人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.3.3　直线与圆的位置关系（共32张PPT）

2.3.3　直线与圆的位置关系
核心素养
1.能熟练地解二元方程组,并能运用解方程或方程组来解决直线与圆的位置关系问题.(数学抽象)
2.能根据给定的直线的方程、圆的方程用代数法和几何法两种方法来判断直线与圆的位置关系.(逻辑推理)
3.掌握求圆的切线方程的方法,并会求与圆有关的最值问题.(数学运算,直观想象)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
如图是一个休闲娱乐广场,广场的中心是一块圆形区域的场地,旁边被绿化植物包围,小路贯穿其中,旁边的马路也与广场相望.把圆形区域看成圆面,道路看成直线,人看成点.
1.如果一个小孩在广场里玩,他也恰好处在一条小路上,该小路穿越中心圆形区域,你觉得这个小孩在圆形区域内吗?
2.如果一个小孩在圆形区域里玩,他也恰好处在一条小路上,该小路穿过圆形区域吗?
3.如果一个人在圆形区域里玩(不在圆心),假设此人的坐标为(a,b),圆形区域的方程为x2+y2≤r2,另有一条小路对应的直线方程为ax+by=r2,该小路与圆形区域有何位置关系?
激趣诱思
知识点拨
直线与圆的位置关系
直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),设圆心(a,b)到直线的距离是d,
位置
关系
几何特征
代数特征
(方程联立)
公共点
个数
相离
d>r
无实数解(Δ<0)
0
相切
d=r
一组实数解(Δ=0)
1
相交
d 两组实数解(Δ>0)
2
激趣诱思
知识点拨
微练习
直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是(　　)
A.相切　　　　　　　　　　B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离


∴直线与圆x2+y2=1相交,
又(0,0)不在y=x+1上,∴直线不过圆心.
答案:B
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)过圆上一点有几条切线?过圆外一点有几条切线?若点(x0,y0)是圆x2+y2=r2上的点,你能得出过点(x0,y0)的圆的切线方程吗?
提示:过圆上一点一定有1条切线,过圆外一点一定有2条切线.过圆上一点(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆C内一点P(不同于圆心)的所有弦中,何时弦最长?何时弦最短?
提示:过圆内一点P的所有弦中,当弦经过圆心C时弦最长,等于直径的长;当弦与过点P的直径垂直时弦最短.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
直线与圆的位置关系的判断
例1求实数m的取值范围,使直线x-my+3=0与圆x2+y2-6x+5=0分别满足:①相交;②相切;③相离.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
变式训练1(1)(多选)已知ab≠0,O为坐标原点,点P(a,b)是圆x2+y2=r2外一点,过点P作直线l⊥OP,直线m的方程是ax+by=r2,则下列结论正确的是(　　)
A.m∥l B.m⊥l
C.m与圆相离 D.m与圆相交





答案:AD
探究一
探究二
探究三
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(2)已知直线l:x-2y+5=0与圆C:(x-7)2+(y-1)2=36,判断直线l与圆C的位置关系.
探究一
探究二
探究三
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求切线方程
例2(1)由直线y=x+1上任一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则该切线长的最小值为(　　)
答案:C
探究一
探究二
探究三
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(2)过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线,求切线的方程.
分析先明确点M(2,4)与圆的关系,再利用d=r列式来刻画相切这一条件.本题若使用点斜式设切线方程,一定要检验斜率不存在的情况.
解:由于(2-1)2+(4+3)2=50>1,故点M在圆外.
当切线斜率存在时,设切线方程是y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,


所以切线方程为24x-7y-20=0.
又当切线斜率不存在时,直线x=2与圆相切.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟 求圆的切线方程的三种方法
(1)几何法:设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出未知量,此种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意,则直接写出切线方程.
(2)代数法:设出切线方程后与圆的方程联立消元,利用判别式等于零,求出未知量,若消元后的方程为一元一次方程,则说明要求的切线中,有一条切线的斜率不存在,可直接写出切线方程.
(3)设切点坐标:先利用切线的性质解出切点坐标,再利用直线的两点式写出切线方程.
探究一
探究二
探究三
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延伸探究 (1)本例(2)中,若所给点M的坐标是(1,-4),圆的方程不变,求切线方程.
(2)本例(2)条件不变,试求切线长.
解:(1)由于(1-1)2+(-4+3)2=1,故点(1,-4)在圆上,又圆心为(1,-3),所以切线斜率为0,所以切线方程为y=-4,即y+4=0.
探究一
探究二
探究三
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变式训练2(1)(多选)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)过点P(2,3)且与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线的方程为　　　.?
探究一
探究二
探究三
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(2)P(2,3)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外,
∴过点P(2,3)与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线有两条.当斜率存在时,设切线的斜率为k,
则切线方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,


当斜率不存在时,切线方程为x=2.
答案:(1)AB　(2)x=2或y=3
探究一
探究二
探究三
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与圆有关的最值问题
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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反思感悟 1.与圆有关的最值问题,可借助几何特征及几何法先确定达到最值的位置,再进行计算.有些与圆有关的最值问题涉及是否过圆心,有时注意考虑表达式中字母的几何意义,如两点间距离公式、斜率公式、在y轴上的截距等.
2.对于本题而言,解决的关键是理解m和b的几何意义,同时要借助分界线探求参数的取值范围.
探究一
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探究三
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变式训练3直线y=x-1上的点与圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点的距离的最小值为(　　)






答案:C
探究一
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思想方法——用代数法和几何法研究弦长问题
案例 1过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦长为　　　　　.?
解析:设点A(3,1),易知圆心C(2,2),半径r=2.
当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦,
探究一
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(1)求圆C的方程;
(2)若直线3x-y+1=0与圆C相交于A,B两点,求线段AB的长;
(3)设过点(-1,0)的直线l与圆C相交于M,N两点,试问:是否存在直线l,使得以MN为直径的圆经过原点O?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
探究一
探究二
探究三
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探究一
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(3)存在直线l满足题意.理由如下,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
由题意,知OM⊥ON,且OM,ON 的斜率均存在,




②当直线l 的斜率存在时,可设直线l 的方程为y=k(x+1),代入(x-1)2+(y+2)2=9,
得(1+k2)x2+(2k2+4k-2)x+k2+4k-4=0,
探究一
探究二
探究三
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探究一
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探究一
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2.若涉及直线和圆相交的问题,除了借助平面几何知识进行分析,还经常利用联立方程,用解方程组的思路来讨论有关弦长和垂直等问题.
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1.直线3x+4y-25=0与圆x2+y2=9的位置关系为(　　)
A.相切 B.相交
C.相离 D.相离或相切
答案:C
2.对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是(　　)
A.相离 B.相切
C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
解析:直线y=kx+1恒过定点(0,1),由定点(0,1)在圆x2+y2=2内,知直线y=kx+1与圆x2+y2=2一定相交.又直线y=kx+1不过圆心(0,0),则位置关系是相交但直线不过圆心,故选C.
答案:C
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3.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-3,-1] B.[-1,3]
C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)



答案:C
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4.已知直线l:mx+y-3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4交于A,B两点,过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=4,则|CD|=　　　　　.?
解析:圆(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2),半径r=2,
∵|AB|=4,∴直线l:mx+y-3=0过圆心(1,2),
∴m+2-3=0,∴m=1,
∴直线l:x+y-3=0,倾斜角为135°,
∵过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,
探究一
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探究三
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5.记x2+y2≤1表示的平面区域为W,点O为原点,点P为直线y=2x-2上的一个动点,若区域W上存在点Q,使得|OQ|=|PQ|,试求|OP|的最大值.







解:画出直线y=2x-2与平面区域W,如图所示,
易知|OQ|≤1,在△OQP中,|OQ|+|QP|>|OP|,当且仅当O,Q,P三点共线时,有|OQ|+|QP|=|OP|.所以当|OQ|=1时,|OP|取最大值2.