定了表达式.(写出解答过程)
2.反思小结：确定正比例函数的表达式需要一个条件，确定一次函数的表达式需要两个条件。
初步应用，感悟新知
【例4】已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．
【思路点拨】求一次函数y=kx+b的解析式，关键是求出k、b的值，从已知条件可以列出关于k、b的二元一次方程组，并求出k、b．
【教师活动】分析例题，讲解方法．
【学生活动】联系已学习的二元一次方程组，以此为工具，解决问题，参与教师讲例，主动思考．
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b．
依题意得：
这个一次函数的解析式为y=2x-1．
像这样先设出一次函数的解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法。
师生整理归纳
【方法流程】
【教师活动】引导学生归纳总结出：
数学的基本思想方法：数型结合.
二、随堂练习，巩固深化
三、巩固练习
1.
根据图象求解析式
2.已知一次函数的图象,
如何求函数的解析式？
四、课堂小结
五、布置作业
板书设计
14.2.2
一次函数(3)1、用待定系数法求解一次函数的解析式例：2、方法流程
练习：
y=2x
图1
图2
图1
图2
1、已知：y是x的正比例函数，当x=2时，y=6，求y与x的函数表达式
2、一次函数图象经过点（0，2）和点（4，6）。求出一次函数的表达式。
y
x
0
(3,5)
(-4,-9)
3
5
-4
-9
1.求函数解关系的一般步骤:“一设、二列、三解、四写”
2.数形结合解决问题的一般思路.
PAGE12.2
一次函数
第6课时
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式
教材分析：
本节课教学内容是数形结合思想的又一体现，引导学生从函数的角度来思考方程与不等式的问题，体会数学思维的多元性。主要教学一元一次方程的解、一元一次不等式的解集与一次函数图象的对应关系，从而根据图象求解一元一次方程和一元一次不等式。初步感知方程、不等式、函数三个数学模型间的关系，以及他们各自能够解决的问题类型，为后续学习打下基础。
教学目标：
知识与技能：
1、理解一元一次方程的解，一元一次不等式的解集与一次函数图象间的对应关系。
2、会用图象法解一元一次方程和一元一次不等式。
3、初步感知方程、不等式、函数三个数学模型间的关系。
过程与方法：
1、通过观察、联想、思考等数学活动，得出一元一次方程的解、一元一次不等式的解集与一次函数的图象之间的对应关系，发展学生的合情推理能力。
2、体验数学结合思想的意义，逐步提高学生借助这一思想分析问题和解决问题的能力。
情感、态度与价值观：
增强学生合作交流的意识，培养学生独立思考的习惯，同时让学生感受到数学与实际生活的联系。
教学重、难点：
重点：
1、理解一元一次方程，不等式与一次函数的转化关系及本质联系。
2、学会利用图象法解一元一次方程和一元一次不等式。
难点：
用图象法求一元一次不等式的解集
教学过程：
一、复习导入
1、复习直线x=a和=b以及借助他们如何把坐标系划分成三部分。
2、通过转化解决问题：
（1）、已知函数y=2x+6,当x=1时，求y的值。
（2）、已知函数y=2x+6,当y=4时，求x的值。
（3）、已知函数y=2x+6,当y>4时，求x的取值范围。
3、明晰课题并板书：
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式
二、探究新知
1、一元一次方程与一次函数
问题①：（1）解方程：2x+6=0
（2）已知一次函数y=2x+6，问x取何值时，y=0?
（1）、学生活动1：
用自己的方法解决，并做简单的比较。
（2）、学生活动2：
画出一次函数y=2x+6的图象，观察图象与x轴的交点，看看它的坐标与方程2x+6=0的解有什么关系？
（3）、学生活动3：
由此你能得到什么结论？
引导：我们把一元一次方程都写成kx+b=0(k≠0)的形式，看看他的解与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点坐标有什么联系？
（4）、教师明晰：
一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解，从图象上看就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。反之也成立。
（5）、拓展、延伸：
直线y=kx+b与x轴交点的横坐标对应kx+b=0的解，那么该图象上其他点的横坐标是否也是各自对应的方程的解呢？
2、一元一次不等式与一次函数
问题②：根据一次函数y=2x+6的图象，你能分别说出一元一次不等式2x+6>0和2x+6<0的解集吗？
（1）学生活动：
2x+6>0和2x+6<0分别可以转化成什么问题？从图象上看，哪部分图象可以满足题目的要求？这部分图象上点的横坐标有什么特点？
（2）、教师明晰：
图象
对应的自变量x的范围
2x+6>0
y>0
位于x轴上方的部分
x>-3
2x+6<0
y<0
位于x轴下方的部分
x<-3
（3）归纳总结：
一元一次不等式kx+b>0的解集是直线y=kx+b位于x轴上方的部分的自变量的取值范围。
一元一次不等式kx+b<0的解集是直线y=kx+b位于x轴下方的部分的自变量的取值范围。
3、方程、不等式、函数的联系
（1）引导学生结合方程、不等式、函数对应的图象思考三则之间的关系。
（2）结合生活实例加深学生对三个数学模型间关系的理解。
例如：树苗（或学生的身高等）高度随时间变化时，何时高度达到100厘米？超过100厘米？低于100厘米？
y
想知道整个的变化过程又怎么办？
三、教学例题
例7
画出函数y=-3x+6的图象，结合图象：
（1）、求方程-3x+6=0的解
（2）、求不等式-3x+6>0和-3x+6<0的解集
讲解并板书过程：
解：过（2，0）和（0，6）画函数y=-3x+6的图象
0
x
图象与x轴的交点坐标为（2，0）
由图象可知：
（1）方程-3x+6=0的解是x=2
（2）不等式-3x+6>0的解集是x<2
不等式-3x+6<0的解集是x>2
强调并规范做题的步骤与格式。
四、巩固练习
五、课堂小结
1、图象法解一元一次方程和一元一次不等式的方法和步骤。
2、方程、不等式、函数三个数学模型间的关系。
六、布置作业：
七、教学反思：
PAGE12.4
综合与实践
一次函数模型的应用
教学目标:
1.学会建立一次函数模型的方法；?
2.能用一次函数解决简单的实际问题；?
3.能结合对函数的关系式的分析，尝试对变量的变化规律进行预测。
教学重点：建立一次函数的模型。
教学难点：建立一次函数的模型，解决实际问题。
教学过程：
1.
引入：求一次函数解析式是我们本学期函数学习的主要内容，掌握建立一次
函数模型以及在实际问题中利用一次函数解决问题，才是我们学习的目的。现实生活或具体情境中的很多问题或现象都可以抽象成数学问题，并通过建立合适的数学模型来表示数量关系和变化规律，并求出结果和讨论结果的意义。下面，我们一起看看昨天大家写的学案。
二、学案初步学习讲解
2、小明根据某个一次函数关系式填写了下表:
其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看，该空格里原来填的数是多少？解释你的理由。
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
∵当x=0时，y=1，当x=1时，y=0.
所以当x=-1时，y=4。
3、为了提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，王强同学做了水龙头漏水实验，他用于接水的量筒最大容量为100毫升。他在做实验时，每隔10秒观察量筒中水的体积，记录的数据如表：（漏出的水量精确到1毫升）。
时间t(秒)
10
20
30
40
50
60
70
漏出的水量V(毫升)
2
5
8
11
14
17
20
（1）如果王强同学继续试验，请探究多少秒后量筒中的水会满而溢出。
（2）按此漏水速度，一小时会漏水多少千克？（精确到0.1千克）
解：按下面步骤解决上述问题。
①在这个问题中有几个变量？自变量和因变量是什么？它们之间是函数关系吗？
解：有两个变量，自变量是时间t，因变量是漏出的水量V。它们之间是函数关系。
②根据实验得到的数据，把时间和漏水量的每一组对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在坐标系中描出这些点。
解：
③观察这些点的分布有什么特点？从而猜测出时间t和漏水量V之间是什么函数关系？
解：这些点的分布近似一条直线，我们可以推测漏水量V和时间t之间是一次函数关系。
4
根据已知数据用待定系数法求函数的表达式。
解：“设V与t的函数关系式为V=kt+b，
根据表中数据知：当t=10时，V=2；当t=20时，V=5，
所以，
解得：，
所以V与t的函数关系式为
⑤用所求的函数解决实际问题。
解（1）由题意得：
解得
所以337秒后，量筒中的水会满面开始溢出；
（2）一小时会漏水×3600﹣1=1079（毫克）=1.079（千克）≈1.1千克；
三、学案深化学习讲解
例1、（P57问题1）奥运会每4年举办一次，奥运会的游泳记录在不断地被突破，如男子400m自由泳项目，1996年奥运会冠军的成绩比1960年的提高了约30s.下面是该项目冠军的一些数据：
年份
冠军成绩（s）
年份
冠军成绩（s）
1980
231.31
1996
227.97
1984
231.23
2000
220.59
1988
226.95
2004
223.10
1992
225.00
2008
221.86
根据上面资料，能否估计2012年伦敦奥运会时该项目的冠军成绩？
按下面步骤解决上述问题
（1）在这个问题中有几个变量？自变量和因变量是什么？它们之间是函数关系吗？
解：有两个变量，自变量是年份x，因变量是冠军成绩y。它们之间是函数关系。
（2）以年份为x轴，每4年为一个单位长度，1980年为原点，1980年对应的成绩是231.31s，那么在坐标系中得到的点为（0，231.31）。请写出其他各组数据在坐标系中对应的点的坐标，并在坐标系中描出这些点。
SHAPE
\
MERGEFORMAT
（3）观察描出的点的分布情况，猜测两个变量x、y之间是何种函数关系？
解：它们之间是一次函数关系。
（4）用待定系数法求出函数的解析式。
解：这里我们选取从原点向右的第三个点（1，231.23）及第7个点（7，221.86）的坐标代入y=kx+b中,得
解方程组可得：k=-1.63,
b=232.86
所以，一次函数的解析式为：y=-1.63x+232.86
（5）根据所得的函数预测2012年和2016年两届奥运会的冠军成绩。
解：当把1980年的x值作为0，以后每增加4年得x的一个值，这样2012年时的x值为8，把x=8代入上式，得y=-1.63×8+232.86=219.82(s)
这样2012年时的x值为9，把x=9代入
x
-1
0
1
y
2
4
0（1980）
230
1（1984）
2（1988）
3（1992）
4（1996）
5（2000）
6（2004）
7（2008）
8（2012）
y/s
x/年
210
220
200
240
·
·
·
·
·
·
·
·
PAGE12.3
一次函数与二元一次方程
教学目标
【知识与技能】
1.学会用函数图象来解二元一次方程组.
2.通过学习,了解方程组的解在坐标平面内的意义.
【过程与方法】
1.经历探索、思考等教学活动和思维过程,发展学生的合情推理能力,能有条理地、清晰地阐述观点.
2.让学生体验数形结合的思想和解决问题的方法,提高解决问题的能力.
3.体会解决问题的多种途径,发散学生的思维,发展学生的创新能力和实践能力.
【情感、态度与价值观】
在探究过程中发展学生的合作交流意识和独立思考精神,增强学生对数学思维、数学方法的好奇心和兴趣.
重点难点
【重点】
用图象法解二元一次方程组.
【难点】
归纳用图象法解二元一次方程组的具体步骤.
教学过程
一、创设情境,导入新知
教师多媒体出示:
方程3x+2y=6的解有多少个?你能画出以这个方程的解为坐标的所有点组成的图形吗?
师:你能将方程3x+2y=6化成一次函数的形式吗?
生:能.
教师找一名学生板演,其余同学在下面做,最后订正得到方程3x+2y=6的一次函数形式是y=-x+3.
师:对于这个函数,前面我们讲过它的图象的画法,在画它的图象时,我们取两个满足这个关系式的点,但是不是上面的其余的点的坐标代入这个方程也是成立的呢?
学生思考.
教师多媒体出示:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x+3
…
学生填表.
师:对于表中每一对x、y的值代入方程3x+2y=6都成立,所以每组有序数对都是方程3x+2y=6的解.可见,二元一次方程3x+2y=6有无数多组解,以这些有序数对为坐标,请同学们在坐标平面内描点作图,就能得到二元一次方程3x+2y=6对应的函数图象.
学生描点作图,教师指导.
教师多媒体出示:
学生纠正.
师:由上可知,二元一次方程3x+2y=6的图象就是一次函数y=-x+3的图象,它是一条直线.
二、共同探究,获取新知
教师多媒体出示:
1.在平面直角坐标系内画出下列二元一次方程对应的图象:(1)x+y=0;(2)3x+y=6;(3)4x-5y+10=0.
师:我们平时画的是形如y=kx+b的一次函数的图象,对于上面这三种形式的图象应怎样画呢?
生:把它变成y=kx+b的形式,然后根据一次函数图象的画法来画.
师:很好!有没有其他方法来作出这些二元一次方程的图象呢?
生:不用变形,直接找出这条直线上两点的坐标.
师:你怎样找出这条直线上的两点呢?
生:对x取两个不同的值x1、x2分别代入等式,求出相应的两个y1、y2的值,这样得到的(x1,y1)(x2,y2)就是直线上不同的两点.
师:很好,现在请同学们从以上我们讨论得到的两种方法中选择一种作图.
学生作图,教师巡视指导,最后集体订正得到:
(1)x+y=0对应的函数图象为:
(2)3x+y=6对应的函数图象为:
(3)4x-5y+10=0对应的函数图象为:
2.下列有序数对,哪些是二元一次方程3x+y=6的解?
A(3,-3),B(6,-10),C(-3,15).
师:请大家判断一下.
生:A、C是,B不是.
师:对,你是怎样判断的呢?
生:把(3,-3)代入方程左边得3×3+(-3)=6,右边=6,左边=右边,所以A点的坐标是方程3x+y=6的解.把(6,-10)代入方程左边得3×6+(-10)=8,与方程右边不等,所以B点的坐标不是此方程的解.把(-3,15)代入方程左边,得3×(-3)+15=6,与方程右边相等,所以C点的坐标是此方程的解.
三、层层推进,深入探究
师:一般地,任何一个二元一次方程都可转化为一次函数的形式,所以每个二元一次方程的图象都是一条直线,这样,解二元一次方程组就转化为在平面直角坐标系里研究两条直线的交点问题了.现在请大家建立一个直角坐标系,并在这个坐标系中画出方程x+2y=2的图象l1与方程2x-y=-6的图象l2.
学生作图,教师巡视指导,要求作图要精确,因为图象的精确性直接影响结果.
师:它们是否交于一点?
生:是.
师:这个交点的坐标是多少?
生:(-2,2).
师:请大家检验一下它是否是方程组的解.
学生检验后回答:是.
师:为什么呢?
生:直线l1是方程x+2y=2的图象,因此,直线l1上任意一点的坐标都是方程x+2y=2的解;同理,直线l2上任意一点的坐标都是方程2x-y=-6的解.所以直线l1与l2的交点P的坐标是方程x+2y=2与2x-y=-6的公共解,也就是说,这个交点的坐标是二元一次方程组的解.
师:请同学们利用图象法解方程组
学生作图求解后回答,教师订正.
师:由上面的过程我们能总结出用图象法解二元一次方程组是这样一个过程:先在同一平面直角坐标系内画出每一个二元一次方程对应的直线,这两条直线若相交,其交点的坐标就是方程组的解.但是,二元一次方程组确定的两条直线是否必定会相交于一点呢?我们看看下面这个例子.
四、深入探究,强化理解
师:请同学们用图象法解方程组
学生作图.
师:你们作出的两个方程图象有什么关系?
生:两条直线互相重合.
师:这意味着什么呢?
学生小组讨论.
生:说明直线上每一个点的坐标都是原方程组的解,所以原方程组有无穷多组解.
师:对.大家再用图象法解这个方程组你们又有什么发现?
学生作图.
生:两条直线平行,它们没有交点.
师:这代表什么呢?
学生小组讨论.
生:这个方程组无解.
师:很好!通过上面几个例子和练习,我们可以得到二元一次方程组的解有三种情况.我们把方程组化成标准形式后,你比较一下两个方程中x的系数、y的系数与常数项的比,看它们的比值之间的关系对图象、方程组的解有什么影响?
学生讨论,教师参与.
生甲:如果x的系数之比与y的系数之比不相等,则两直线有一个交点,方程组有一组解.
生乙:如果x的系数之比与y的系数之比相等,但与常数项的比不等时,两直线没有交点,方程组无解.
生丙:如果x的系数之比、y的系数之比、常数项之比三者都相等,则两直线重合,方程组有无穷多组解.
师:同学们总结得很好.
教师板书得到的结论.
五、迁移巩固
师:请同学们把第53页练习做一下.
学生做题,然后集体订正.
(1)≠,所以方程组有一组解;
(2)原方程组可变形为
==,所以方程组有无数多组解;
(3)=≠,所以方程组无解:
(4)第二个方程可变形为:x-y=0.
≠,所以原方程组有一组解.
六、课堂小结
师:今天我们学习了什么内容?
生甲:学习了用图象法解二元一次方程组.
生乙:还学习了怎样根据二元一次方程组中的两个方程的系数关系判断方程组解的个数.
师:同学位回答得很好!你能说说怎样根据两个方程系数的关系来判断方程组解的个数吗?
学生回答,教师补充完善.
教学反思
通过本节课的学习,学生掌握了用图象法求解二元一次方程组的方法,这是用图象法解方程、不等式的延伸.学生通过观察、总结,自己得到怎样由x的系数之比、y的系数之比、常数项之比三者之间的关系与方程组的解的数量之间的联系,总结出规律,让他们享受探索求真的乐趣,培养发现问题、解决问题的能力.能力的培养,特别是创新能力的培养是新课程关注的焦点,能力培养是以自主探究为平台.“自主”不是一盘散沙,“探究”不是漫无边际,要提高探究的质量,必须在教师的引导下进行.
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