人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系（共37张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系（共37张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-06 14:37:52 | ||
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文档简介
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
核心素养
1.清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系.(数学抽象)
2.会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题.(数学运算)
3.加强数形结合思想的训练与应用.(直观想象)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
廊桥,顾名思义,桥上建有廊屋的桥,以便过往的行人在桥上纳凉休息,躲避风雨日晒.江西省境内就保存着大量的古廊桥,这些古廊桥最早建于唐代,最晚建于清代末期,是我国重要的文化
遗产.风雨廊桥、徽派建筑、青石小道勾勒出了独具韵味的古典美,犹如一幅恬静的水墨丹青画卷.这幅画卷不仅给大家带来艺术美的享受,里面还蕴含着建筑结构、几何图形等理性的知识,比如,桥洞的截面有的呈半圆形,有的是方形,还有的呈抛物线形,如果把桥面的边沿和廊屋的立柱看成线段,同学们能找出直线和抛物线的哪些关系?
激趣诱思
知识点拨
1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,有且只有一个公共点及有两个相异的公共点.
(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程,消元后所得方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.
如消去y后得ax2+bx+c=0.
激趣诱思
知识点拨
①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).
②若a≠0,设Δ=b2-4ac.
Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点;
Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点;
Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点.
激趣诱思
知识点拨
微判断
答案:(1)× (2)√ (3)×
微思考
椭圆与圆类似,是封闭曲线,能否用中心到直线的距离来判断直线与椭圆的位置关系?
提示:不能.椭圆虽然与圆类似,但中心到椭圆上各点的距离不完全相等.
激趣诱思
知识点拨
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦
(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,利用两点间距离公式直接运算.
激趣诱思
知识点拨
微练习
顶点在原点,焦点在x轴上且截直线2x-y+1=0所得弦长为 的抛物线方程为 .?
解析:设所求抛物线的方程为y2=ax(a≠0).①
直线方程变形为y=2x+1,②
设抛物线截直线所得弦为AB.
将②代入①,整理得4x2+(4-a)x+1=0,
答案:y2=12x或y2=-4x
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
点与椭圆位置关系的判断
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟 处理点与椭圆位置关系问题时,紧扣判定条件,然后转化为解不等式等问题,注意求解过程与结果的准确性.对于椭圆来说:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究 若将本例中P点坐标改为“P(1,k)”呢?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
直线与圆锥曲线的位置关系判断
例2已知直线l:kx-y+2-k=0,双曲线C:x2-4y2=4,当k为何值时,
(1)l与C无公共点;
(2)l与C有唯一公共点;
(3)l与C有两个不同的公共点.
分析直线与圆锥曲线的公共点的个数,就等于直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组的解的个数.因此本题可转化为方程组解的个数的判定,从而确定参数的取值.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,可将直线l的方程代入曲线C的方程,消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).
(1)当a≠0时,若Δ>0,则直线l与曲线C相交;若Δ=0,则直线l与曲线C相切;若Δ<0,则直线l与曲线C相离.
(2)当a=0时,即得到一个一次方程,则直线l与曲线C相交,且只有一个交点.此时,若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物线的对称轴.
(3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线或抛物线可能相切,也可能相交.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1已知直线l:y=2x+m,椭圆C: .试问当m取何值时,直线l与椭圆C:
(1)有两个不同的公共点;
(2)有且只有一个公共点;
(3)没有公共点?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
相交弦长问题
例3已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与椭圆交于P,Q两点,且OP⊥OQ,|PQ|= ,求椭圆的方程.
分析设出椭圆方程,将椭圆方程和直线方程联立消去y,转化为关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系,根据向量数量积和弦长公式建立方程组求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟 若直线l与圆锥曲线F(x,y)=0相交于A,B两点,求弦AB的长可用下列两种方法:
(1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立,解得点A,B的坐标,然后用两点间距离公式,便得到弦AB的长,一般来说,这种方法较为麻烦.
(2)不求交点坐标,可用一元二次方程根与系数的关系求解.
设直线方程为y=kx+m,与圆锥曲线F(x,y)=0交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2抛物线y2=12x截直线y=2x+1所得弦长等于( )
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
中点弦问题
(1)以P(2,-1)为中点的弦所在直线的方程;
(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;
(3)过Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程.
分析可利用平方差法求解,在求轨迹方程时要注意变量的范围.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为R(x,y),则2x=x1+x2,2y=y1+y2.
又A,B两点均在椭圆上,
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟 对中点弦问题,常用的解题方法——平方差法,其解题步骤为:(1)设点,即设出弦的两端点坐标;(2)代入,即代入圆锥曲线方程;(3)作差,即两式相减,然后用平方差公式把上式展开,整理.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( )
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
存在性问题之探究
案例 已知双曲线2x2-y2=2,过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于点Q1,Q2,且点B是弦Q1Q2的中点,若存在这样的直线l,求出它的方程;若不存在,请说明理由.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
归纳提升(1)利用“点差法”解题,其过程是无法保证直线与双曲线相交的,因此必须对所求得直线方程的存在性进行验证.
(2)确定好运算方法,形成运算程序的完备性,有利于培养学生一丝不苟、严谨求实的科学素养.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2- =1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是 .?
解析:设线段AB的中点为M(x0,y0),
∴x0=m,∴y0=x0+m=2m,
∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,
∴m2+(2m)2=5,∴m=±1,
检验可知判别式Δ>0.故m=±1.
答案:±1
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
4.抛物线x2=-y上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值为 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
核心素养
1.清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系.(数学抽象)
2.会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题.(数学运算)
3.加强数形结合思想的训练与应用.(直观想象)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
廊桥,顾名思义,桥上建有廊屋的桥,以便过往的行人在桥上纳凉休息,躲避风雨日晒.江西省境内就保存着大量的古廊桥,这些古廊桥最早建于唐代,最晚建于清代末期,是我国重要的文化
遗产.风雨廊桥、徽派建筑、青石小道勾勒出了独具韵味的古典美,犹如一幅恬静的水墨丹青画卷.这幅画卷不仅给大家带来艺术美的享受,里面还蕴含着建筑结构、几何图形等理性的知识,比如,桥洞的截面有的呈半圆形,有的是方形,还有的呈抛物线形,如果把桥面的边沿和廊屋的立柱看成线段,同学们能找出直线和抛物线的哪些关系?
激趣诱思
知识点拨
1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,有且只有一个公共点及有两个相异的公共点.
(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程,消元后所得方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.
如消去y后得ax2+bx+c=0.
激趣诱思
知识点拨
①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).
②若a≠0,设Δ=b2-4ac.
Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点;
Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点;
Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点.
激趣诱思
知识点拨
微判断
答案:(1)× (2)√ (3)×
微思考
椭圆与圆类似,是封闭曲线,能否用中心到直线的距离来判断直线与椭圆的位置关系?
提示:不能.椭圆虽然与圆类似,但中心到椭圆上各点的距离不完全相等.
激趣诱思
知识点拨
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦
(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,利用两点间距离公式直接运算.
激趣诱思
知识点拨
微练习
顶点在原点,焦点在x轴上且截直线2x-y+1=0所得弦长为 的抛物线方程为 .?
解析:设所求抛物线的方程为y2=ax(a≠0).①
直线方程变形为y=2x+1,②
设抛物线截直线所得弦为AB.
将②代入①,整理得4x2+(4-a)x+1=0,
答案:y2=12x或y2=-4x
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
点与椭圆位置关系的判断
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟 处理点与椭圆位置关系问题时,紧扣判定条件,然后转化为解不等式等问题,注意求解过程与结果的准确性.对于椭圆来说:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究 若将本例中P点坐标改为“P(1,k)”呢?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
直线与圆锥曲线的位置关系判断
例2已知直线l:kx-y+2-k=0,双曲线C:x2-4y2=4,当k为何值时,
(1)l与C无公共点;
(2)l与C有唯一公共点;
(3)l与C有两个不同的公共点.
分析直线与圆锥曲线的公共点的个数,就等于直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组的解的个数.因此本题可转化为方程组解的个数的判定,从而确定参数的取值.
探究一
探究二
探究三
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探究一
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探究一
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当堂检测
反思感悟 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,可将直线l的方程代入曲线C的方程,消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).
(1)当a≠0时,若Δ>0,则直线l与曲线C相交;若Δ=0,则直线l与曲线C相切;若Δ<0,则直线l与曲线C相离.
(2)当a=0时,即得到一个一次方程,则直线l与曲线C相交,且只有一个交点.此时,若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物线的对称轴.
(3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线或抛物线可能相切,也可能相交.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1已知直线l:y=2x+m,椭圆C: .试问当m取何值时,直线l与椭圆C:
(1)有两个不同的公共点;
(2)有且只有一个公共点;
(3)没有公共点?
探究一
探究二
探究三
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素养形成
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探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
相交弦长问题
例3已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与椭圆交于P,Q两点,且OP⊥OQ,|PQ|= ,求椭圆的方程.
分析设出椭圆方程,将椭圆方程和直线方程联立消去y,转化为关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系,根据向量数量积和弦长公式建立方程组求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
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反思感悟 若直线l与圆锥曲线F(x,y)=0相交于A,B两点,求弦AB的长可用下列两种方法:
(1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立,解得点A,B的坐标,然后用两点间距离公式,便得到弦AB的长,一般来说,这种方法较为麻烦.
(2)不求交点坐标,可用一元二次方程根与系数的关系求解.
设直线方程为y=kx+m,与圆锥曲线F(x,y)=0交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
探究二
探究三
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变式训练2抛物线y2=12x截直线y=2x+1所得弦长等于( )
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
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中点弦问题
(1)以P(2,-1)为中点的弦所在直线的方程;
(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;
(3)过Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程.
分析可利用平方差法求解,在求轨迹方程时要注意变量的范围.
探究一
探究二
探究三
探究四
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解:设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为R(x,y),则2x=x1+x2,2y=y1+y2.
又A,B两点均在椭圆上,
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
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反思感悟 对中点弦问题,常用的解题方法——平方差法,其解题步骤为:(1)设点,即设出弦的两端点坐标;(2)代入,即代入圆锥曲线方程;(3)作差,即两式相减,然后用平方差公式把上式展开,整理.
探究一
探究二
探究三
探究四
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变式训练3已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( )
探究一
探究二
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答案:C
探究一
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存在性问题之探究
案例 已知双曲线2x2-y2=2,过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于点Q1,Q2,且点B是弦Q1Q2的中点,若存在这样的直线l,求出它的方程;若不存在,请说明理由.
探究一
探究二
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探究四
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归纳提升(1)利用“点差法”解题,其过程是无法保证直线与双曲线相交的,因此必须对所求得直线方程的存在性进行验证.
(2)确定好运算方法,形成运算程序的完备性,有利于培养学生一丝不苟、严谨求实的科学素养.
探究一
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答案:A
探究一
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探究四
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2.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案:C
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3.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2- =1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是 .?
解析:设线段AB的中点为M(x0,y0),
∴x0=m,∴y0=x0+m=2m,
∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,
∴m2+(2m)2=5,∴m=±1,
检验可知判别式Δ>0.故m=±1.
答案:±1
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4.抛物线x2=-y上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值为 .?
探究一
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