人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.7.2　抛物线的几何性质（共42张PPT）

2.7.2　抛物线的几何性质
核心素养
1.掌握抛物线的简单几何性质.(直观想象)
2.了解抛物线几何性质的简单应用.(数学运算)
3.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同.(逻辑推理)
4.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题.(直观想象、数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面.这种抛物面形状,正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜的形状.这种形状,使得车灯既能够发射出明亮的、照射很远的平行光束,又能发射出较暗的、照射近距离的光线,这也就是汽车的远光灯和近光灯.那么它的工作原理是什么?
激趣诱思
知识点拨
1.抛物线y2=2px(p>0)的几何性质
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)掌握抛物线的性质,重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”,它们分别指的是什么?
提示:“两点”是指抛物线的焦点和顶点;“两线”是指抛物线的准线和对称轴;“一率”是指离心率1;“一方向”是指抛物线的开口方向.
(2)抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些?
提示:抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.
激趣诱思
知识点拨
2.抛物线四种形式的标准方程及其性质
激趣诱思
知识点拨
标准方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
焦点坐标





准线方程





顶点坐标
O(0,0)
离心率
e=1
激趣诱思
知识点拨
名师点析 1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,
其共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的 ;(4)焦点到准线的距离均为p.
其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x2;(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.
2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.
激趣诱思
知识点拨
微练习
以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为(　　)
A.y2=8x
B.y2=-8x
C.y2=8x或y2=-8x
D.x2=8y或x2=-8y
解析:设抛物线方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依题意得x= ,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4.∴抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.
答案:C
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)抛物线关于顶点对称.(　　)
(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.(　　)
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.(　　)
答案:(1)×　(2)√　(3)√
微思考
怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?
提示:一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向.
如果y是一次项,负时向下,正时向上.
如果x是一次项,负时向左,正时向右.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
抛物线的几何性质的应用
例1(1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△AOB的面积是(　　)
A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2
(2)如图所示,F是抛物线y2=4x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=4x及圆x2+y2-2x-3=0的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围是(　　)
A.(4,6)
B.[4,6]
C.(2,4)
D.[2,4]
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
解析:(1)因为抛物线的对称轴为x轴,内接△AOB为等腰直角三角形,所以由抛物线的对称性知,直线AB与抛物线的对称轴垂直,从而直线OA与x轴的夹角为45°.
探究一
探究二
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(2)由题意知抛物线y2=4x的准线为x=-1,
设A,B两点的坐标分别为A(x1,y0),B(x2,y0),
则|AF|=x1+1.


∵B在图中圆(x-1)2+y2=4的实线部分上运动,
∴1 ∴△FAB的周长为|AF|+|FB|+|BA|=(x1+1)+2+(x2-x1)=x2+3∈(4,6).
答案:(1)B　(2)A
探究一
探究二
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(3)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交于A,B两点,|AB|=2 ,求抛物线方程.
解:由已知,抛物线的焦点可能在x轴正半轴上,也可能在负半轴上.故可设抛物线方程为y2=ax(a≠0).
设抛物线与圆x2+y2=4的交点A(x1,y1),B(x2,y2).
∵抛物线y2=ax(a≠0)与圆x2+y2=4都关于x轴对称,
∴A与B关于x轴对称,
探究一
探究二
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反思感悟 研究抛物线的几何性质要从三个方面入手
(1)开口:由抛物线的标准方程看图像开口,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.
(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.
(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
变式训练1已知抛物线y2=8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;
(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
解:(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0.
(2)如图所示,由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,垂足为点M,
又焦点F是△OAB的重心,
探究一
探究二
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直线与抛物线的关系
例2(1)对于抛物线C:y2=4x,我们称满足 <4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部.若点M(x0,y0)在抛物线内部,则直线l:y0y=2(x+x0)与曲线C(　　)
A.恰有一个公共点
B.恰有2个公共点
C.可能有一个公共点,也可能有两个公共点
D.没有公共点



答案:D
探究一
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探究一
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反思感悟 1.直线与抛物线位置关系的判断方法
设直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.
(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
(2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;
当Δ<0时,直线与抛物线相离,无公共点.
探究一
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2.求抛物线弦长问题的方法
(1)一般弦长公式


(2)焦点弦长
设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2即可.
(3)解决焦点弦问题时,应注意焦点弦的几何性质.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率等问题,注意利用根与系数的关系,设而不求,能避免繁杂的计算.
探究一
探究二
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延伸探究 若例2(2)条件不变,求弦AB的中点M到y轴的距离.
探究一
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变式训练2(1)过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2).当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时, 的值为(　　)
A.- B.-2
C.2 D.无法确定
探究一
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答案:B
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(2)已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x.当k为何值时,l与C只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点.
探究一
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(ⅰ)当Δ>0,即k<1,且k≠0时,
l与C有两个公共点,此时直线l与C相交;
(ⅱ)当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;
(ⅲ)当Δ<0,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.
综上所述,当k=1或0时,l与C有一个公共点;
当k<1且k≠0时,l与C有两个公共点;
当k>1时,l与C没有公共点.
探究一
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与抛物线有关的最值问题
例3(1)抛物线y2=4x上的点P(x,y)到(0,3)的距离与到准线距离之和的最小值是　　　　　.?
解析:如图所示,
设此抛物线的焦点为F(1,0),准线l:x=-1.
过点P作PM⊥l,垂足为M.
则|PM|=|PF|.
设Q(0,3),因此当F,P,Q三点共线时,|PF|+|PQ|取得最小值.
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探究三
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(2)求抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的最小距离.
解:方法一:设A(t,-t2)为抛物线上的点,
则点A到直线4x+3y-8=0的距离
探究一
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探究一
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反思感悟 1.求抛物线上一点到定直线的距离的最值,最常见的解题思路:
一是利用抛物线的标准方程进行消元代换,得到有关距离的含变量的代数式,以计算函数最值来解决.
二是转化两平行线间距离,代入两平行线间距离公式可求得.
2.建立形与数的联系,提升数形结合的能力,有利于优化解题的方式与方法.
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答案:B
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易错点——因不理解抛物线的标准方程的形式而致错
案例 设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.



故所求抛物线的标准方程为y=8x2.
错因分析本题在解答过程中容易出现两个错误:一是不能正确理解抛物线标准方程的形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程,得到准线方程为y=- ;二是得到准线方程后,只分析其中的一种情况,而忽略了另一种情况,只得到了一个解.
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答案:D
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2.已知抛物线y=4x2上一点P到焦点的距离为1,则点P的纵坐标为(　　)
答案:C
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3.若点P在抛物线y2=x上,点Q在圆M:(x-3)2+y2=1上,则|PQ|的最小值是(　　)
答案:D
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答案:3
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5.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.
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6.已知y=x+m与抛物线y2=8x交于A,B两点.
(1)若|AB|=10,求实数m的值;
(2)若OA⊥OB,求实数m的值.
探究一
探究二
探究三
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(2)因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=m2+8m=0,
解得m=-8或m=0(舍去).
所以m=-8,经检验符合题意.