(共28张PPT)
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
1.3
探索三角形全等的条件
第1章
全等三角形
第6课时
利用边边边（SSS）判定
三角形全等
知识要点
全等三角形的判定方法“SSS”
三角形的稳定性
新知导入
想一想，填一填：
图形
条件
是否能判定三角形全等
两角和一角的对边相等
两边和它们夹角相等
两边和其中一边的对角相等
两角和它们的夹边相等
三边相等
A
B
C
A'
B'
C'
√
√
×
√
？
课程讲授
1
利用“SSS”判定三角形全等
已知△ABC
≌△A'B'C'
，那么它们的对应边相等，对应角相等.
A
B
C
A'
B'
C'
AB=A'B'，BC
=B'C'，CA=C'A'，
∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'
课程讲授
1
利用“SSS”判定三角形全等
如果△ABC
与△A'B'C'满足三条边分别相等三个角分别相等，即
A
B
C
A'
B'
C'
AB=A'B'，BC
=B'C'，CA=C'A'，
∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'
课程讲授
1
利用“SSS”判定三角形全等
问题1：在以下六个条件中，一定要全部满足才能判断全等吗？
AB=A'B'，BC
=B'C'，CA=C'A'，
∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'
A
B
C
A'
B'
C'
不一定，有些条件是相关的
课程讲授
1
利用“SSS”判定三角形全等
问题2：在以下六个条件中，能否选择其中部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？
AB=A'B'，BC
=B'C'，CA=C'A'，
∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'
A
B
C
A'
B'
C'
课程讲授
1
利用“SSS”判定三角形全等
问题2.1：有一条边相等的两个三角形全等吗？有一条边相等的两个三角形全等吗？
归纳：有一个条件相等不能保证两个三角形全等.
课程讲授
1
利用“SSS”判定三角形全等
问题2.2：有两个角对应相等的两个三角形全等吗？有两条边对应相等的两个三角形全等吗？有一个角和一条边对应相等的两个三角形全等吗？
归纳：有两个条件相等不能保证两个三角形全等.
6cm
30°
60°
30°
3cm
4cm
30°
60o
3cm
4cm
不一定全等
30o
6cm
课程讲授
1
利用“SSS”判定三角形全等
问题2.3：有三个角对应相等的两个三角形全等吗？
归纳：有三个角相等不能保证两个三角形全等.
300
60o
90o
60o
300
90o
不一定全等
课程讲授
1
利用“SSS”判定三角形全等
问题2.4：有三条边对应相等的两个三角形全等吗？
全等
3cm
4cm
6cm
4cm
6cm
3cm
6cm
4cm
3cm
课程讲授
1
利用“SSS”判定三角形全等
问题3：任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′
,使A′B′=
AB
,B′C′
=BC,
A′
C′
=AC.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，他们全等吗？
A
B
C
A
′
B′
C′
作法：
（1）画B′C′=BC；
（2）分别以B',C'为圆心，线段AB,AC长为半径画圆，两弧相交于点A'；
（3）连接线段A'B',A
'C
'.
课程讲授
1
利用“SSS”判定三角形全等
基本事实：
三边__________的两个三角形全等。（可简写成“________”或“_____”）
基本事实(几何语言)：
在△ABC和△
DEF中，
分别相等
SSS
边边边
BC=____，
AB=____，
CA=____，
DE
EF
FD
∴
△ABC
≌△
DEF（
）.
A
B
C
D
E
F
SSS
课程讲授
1
利用“SSS”判定三角形全等
例
如图，在△ABC中，AB
=AC
，
求证∠B=∠C
．
C
B
A
提示：要证明∠B=∠C，只需要设法使∠B
，
∠C分别在两个三角形中，然后证明这两个三角形全等.
课程讲授
D
C
B
A
证明：作△ABC的中线AD.
在△ABD
与△ACD
中，
AB
=AC
(已知）
BD
=CD
（辅助线作法）
AD
=AD
（公共边）
∴
△ABD
≌
△ACD
（
SSS
）．
1
利用“SSS”判定三角形全等
课程讲授
1
利用“SSS”判定三角形全等
③
练一练：如图，下列三角形中，与△ABC全等的是_______.
课程讲授
2
三角形的稳定性
问题1：观察下面两组木架，如果分别扭动它们，会得到怎样的结果？
三角形
四边形
稳定
不稳定
试一试：观察下图中的四边形木架，想想能用什么办法让它变得稳定，动手试试看。
课程讲授
2
三角形的稳定性
课程讲授
2
三角形的稳定性
三角形的特性：
三角形木架的形状_________，也就是说三角形是具有______的图形。
四边形的特性：
四边形木架的形状_______，也就是说四边形是____________的图形。
稳定性
不会改变
会改变
没有稳定性
课程讲授
2
三角形的稳定性
想一想：在我们日常生活中，还要哪些地方运用到了三角形的稳定？
课程讲授
2
三角形的稳定性
问题2：我们已经知道四边形具有不稳定性，你能说出生活中运用到四边形这一特性的例子吗？
随堂练习
1.如图，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（
）
A.△ABD≌△ACD
B.△BDE≌△CDE
C.△ABE≌△ACE
D.以上都不对
C
随堂练习
2.如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
随堂练习
3.如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，
要使△ABF≌△ECD
，还需要条件
(填一个条件即可）.
A
E
=
=
×
×
B
D
F
C
BF=CD
随堂练习
4.如图,AD＝BC,AC＝BD.求证:∠C＝∠D
.
O
D
B
C
A
证明：连结AB两点,
在△ABD和△BAC中，
AD=BC，
BD=AC，
AB=BA，
∴△ABD≌△BAC(SSS)
∴∠D=∠C.
随堂练习
5.下列图形中哪些具有稳定性.
具有稳定性
不具有稳定性
不具有稳定性
具有稳定性
具有稳定性
不具有稳定性
随堂练习
6.下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性的说法中正确的是(
)
A.稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的
B.稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值
C.稳定性和不稳定性均有利用价值
D.以上说法都不对
7.在生活中我们常常会看见如图所
示的情况加固电线杆，这是利用了
三角形的________.
C
稳定性
课堂小结
“SSS”
内容
三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或
“SSS”)
应用
解题思路
注意事项
结合图形找隐含条件和现有条件，证准备条件
1.
说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.
2.
结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.
三角形的稳定性(共14张PPT)
1.3
探索三角形全等的条件
第1章
全等三角形
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第4课时
利用角角边（AAS）
判定三角形全等（1）
知识要点
全等三角形的判定方法“AAS”
新知导入
想一想：在△ABC和△MNP中，∠A=∠M,∠B=∠N，BC=NP，△ABC与△MNP全等吗？为什么？
A
C
B
N
M
P
课程讲授
1
利用“AAS”判定三角形全等
问题1：若三角形的两个内角分别是30°和45°，且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?
30°
45°
3cm
课程讲授
1
利用“AAS”判定三角形全等
3cm
30°
45°
想一想：从中我们可以得到什么规律？
课程讲授
1
利用“AAS”判定三角形全等
例
在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝
∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF．
A
C
B
E
D
F
课程讲授
1
利用“AAS”判定三角形全等
A
C
B
E
D
F
证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.
∴
∠C＝180°－∠A－∠B.
同理
∠F＝180°－∠D－∠E.
又
∠A＝∠D，∠B＝
∠E,
∴
∠C＝∠F.
在△ABC和△DEF中，
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∠C＝∠F.
∴△ABC≌△DEF（ASA
）.
想一想：从中我们可以得到什么结论？
课程讲授
1
利用“AAS”判定三角形全等
基本事实：
_____角分别相等且其中一组等角的_______分别相等的两个三角形全等。（可简写成“________”或“_____”）
基本事实(几何语言)：
在△ABC和△
DEF中，
∠B
=
___，
∠A
=____，
AC
=____，
∴ △ABC
≌△
DEF（______）．
A
B
C
D
E
F
两
对边
角角边
AAS
∠E
∠D
DF
AAS
课程讲授
1
利用“AAS”判定三角形全等
例
已知：如图△ABC≌△A'B'C'，AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高.
求证：AD=A'D'．
A
C
B
D
A'
C'
B'
D'
课程讲授
1
利用“AAS”判定三角形全等
A
C
B
D
A'
C'
B'
D'
证明：
∵
△ABC≌△A'B'C'，
∴
AB=A'B',∠
B=∠B'.
∵
AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高,
∴
∠
ADB=∠A'D'B'=90°.
在△ABD和△A'B'D'中，
∠
B=∠B'.
，
∠
ADB=∠A'D'B'，
AB=A'B'，
∴
△ABD≌△A'B'D'（AAS)，
∴AD=A'D'.
随堂练习
1.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若BD=2
cm，CF=4
cm，则AB的长为（
）
A.2
cm
B.4
cm
C.6
cm
D.8
cm
C
随堂练习
2.已知：如图，
AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2,
求证：AB=AD.
A
C
B
D
1
2
证明：
∵
AB⊥BC，AD⊥DC，
∴
∠
B=∠D=90
°.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2
，
∠
B=∠D，
AC=AC
（公共边），
∴
△ABC≌△ADC（AAS)，
∴AB=AD.
随堂练习
3.如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′,∠BAC=∠B′A′C′,
AD,A′D′分别是∠BAC,∠B′A′C′的平分线，且AD=A′D′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：∵∠BAC=∠B′A′C′,AD,A′D′分别是∠BAC,∠B′A′C′的角平分线，∴∠BAD=∠B′A′D′.
又∵∠B=∠B′,AD=A′D′,
∴△ABD≌△A′B′D′(AAS),∴AB=A′B′,
在△ABC和△A′B′C′中，
∠B=∠B′,
AB=A′B′,
∠BAC=∠B′A′C′,
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
“AAS”
内容
应用
注意“角角边”“角边角”中两角与边的区别
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成
“AAS”)
课堂小结(共12张PPT)
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
1.3
探索三角形全等的条件
第1章
全等三角形
第3课时
利用角边角（ASA）判定
三角形全等
知识要点
全等三角形的判定方法“ASA”
新知导入
想一想：
在△ABC与△
DEF中，
AB＝DE（已知），
∠B＝∠E（已知），
BC＝EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
上节课你学会了哪种证明三角形全等的方法？
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（边角边或“SAS”）．
课程讲授
1
利用“ASA”判定三角形全等
问题1：先任意画出一个△ABC，再画一个△A
′
B
′
C
′
，
使A
′
B
′
=AB，
∠A
′
=∠A，
∠B
′
=∠B
(即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A
′
B
′
C
′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
A
C
B
课程讲授
1
利用“ASA”判定三角形全等
A
C
B
A′
B′
C′
E
D
作法：
（1）画A'B'=AB;
（2）在A'B'的同旁画∠DA'B
'=∠A，∠EB'A
'=∠B，A'D，B'E相交于点C'.
想一想：从中我们可以得到什么规律？
课程讲授
1
利用“ASA”判定三角形全等
基本事实：
_____角和它们的_______分别相等的两个三角形全等。（可简写成“________”或“_____”）
基本事实(几何语言)：
在△ABC和△
DEF中，
∠A
=____，
AB
=
_____，
∠B
=_____，
∴ △ABC
≌△
DEF（______）．
A
B
C
D
E
F
两
夹角
∠D
DE
∠E
角边角
ASA
ASA
课程讲授
例
如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE//AC，DF//AB．
求证：BE＝DF，DE＝CF．
1
利用“ASA”判定三角形全等
提示：证明△EBD≌△FDC,就可以得出BE＝DF，DE＝CF.
课程讲授
1
利用“ASA”判定三角形全等
证明：∵
DE//AC，DF//AB
∴∠B=∠CDF，∠BDE=∠C
∵
D是BC的中点,∴BD=CD
在△EBD和△FDC中，
∠EDB=∠C（公共角
），
BD=DC，
∠B=∠FDC，
∴
△EBD≌△FDC（ASA)，
∴BE=DF,DE=CF.
课程讲授
1
利用“ASA”判定三角形全等
练一练：如图，已知△ABC的三条边和三个角，则甲、乙两个三角形中和△ABC全等的图形是（
）
A.甲
B.乙
C.甲和乙都是
D.都不是
B
随堂练习
1.在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69°
，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形________________.
2.如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=________.
全等
3
随堂练习
3.如图，∠1=∠2，∠3=∠4.求证：△ABC≌△ABD.
证明：∵∠3=∠4，
∴∠ABC=∠ABD，
在△ABC和△ABD中，
∠1=∠2
AB=AB，
∠ABC=∠ABD
∴△ABC≌△ABD（ASA）.
“ASA”
内容
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简写成
“ASA”)
课堂小结(共14张PPT)
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
1.3
探索三角形全等的条件
第1章
全等三角形
第1课时
利用边角边（SAS）判定
三角形全等（1）
知识要点
全等三角形的判定方法“SAS”
新知导入
想一想：
如图，△ABC≌△DEF,你能得出哪些结论？
课程讲授
1
利用“SAS”判定三角形全等
问题1：
如图，△ABC与△DEF、
△MNP能完全重合吗？
△ABC与△MNP能完全重合
课程讲授
1
利用“SAS”判定三角形全等
问题2：
尺规作图画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A
（即使两边和它们的夹角对应相等）.
把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
A
B
C
课程讲授
1
利用“SAS”判定三角形全等
A
B
C
A′
D
E
B′
C′
作法：
（1）画∠DA'E=∠A；
（2）在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC；
（3）连接B'C
'.
想一想：从中我们可以得到什么规律？
课程讲授
1
利用“SAS”判定三角形全等
基本事实：
_____边和它们的_______分别相等的两个三角形全等。（可简写成“________”或“_____”）
基本事实(几何语言)：
在△ABC和△
DEF中，
AB
=
___，
∠A
=____，
AC
=____，
∴ △ABC
≌△
DEF（______）．
两
夹角
边角边
SAS
SAS
DE
∠D
DF
A
B
C
D
E
F
课程讲授
1
利用“SAS”判定三角形全等
例1
如图，AB
=AD，∠BAC
=∠DAC.
求证：△ABC
≌
△ADC．
证明：在△ABC和△ADC中，
AB＝
AD（已知）
，
∠BAC＝∠DAC
（已知），
AC＝AC（公共边），
∴
△ABC
≌
△ADC（SAS）．
课程讲授
1
利用“SAS”判定三角形全等
D
练一练：下图中全等的三角形有（
）
A.①和②
B.②和③
C.②和④
D.①和③
课程讲授
1
利用“SAS”判定三角形全等
归纳：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。
想一想：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC。固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？
D
C
B
A
课程讲授
练一练：下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是( )
C
归纳：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
1
利用“SAS”判定三角形全等
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
随堂练习
1.如图，△ABC中，已知AD垂直BC，D为BC
的中点，则下列结论不正确的是（
）
A.△ABC≌△ACD
B.∠B＝∠C
C.AD是的∠A平分线
D.△ABC是等边三角形
A
B
C
D
D
随堂练习
2.如果两个三角形两边对应相等，且其中一边所对的角也相等，那么这两个三角形（
）
A.一定全等
B.一定不全等
C.不一定全等
D.面积相等
3.如图，AB，CD，EF交于点O，且
它们都被点O平分，则图中共
有______对全等三角形。
C
A
B
C
D
O
F
E
3
课堂小结
“SAS”
内容
有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成
“边角边”或“SAS”)
应用
1.“SSA”不能作为判断三角形全等的依据
2.
据已知条件，找到图形中的隐含条件，如公共边，公共角，对顶角，邻补角，外角，平角等，证明三角形全等(共21张PPT)
1.3
探索三角形全等的条件
第1章
全等三角形
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第8课时
利用斜边、直角边（HL）判定
三角形全等
知识要点
1.直角三角形的全等的判定方法
2.直角三角形的全等的判定方法的运用
新知导入
想一想，填一填：
图形
条件
是否能判定三角形全等
三边相等（SSS）
两边和它们夹角相等（SAS）
两角和它们的夹边相等（ASA）
两角和一角的对边相等（AAS）
如果三角形为直角三角形，_？__
A
B
C
A'
B'
C'
√
√
？
√
√
课程讲授
1
利用“HL”判定直角三角形全等
问题1.1：两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？
A
B
C
A'
B'
C'
全等，AAS
课程讲授
1
利用“HL”判定直角三角形全等
问题1.2：两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？
A
B
C
A'
B'
C'
全等，ASA
课程讲授
1
利用“HL”判定直角三角形全等
问题1.3：两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？
A
B
C
A'
B'
C'
全等，SAS
课程讲授
1
利用“HL”判定直角三角形全等
问题2：任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A
′B
′C
′，使∠C′=90
°,B′C′=BC,A
′B
′=AB,把画好的Rt△A′B′
C′
剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？
A
B
C
课程讲授
1
利用“HL”判定直角三角形全等
A
B
C
作法：（1）先画∠MCN=90°，
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC,
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′,
（4）连接A′B′.
C'
M
N
B'
A'
想一想：从中我们可以得到什么规律？
课程讲授
1
利用“HL”判定直角三角形全等
基本事实5：
_____和___________分别相等的两个直角三角形全等。（可简写成“_____________”或“_____”）
基本事实5(几何语言)：
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
BC
=____，
AB
=
_____，
∴Rt△ABC
≌Rt△A'B'C'（____）．
A
B
C
A'
B'
C'
一条直角边
斜边
B'C'
A'B'
斜边、直角边
HL
HL
课程讲授
1
利用“HL”判定直角三角形全等
例
已知：如图，AD、BC相交于点O，
AD=BC，∠C=∠D=90°，求证：AO﹦BO,CO=DO.
A
B
C
D
O
证明：
在
Rt△ABC
和Rt△BAD
中，
∠C=∠D=90°,
BC=AD,
AB=BA.
∴
Rt△ABC≌Rt△BAD
(HL).
∴
AC﹦BD.
在
△AOC
和△BOD
中，
∠C=∠D
,
∠AOC=∠BOD,
AC﹦BD,
∴△AOC≌△BOD(AAS)
∴AO﹦BO,CO=DO.
课程讲授
1
利用“HL”判定直角三角形全等
练一练：如图，∠C=∠D=90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，以下给出的条件适合的是（
）
A.AC=AD
B.AB=AB
C.∠ABC=∠ABD
D.∠BAC=∠BAD
A
课程讲授
2
直角三角形全等判定的灵活运用
例
如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.
求证：BC＝BE.
提示：证明两个直角三角形全等,就可以得出线段的等量关系.
E
D
A
C
B
F
课程讲授
2
直角三角形全等判定的灵活运用
E
D
A
C
B
F
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．
∴CD＝EF.
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.
课程讲授
2
直角三角形全等判定的灵活运用
归纳：“HL”是判断两个直角三角形全等的简便方法，对于一般的三角形不成立，在使用时要注意其应用的范围.同时，利用“HL”还能说明两直线的位置关系，在实际解题过程中要结合实际灵活运用。
课程讲授
练一练：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的是（
）
A.AB=A′B′=5,BC=B′C′=3
B.AB=B′C′=5,∠A=∠B′=40°
C.AC=A′C′=5,BC=B′C′=3
D.AC=A′C′=5,∠A=∠A′=40°
B
2
直角三角形全等判定的灵活运用
B
A
C
B'
A'
C'
随堂练习
1.下列条件：
①两条直角边对应相等；
②斜边和一锐角对应相等；
③斜边和一直角边对应相等;
④直角边和一锐角对应相等.
以上能判定两直角三角形全等的个数有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
随堂练习
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点
E
，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，
则
CH的长为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
A
A
B
C
E
D
H
随堂练习
3.如图，在△ABC中，∠C=90°,DE⊥AB于点E，DE=DC,若AC=6，则AD+DE等于（
）
A.7
B.6
C.5
D.4
B
随堂练习
4.如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为点D，E，BE与CD相交于点O，且OB=OC，有下列结论：
①∠1=∠2;
②△ADO≌△AEO;
③△BOD≌△COE;
④图中有四组三角形全等.
其中正确的个数有______个.
2
随堂练习
5.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE
⊥AB，BD=CE.
求证：△EBC≌△DCB.
A
B
C
E
D
证明：
∵
BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90
°.
在
Rt△EBC
和Rt△DCB
中，
CE=BD,
BC=CB
.
∴Rt△EBC≌Rt△DCB
(HL).
课堂小结
“HL”
内容
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.（简写成“斜边，直角边”或“HL”）
应用
1.使用的前提条件是在直角三角形中
2.遇到直角三角形全等问题，优先考虑“HL”
3.使用时只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）(共13张PPT)
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
1.3
探索三角形全等的条件
第1章
全等三角形
第2课时
利用边角边（SAS）判定
三角形全等（2）
知识要点
全等三角形的判定方法“SAS”的应用
新知导入
想一想：“三月三，放风筝．”如图是小东同学自己动手制作的风筝，他根据AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，不用度量，就知道AD＝CD．请你用所学的知识给予说明．
证明：在△ABD和△CBD中
∴
△ABD≌△CBD（SAS）
∴AD=CD
课程讲授
1
全等三角形的判定方法“SAS”的应用
例1
已知：如图，AB，CD相交于点E，且E是AB，CD
的中点．
求证：△AEC
≌△BED
．
证明：∵
E是AB、CD
的中点
∴AE=BE，CE=DE
在△AEC
和△BED中
∴
△AEC
≌△BED
（SAS）
课程讲授
1
全等三角形的判定方法“SAS”的应用
例2
已知：如图，点E，F在CD上，且CE=DF，AE
＝BF,
AE
∥BF.
求证：△AEC
≌△BFD
．
证明：
∵AE
∥BF
∴∠AEC=∠BFD
在△AEC
和△BFD
中
CE
＝DF
∠AEC=∠BFD
AE
＝BF
∴△AEC
≌△BFD
（SAS）．
课程讲授
1
全等三角形的判定方法“SAS”的应用
练一练：如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，∠AEB=75°，那么∠AOD的度数是________.
75°
课程讲授
2
利用“SAS”判定三角形全等解决实际问题
例
如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离，为什么?
C
·
A
E
D
B
提示：如果能证明△ABC
≌△DEC，就可以得出AB=DE。由题意可知，△ABC
和△DEC具备“边角边”的条件。
课程讲授
2
利用“SAS”判定三角形全等解决实际问题
C
·
A
E
D
B
1
2
证明：在△ABC
和△DEC
中，
AC
=
DC，
∠ACB
=∠DCE
，
CB=EC，
∴△ABC
≌△DEC（SAS），
∴AB
=DE
，
归纳：因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明线段相等或角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决。
课程讲授
2
利用“SAS”判定三角形全等解决实际问题
练一练：要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，O为卡钳两柄交点，且有OA=OB=OC=OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则这个工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件________.
SAS
随堂练习
1.如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF.
求证：△ABC≌△EFD.
证明：∵AB∥EF，
∴∠A=∠E，
在△ABC和△EFD中
AC=DE，
∠A=∠E，
AB=EF，
∴△ABC≌△EFD（SAS）.
随堂练习
2.某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30
cm，则由以上信息可推得CB的长度是多少？
随堂练习
解：∵O是AB，CD的中点，∴OA=OB,OD=OC,
在△AOD和△BOC中，
OA=OB,
∠AOD=∠BOC,
OD=OC,
∴△AOD≌△BOC(SAS),
∴CB=AD.
∵AD=30
cm,
∴CB=30
cm.
课堂小结
“SAS”
内容
有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成
“边角边”或“SAS”)
应用
1.“SSA”不能作为判断三角形全等的依据
2.
据已知条件，找到图形中的隐含条件，如公共边，公共角，对顶角，邻补角，外角，平角等，证明三角形全等(共10张PPT)
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
1.3
探索三角形全等的条件
第1章
全等三角形
第5课时
利用角角边（AAS）判定
三角形全等（2）
知识要点
全等三角形的判定方法“AAS”的应用
新知导入
看一看：我们都学过了哪些判定三角形全等的方法？
图形
条件
两边和它们夹角相等（SAS）
两角和它们的夹边相等（ASA）
两角和一角的对边相等（AAS）
A
B
C
A'
B'
C'
课程讲授
1
全等三角形的判定方法“AAS”的应用
例1
已知：如图，点A
，B
，C
，D在一条直线上E，且EA∥FB，EC∥FD
，EA=FB．
求证：AB=CD
．
D
A
B
C
E
F
课程讲授
1
全等三角形的判定方法“AAS”的应用
证明：∵EA∥FB，EC∥FD，
∴∠A=∠FBD，∠ECA=∠D.
在△EAC
和△FBD中，
∴
△EAC
≌△FBD
（AAS）,
∴AC=BD,
即AB+BC=CD+BC.
∴AB=CD.
D
A
B
C
E
F
1.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O,AE=AD，要使△ABE≌△ACD，根据“AAS”需添加一个条件是___________.
随堂练习
∠B=∠C
随堂练习
2.如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D
，
E.
试说明：(1)△BDA≌△AEC；
随堂练习
解：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
∵AB⊥AC，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∠ABD＝∠CAE.
在△BDA和△AEC中，
∠ADB=∠CEA=90°，
∠ABD＝∠CAE,
AB＝AC，
∴△BDA≌△AEC(AAS).
随堂练习
(2)DE＝BD＋CE.
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
解：∵△BDA≌△AEC,
课堂小结
“AAS”
内容
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“AAS”)
应用
注意“角角边”“角边角”中两角与边的区别(共11张PPT)
1.3
探索三角形全等的条件
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第1章
全等三角形
第7课时
用圆规、直尺作角平分线及过
已知点作已知直线的垂线
知识要点
1.用直尺和圆规作角平分线
2.用直尺和圆规过已知点作已知直线的垂线
新知导入
试一试：观察下图中的图形，它们是由哪些简单图形组成的？你能画出这些图形吗？
课程讲授
1
用直尺和圆规作角平分线
问题1：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=
DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
A
B
D
E
C
两个三角形三边对应相等，两个三角形全等，两全等三角形的对应角相等.所以AE就是角平分线
想一想：能够运用这种方法作出任意角的角平分线吗？
课程讲授
1
用直尺和圆规作角平分线
问题2：已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
A
O
B
N
M
C
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点MN为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
课程讲授
1
用直尺和圆规作角平分线
练一练：用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（
）
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
课程讲授
2
用直尺和圆规过已知点作已知直线的垂线
例
尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB外一点C
.
求作：AB的垂线，使它经过点C
.
作法：（1）以点C
为圆心，适当的长为半径作弧，交AB于点D和点E.
（2）分别以点D和点E为圆心，大于
DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.
（3）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.
A
B
C
D
E
F
课程讲授
2
用直尺和圆规过已知点作已知直线的垂线
想一想：
（1）为什么要以大于
的长为半径作弧？
（2）为什么直线CF
就是所求作的垂线？
随堂练习
1.尺规作图的工具是（
）
A.刻度尺和圆规
B.三角尺和圆规
C.直尺和圆规
D.没有刻度的直尺和圆规
D
随堂练习
2.
如图，过B点画AC的垂线，过B点画AC的平行线.
A
C
B
D
E
F
课堂小结
尺规作图
用直尺和圆规作角平分线
用直尺和圆规过已知点作已知直线的垂线
