人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.2.5　空间中的距离（共35张PPT）

1.2.5　空间中的距离
核心素养
1.理解图形与图形之间的距离的概念.(数学抽象)
2.理解并掌握两点之间、点到直线、点到平面、相互平行的直线与平面、相互平行的平面与平面之间的距离的概念及它们之间的相互转化,会用法向量求距离.(直观想象、数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
在生活中可以看到很多道路上都有限高杆.主要的作用就是为了防止过高的车辆通过,以保障车辆和路上的设备设施的安全.比如限高路段内有不能移动的重要电缆、管道,或者涵洞,或者附近有高速路桥、铁路桥等.图中所示,限高3.1米,同学们,你知道3.1 m指的哪段距离,数学中的距离是如何定义的呢?
激趣诱思
知识点拨
1.空间中两点之间的距离
微练习
若已知点A(1,1,1),B(-3,-3,-3),则线段AB的长为(　　)
答案:A
激趣诱思
知识点拨
2.点到直线的距离
n0是直线l的单位方向向量,A∈l,则点P到直线l的距离
微判断
直线l外一点A到直线l的距离就是在直线l上任取一点B,点A与点B之间线段的长度.(　　)
答案:×
激趣诱思
知识点拨
3.点到平面的距离
一般地,若A是平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则点A到平面α的距离
微判断
平面α外一点A到平面α的距离,就是点A与平面内一点B所成向量
的长度.(　　)
答案:×
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则P(-2,1,4)到α的距离为(　　)
答案:D
激趣诱思
知识点拨
4.相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离
(1)如果直线l与平面α平行,n是平面α的一个法向量,A,B分别是l上和α内的点,则直线l与平面α之间的距离为
(2)如果平面α与平面β平行,n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量),A和B分别是平面α与平面β内的点,则平面α与平面β之间的距离为
名师点析 解决立体几何问题的三种方法
1.综合方法:以逻辑推理作为工具解决问题.
2.向量方法:利用向量的概念及其运算解决问题.
3.坐标方法:建立直角坐标系,利用坐标表示几何对象或向量,通过运算解决几何问题.
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离.(　　)
(2)若平面α∥平面β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离.(　　)
答案:(1)√　(2)√
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知平面α∥平面β,直线l?α,α与β之间的距离为d,有下列四个命题:
①β内有且仅有一条直线与l的距离为d;
②β 内所有的直线与l的距离都等于d;
③β内有无数条直线与l的距离为d;
④β内所有直线与α的距离都等于d.
其中真命题是(　　)　　　　　　　　　　
A.① B.② C.①④ D.③④
解析:在直线l上任取一点O,过O作OA⊥β于A,在平面β内,与l不平行的所有直线与l距离都是d,否则不一定是d,所以①②错误,故选D.
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求两点间的距离
例1已知在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,沿对角线AC折叠,使平面ABC与平面ADC垂直,求点B,D之间的距离.
分析本题既可利用向量模求解,也可建立坐标系利用距离公式求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解法二过点D作DE⊥AC于点E,过点B作BF⊥AC于点F,过点E作FB的平行线EP,以E为坐标原点,EP,EC,ED所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究 若将例1中条件“使平面ABC与平面ADC垂直”变为“使平面ABC与平面ADC重叠”,则结论又如何?
解:当改变条件后,就变为了平面几何问题,如图所示,BD=EF,又由例1中结论可知BD=AC-2AE= .
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是(　　)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求点到直线的距离
例2如图,在空间直角坐标系中,有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3,求点B到直线A'C的距离.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 求点到直线的距离在特定的几何结构中还可以直接根据定义用平面几何知识解决或用体积法解决,但这两类解法技巧性强.用向量法就避免了这一构造技巧,但要注意在选取方向向量时要用上几何体中的已知点,然后用向量计算公式解决.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,E,F分别是C1C,D1A1的中点,求点A到EF的距离.
解:以D点为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图所示,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
点到平面的距离
例3如图,已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.





(1)求点D到平面PEF的距离;
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 用向量法求点到面的距离关键还是建系,其次是法向量的求解.本例中还要注意P,E,F,H共面这一条件,因此有x+y+z=1这一隐含条件.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练3如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.



(1)求证:AB1⊥A1D;
(2)求点C到平面A1BD的距离.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(1)证明:如图,取BC的中点O,连接AO.
∵△ABC为等边三角形,∴AO⊥BC.
∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,
∴AO⊥平面BCC1B1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
思想方法——向量法求解线面距问题
案例 已知边长为4的正三角形ABC,E,F分别为BC和AC的中点.PA=2,且PA⊥平面ABC,设Q是CE的中点.
(1)求证:AE∥平面PFQ;
(2)求AE与平面PFQ间的距离.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(1)证明:如图所示,以A为坐标原点,平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴,AC所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系.
∵AP=2,AB=BC=AC=4,又E,F分别是BC,AC的中点,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
归纳提升1.本题(1)通过向量运算证明线面平行,(2)中利用线面距转化为点面距,选择向量运算来解.合理选择运算方法,设计运算程序,有利于提升学生的数学运算素养.
2.此类问题综合体现了用向量解决距离问题的便捷性.虽然有些计算较复杂,但思路很简捷,省去了很多辅助线的构造.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是(　　)
解析:分别以PA,PB,PC所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.已知直线l经过点A(2,3,1),且向量n=(1,0,-1)所在直线与l垂直,则点P(4,3,2)到l的距离为　　　　.?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点,则点A到平面EFG的距离为　　　　.?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:建系如图,则A(2,0,0),