人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.2.1　直线的倾斜角与斜率（共33张PPT）

2.2.1　直线的倾斜角与斜率
核心素养
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(数学抽象)
2.理解用代数的方法探索直线斜率的过程.(逻辑推理)
3.掌握过两点的直线斜率的计算公式并能解决相关的实际问题.(数学运算)
4.初步理解直线的方向向量和法向量的概念,并能找出其与直线斜率和倾斜角的内在联系.(直观想象,逻辑推理)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
三峡大坝是当今世界上最大的水利枢纽工程,大坝拥有三峡展览馆、坛子岭园区、185园区、近坝园区、截流纪念园等五个园区.俯瞰长江,泄洪观景区和185米水位线的观景区则是波澜壮阔、雷霆万钧.浩大工程展现了国人的智慧和匠心.大坝上不同位置有的坡度“陡峭”,有的“平缓”,我们平常说的词语“陡峭”和“平缓”在数学中是如何刻画的呢?
激趣诱思
知识点拨
1.直线的倾斜角
一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴相交,将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ,则称θ为这条直线的倾斜角;如果这条直线与x轴平行或重合,则规定这条直线的倾斜角为0°.这样直线倾斜角的取值范围为[0°,180°)(即[0,π)).
微判断
平面直角坐标系中的每一条直线都有唯一的倾斜角.(　　)
答案:√
微练习
直线x=0的倾斜角为　　　　.?
答案:90°
激趣诱思
知识点拨
2.直线的斜率
(1)一般地,如果直线l的倾斜角为θ,则当θ≠90°时,称k=tan θ为直线l的斜率;当θ=90°时,称直线l的斜率不存在.
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则当x1≠x2时,直线l的


当x1=x2时,直线l的斜率不存在.
激趣诱思
知识点拨
名师点析 斜率与倾斜角的对应关系
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)任何一条直线都有倾斜角,都存在斜率.(　　)
(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.(　　)
(3)一个倾斜角α不能确定一条直线.(　　)
(4)两条直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等.(　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
微练习
下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是(　　)
A.(4,2)与(-4,1)　　　B.(0,3)与(3,0)
C.(3,-1)与(2,-1) D.(-2,2)与(-2,5)
解析:选项D中,因为x1=x2=-2,所以直线垂直于x轴,倾斜角为90°,即斜率不存在.
答案:D
激趣诱思
知识点拨
微思考
直线的斜率越大,倾斜角越大,对吗?
提示:不对,它们之间的变化规律如下:
①当0°≤α<90°时,随α的增大,斜率k在[0,+∞)范围内增大;②当α=90°时,斜率不存在;
③当90°<α<180°时,随α的增大,斜率k在(-∞,0)范围内增大.
激趣诱思
知识点拨
3.直线的方向向量和直线的法向量
?
定义
符号表示
方向向量
如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合,则称向量a为直线l的一个方向向量
a∥l
法向量
如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直,则称向量v为直线l的一个法向量
v⊥l
激趣诱思
知识点拨
微思考
已知直线l:y=3x+1,你能给出这条直线的方向向量a和法向量v吗?该直线的斜率是多少?
提示:(1)先在直线上取两点A(1,4),B(2,7),
则可令a= (1,3),
那么v=(3,-1).
因此,(1,3)是直线l的一个方向向量,(3,-1)是直线l的一个法向量.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
直线的倾斜角
例1(1)直线x=-1的倾斜角为(　　)
A.135° B.90° C.45° D.0°
(2)下列说法正确的是(　　)
A.一条直线和x轴的正方向所成的角,叫做这条直线的倾斜角
B.直线的倾斜角α在第一或第二象限
C.和x轴平行的直线,它的倾斜角为0°
D.不是每一条直线都有倾斜角
(3)已知直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A.[0°,90°) B.[90°,180°)
C.(90°,180°) D.(0°,180°)
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解析:(1)因为直线与x轴垂直,所以倾斜角为90°.
(2)由倾斜角的定义可知,A错误;倾斜角的范围是[0°,180°),故B错误;和x轴平行的直线的倾斜角是0°,故C正确;每条直线都有倾斜角,故D错误.
(3)直线倾斜角的取值范围是[0°,180°),又直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角α的取值范围是(90°,180°).
答案:(1)B　(2)C　(3)C
反思感悟 求直线的倾斜角的方法及注意点
(1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.
(2)两点注意:
①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°;当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°;
②注意直线倾斜角的取值范围.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1(1)已知直线l的倾斜角为θ-25°,则角θ的取值范围为(　　)
A.[25°,155°)
B.[-25°,155°)
C.[0°,180°)
D.[25°,205°)
(2)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°,则直线l的倾斜角为　　　　.?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解析:(1)因为直线l的倾斜角为θ-25°,
所以θ-25°∈[0°,180°),所以θ∈[25°,205°).
(2)有两种情况:如图①,直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°,即直线l的倾斜角为60°;





如图②,直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°,即直线l的倾斜角为120°.
答案:(1)D　(2)60°或120°
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
直线的斜率和倾斜角的关系
例2已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).
(1)当m为何值时,直线l的斜率是1?
(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°?
分析(1)根据斜率公式列出关于m的方程即可;
(2)当直线倾斜角为90°时,利用直线上点的横坐标相等这一特征列等式即可.


(2)因为直线l的倾斜角为90°,所以直线l的斜率不存在,所以m+1=2m,所以m=1.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟 通过本例的求解,一定要熟练地掌握直线的斜率与倾斜角的对应关系,若直线斜率存在,则除了斜率公式之外还可以应用k=tan α(其中α为直线的倾斜角,k为直线的斜率),斜率为零和斜率不存在时对应的情况要引起重视.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究 (1)本例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围.
(2)若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如何?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
求直线的方向向量和法向量
例3已知直线过点A(-1,-2),B(3,2),试求:
直线的一个方向向量a,法向量v,斜率k与倾斜角θ.






得θ=45°.
综上可知,该直线的一个方向向量为(4,4),法向量为(4,-4),斜率为1,倾斜角为45°.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟 1.求解一条直线的方向向量、法向量、斜率、倾斜角问题,首先明确其定义.
2.利用相应的计算公式以及理解它们之间的内在联系,尤其是可以根据方向向量进而得出法向量,也可以根据方向向量求斜率.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2请写出法向量为(1,2)的一个一次函数(答案不唯一).
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
斜率公式的综合应用
例4已知实数x,y满足y=-2x+8,且2≤x≤3,求 的最大值和最小值.
分析根据 的几何意义,本题的实质是求线段y=-2x+8(2≤x≤3)上的点与原点连线的斜率的最值.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3(1)若过点P(1-a,1+a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是　　　　.?
(2)求证A(1,5),B(0,2),C(2,8)三点共线.
(1)解析:因为直线的倾斜角为钝角,
所以直线的斜率小于0,


答案:(-2,1)
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
易错点——因忽略斜率不存在的情况而致错
案例 设直线l过点A(7,12),B(m,13),求直线l的斜率k,并说明倾斜角α的取值范围.
错因分析上述产生错误的根源是没有讨论m=7这种斜率不存在的情形.
正解:当m=7时,直线l与x轴垂直,
斜率不存在,倾斜角α=90°;
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
防范措施要明确直线的斜率公式是在x1≠x2的条件下才成立的,当x1=x2时斜率是不存在的.因此在遇到点的坐标有参数存在时,要注意参数的取值范围,若不能排除斜率不存在的情形,则需要进行分类讨论.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
迁移应用若直线l的斜率k≤1,求倾斜角α的取值范围.
解:当k≥0时,∵tan 45°=1,∴当0≤k≤1时,0°≤α≤45°;当k<0时,90°<α<180°.
∴当k≤1时,倾斜角α的取值范围是[0°,45°]∪(90°,180°).
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.过点P(-2,m)和点Q(m,4)的直线的斜率为1,则m的值为(　　)
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4


答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.(多选)若两直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,则下列四个命题是假命题的有(　　)
A.若α1<α2,则两直线的斜率k1 B.若α1=α2,则两直线的斜率k1=k2
C.若两直线的斜率k1 D.若两直线的斜率k1=k2,则α1=α2
答案:ABC
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
4.直线l过点A(1,2)且不过第四象限,则l的斜率k的取值范围是　　　　.?
解析:在平面直角坐标系中观察符合题意的直线,再求斜率的范围.如图所示,当直线l在l1位置时,k=0;当直线l在l2位置时,k= =2,故直线l的斜率的取值范围是[0,2].




答案:[0,2]
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
6.已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,求直线l的斜率的取值范围.
解:如图所示,直线l与线段AB相交,只需直线l绕点P按逆时针从PB转到PA,即为直线l的范围.