(共10张PPT)
2.4
线段、角的轴对称性
第2章
轴对称图形
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第4课时
线段垂直平分线与角
平分线的综合应用
知识要点
线段垂直平分线与角平分线的综合应用
新知导入
想一想：
性
质
判
定
线段垂直平分线
角平分线
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
角平分线上的点到角两边的距离相等
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
课程讲授
1
线段垂直平分线与角平分线的综合应用
例
已知：如图，AD是△ABC
的角平分线，
DE⊥AB于点E，
DF⊥AC于点F．
求证：AD垂直平分EF.
课程讲授
1
线段垂直平分线与角平分线的综合应用
证明：∵
DE⊥AB,DF⊥AC，
∠EAD=
∠FAD,
∴∠ADE=
∠ADF
∴DE=DF,AE=AF.
∴
点D，A在EF的垂直平分线上.
∴AD垂直平分EF.
课程讲授
1
线段垂直平分线与角平分线的综合应用
归纳：
线段垂直平分线性质的作用：证明两条线段相等
线段垂直平分线判定的作用：证明一个点在某线段的
垂直平分线上
角平分线性质的作用：①证明两条线段相等；
②用于几何作图问题
角平分线判定的作用：证明两个角相等或证明一条射
线是一个角的角平分线
随堂练习
1.如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平
分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,
BD=6cm,那么EA=_______,
DA=_______.
A
B
E
D
C
4cm
6cm
随堂练习
解：∵AD⊥BC，BD
=DC，
∴AD
是BC
的垂直平分线，
∴AB
=AC．
∵点C
在AE
的垂直平分线上，
∴AC
=CE．∴AB
=AC
=CE．
∴AB+BD=CE+CD,即AB+BD=DE.
2.如图，AD⊥BC，BD
=DC，点C
在AE
的垂直
平分线上，AB，AC，CE
的长度有什么关系？
AB+BD与DE
有什么关系？
A
B
C
D
E
随堂练习
3.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与
∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于点E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵
AD∥BC，
∴
MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间
的距离.
∵
AP平分∠BAD,
PM⊥AD
,
PE⊥AB，
∴
PM=
PE.
同理，
PN=
PE.
∴
PM=
PN=
PE=3.
∴
MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
课堂小结
线段垂直平分线和角平分线的综合应用
运用线段垂直平分线和角平分线的性质与判定发现题中的相等线段与相等角来解决问题(共14张PPT)
2.4
线段、角的轴对称性
第2章
轴对称图形
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第1课时
线段垂直平分线的性质
知识要点
线段垂直平分线的性质
新知导入
想一想：
什么样的图形叫作轴对称图形？
把一个图形沿着某条直线对折，如果对折的两部分是完全重合的，我们就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫作这个图形的对称轴.
新知导入
想一想：观察下图中图形的构成，判断是否为轴对称图形.
课程讲授
1
线段垂直平分线的性质
A
B
问题1：线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？
A（B）
B
归纳：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.
课程讲授
1
线段垂直平分线的性质
问题2：如图，点C是线段AB垂直平分线上的一点，AC和BC相等吗？改变点C的位置，结论还成立吗？
A
B
C
C1
C2
CA=CB
C1A
=
C1B
C1A=C1B
归纳：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
课程讲授
1
线段垂直平分线的性质
问题2.1：运用所学知识，证明你的结论.
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC
=CB，点P
在l
上．
求证：PA
=PB．
P
A
B
l
C
证明：∵ l⊥AB，
∴
∠PCA
=∠PCB．
又
AC
=CB，PC
=PC，
∴
△PCA
≌△PCB（SAS）．
∴
PA
=PB．
课程讲授
1
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段________的距离______.即PA=_______.
两端
相等
P
A
B
l
C
PB
课程讲授
1
线段垂直平分线的性质
问题3：线段垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？为什么？
O
2
1
l
B
A
P
Q
课程讲授
1
线段垂直平分线的性质
O
2
1
l
B
A
P
Q
解：不相等.连接QB．
根据“线段的垂直平分线上的
点到线段两端点的距离相等”，
因为点Q在AB的垂直平分线上，
所以QA＝QB．
于是PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB．
因为三角形的两边之和大于第三边，
所以PQ＋QB＞PB，即PA＞PB．
课程讲授
1
线段垂直平分线的性质
练一练：如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点M，则线段AM，CM的大小关系是（
）
A.AM>CM
B.AM=CM
C.AM
D.无法确定
B
随堂练习
1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5,则线段PB的长度为（
）
A.6
B.5
C.4
D.3
B
随堂练习
2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20
cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35
cm，则BC的长为( )
A．5
cm
B．10
cm
C．15
cm
D．17.5
cm
C
A
C
B
E
D
课堂小结
线段垂直平分线的性质
内容
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
由垂直平分线，得相关线段相等(共21张PPT)
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
2.4
线段、角的轴对称性
第2章
轴对称图形
第3课时
角平分线的性质与判定
知识要点
1.角平分线的性质
2.角平分线的判定
新知导入
画一画：试着将下图中的角平分.
45°
30°
15°
22.5°
想一想：除了使用量角器，你还有其他更为准确的方法吗？
课程讲授
1
角平分线的性质
问题1：角是轴对称图形吗？将∠AOB对折，你发现了什么？
归纳：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
A
B
O
课程讲授
1
角平分线的性质
问题1.1：如图，任意作一个∠AOB，作出的角平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？
A
O
B
C
P
D
E
PD=PE
课程讲授
1
角平分线的性质
问题1.2：在OC上多取几个点进行测量和比较，得到的结论一致吗？试着猜想角的平分线的性质。
A
O
B
C
P
D
E
P'
D'
E'
PD'=PE'
猜想：角的平分线上的点到内角的两边的距离相等.
课程讲授
1
角平分线的性质
问题2：运用所学知识证明你的猜想.
A
O
B
C
P
D
E
已知：如图，
∠AOC=
∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,
PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证：PD=PE.
证明：∵
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴
∠PDO=
∠PEO=90
°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=
∠PEO，
∠AOC=
∠BOC，
OP=
OP，
∴
△PDO
≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
课程讲授
1
角平分线的性质
角平分线的性质：
角的_________的点到角的两边的距离_____.
角平分线的性质(几何语言)：
∵OP
是∠AOB的平分线，
PD⊥____,PE⊥____，
∴PD
=
____．
平分线上
相等
OA
OB
PE
B
A
D
O
P
E
C
课程讲授
1
角平分线的性质
练一练：如图，OP平分∠AOB,PC⊥OA,垂足为C,PD⊥OB，垂足为D,则PC与PD的大小关系是（
）
A.PC>PD
B.PC=PD
C.PCD.不能确定
B
课程讲授
1
角平分线的性质
练一练：如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=6cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
6
课程讲授
2
角平分线的判定
问题1：如果角内部一点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角平分线上吗？
猜想：如果角内部一点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角平分线上
课程讲授
2
角平分线的判定
问题2：运用所学知识，证明你的猜想.
已知：如图，若点Q在∠AOB内部，
QD⊥OA，QC⊥OB，且QD＝QC.
求证：点Q在∠AOB的角平分线上.
O
A
B
Q
D
C
证明：连接OQ．
因为QD⊥OA，QC⊥OB，
所以∠ODQ
=∠OCQ
=90°．
在Rt△ODQ
和Rt△OCQ
中，
QD＝QC，OQ=OQ，
∴
Rt△ODQ
≌Rt△OCQ（HL）．
∴
∠AOQ
=∠BOQ．∴
点Q在∠AOB
的平分线上．
课程讲授
2
角平分线的判定
问题2：运用所学知识，证明你的猜想.
O
A
B
Q
D
C
课程讲授
2
角平分线的判定
角平分线的判定：
角的内部到角两边_
________的点在角的平分线上．
距离相等
B
A
C
P
M
D
E
课程讲授
2
角平分线的判定
例
已知：如图，△ABC的两内角∠B，∠C
的角平分线相交于点P.
求证：点P在∠A的角平分线上.
P
A
B
C
D
F
E
证明：分别过点P做PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F.
∵
∠B，∠C
的角平分线相交于点P，
∴PD=PF，PE=PF，
∴
PD=PE，
∴点P在∠A的角平分线上.
课程讲授
2
角平分线的判定
三角形的平分线：
三角形的三条角平分线_________，并且这点到三边的距离______.
即PD=____=_____.
交于一点
相等
A
B
C
P
N
M
D
E
F
PE
PF
随堂练习
1.如图，在△ABC中，∠C=90°,∠CAB=50°,按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于
EF的长为半径画弧，两弧相交于点G;③作射线AG交BC边于点D，则∠CDA的度数为________.
65°
随堂练习
2.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4.则点P到AB的距离为_______.
A
B
C
P
4
随堂练习
3.如图，∠AOB=70°,QC⊥OA于点C,QD⊥OB于点D，若QC=QD,则∠AOQ=________.
35°
随堂练习
4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )
A．6
B．5
C．4
D．3
B
A
C
D
E
D
课堂小结
角平分线的性质与判定
性质
角平分线上的点到角两边的距离相等
判定
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．(共18张PPT)
2.4
线段、角的轴对称性
第2章
轴对称图形
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第2课时
线段垂直平分线的判定
知识要点
1.线段垂直平分线的判定
2.用尺规作线段的垂直平分线
新知导入
画一画：画出下列三角形长边上的高.
课程讲授
1
线段垂直平分线的判定
问题1：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
P
A
B
猜想：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
课程讲授
1
线段垂直平分线的判定
问题2：运用所学知识，证明你的猜想.
P
A
B
已知：如图，PA
=PB．
求证：点P
在线段AB
的垂直平分线上．
证明：过点P
作AB
的垂线PC，垂足为点C．
则∠PCA
=∠PCB
=90°．
在Rt△PCA
和Rt△PCB
中，
PA
=PB，PC
=PC，
∴
Rt△PCA
≌Rt△PCB（HL）．
∴
AC
=BC．
又
PC⊥AB，∴
点P
在线段AB
的垂直平分线上．
C
课程讲授
1
线段垂直平分线的判定
线段垂直平分线的判定：
到线段两端_
________的点在线段的垂直平分线上．
距离相等
P
A
B
课程讲授
练一练：我国的成语源远流长，“平分秋色”出自多处，但其意思均是比喻双方各得一半，不分高低，表示平局.下面有一些数学概念：
（1）中点；（2）中线；
（3）角平分线；（4）垂
直平分线；（5）轴对称.
其中蕴含有成语“平分秋色”
含义的概念的个数有（
）
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
A
1
线段垂直平分线的判定
课程讲授
2
用尺规作线段垂直平分线
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
A
B
做一做：
课程讲授
A
B
C
D
作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于
AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.
（2）作直线CD.
CD即为所求.
2
用尺规作线段垂直平分线
课程讲授
2
用尺规作线段垂直平分线
问题1：在△ABC中，用直尺和圆规分别作AB，AC的垂直平分线l1
，
l2
，
l1
，
l2相交于点O，再作BC的垂直平分线.你有什么发现？
BC的垂直平分线过点O
课程讲授
2
用尺规作线段垂直平分线
例
已知：如图，在△ABC中，AB
，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O．
求证：点O在BC的垂直平分线上．
B
A
C
O
证明：连接OA，OB
，
OC.
∵
AB
，
AC的垂直平分线l1，l2相交于点O
，
∴OA=OB
，
OA＝OC
，
∴OB=OC
，
∴点O在BC的垂直平分线上．
课程讲授
A
练一练：如图所示的尺规作图是作（
）
A.线段的垂直平分线
B.一个半径为定值的圆
C.角的平分线
D.一个角等于已知角
2
用尺规作线段垂直平分线
随堂练习
1.下列说法：
①若点P
，E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有
（填序号）.
①
②
③
随堂练习
2.某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置.
摩天轮
●
海盗船
●
碰碰车
●
随堂练习
解:如图，用点A代表摩天轮、点B代表海盗船、点C代表碰碰车，连接AB，AC，分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点P，则点P即为售票中心.
A
●
B
●
C
●
●
P
随堂练习
3.如图，AB=AC，DB=DC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE相等？试说明理由.
解：相等.
连接BC，∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上.同理，D点也在线段BC的垂直平分线上.
∵两点确定一条直线，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∵E是AD延长线上的一点，
∴BE=CE.
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．
A
B
C
D
E
解：AD垂直平分EF.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.
又∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF，
∴AE＝AF，DE＝DF.
∴A
，
D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.
课堂小结
线段的垂直平分线的判定
用尺规作线段垂直平分线
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
判定
内容
作用
判断一个点是否在线段的垂直平分线上