人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.3.2　圆的一般方程（共29张PPT）

2.3.2　圆的一般方程
核心素养
1.掌握圆的一般方程及其特点.(数学抽象)
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程.(数学运算)
3.能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.(数学运算)
4.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程,并能解决相关实际问题.(数学模型)
5.结合具体实例,初步了解二元二次方程、圆的标准方程和圆的一般方程之间的关系.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
我们已经学习了曲线与方程的关系,也已经认识了直线方程的多种形式,刚刚学习了圆的标准方程,现给出一个二元二次方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D,E,F为常数),请问这个方程在什么条件下是一个圆的方程?
激趣诱思
知识点拨
1.圆的一般方程
圆的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,限制条件是D2+E2-4F>0.
微练习
已知方程x2+y2+x+y+m=0表示一个圆,则实数m的取值范围为　　　　　.?
激趣诱思
知识点拨
2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形
激趣诱思
知识点拨
微练习
方程x3+xy2-2x2+2xy+2x=0表示的图形是　 .?
解析:由题意,得x[(x-1)2+(y+1)2]=0,


所以方程表示的图形为直线x=0或点(1,-1).
答案:直线x=0或点(1,-1)
微思考
若一个二元方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,则系数A,B,C,D,E,F应满足什么条件?
提示:应满足的条件是①A=C≠0;②B=0;③D2+E2-4AF>0.
探究一
探究二
探究三
探究四
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圆的一般方程初步理解
例1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求实数m的取值范围,并写出圆心坐标和半径.
探究一
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探究三
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反思感悟 1.形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法
(1)由圆的一般方程的定义,D2+E2-4F>0成立,则表示圆,否则不表示圆.
(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征进行判断.
应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解.
2.对于一般式方程表示圆求参类问题,也要将其化为标准方程,再将其转化为不等式(方程)的求解问题.
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变式训练1(1)若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是(　　)
A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,1]
(2)当圆C:x2+y2-4x-2my+2m=0的面积最小时,m的取值是(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
解析:(1)因为x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,
则16+4-4×5k>0,所以k<1.
(2)∵圆C:x2+y2-4x-2my+2m=0,
∴圆C的标准方程为(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4,从而对于圆C的半径r有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3,所以当m=1时,r2取得最小值,
从而圆C的面积πr2在m=1时取得最小值.
答案:(1)A　(2)D
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求圆的一般方程
例2已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).
(1)求△ABC的外接圆的一般方程;
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求a的值.
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(2)由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0,∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上,
∴a2+22-8a-2×2+12=0,
即a2-8a+12=0,解得a=2或6.
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反思感悟 应用待定系数法求圆的方程时应注意的问题
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.
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延伸探究 若本例中将“点C(3,-1)”改为“圆C过A,B两点且圆C关于直线y=-x对称”,其他条件不变,如何求圆C的方程?
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求动点的轨迹方程问题
例3如图,已知线段AB的中点C的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的端点B的轨迹方程.
解:设B点坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0),由于点C的坐标是(4,3)且C是线段AB的中点,所以 ,于是有x0=8-x,y0=6-y.①
因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,
所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4,
即(x0+1)2+ =4,②
把①代入②,得(8-x+1)2+(6-y)2=4,
整理,得(x-9)2+(y-6)2=4.
所以点B的轨迹方程为(x-9)2+(y-6)2=4.
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例4已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),点B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.
解:(1)设线段AP的中点M的坐标为(x,y),P的坐标为(x0,y0),



又P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,
∴(2x-2)2+(2y)2=4,∴(x-1)2+y2=1.
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
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(2)设PQ的中点为N(x,y),
在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,
设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,
所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,
所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
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反思感悟 与圆有关的轨迹问题可结合圆的有关性质解决,解决的方法可以是直接法、定义法、相关点代入法等.
(1)直接法:根据题设,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点所满足的关系式;
(2)定义法:当所列出的关系式符合圆的定义时,可利用定义写出点的轨迹方程;
(3)相关点代入法:若动点P(x,y)因为已知圆上的另一动点Q(x1,y1)而运动,且x1,y1可用x,y表示,则将Q点的坐标代入已知圆的方程,求得动点的轨迹方程.
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变式训练2已知点P在圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上运动,求线段OP的中点M的轨迹方程.
解:(方法一)设点M(x,y),点P(x0,y0),



因为点P(x0,y0)在圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上,

所以(2x)2+(2y)2-8·(2x)-6·(2y)+21=0,
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(方法二)设点M的坐标为(x,y),连接OC,PC,取线段OC的中点A,连接MA.
圆C的方程可化为(x-4)2+(y-3)2=4,圆心C(4,3),|CP|=2,则点A的坐
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求圆关于点(线)对称的圆
例5试求圆C:x2+y2-x+2y=0关于直线l:x-y+1=0对称的曲线C'的方程.
解:(方法一)设P'(x,y)为所求曲线C'上任意一点,P'关于l的对称点为P(x0,y0),则P(x0,y0)在圆C上.




所以(y-1)2+(x+1)2-(y-1)+2(x+1)=0.
化简,得x2+y2+4x-3y+5=0,
即曲线C'的方程是x2+y2+4x-3y+5=0.
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(方法二)特殊对称




反思感悟 1.求圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2关于点P(x0,y0)对称的圆的方程,首先要找出圆心C(a,b)关于点P(x0,y0)的对称点,得到对称圆的圆心,半径不变,即得所求圆的方程.
2.求圆关于直线mx+ny+p=0对称的圆的方程,只需求出圆心关于直线的对称点即可.
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变式训练3若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于(　　)
解析:由题意知直线2x-y+3=0经过该圆圆心.因此将圆心(k,0)代入直线方程得k=- .
答案:B
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易错辨析——因忽视二元二次方程表示圆的条件而致错
案例 已知定点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,求a的取值范围.
错解:∵点A在圆外,∴a2+4-2a2-3×2+a2+a>0,∴a>2.
错因分析本题错解的根源是仅利用了点在圆外的条件,而忽略了方程作为圆的方程而蕴含的a的范围的限制.
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防范措施在讨论含有参数的二元二次方程时,一定要明确,只有当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0才表示圆,因此在与其他条件相融合时,一定不要漏掉这一隐含信息.
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1.若圆的一般方程为x2+y2+6x+6=0,则该圆的圆心和半径分别是(　　)


答案:D
2.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+8=0,那么经过圆心的一条直线的方程是(　　)
A.2x-y+1=0 B.2x+y+1=0
C.2x-y-1=0 D.2x+y-1=0
解析:圆心坐标为(1,-3),检验知2x+y+1=0过圆心(1,-3).
答案:B
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3.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是(　　)
A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=1 D.(x+2)2+(y-1)2=1
解析:设圆上任意一点的坐标为(x1,y1),其与点P连线的中点为(x,y),



代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.
答案:A
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4.如果x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k的取值范围是　　　　　.?



5.已知圆的方程为x2+y2-2x=0,点P(x,y)在圆上,则2x2+y2的最大值为　　　　　,最小值为　　　　　.?
解析:由x2+y2-2x=0得y2=-x2+2x≥0,解得0≤x≤2,所以2x2+y2=x2+2x=(x+1)2-1∈[0,8],
当x=0时,2x2+y2取最小值0,
当x=2时,2x2+y2取最大值8,
故2x2+y2的最小值为0,最大值为8.
答案:8　0
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6.已知圆经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2),且与y轴交于M,N两点,试求线段MN的长.
解:设圆的一般式方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,
由于圆经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2),



x2+y2-2x-3=0,
整理得(x-1)2+y2=4,
则圆心到y轴的距离d=1,半径r=2,