2.5.2 三角函数的应用（含答案）
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第二章 直角三角形的边角关系
2.5 三角函数的应用
第2课时
知识梳理
知识点1 坡度与坡角
斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示.坡面的___________与__________的比叫做坡度（或坡比）.坡面
与水平面的夹角叫做____________。坡度是坡角的_____________。
知识点2 方向角
如图所示，在平面上过观3测点O作一条水平线（向右为东方）和一条铅垂线（向上为北方），则从点O出发的视线与铅垂线（南北方向线）的夹角，叫做点O的方向角。
如图所示，点A关于点O的方向角为北偏东_________，点B关于点O的方向角为南偏西________。
注意 （1）方向角通常是以南北方向线（指南针）为主，分南偏东（西）或北偏东（西）.（2）观测点不同，所得的方向角也不同.如图所示，观测点O关于点B的方向角为北偏东60°，但各个观测点的南北方向线或东西方向线是互相平行的。
考点突破
考点① 与坡度、坡角有关的实际问题
典例1 如图所示，水库大坝横断面是梯形，坝顶BC宽为8 m，坝高为23 m，斜坡AB的坡度i＝1:，斜坡CD的坡度为i′＝1:1，求斜坡AB的长、坡角a和坝底AD的长.（结果精确到0.1m，参考数据:≈1.732）
思路导析: 过点B作BE⊥AD，垂足为点E，过点C作CF⊥AD，垂足为点F，则可把梯形问题转化为解直角三角形的问题根据坡度的定义，可求出有关线段长和坡角的大小。
解:过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F.
∵i＝tana＝1:，∴∠a＝30°。
在Rt△ABE中，∵∠A＝30°，BE＝CF＝23m，
∴AB＝.∵BE:AE＝1:，
∴AE＝BE＝23（m）.
∵i′＝CF:FD＝1:1，∴FD＝CF＝BE＝23（m）
∵四边形BEFC为矩形，∴EF＝BC＝8（m）。
∴AD＝AE＋EF＋FD＝23＋8＋23＝31＋23≈70.8（m）.
∴斜坡AB的长为46m，坡角a为30°，坝底AD的长约为70.8m.
友情提示 （1）解决本题的关键是要弄清坡度、坡角的定义.（2）通过添加辅助线把梯形分割为直角三角形和矩形。
变式1 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面上和一斜坡上，如图所示，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡度为30°，同一时刻，一根长为1.米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度.
变式2 如图所示，有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD，AB∥CD，斜坡AD的坡度i1＝1:1.2，斜坡BC的坡度i2＝1:0.8，大堤顶宽DC为6m.为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形DCFE，EF∥DC，点E，F分别在AD，BC的延长线上.当新大堤顶宽EF为3.8m时，大堤加高了多少？
考点2 与方向角有关的实际问题
例2 如图所示，在小岛上有一观察站A.据测，灯B在观察A北偏西45°方向上，灯C在正东方向上，且相距10海，灯塔C与观察站A相距10海，请你计算灯C在观察A的什么方向？
思路导析: 点C作CD⊥AB于点D并解 Rt△BCD， Rt△ACD，长出∠CAD约度数即可求出∠CAF度数。
解:过点C作CD⊥AB，垂是为D.
∵灯塔B在观察站A北偏西45?方向上，∴∠B＝45°。
又∵BC＝10海里，在Rt△BCD中，sin B＝，
∴CD＝BC·sin45?＝10×＝5（海里）.
∵在Rt△ACD中AC＝10（海里），∴sin∠CAD＝＝＝。
∴∠CAD＝30°。∴∠CAF＝∠BAF－∠CAD＝45?－30?＝15?。
∴灯塔C在观察站A北偏西15°的方向上。
友情提示 （1）构边直角三角形.（2）将已知角、线段长转化为直角三角形约元素.（3）选择当的元素关系，解直角三角形。
变式3 如图所示，一条自西向东的观光大道上有A，B两个景点，A，B相距2m，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道的距离.（≈1.732，结果精确到0.1km）
典例3 如图所示，A，B两城市相距100 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°，在B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以点P为圆心、50km为半径的圆形区域内.请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据:≈1.732，≈1.414）
思路导析: 解决本题的关键是求出森林中心P到AB的距离，此距离如小于50km，则会穿越保护区，否则就不会穿越保护区.因此，需过点P作PC⊥AB于点C，构造直角三角形，通过解直角三角形来求PC的长。
解:如图所示，过点P作PC⊥AB于点C，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝C·tan30°，BC＝PC·tan45°。
∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝100。
∴PC＝100。∴PC＝50（3－）≈50×（3－1.732）＝63.4（km）＞50（km）
∴计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.
变式4 如图所示，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°，因城市规划的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路。
（1）求改直后的公路AB的长；
（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25?≈0.91，sin37?≈0.60，tan37?≈0.75）
巩固提高
1.如图所示，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造
楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（ ）
2m B. 2m C.（2－2）m D.（2－2）m
第1题图 第2题图
2.如图所示，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ）
A. 4 km B. 2 km C. 2 km D. （＋1）km
3.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（ ）
A.斜坡AB的坡度是10° B.斜坡AB的坡度是tan10°
C.AC＝1.2tan10?米 D.AB＝米
第3题图 第4题图
4.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角a＝45°，坡长AB＝6米，背水坡CD的坡度i＝1:（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为_____________米。
5.为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是:水坝加高2米（即CD＝2米），背水坡DE的坡度＝1:1（即DB:EB＝1:1），如图所示，已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.（参考数据:sin50?≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
6.如图1所示，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3 m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1:0.5，坝底AB＝14m.
（1）求坝高；
（2）如图2所示，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长（参考数据:sin37?≈，cos37?≈，tan37?≈）
7.如图所示，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75°方向航行，在点A处测得码头C在船的东北方向，航行40分钟后到达B处，这时码头C恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头C的最近距离.（结果精确到0.1海里，参考数据:≈1.41，≈1.73）
8.超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为，在一条笔直的高速公路MN上，小型限速为每小时120千米，设置在公路旁的磁速监测点C，现测得辆小型车在监测点C的偏西30方向的A处，7秒后，测得其在监测点C的南偏东45°方向的B处，已知BC＝20米，B在A的北偏东75?方向，请问:这辆车超速了吗？通过计算说明理由.（参考数据:≈1.41，≈1.73）
体验中考
1.（2019·重庆）如图所示，AB是垂直于水平面的建筑物为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向BC行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC.在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）.斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1:2.4，那么建筑物AB的高度约为（参考数据:sin27°≈0.45，cos27?≈0.89，tan27?≈0.51）（ ）
A. 65.8米 B. 71.8米 C. 73.8米 D. 119.8米
第1题图 第2题图
2.（2019·葫芦岛）如图所示，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为_____________米.（≈1.73，结果精确到0.1米）
3.（2019·莱芜区）公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线AB与AC的夹角为124°，凉亭顶盖边缘B，C到地面的距离为2.4米，石桌的高度DE为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地面的夹角为42°时，恰好能够照到石桌的中央E处（A，E，D三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线AB的长度.（结果精确到0.1m）（参考数据:sin62?≈0.88，tan42?≈0.90）
4.（2019·朝阳）小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量.如图所示，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°已知山坡坡度i＝3:4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME.（结果精确到0.1m，参考数据:≈1.732）
5.（2019·娄底）如图所示，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1:1.为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为a，B.已知tana＝2，tanβ＝4，求山顶A的高度AE（C，B，E在同一水平面上）。
6.（2019·烟台）如图所示，一种B适用于笔记本电脑的铝合金支架，边OA，OB可绕点O开合，在OB边上有一固定点P，支柱PQ可绕点P转动，边OA上有六个卡孔，其中离点O最近的卡孔为M，离点O最远的卡孔为N.当支柱端点Q放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化.将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康，现测得OP的长为12cm，OM为10cm，支柱PQ为8cm.
（1）当支柱的端点Q放在卡孔M处时，求∠AOB的度数；
（2）当支柱的端点Q放在卡孔N处时，∠AOB＝20.5°，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距.（结果精确到十分位）
7.（2019·遂宁）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固，如图所示，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1:1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1:，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）
8.（2019·营口）如图所示，A，B两市相距150 km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上，已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域.为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明.（参考数据:≈1.73）
参考答案
知识梳理
知识点1: 铅直高度 水平宽度 坡角 正切值
知识点2: 30? 60?
考点突破
1.解:如图所示，延长AC交BF延长线于点D，则∠CFE＝30?，作CE⊥BD于点E.
在Rt△CFE中，∠CFE＝30?，CF＝4米，∴CE＝2（米），EF＝4cos30?＝2（米）.
在Rt△CED中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE＝2（米），∴CE: DE＝1: 2.∴ DE＝4（米）.∴BD＝BF＋EF＋ED＝12＋2（米）.
在Rt△ABD中，AB＝米.
答:树的高度为（6＋）米.
2，解:如图所示，作EG⊥CD， FH⊥CD，垂足分别为点G， H，则四边形EFHG是矩形，
GH＝EF＝3.8 m.设大堤加高了x m，则EG＝FH＝x m.∵i1＝1: 1. 2， i2＝1:0.8，
∴，。∴DG＝1. 2x（m），CH＝0. 8x（m）.
∵DG＋GH＋CH＝6 m，∴1.2x＋ 3.8＋0. 8x＝6.解得x＝1.1.
答:大堤加高了1.1m.
3，解:如图所示，过点C作CD⊥于点D，设CD＝x km.
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90?，∠CAD＝30?，∴AD＝CD＝x（km）.
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝45?，∴BD＝CD＝ x（km）.
∵AD－BD＝AB，∴x－x＝2。∴x＝＋1≈2.7（km）.
答:景点C到观光大道1的距离约为2.7 km.
4，解:（1）AB＝14.7（千米）；（2）缩短了2.3千米。
巩固提高
1.B 2.C 3. B 4.12
5.解:设BC＝x米，在Rt△ABC中，∠CAB＝180?－∠EAC＝50?，
AB＝≈＝＝（米）.
在Rt△EBD中，∵i＝DB: EB＝1:1，∴BD＝BE.∴CD＋BC＝AE＋AB.
即，解得x＝12，即BC＝12（米）.
答:水坝原来的高度BC为12米.
6，解:（1）如图1所示，作DM⊥AB于点M，CN⊥AN于点N.
由题意得，tan∠DAB＝＝2，设AM＝x，则DM＝2x.
∵四边形DMNC是矩形，∴DM＝CN＝2x。
在Rt△NBC中，tan37?＝，∴BN＝。
∵＝14，∴x＝3。∴DM＝6.
答:坝高为6m；
（2）如图2所示，作FH⊥AB于点H.设DF＝y，则AE＝2y，EH＝3＋2y－y＝3＋y，
BH＝14＋2y－（3＋y）＝11＋y.∵EF⊥BF，FH⊥BE，∴∠E＝∠BFH。
∴△EFH∽△FBH，可得，即。
解得y＝或（舍去）∴DF＝（m）.
答:DF的长为m.
7，解:如图所示，过点C作CE⊥AB延长线于点E，过点B作BD⊥AC于点D.
由题意得，船在航行过程中与码头C的最近距离是CE，AB＝30×＝20（海里）.
∵∠NAC＝45?，∠NAB＝75?，∴∠DAB＝30°。∴BD＝AB＝10（海里）.
由勾股定理得，AD＝10（海里）.
∵BC// AN，∴∠BCD＝∠NAC＝45?.∴CD＝BD＝10（海里）.∴AC＝10＋10（海里）.
∵∠DAB＝30?，∴CE＝AC＝5＋5≈13.7（海里）
答：船在航行过程中与码头C的最近距离是13.7海里.
8.解:这辆汽车超速了.
理由:如图所示，过点C作CF⊥AB于点F.由题意得，∠BCF＝30?，∠ACF＝45?，∠CAF＝45?，
则∠CBF＝60?。∵BC＝200 m，∴BF＝BC＝100（m）.
∴FC＝100（m）.故AF＝100（m），
故AB＝AF＋BF＝100（＋1）≈273（m）.∴39（m/s）。
∵每小时120千米＝≈33.3（m/s），39＞33.3，
∴这辆车已经超速。
体验中考
1. B 2. 54.6
3，解:如图所示，连接BC， AE，交于点O，则AE⊥BC.
由题意得， OE＝2.4－0. 6＝1.8 （米），∠OBE＝42?，∠BAO＝∠BAC＝62?.
在Rt△OBE中，∵tan∠OBE＝，∴OB＝（m）。
在Rt△OAB中，∵sin∠OAB＝，∴AB＝（m）.
答:圆锥形顶盖母线AB的长度约为2.3米.
4，解:如图所示，作DC⊥EP交EP的延长线于点C，作DF⊥ME于点F，作PH⊥DF于点H，
则DC＝PH＝FE， DH＝CP，HF＝PE，设DC＝3x，∵tanθ＝，CP＝4x。
由勾股定理得，PD2＝DC2＋CP2，即252＝（3x）?＋（4x）?，解得x＝5，
则DC＝3x＝15（m） ， CP＝4x＝20（m）.∴DH＝CP＝20（m） ， PH＝FE＝DC＝15（m）。
设MF＝y，则ME＝y＋15.在Rt△MDF中，tan∠MDF＝，则DF＝。
在Rt△MPE中，tan∠MPE＝，则PE＝。
∵DH＝DF＝HF，∴＝20.解得y＝7.5＋10，
∴ME＝MF＋FE＝7.5＋10＋15≈39.8（m）.
答:古塔的高度ME约为39.8 m.
5.解：如图所示，作AF⊥CD于点F.设AE＝x米。
∵斜坡AB的坡度为i＝1:1，∴BE＝AE＝x（米）.
在Rt△BDC中，∵∠C＝90?，CD＝96米，∠DBC＝∠B，∴BC＝＝24（米）.
∴EC＝EB＋BC＝（x＋24）米.∴AF＝EC＝（x＋24）米。
在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90?，∠DAF＝∠a，∴DF＝AF·tana＝2（x＋24）米.
∵DF＝DC－CF＝（96－x）米，∴2（x＋24）＝96－x，解得x＝16.
答:山顶A的高度AE为16米.
6，解:（1）如图所示，过点P作PH⊥OA于点H.
设OH＝x，则HM＝10－x，由勾股定理得，OP2－OH2＝ PH2 ， MP2－HM2＝PH2，
∴OP2－OH2＝MP2－HM2，即122－x2＝82－（10－x）2，解得x＝9，即OH＝9（cm）.
∴cos∠AOB＝＝＝0.75，由表可知，∠AOB为41?；
（2）如图所示，过点P作PDLOA于点D.
在R△OPD中，＝cos∠AOB＝ cos20.5?＝0.937，∴OD＝11.244（cm），
＝sin∠AOB＝ sin20.5?＝0.35，∴PD＝4.2（cm），
∴DN＝＝6.8（cm），∴ON＝OD＋DN＝ 11. 244 ＋6.8＝18.044（cm），
∴MN ＝ON－OM＝18.044－10＝8.044（cm），
∵电脑台面的角度可达到六档湖节，相答游个卡孔的距离相同，
∴相邻两个卡孔的距离为8.044÷（6－1）≈1.6（cm），
答；相邻两个卡孔的距离约为1.6 cm，
7，解；如图所示，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EG⊥BC于点G，
则四边形EGHA是矩形，∴EG＝AH， GH＝AE-2（米），
∵斜坡AB的坡度i＝1:1，∴AH＝ BH＝30×30＝900（cm）＝9（米），∴ BG＝BH－HG＝7（米）。
∵斜坡EF的坡度i＝1：，∴FG＝9（米）.∴BF＝FG－BG＝9－7（米），
∴S梯形ABFE ＝（平方米）。
∴共需土石为立方米，
8，解：高速公路AB不穿过风景区.
如图所示，过点C作CH⊥AB于点H，由题意得， ∠CAB＝30?，∠CBA＝45?，
在Rt△CHB中，∵tan ∠CBH＝＝1，∴CH＝BH.
设BH＝x，则CH＝x，在Rt△CAH中，∵tan∠CAH＝.
∴AH＝，AB＝ 150 km，∴＋x＝150，∴x＝75－75≈54. 75（km）.
∵54. 75＞50，∴高速路AB不穿过风景区.
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第二章 直角三角形的边角关系
2.5 三角函数的应用
第2课时
知识梳理
知识点1 坡度与坡角
斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示.坡面的___________与__________的比叫做坡度（或坡比）.坡面
与水平面的夹角叫做____________。坡度是坡角的_____________。
知识点2 方向角
如图所示，在平面上过观3测点O作一条水平线（向右为东方）和一条铅垂线（向上为北方），则从点O出发的视线与铅垂线（南北方向线）的夹角，叫做点O的方向角。
如图所示，点A关于点O的方向角为北偏东_________，点B关于点O的方向角为南偏西________。
注意 （1）方向角通常是以南北方向线（指南针）为主，分南偏东（西）或北偏东（西）.（2）观测点不同，所得的方向角也不同.如图所示，观测点O关于点B的方向角为北偏东60°，但各个观测点的南北方向线或东西方向线是互相平行的。
考点突破
考点① 与坡度、坡角有关的实际问题
典例1 如图所示，水库大坝横断面是梯形，坝顶BC宽为8 m，坝高为23 m，斜坡AB的坡度i＝1:，斜坡CD的坡度为i′＝1:1，求斜坡AB的长、坡角a和坝底AD的长.（结果精确到0.1m，参考数据:≈1.732）
思路导析: 过点B作BE⊥AD，垂足为点E，过点C作CF⊥AD，垂足为点F，则可把梯形问题转化为解直角三角形的问题根据坡度的定义，可求出有关线段长和坡角的大小。
解:过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F.
∵i＝tana＝1:，∴∠a＝30°。
在Rt△ABE中，∵∠A＝30°，BE＝CF＝23m，
∴AB＝.∵BE:AE＝1:，
∴AE＝BE＝23（m）.
∵i′＝CF:FD＝1:1，∴FD＝CF＝BE＝23（m）
∵四边形BEFC为矩形，∴EF＝BC＝8（m）。
∴AD＝AE＋EF＋FD＝23＋8＋23＝31＋23≈70.8（m）.
∴斜坡AB的长为46m，坡角a为30°，坝底AD的长约为70.8m.
友情提示 （1）解决本题的关键是要弄清坡度、坡角的定义.（2）通过添加辅助线把梯形分割为直角三角形和矩形。
变式1 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面上和一斜坡上，如图所示，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡度为30°，同一时刻，一根长为1.米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度.
变式2 如图所示，有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD，AB∥CD，斜坡AD的坡度i1＝1:1.2，斜坡BC的坡度i2＝1:0.8，大堤顶宽DC为6m.为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形DCFE，EF∥DC，点E，F分别在AD，BC的延长线上.当新大堤顶宽EF为3.8m时，大堤加高了多少？
考点2 与方向角有关的实际问题
例2 如图所示，在小岛上有一观察站A.据测，灯B在观察A北偏西45°方向上，灯C在正东方向上，且相距10海，灯塔C与观察站A相距10海，请你计算灯C在观察A的什么方向？
思路导析: 点C作CD⊥AB于点D并解 Rt△BCD， Rt△ACD，长出∠CAD约度数即可求出∠CAF度数。
解:过点C作CD⊥AB，垂是为D.
∵灯塔B在观察站A北偏西45?方向上，∴∠B＝45°。
又∵BC＝10海里，在Rt△BCD中，sin B＝，
∴CD＝BC·sin45?＝10×＝5（海里）.
∵在Rt△ACD中AC＝10（海里），∴sin∠CAD＝＝＝。
∴∠CAD＝30°。∴∠CAF＝∠BAF－∠CAD＝45?－30?＝15?。
∴灯塔C在观察站A北偏西15°的方向上。
友情提示 （1）构边直角三角形.（2）将已知角、线段长转化为直角三角形约元素.（3）选择当的元素关系，解直角三角形。
变式3 如图所示，一条自西向东的观光大道上有A，B两个景点，A，B相距2m，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道的距离.（≈1.732，结果精确到0.1km）
典例3 如图所示，A，B两城市相距100 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°，在B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以点P为圆心、50km为半径的圆形区域内.请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据:≈1.732，≈1.414）
思路导析: 解决本题的关键是求出森林中心P到AB的距离，此距离如小于50km，则会穿越保护区，否则就不会穿越保护区.因此，需过点P作PC⊥AB于点C，构造直角三角形，通过解直角三角形来求PC的长。
解:如图所示，过点P作PC⊥AB于点C，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝C·tan30°，BC＝PC·tan45°。
∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝100。
∴PC＝100。∴PC＝50（3－）≈50×（3－1.732）＝63.4（km）＞50（km）
∴计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.
变式4 如图所示，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°，因城市规划的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路。
（1）求改直后的公路AB的长；
（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25?≈0.91，sin37?≈0.60，tan37?≈0.75）
巩固提高
1.如图所示，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造
楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（ ）
2m B. 2m C.（2－2）m D.（2－2）m
第1题图 第2题图
2.如图所示，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ）
A. 4 km B. 2 km C. 2 km D. （＋1）km
3.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（ ）
A.斜坡AB的坡度是10° B.斜坡AB的坡度是tan10°
C.AC＝1.2tan10?米 D.AB＝米
第3题图 第4题图
4.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角a＝45°，坡长AB＝6米，背水坡CD的坡度i＝1:（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为_____________米。
5.为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是:水坝加高2米（即CD＝2米），背水坡DE的坡度＝1:1（即DB:EB＝1:1），如图所示，已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.（参考数据:sin50?≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
6.如图1所示，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3 m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1:0.5，坝底AB＝14m.
（1）求坝高；
（2）如图2所示，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长（参考数据:sin37?≈，cos37?≈，tan37?≈）
7.如图所示，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75°方向航行，在点A处测得码头C在船的东北方向，航行40分钟后到达B处，这时码头C恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头C的最近距离.（结果精确到0.1海里，参考数据:≈1.41，≈1.73）
8.超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为，在一条笔直的高速公路MN上，小型限速为每小时120千米，设置在公路旁的磁速监测点C，现测得辆小型车在监测点C的偏西30方向的A处，7秒后，测得其在监测点C的南偏东45°方向的B处，已知BC＝20米，B在A的北偏东75?方向，请问:这辆车超速了吗？通过计算说明理由.（参考数据:≈1.41，≈1.73）
体验中考
1.（2019·重庆）如图所示，AB是垂直于水平面的建筑物为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向BC行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC.在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）.斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1:2.4，那么建筑物AB的高度约为（参考数据:sin27°≈0.45，cos27?≈0.89，tan27?≈0.51）（ ）
A. 65.8米 B. 71.8米 C. 73.8米 D. 119.8米
第1题图 第2题图
2.（2019·葫芦岛）如图所示，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为_____________米.（≈1.73，结果精确到0.1米）
3.（2019·莱芜区）公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线AB与AC的夹角为124°，凉亭顶盖边缘B，C到地面的距离为2.4米，石桌的高度DE为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地面的夹角为42°时，恰好能够照到石桌的中央E处（A，E，D三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线AB的长度.（结果精确到0.1m）（参考数据:sin62?≈0.88，tan42?≈0.90）
4.（2019·朝阳）小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量.如图所示，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°已知山坡坡度i＝3:4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME.（结果精确到0.1m，参考数据:≈1.732）
5.（2019·娄底）如图所示，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1:1.为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为a，B.已知tana＝2，tanβ＝4，求山顶A的高度AE（C，B，E在同一水平面上）。
6.（2019·烟台）如图所示，一种B适用于笔记本电脑的铝合金支架，边OA，OB可绕点O开合，在OB边上有一固定点P，支柱PQ可绕点P转动，边OA上有六个卡孔，其中离点O最近的卡孔为M，离点O最远的卡孔为N.当支柱端点Q放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化.将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康，现测得OP的长为12cm，OM为10cm，支柱PQ为8cm.
（1）当支柱的端点Q放在卡孔M处时，求∠AOB的度数；
（2）当支柱的端点Q放在卡孔N处时，∠AOB＝20.5°，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距.（结果精确到十分位）
7.（2019·遂宁）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固，如图所示，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1:1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1:，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）
8.（2019·营口）如图所示，A，B两市相距150 km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上，已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域.为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明.（参考数据:≈1.73）
参考答案
知识梳理
知识点1: 铅直高度 水平宽度 坡角 正切值
知识点2: 30? 60?
考点突破
1.解:如图所示，延长AC交BF延长线于点D，则∠CFE＝30?，作CE⊥BD于点E.
在Rt△CFE中，∠CFE＝30?，CF＝4米，∴CE＝2（米），EF＝4cos30?＝2（米）.
在Rt△CED中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE＝2（米），∴CE: DE＝1: 2.∴ DE＝4（米）.∴BD＝BF＋EF＋ED＝12＋2（米）.
在Rt△ABD中，AB＝米.
答:树的高度为（6＋）米.
2，解:如图所示，作EG⊥CD， FH⊥CD，垂足分别为点G， H，则四边形EFHG是矩形，
GH＝EF＝3.8 m.设大堤加高了x m，则EG＝FH＝x m.∵i1＝1: 1. 2， i2＝1:0.8，
∴，。∴DG＝1. 2x（m），CH＝0. 8x（m）.
∵DG＋GH＋CH＝6 m，∴1.2x＋ 3.8＋0. 8x＝6.解得x＝1.1.
答:大堤加高了1.1m.
3，解:如图所示，过点C作CD⊥于点D，设CD＝x km.
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90?，∠CAD＝30?，∴AD＝CD＝x（km）.
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝45?，∴BD＝CD＝ x（km）.
∵AD－BD＝AB，∴x－x＝2。∴x＝＋1≈2.7（km）.
答:景点C到观光大道1的距离约为2.7 km.
4，解:（1）AB＝14.7（千米）；（2）缩短了2.3千米。
巩固提高
1.B 2.C 3. B 4.12
5.解:设BC＝x米，在Rt△ABC中，∠CAB＝180?－∠EAC＝50?，
AB＝≈＝＝（米）.
在Rt△EBD中，∵i＝DB: EB＝1:1，∴BD＝BE.∴CD＋BC＝AE＋AB.
即，解得x＝12，即BC＝12（米）.
答:水坝原来的高度BC为12米.
6，解:（1）如图1所示，作DM⊥AB于点M，CN⊥AN于点N.
由题意得，tan∠DAB＝＝2，设AM＝x，则DM＝2x.
∵四边形DMNC是矩形，∴DM＝CN＝2x。
在Rt△NBC中，tan37?＝，∴BN＝。
∵＝14，∴x＝3。∴DM＝6.
答:坝高为6m；
（2）如图2所示，作FH⊥AB于点H.设DF＝y，则AE＝2y，EH＝3＋2y－y＝3＋y，
BH＝14＋2y－（3＋y）＝11＋y.∵EF⊥BF，FH⊥BE，∴∠E＝∠BFH。
∴△EFH∽△FBH，可得，即。
解得y＝或（舍去）∴DF＝（m）.
答:DF的长为m.
7，解:如图所示，过点C作CE⊥AB延长线于点E，过点B作BD⊥AC于点D.
由题意得，船在航行过程中与码头C的最近距离是CE，AB＝30×＝20（海里）.
∵∠NAC＝45?，∠NAB＝75?，∴∠DAB＝30°。∴BD＝AB＝10（海里）.
由勾股定理得，AD＝10（海里）.
∵BC// AN，∴∠BCD＝∠NAC＝45?.∴CD＝BD＝10（海里）.∴AC＝10＋10（海里）.
∵∠DAB＝30?，∴CE＝AC＝5＋5≈13.7（海里）
答：船在航行过程中与码头C的最近距离是13.7海里.
8.解:这辆汽车超速了.
理由:如图所示，过点C作CF⊥AB于点F.由题意得，∠BCF＝30?，∠ACF＝45?，∠CAF＝45?，
则∠CBF＝60?。∵BC＝200 m，∴BF＝BC＝100（m）.
∴FC＝100（m）.故AF＝100（m），
故AB＝AF＋BF＝100（＋1）≈273（m）.∴39（m/s）。
∵每小时120千米＝≈33.3（m/s），39＞33.3，
∴这辆车已经超速。
体验中考
1. B 2. 54.6
3，解:如图所示，连接BC， AE，交于点O，则AE⊥BC.
由题意得， OE＝2.4－0. 6＝1.8 （米），∠OBE＝42?，∠BAO＝∠BAC＝62?.
在Rt△OBE中，∵tan∠OBE＝，∴OB＝（m）。
在Rt△OAB中，∵sin∠OAB＝，∴AB＝（m）.
答:圆锥形顶盖母线AB的长度约为2.3米.
4，解:如图所示，作DC⊥EP交EP的延长线于点C，作DF⊥ME于点F，作PH⊥DF于点H，
则DC＝PH＝FE， DH＝CP，HF＝PE，设DC＝3x，∵tanθ＝，CP＝4x。
由勾股定理得，PD2＝DC2＋CP2，即252＝（3x）?＋（4x）?，解得x＝5，
则DC＝3x＝15（m） ， CP＝4x＝20（m）.∴DH＝CP＝20（m） ， PH＝FE＝DC＝15（m）。
设MF＝y，则ME＝y＋15.在Rt△MDF中，tan∠MDF＝，则DF＝。
在Rt△MPE中，tan∠MPE＝，则PE＝。
∵DH＝DF＝HF，∴＝20.解得y＝7.5＋10，
∴ME＝MF＋FE＝7.5＋10＋15≈39.8（m）.
答:古塔的高度ME约为39.8 m.
5.解：如图所示，作AF⊥CD于点F.设AE＝x米。
∵斜坡AB的坡度为i＝1:1，∴BE＝AE＝x（米）.
在Rt△BDC中，∵∠C＝90?，CD＝96米，∠DBC＝∠B，∴BC＝＝24（米）.
∴EC＝EB＋BC＝（x＋24）米.∴AF＝EC＝（x＋24）米。
在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90?，∠DAF＝∠a，∴DF＝AF·tana＝2（x＋24）米.
∵DF＝DC－CF＝（96－x）米，∴2（x＋24）＝96－x，解得x＝16.
答:山顶A的高度AE为16米.
6，解:（1）如图所示，过点P作PH⊥OA于点H.
设OH＝x，则HM＝10－x，由勾股定理得，OP2－OH2＝ PH2 ， MP2－HM2＝PH2，
∴OP2－OH2＝MP2－HM2，即122－x2＝82－（10－x）2，解得x＝9，即OH＝9（cm）.
∴cos∠AOB＝＝＝0.75，由表可知，∠AOB为41?；
（2）如图所示，过点P作PDLOA于点D.
在R△OPD中，＝cos∠AOB＝ cos20.5?＝0.937，∴OD＝11.244（cm），
＝sin∠AOB＝ sin20.5?＝0.35，∴PD＝4.2（cm），
∴DN＝＝6.8（cm），∴ON＝OD＋DN＝ 11. 244 ＋6.8＝18.044（cm），
∴MN ＝ON－OM＝18.044－10＝8.044（cm），
∵电脑台面的角度可达到六档湖节，相答游个卡孔的距离相同，
∴相邻两个卡孔的距离为8.044÷（6－1）≈1.6（cm），
答；相邻两个卡孔的距离约为1.6 cm，
7，解；如图所示，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EG⊥BC于点G，
则四边形EGHA是矩形，∴EG＝AH， GH＝AE-2（米），
∵斜坡AB的坡度i＝1:1，∴AH＝ BH＝30×30＝900（cm）＝9（米），∴ BG＝BH－HG＝7（米）。
∵斜坡EF的坡度i＝1：，∴FG＝9（米）.∴BF＝FG－BG＝9－7（米），
∴S梯形ABFE ＝（平方米）。
∴共需土石为立方米，
8，解：高速公路AB不穿过风景区.
如图所示，过点C作CH⊥AB于点H，由题意得， ∠CAB＝30?，∠CBA＝45?，
在Rt△CHB中，∵tan ∠CBH＝＝1，∴CH＝BH.
设BH＝x，则CH＝x，在Rt△CAH中，∵tan∠CAH＝.
∴AH＝，AB＝ 150 km，∴＋x＝150，∴x＝75－75≈54. 75（km）.
∵54. 75＞50，∴高速路AB不穿过风景区.
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