(共28张PPT)
2.5
等腰三角形的轴对称性
第2章
轴对称图形
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第2课时
等腰三角形的判定及等
边三角形的性质与判定
知识要点
1.等腰三角形的判定
2.等边三角形及其性质
3.等边三角形的判定
新知导入
画一画：根据图中的提示补全下列各等腰三角形，试着发现它们的规律。
课程讲授
1
等角对等边
问题1：如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，测量相关线段长度，猜想AB与AC之间的关系.
A
B
C
AB=AC
课程讲授
1
等角对等边
问题2：运用所学知识，证明你的猜想.
A
B
C
已知：如图，在△ABC中,
∠B=∠C.
求证：AB=AC.
证明：过点A作AD平分∠BAC交BC于点D.
在△ABD与△ACD，
∠1=∠2，
∠B=∠C，
AD=AD，
∴
△ABD
≌
△ACD.
∴AB=AC.
D
1
2
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有_______相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“______________”）.
等腰三角形的判定方法(几何语言)：
在△ABC中，
∵∠B=_____，
∴
AC=AB.
(
)
即△ABC为等腰三角形.
A
B
C
课程讲授
1
等角对等边
两个角
等角对等边
∠C
等角对等边
课程讲授
例1
1
等角对等边
A
B
C
E
（
（
1
2
D
已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．
求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B，
∠2=∠C．
而已知∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
课程讲授
练一练：在△ABC中，∠A与∠B的度数如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（
）
A.∠A=60°，∠B=50°
B.∠A=70°，∠B=60°
C.∠A=40°，∠B=70°
D.∠A=40°，∠B=80°
1
等角对等边
C
课程讲授
2
等边三角形及其性质
定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形.
课程讲授
2
等边三角形及其性质
问题1.1：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
等边三角形的三个内角都相等，并且每一
个角都等于60°.
等腰三角形
等边三角形
等腰三角形的两个底角相等.
课程讲授
2
等边三角形及其性质
问题1.2：运用所学知识，证明你的结论.
A
B
C
已知：AB=AC=BC
，
求证：∠A=
∠B=∠C=
60°.
证明：
∵AB=AC.
∴∠B=∠C(等边对等角)
.
同理
∠A=∠C
.
∴∠A=∠B=∠C.
∵
∠A+∠B+∠C=180°,
∴
∠A=
∠B=
∠C=60
°.
课程讲授
练一练：如图，在等边三角形ABC中，D是边BC的中点，则∠BAD的度数为（
）
A.20°
B.30°
C.40°
D.50°
2
等边三角形及其性质
B
课程讲授
2
等边三角形及其性质
问题2：等腰三角形“三线合一”的性质同样存在与等边三角形中吗?
等腰三角形顶角的平分线、底边的高、底边的中线三线合一（一条对称轴）
等腰三角形
等边三角形
等边三角形顶角的平分线、底边的高、底边的中线三线合一（三条对称轴）
课程讲授
2
等边三角形及其性质
等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都______，并且每一
个角都等于______.
等腰三角形顶角的_______、底
边上的______及底边上的______
互相重合(____________）.
A
B
C
相等
60°
平分线
三线合一
高线
中线
课程讲授
练一练：如图，等边三角形ABC与互相平行的直线a，b相交，若∠1=25°，则∠2的大小为（
）
A.25°
B.35
°
C.45°
D.55°
2
等边三角形及其性质
B
课程讲授
3
等边三角形的判定
问题1.1：如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形吗？
A
B
C
由∠A=∠B，∠B=∠C,可证AC=BC，AB=AC.所以AB=BC=AC，△ABC是等边三角形
课程讲授
3
等边三角形的判定
问题1.2：有一个角是60°的等腰三角形的是等边三角形吗？为什么？
如果顶角是60°，那么两个底角相等，也都是60°.
如果一个底角是60°，那么另一个底角也是60°，并且顶角也是60°.
课程讲授
3
等边三角形的判定
等边三角形的判定1：
三个角_______的三角形是等边三角形.
等边三角形的判定2：
有一个角是_____的等腰三角
形是等边三角形.
60°
都相等
A
B
C
课程讲授
例
如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,分别交AB，AC于点D，E
.
求证：△ADE是等边三角形.
3
等边三角形的判定
A
C
B
D
E
证明：∵
△ABC是等边三角形，
∴
∠A=
∠B=
∠C.
∵
DE//BC,
∴
∠ADE=
∠B,
∠
AED=
∠C.
∴
∠A=
∠ADE=
∠
AED.
∴
△ADE是等边三角形.
课程讲授
3
等边三角形的判定
练一练：有下列条件：
①在△ABC中，AB=BC=CA;
②底角为60°的等腰三角形;
③顶角为60°的等腰三角形.
其中能判定此三角形为等边三角形的个数有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
C
随堂练习
1.如图，已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=8
cm，则CD等于（
）
A.8
cm
B.4
cm
C.15
cm
D.20
cm
A
随堂练习
2.如图，四边形ABCD是正方形，△PCD是等边三角形，连接BP，则∠BPC等于（
）
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
A
随堂练习
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC
，∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有( )
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
A
随堂练习
4.如图，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，则图中∠1+∠2的度数为（
）
A.180°B.220°C.240°D.300°
C
随堂练习
5.如图，在△ABC中，AB=AC,D是AB上一点，过点D作DE⊥BC于点E,并与CA的延长线相交于点F,试判断△ADF的形状,并说明理由.
解：△ADF是等腰三角形.
理由：在△ABC中.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵DE⊥BC,∴∠DEB=∠DEC=90°,
∴∠BDE+∠B=90°,∠F+∠C=90°,∴∠BDE=∠F.
∵∠BDE=∠ADF,∴∠ADF=∠F,∴AF=AD,
∴△ADF是等腰三角形.
随堂练习
6.等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．
证明如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
课堂小结
等腰三角形的判定
等角对等边
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形
课堂小结
等边
三角形
定义
三条边都相等
性质
边：三边相等
角：三个角都等于60
°
对称性：轴对称图形，有三条对称轴，每条边上都具有“三线合一”性质
判定
三边法:三边相等的三角形是等边三角形
三个角为60°的三角形是等边三角形
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形(共25张PPT)
2.5
等腰三角形的轴对称性
第2章
轴对称图形
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第1课时
等腰三角形的性质
知识要点
1.等腰三角形的性质
2.等腰三角形的性质的运用
新知导入
测一测：测量下图三角形的三边，找出其中的等腰三角形。
等腰三角形
等腰三角形
等腰三角形
不是等腰三角形
课程讲授
1
等边对等角
问题1：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的△ABC有什么特点？
A
B
C
D
课程讲授
1
等边对等角
B
C
D
A
AB=AC
归纳：剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB=AC，所以△ABC是等腰三角形.
课程讲授
1
等边对等角
问题2.1：把剪出的等腰三角形沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
B
C
D
A
B
线段
角
AB与______重合
∠BAD与_______
重合
AD与______重合
∠ABD与_______
重合
BD与______重合
∠ADB与_______
重合
AC
AD
CD
∠CAD
∠ACD
∠ADC
课程讲授
1
等边对等角
问题2.2：由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
线段
角
AB与______重合
∠BAD与_______
重合
AD与______重合
∠ABD与_______
重合
BD与______重合
∠ADB与_______
重合
AC
AD
CD
∠CAD
∠ACD
∠ADC
猜想：等腰三角形的两个底角相等
B
C
D
A
课程讲授
1
等边对等角
问题2.3：根据所学知识，证明你的猜想.
A
B
C
D
已知：
如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：
∠B=
∠C.
证明：作底边的中线AD，
则BD=CD.
在△BAD和△CAD中
AB=AC
，
BD=CD
，
AD=AD
，
∴
△BAD≌
△CAD
(SSS).
∴
∠B=
∠C
.
课程讲授
1
等边对等角
等腰三角形的性质1：
等腰三角形的两个_____相等(___________).
A
B
C
D
底角
等边对等角
课程讲授
例
如图，在△ABC中
，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD.
求证：∠ADB=∠BAC.
1
等边对等角
提示：找到这两个角的等量关系，通过等量关系的转化证明两角相等.
A
B
C
D
1
2
课程讲授
1
等边对等角
证明：∵AB=AC，AD=BD，
∴∠B=∠C，
∠B=∠1(等边对等角).
∴∠C=∠1.
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB=∠C+∠2.
∴∠ADB=∠1+∠2=∠BAC
A
B
C
D
1
2
课程讲授
1
等边对等角
练一练：如图，小聪坐秋千旋转了80°，小聪的位置从P点运动到了P′点，则∠OPP′的度数为（
）
A.40°
B.50°
C.70°
D.80°
B
课程讲授
2
等腰三角形“三线合一”的性质
问题3.1：由这些重合的线段，你能发现等腰三角形的其他性质吗？说一说你的猜想.
线段
角
AB与______重合
∠BAD与_______
重合
AD与______重合
∠ABD与_______
重合
BD与______重合
∠ADB与_______
重合
AC
AD
CD
∠CAD
∠ACD
∠ADC
猜想：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
B
C
D
A
课程讲授
问题3.2：根据所学知识，证明你的猜想.
A
B
C
D
已知：如图，
△BAD≌
△CAD.
求证：
AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线.
证明：∵△BAD≌
△CAD，由全等三角形的性质易得
BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵
∠ADB+∠ADC=180°，
∴
∠ADB=∠ADC=
90°
，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线
.
2
等腰三角形“三线合一”的性质
课程讲授
等腰三角形的性质2：
等腰三角形顶角的_______、底边上的______及底边上的______互相重合(____________）.
A
B
C
D
平分线
三线合一
高线
中线
2
等腰三角形“三线合一”的性质
课程讲授
2
等腰三角形“三线合一”的性质
练一练：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，下列结论中不正确的是（
）
A.D是BC的中点
B.AD平分∠BAC
C.AB=2BD
D.∠B=∠C
C
课程讲授
3
尺规作图——作等腰三角形
例
已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.
a
h
课程讲授
3
尺规作图——作等腰三角形
作法：
1.作线段AB=a.
2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB
于点D.
3.在MN上取一点C，使DC=h.
4.连接AC，BC，则△ABC即为所求.
A
B
C
M
N
D
课程讲授
练一练：已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高长为b，求作这个等腰三角形.
3
尺规作图——作等腰三角形
a
b
课程讲授
3
尺规作图——作等腰三角形
作法：
(1)作线段AB=a;
(2)作线段AB的垂直平分线MN,与AB交于点D;
(3)在MN上取一点C，使CD=b;
(4)连接AC、BC，则△ABC就是所求作的三角形.
A
B
M
N
C
D
随堂练习
1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是( )
A．65°或50°
B．80°或40°
C．65°或80°
D．50°或80°
2.等腰三角形有一个角是96°，则另两个角分别是____________.
A
42°，42°
随堂练习
3.某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为________度.
24
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AD=BD=BC,若∠DBC=28°,求∠ABC和∠C的度数.
∠A=x°.
∵AD=BD,∴∠ABD=∠A=x°,
∴∠BDC=2x°.
∵BD=BC,∴∠C=∠BDC=2x°.
∵∠DBC=28°,∠BDC+∠C+∠DBC=180°,
∴2x+2x+28=180,
∴x=38,
∴∠C=76°,∠ABC=∠ABD+∠DBC=38°+28°=66°.
解：
随堂练习
5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE=∠BAD.
证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CBE=∠CAD.
又∵∠CAD=∠BAD，
∴∠CBE=∠BAD.
课堂小结
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
等腰三角形的两个底角相等
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(共13张PPT)
2.5
等腰三角形的轴对称性
第2章
轴对称图形
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第3课时
直角三角形斜边上的
中线的性质
知识要点
直角三角形斜边上的中线的性质
新知导入
1．等腰三角形有哪些性质？
2．怎样判定一个三角形是等腰三角形？
想一想：
课程讲授
1
直角三角形斜边上的中线
问题1：你能用折纸的方法将一个直角三角形分成两个等腰三角形吗？
课程讲授
1
直角三角形斜边上的中线
问题1：
1．任意剪出一张直角三角形纸片（如图1）．
2．按如图所示的方法折叠，你有什么发现？
图1
图2
图3
你能证明你的发现吗？
课程讲授
1
直角三角形斜边上的中线
证明:
在∠ACB内作∠BCD=∠B，CD与AB相交于点D.
∵∠BCD=∠B，∴DB=DC.
∵∠A+∠B=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠ACD，∴DA=DC
∴DA=DB=DC，即CD是斜边AB上的中线，且
C
B
A
D
课程讲授
1
直角三角形斜边上的中线
归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
C
B
A
D
1
直角三角形斜边上的中线
课程讲授
练一练：
Rt△ABC中，如果斜边AB
为4cm，那么斜边上的中线CD＝_____cm．
2
随堂练习
1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，DE⊥AC
，垂足为E．
（1）如果CD＝2.4cm，那么AB＝_________cm．
（2）写出图中相等的线段和角．
CD=BD=AD，
∠ACB=∠DEA=∠DEC=90°．
CE=AE，
∠A=∠ACD，
∠B=∠BCD，
4.8
随堂练习
2.（中考·葫芦岛）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝4，则BF的长为( )
A．4
B．8
C．2
D．4
D
随堂练习
3.
如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB
，
AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，
求四边形AEDF的周长；
解：∵AD是△ABC的高，E
，
F分别是AB，AC的中点，
∴DE＝AE＝
AB＝
×10＝5，
DF＝AF＝
AC＝
×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF
＝5＋5＋4＋4＝18.
证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴点E，F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD.
随堂练习
(2)求证：EF垂直平分AD.
课堂小结
直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
